Colégio Juvenal de CarvalhoMatemática- Profa: Jacqueline

OperaOperaçções com intervalosões com intervalos

11ºº) União de Intervalos: (a, b) ) União de Intervalos: (a, b) ∪∪ (c, d) = (a, d) (c, d) = (a, d)

a b

c d

a d

4 6 9 12

Exemplo: [4, 9] ∪ [6, 12] = [ 4, 12]

Por descrição: {x ∈ℜ 4 ≤ x ≤ 12}

22ºº) Intersec) Intersecçção de Intervalos: ão de Intervalos: (a, b) (a, b) ∩∩ (c, d) = (c, b) (c, d) = (c, b)

a b

c d

c b

4 6 9 12

Exemplo: [4, 9] ∩ [6, 12] = [ 6, 9 ]

Por notação: [ 6, 9 ]

33ºº) Diferen) Diferençça de Intervalos: a de Intervalos: (a, b) (a, b) −− (c, d) = (a, c) (c, d) = (a, c)

a b

c d

a c

4 6 9 12

Exemplo: [4, 9] − [6, 12] = [ 4, 6 ]

FunFunçções Polinomiais do ões Polinomiais do 11ºº GrauGrau

(Fun(Funçção Afim)ão Afim)

Colégio Juvenal de CarvalhoMatemática- Profa: Jacqueline

DefiniDefiniççãoão

Toda funToda funçção polinomial da forma ão polinomial da forma f(xf(x) = ax + b, ) = ax + b,

com com , , éé dita fundita funçção do 1ão do 1°° grau.grau.

Ex.: Ex.: f(x) = 3x f(x) = 3x –– 2; a = 3 e b = 2; a = 3 e b = -- 22f(x) = f(x) = -- x + x + ½½; a = ; a = --1 e b = 1 e b = ½½f(x) = f(x) = --2x; a = 2x; a = --2 e b = 02 e b = 0

0a ≠

Casos EspeciaisCasos Especiais

�� FunFunçção linearão linear b = 0, b = 0, f(x) = 3xf(x) = 3x�� FunFunçção Identidadeão Identidade b = 0 e a = 1, ou b = 0 e a = 1, ou seja, seja, f(x) = xf(x) = x

�� FunFunçção constanteão constante a = 0, a = 0, f(x) = 3f(x) = 3

ExercExercíícios resolvidoscios resolvidos11°°) ) Dada a funDada a funçção ão f(x) = ax + 2, f(x) = ax + 2, determine o determine o valor de a para que se tenha valor de a para que se tenha f(4)=20.f(4)=20.

(4 ) .4 2, (4 ) 20,

4 2 20

4 18

18

49

2

f a com o f então

a

a

a

a

= + =+ =

=

=

=

22°°) Dada a fun) Dada a funçção ão f(x) = ax + b, com a f(x) = ax + b, com a diferente de zero, sendo f(3) = 5 e diferente de zero, sendo f(3) = 5 e f(f(--2) = 2) = -- 5, calcule f(1/2).5, calcule f(1/2).

�� f(3)=5:f(3)=5: a.3 + b =5a.3 + b =5�� f(f(--2) = 2) = -- 5:5: a.(a.(--2) + b = 2) + b = --55

3 5

2 5

a b

a b

+ =− + = −

Existem dois mExistem dois méétodos para resolver esse todos para resolver esse sistema: ADIsistema: ADIÇÇÃO E SUBSTITUIÃO E SUBSTITUIÇÇÃOÃO

11°° ADIADIÇÇÃO: Multiplicar a primeira equaÃO: Multiplicar a primeira equaçção ão por (por (--1) e somar as equa1) e somar as equaççõesões

3 5

2 5

5 10

2

a b

a b

a

a

− − = −− + = −

− = −=

2 5

2 .2 5

5 4

1

a b

b

b

b

− + = −− + = −

= − += −

22°° SUBSTITUISUBSTITUIÇÇÃO: Escolhe uma equaÃO: Escolhe uma equaçção ão isolando uma letra e depois substitui essa isolando uma letra e depois substitui essa letra isolada na equaletra isolada na equaçção que sobrouão que sobrou

3 5

2 5

3 5 2 5

5 3 2 (5 3 ) 5

5 5 5

5 3.2 2

1

a b

a b

a b a b

b a a a

a

b a

b

+ =− + = −

+ = − + = −= − − + − = −

− = − −= − == −

Logo, a funLogo, a funçção ão éé f(x)= 2x f(x)= 2x –– 1.1.Assim, Assim, f(1/2)=2.(1/2) f(1/2)=2.(1/2) -- 1 = 1 1 = 1 –– 11f(1/2) = 0f(1/2) = 0

