Função do 2º grauFunção do 2º grau

   A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão

do tipo: 

y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e Exemplos:

a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )

c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )

Conteúdo para 8ª série

Professor Antônio Carlos Carneiro Barroso Graduado em Matemática pela UFBA

Graduado em Ciências naturais pela UFBAPós graduado em Metodologia e Didática de ensino

Superiorwww.ensinodematemtica.blogspot.com.br

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Gráficos:

Gráfico de uma função do 2º grau: 

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola   Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa. 

   Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:

Veja:

A Parábola:

Professor Antonio Carlos

Observe os pontos:

   Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos.

Coordenadas do vértice    A coordenada x do vértice da parábola pode ser

determinada por .    Exemplo: Determine as coordenada do vértice da

parábola y=x²-4x+3Temos: a=1, b=-4 e c=3Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a

coordenada y?

Fique atento:

Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.

Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.

y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)Portanto, para determinarmos as coordenadas do

vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!

Raízes:

Raízes (ou zeros) da função do 2º grauDenominam-se raízes da função do 2º grau os

valores de x para os quais ela se anula.y=f(x)=0Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima

acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.

Vejamos o gráfico:

O gráfico:

Resolva a função:

Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.

Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?

Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior.

Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de

Bháskara.x²+5x+6=0Acharemos que x = -2 e x` = -3.

Concavidade da parábolaExplicarei esta parte com um simples desenho.a>0a<0Os desenhos até que ficaram bonitinhos,

mas isso não importa neste momento. O que nos importa agora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e quando a<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste).

Exemplos:

y = f(x) = x² - 4

y = f(x) = -x² + 4

Nota:

Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo.

Quando o discriminante é igual a zeroQuando o valor de , o vértice a parábola encontra-se no

eixo x. A coordenada y será igual a zero.Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1x²+2x+1=0

x=x`=-b/2a=-1As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)

Gráfico:

Estudo do delta:

Quando o descriminante é maior que zeroQuando o valor de , a parábola intercepta o eixo

x em dois pontos. (São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente).

Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3x²-4x+3=0

 x=1, x`=3

Gráfico:

Gráfico:

Delta<0

Quando o discriminante é menor que zero

Quando o valor de , a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da função.

Exemplo: y = f(x) = x²-x+2x²-x+2=0

Gráfico:

a>0 e a<0

Olhe o gráfico:

Esboçando o gráficoPara finalizarmos (ufa!), vamos desenhar

o gráfico da funçãoy=-x²-4x-3

1ª etapa: Raízes ou zeros da função-x²-4x-3=0

Aplicando a fórmula de Bháskarax=-1, x`=-3

Veja as etapas:

2ª etapa: Coordenadas do vérticeCoordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2Coordenada y: Basta substituir o valor de x

obtido na funçãoy = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1

Portanto, V=(-2,1)3ª etapa: Concavidade da parábolay=-x²-4x-3Como a=-1<0, a concavidade estará voltada

para baixo

Olhe o gráfico:

Exercício:

1) As equações abaixo definem funções do 2º grau. Para cada uma dessas funções, ache as coordenadas do vértice que a representa:

a) f(x)= x² - 4x + 5b) f(x)= x² +4x - 6c) f(x)= 2x² +5x - 4d) f(x)= -x² + 6x - 2e) f(x)= -x² - 4x +1

Resolva:

2) Determine,  se existirem, os zeros reais das funções seguintes:

a) f(x)= 3x² - 7x + 2b) f(x)= -x² + 3x - 4c) f(x)= -x² + 3/2x + 1d) f(x)= x² -4e) f(x)= 3x²Não existe zeros em (b)

Antonio Carlos carneiro Barroso:

3) Construa o gráfico das seguintes funções:

a) f(x)= x² - 16x + 63b) f(x)= 2x² - 7x + 3c) f(x)= 4x² - 4x +1d) f(x)= -x² + 4x - 5e) f(x)= -2x² +8x- 6

Faça:

4) Em uma partida de vôlei, um jogador deu um saque em que a bola atingiu uma altura h em metros, num tempo t, em segundos, de acordo com a relação h(t) = -t² + 8t.a) Em que instante a bola atingiu a altura máxima?[Nota]: observem o vértice

b) De quantos metros foi a altura máxima alcançada pela bola?

c) Esboce o gráfico que represente esta situação.

Respostas: 4: a)4s; b) 16m

Função do 1º grau:

Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:

Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro conjunto dado e o segundo elemento pertence ao segundo conjunto dado.

Assim: Dado os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a correspondência de A em B, de tal modo que cada elemento do conjunto A se associa no conjunto B com o seu sucessor. Assim ; ; . A correspondência por pares ordenados seria:

Noção de função:

Veja os diagramas:

Uma função todo elemento de A tem imagem única em B.

