29
FUNÇÃO do 2° Grau Uma quadra esportiva tem a forma retangular, com 40m de comprimento e 20m de largura. O clube pretende ampliá-la. Para isso, vai construir em volta dela uma faixa de largura constante. Sua área é função de x. A = (40 + 2x) . (20 + 2x) A = 800 + 80x + 40x + 4x 2 A = f(x) = 4x 2 + 120x + 800 Função quadrática ou função do 2º grau é toda função real do tipo y = f(x) = ax 2 + bx + c Sendo a, b e c constantes reais, com a ≠ 0

Função do 2°grau

  • Upload
    lsky

  • View
    141

  • Download
    6

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Função do 2°grau

FUNÇÃO do 2° Grau Uma quadra esportiva tem a forma retangular, com 40m de comprimento e 20m de

largura. O clube pretende ampliá-la. Para isso, vai construir em volta dela uma faixa

de largura constante.

Sua área é função de x.A = (40 + 2x) . (20 + 2x)

A = 800 + 80x + 40x + 4x2

A = f(x) = 4x2 + 120x + 800

Função quadrática ou função do 2º grau é toda função

real do tipo

y = f(x) = ax2 + bx + cSendo a, b e c constantes reais, com a ≠ 0

Page 2: Função do 2°grau

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau,

qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma

f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.

y=ax²+bx+c

Page 3: Função do 2°grau

Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1

f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Page 4: Função do 2°grau

PLANO CARTESIANO

Page 5: Função do 2°grau

O gráfico de uma função polinomial do 2º

grau, y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma

curva chamada parábola

Page 7: Função do 2°grau

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

Quando a > 0, a parábola

é côncava para cima. Quando a < 0, a parábola

é côncava para baixo.

Page 8: Função do 2°grau

Trajetória de um salto de ginástica

olímpica

Page 9: Função do 2°grau
Page 10: Função do 2°grau

Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x

x y

- 3 6

- 2 2

-1 0

- ½ - ¼

0 0

1 2

2 6

Page 11: Função do 2°grau

Ao construir o gráfico de uma função quadrática

y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:

•se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada

para cima;

•se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada

para baixo;

Page 12: Função do 2°grau

Identificação de coeficientes da função quadrática

2x2 - 3x + 5 = 0

a = 2

b =-3

c = 5

-x2 + 4x - 3 = 0

a =-1

b = 4

c = -3

4x + 8x2 - 4 = 0

a = 8

b = 4

c = -4

3x - 6x2 = 0

a = -6

b = 4

c = -4

Page 13: Função do 2°grau

TERMO INDEPENDENTE

c

y

x

y = ax2 + bx + c

Exemplo :

4

y

x

y = x2 - 2x + 4

Ponto que a reta toca no eixo y

Page 14: Função do 2°grau

Para construir um gráfico de uma função quadrática devemos ter :

Concavidade

Ponto c

Zeros

Vértice

y

x

Page 15: Função do 2°grau

Seja a função definida por y = - x²+ 2x - 2

vamos atribuir para x os valores -1, 0, 1, 2 e 3 calcular os valores de y.

x - x² + 2x - 2 y P (x,y)

-1

0

1

2

3

x - x² + 2x - 2 y P (x,y)

-1 - (-1)² +2.(-1) - 2 -5 (-1,-5)

0 - 0² + 2.0 - 2 -2 (0,-2)

1 - 1² + 2.1 - 2 -1 (1,-1)

2 - 2² + 2.2 - 2 -2 (2,-2)

3 - 3² + 2.3 - 2 -5 (3,-5)

Page 16: Função do 2°grau

Toda função quadrática quando a > 0 concavidade voltada para cima. Quando

a < 0 concavidade voltada para baixo. Exemplo:

a) Y= x² - x - 6 b) y= - 3x²

Page 17: Função do 2°grau

Concavidade da parábola

Quando a>0 (a positivo), a concavidade da parábola está voltada

para cima (carinha feliz) e quando a<0 (a negativo), a concavidade

da parábola está voltada para baixo (carinha triste).

Page 18: Função do 2°grau

Zeros ou Raízes

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do

2º grau f(x) = ax2 + bx + c ,a ≠ 0, os números reais x

tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as

soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as

quais são dadas pela chamada fórmula de Bháskara:

Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os

quais ela se anula.

Como determinar a raiz ou zero da Função do 2º grau?

Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau :

Page 19: Função do 2°grau

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática

depende do valor obtido para o radicando ∆=b²4.a.c, chamado

discriminante, a saber:

Quando ∆ é positivo, há duas raízes reais e distintas;

Quando ∆ é zero, há só uma raiz real;

quando ∆ é negativo, não há raiz real

Duas raízes diferentes Duas raízes iguais Nenhuma raiz real

Page 20: Função do 2°grau

Exercícios

1-Calcule os zeros das seguintes funções:

a)f (x) = x² – 3x – 10

b)f (x) = – x² – x + 12

2)Confira as raízes(ou zeros) no gráfico à construir:

A)

Page 21: Função do 2°grau

B)

Page 22: Função do 2°grau

Coordenadas do vértice da parábola

Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V

Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada

para baixo e um ponto de máximo V.

Page 23: Função do 2°grau

1-Encontre as coordenadas do vértice para cada função quadrática em

seguida confira no gráfico à construir:

a) y = x² - 4x + 3

b) y = -x² + 2x + 3

Exercícios

Page 24: Função do 2°grau
Page 25: Função do 2°grau

O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;

Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos

x;

O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);

A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria

da parábola;

Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em

que a parábola corta o eixo dos y.

Page 26: Função do 2°grau

a)

a=1 ,concavidade para cima

∆=0 , x’ = x” =1

V=(1,0)

b)

a=1 ,concavidade voltada para cima

∆=4 >0 ,x’=0 e x”=2

V=(2,-1)

c)

a=1 ,concavidade voltada para cima

∆=-12 <0 , não tem raiz real

V=(-1,3)

1. F(x) = x² – 2x +1

2. F(x) = x² - 2x

3. F(x) = x² + 2x + 4

Exercícios

Page 27: Função do 2°grau
Page 28: Função do 2°grau
Page 29: Função do 2°grau