HHáá uma outra forma de resolver esse tipo uma outra forma de resolver esse tipo de exercde exercíício que se conhece os valores de cio que se conhece os valores de uma funuma funçção em dois pontos distintos.ão em dois pontos distintos.Basta usar a fBasta usar a fóórmula:rmula:

2 11 2

2 1

1 2 2 11 2

2 1

,

,

y ya x x

x x

y x y xb x x

x x

−= ≠−

−= ≠−

Voltando a questão, quem seria esses Voltando a questão, quem seria esses valores?valores?Temos que Temos que f(3) = 5 e f(f(3) = 5 e f(--2) = 2) = -- 55Então,Então,

1 1

2 2

3, 5

2, 5

x y

x y

= == − = −

Logo,

5 5 102

2 3 55.( 2) ( 5).3 10 15 5

12 3 5 5

a

b

− − −= = =− − −

− − − − += = = =−− − − −

GrGrááficosficos

Toda grToda grááfico de uma funfico de uma funçção do 1ão do 1°° grau grau ééuma uma retareta..Estudaremos como essa reta vai se Estudaremos como essa reta vai se comportar atravcomportar atravéés de cada funs de cada funçção.ão.

Como fazer um grComo fazer um grááficofico

11°° mméétodo:todo:Para achar o grPara achar o grááfico de qualquer funfico de qualquer funçção, ão, basta achar dois pontos qualquer dela e basta achar dois pontos qualquer dela e passar uma reta entre essas retas.passar uma reta entre essas retas.

Exemplo:Exemplo:f(x) = x f(x) = x –– 22

XX YY11 --11

33 11

22°° mméétodo:todo:�� 11°° passo: iguale a funpasso: iguale a funçção a zero. O valor de ão a zero. O valor de x que você achar x que você achar éé que passarque passaráá no eixo do no eixo do x.x.

�� 22°° passo: o valor de b passo: o valor de b éé o ponto que toca o ponto que toca no eixo do y.no eixo do y.

x x –– 2 = 02 = 0x = 2x = 2

b = b = -- 22

GrGrááfico de uma funfico de uma funçção definida por ão definida por mais de uma sentenmais de uma sentenççaa1, 1

( )2, 1

x sexf x

sex

+ ≥= <

XX YY

11 2222 33

( ) 1, 1f x x sex= + ≥

Crescimento de decrescimento de Crescimento de decrescimento de uma funuma funççãoão

Uma funUma funçção serão seráá crescentecrescente quando quando a>0a>0Uma funUma funçção serão seráá decrescentedecrescente quando quando a<0a<0

f(x) = 2x+1f(x) = 2x+1 a = 2a = 2FunFunçção ão crescentecrescente

f(x) = f(x) = --3x+23x+2 a = a = --33FunFunçção decrescente ão decrescente

EXERCEXERCÍÍCIOS CIOS �� Igualdade entre pares ordenados:Igualdade entre pares ordenados:Dois pares ordenados são iguais quando Dois pares ordenados são iguais quando

seus elementos forem iguais.seus elementos forem iguais.NotaNotaçção: (x, y) = ( a, b) ão: (x, y) = ( a, b) ⇒⇒ x = a e y = bx = a e y = bSegundo essa afirmaSegundo essa afirmaçção, calcule as varião, calcule as variááveis veis

nas igualdades entre os pares dados:nas igualdades entre os pares dados:a)a) ( 2a + b, 5a ( 2a + b, 5a –– 3b) = (3, 2) 3b) = (3, 2) b)b) (a + 2b, 17) = (6, a + b) (a + 2b, 17) = (6, a + b) c)c) (a(a22 + a, 4b+ a, 4b2 2 –– 1 ) = ( 2, 7)1 ) = ( 2, 7)

�� OperaOperaçções com intervalos:ões com intervalos:

A = [A = [--6, 0] , B = [6, 0] , B = [--2, 4] e C = [2, 4] e C = [--3, 2] 3, 2] Calcule e represente por descriCalcule e represente por descriçção , notaão , notaçção ão

e na reta real.e na reta real.a)A a)A ∪∪ B = b) A B = b) A ∩∩ C = c) B C = c) B −− C =C =d) d) C C −− A = A =