Analisando os diagramas acima:O diagrama 1 não satisfaz a condição (1);

os diagramas 3, 4 e 5 não satisfazem a condição (2).

Logo, somente o diagrama 2 representa uma função

Domínio, imagem e contra domínio

Observe o diagrama:

Função: Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados

serão: f={(1,2),(2,3),(3,4)} O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f. D(F)=X O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f. C(F)=Y Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f. f(1)=2 Ainda, f(2)=3 e f(3)=4. Logo o conjunto das imagens de f e dado por: Im(f)={2,3,4}

Determinação de função:

Observe a figura:

Veja:

Associe cada elemento de X com um elemento de y:

Determine a imagem de cada função:

a) D(f) = {1,2,3}    y = f(x) = x + 1

[Sol] f(1) = 1+1 = 2         f(2) = 2+1 = 3         f(3) =3+1 = 4

Logo: Im(f)={2,3,4}b) D(f) = {1,3,5}

    y = f(x) = x² [Sol] f(1) = 1² = 1

        f(3) = 3² = 9        f(5) = 5² = 25

Logo: Im(f)={1,9,25}

Plano cartesiano :

Eixo Cartesiano:

Eixos x e y:

Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em 0, os quais determinam o plano A.Dado um plano P qualquer, pertencente ao plano A, conduzamos por ele duas retas:x // x'  e  y // y'Denominemos P1 a interseção de x com y' e P2 a interseção de y com x'

Continuação:

Nessas condições, definimos:- Abscissa de P é um número real representado por P1- Ordenada de P é um número real representado por P2- A coordenada de P são números reais x' e y' , geralmente indicados na forma de par ordenado ( x' , y' )- O eixo das abscissas é o eixo x- O eixo das ordenadas é o eixo y- A origem do sistema é o ponto 0- Plano cartesiano é o plano A.

Depois dessa revisão veja a função do 1º grau:

Exemplo:Numa loja, o salário fixo mensal de um

vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto vendido.

a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto vendido.

[Sol] y=salário fixo + comissão       y=500 + 50x

Cont.

Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos?

[Sol] y=500+50x , onde x=4       y=500+50.4 = 500+200 = 700

Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?

[Sol] y=500+50x , onde y=1000       1000=500+50x  »  50x=1000-500  »  50x=500  »  x=10

Cont.

A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º grau, sendo dada por: 

y=f(x)=ax+b com ,a e b pertencente aos números reais

 

Gráfico:

Gráfico da função do 1º grau: 

O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta.Exemplo:

1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:

[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

Olhe os pares:

O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}

2º Exemplo:

Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.

[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y. 

xy=f(x)=-x+1-2 3-1 20 11 02-1O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}

Continuação:

O gráfico:

y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1

Função crescente:

y = -x+1 ( a<0 ); onde a=-1

Função decrescente:

Raízes ou zeros:

Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0).1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função.

[Sol] Basta determinar o valor de x para termos y=0

x+1=0  »  x=-1Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função

Veja a raiz dessa função:

Onde corta o eixo x é a raiz da função

Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico

Veja:

Sinal de uma função de 1º grau

a>o e a<o

Cont.

Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. Para x<-b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a.

Exemplos:1) Determine o intervalo das seguintes funções

para que f(x)>0 e f(x)<0.a) y=f(x)=x+1[Sol] x+1>0  »  x>-1

        Logo, f(x) será maior que 0 quando x>-1       x+1<0  »  x<-1

       Logo, f(x) será menor que 0 quando x<-1

2º exemplo:

b) y=f(x)=-x+1[Sol]* -x+1>0  »  -x>-1  »  x<1  

Logo, f(x) será maior que 0 quando x<1       -x+1<0  »  -x<-1  »  x>1

       Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1

(*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade

Exercício:

) Represente graficamente a função definida por:

a) f(x) = 2x-1b) f(x) = -1/2x+3c) f(x) = 4xd) f(x) = 1/3x+2e) f(x) = -3x+6

Cont.

2) Determine a raiz ou zero de cada uma das seguintes equações:

a) f(x) = 2x+5b) f(x) = -x+2c) f(x) = 1/3x+3d) f(x) = 1-5xe) f(x) = 4x

Determine a expressão da função representada pelo gráfico abaixo:

Faça:

Cont.

Pelo gráfico, concluímos:

Quando x=0, y=2; portanto, o valor de b na expressão é igual a 2

Quando y=0, x=-4 (raiz ou zero da função)Substituindo os valores em y=ax+b:0 = -4a + 2a = 1/2Logo, a expressão é y = 1/2x+2.

Determine as expressões que as definem.

Descreva as funções abaixo.