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UNIVERSIDADE PAULISTA
MARCO JÚLIO CICERO DE ARAUJO1
FUNÇÕES E CONTINUIDADE:
CONCEITOS E APLICAÇÕES PRÁTICAS
SÃO PAULO
2013
1 Aluno do terceiro semestre do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Paulista
2
1. INTRODUÇÃO
Este trabalho está inserido no contexto de Atividades Práticas Supervisionadas (APS),
proposto pelo currículo do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Paulista –
UNIP.
O objetivo principal da APS é possibilitar uma vivência prática das teorias aprendidas
no decorrer do curso, integrando as disciplinas de cada semestre.
Para isso, este trabalho foi dividido da seguinte maneira. No capítulo 1 contém a
apresentação do trabalho, identificando quais são os principais objetivos. Além disso, o
conceito de função é retomado, mostrando qual foi a evolução histórica do conceito de função,
desde a Idade Média até os tempos atuais, considerando os principais avanços e as principais
definições adotadas pelos povos antigos e pelos estudiosos atuais da matemática. Será
apresentado o conceito de função, com ênfase para as funções de primeiro, segundo e grau n,
e, por fim, exemplos de aplicações práticas para cada uma delas.
O capítulo 2 pretende discutir o que foi aprendido ao longo da realização do trabalho, a
partir da bibliografia estudada ao longo do semestre.
O último capítulo formaliza uma proposta simples de trabalho, para o futuro professor
de matemática, a partir do tema escolhido.
1.1. Evolução Histórica do Conceito de Função
Atualmente, não existe um consenso geral sobre o desenvolvimento do conceito de
função ao longo do tempo. De acorco com (Zuffi, 2001, p. 11) apud (Chaves & Carvalho, 2004):
“não parece existir consenso entre os autores, a respeito da origem do
conceito de função [talvez pelo seu próprio aspecto intuitivo]. Alguns deles
consideram que os Babilônios (2000 a.C.) já possuíam um instinto de
funcionalidade [grifos do autor] (...) em seus cálculos com tabelas
sexagesimais de quadrados e de raízes quadradas (...) que eram destinadas a
um fim prático. As tabelas, entre os gregos, que faziam a conexão entre a
Matemática e a Astronomia, mostravam evidência de que estes percebiam a
idéia de dependência funcional, pelo emprego de interpolação linear”.
3
Contudo, diversos autores fizeram uma retrospectiva acerca da evolução dos estudos
sobre funções, com o objetivo de organizar as descobertas mais importantes e organizá-las de
maneira a facilitar o estudo da História de Matemática.
De acordo com (Youshkevitch, 1976) apud (Bueno & Viali, 2009), é possível dividir o
desenvolvimento da noção de função em três momentos históricos: (i) Antiguidade: (ii) Idade
Média e; (iii) Modernidade.
O período da Antiguidade foi caracterizado por diferentes estudos de casos de
dependência entre duas quantidades. Contudo, não foi criada uma noção geral da ideia de
variável ou de função.
Já no período da Idade Média, as funções foram definidas sob uma ótica geométrica e
mecânica. Entretanto, como no período anterior, a noção de dependência entre duas variáveis
foi definida de maneira verbal ou através de um gráfico, ao invés de uma expressão algébrica
(como conhecemos atualmente).
Por fim, na Idade Moderna, principalmente a partir do século XVII, houve a preferência
pelas expressões analíticas para demonstrar as funções, tornando-se a principal classe utilizada
para definir funções.2
A seguir, é mostrada quais foram as principais contribuições para o estudo das funções
em cada um destes três períodos.
1.1.1. A Antiguidade
Mesmo sem o desenvolvimento de uma noção geral da ideia de variável ou função, o
período da Antiguidade foi marcado pelo estudo de casos práticos, em especial no campo de
astronomia, que utilizaram métodos quantitativos e construção de tabelas, onde a noção e
função era entendida como a relação entre conjuntos discretos e constantes dadas.
Neste contexto, de acordo com (Sá, et al., 2003), mostra que os babilônios construíram
tabelas em argila onde os valores de duas diferentes colunas possuíam uma relação constante
(para cada valor na primeira coluna existia um número na segunda coluna, resultado da
multiplicação do número da primeira por uma constante arbitrária).
Segundo (Eves, 2004) apud (Bueno & Viali, 2009), a matemática babiolônica já havia
evoluído para uma álgebra bem desenvolvida. As tábulas sexagenais eram utilizadas no cálculo
2 A Classe das funções analíticas geralmente são expressas por meio de soma de séries infinitas.
4
de valores de quadrados e cubos dos números de 1 a 30 (e, também, valores de n2 e n3, ainda
dentro deste intervalo). O objetivo foi estudar o movimento dos planetas.3
Os egípcios também construíam tabelas, em especial em papiros, que resumiam os
resultados obtidos de investigações empíricas e, muitas vezes, generalizações.
No período da Antiguidade vale destacar a escola grega no estudo das funções. Apesar
de não ter havido o desenvolvimento de um simbolismo sofisticado, os gregos foram capazes
de contribuir na medida em que houve um aumento do número de dependências funcionais
utilizadas e dos métodos para estudá-las. (Bueno & Viali, 2009)
Dentre os matemáticos gregos, pode-se citar contribuição de Ptolomeu. De acordo com
(Mendes, 1994, p.12; AABOE, 1984, p.20) apud (Sá, et al., 2003),
“... este matemático ele trabalhou na área da astronomia, e que, desenvolveu
ferramentas matemáticas, entre elas a trigonometria. Ele utilizou tabelas
envolvendo a função da corda do arco x, ou crd x, mas sem fazer referência
a palavra função. E ainda entre as ideias funcionais gregas temos os
symptons, que eram a condição necessária para que um ponto pertencesse a
uma curva. Apolônio e Arquimedes chegaram a utilizar os symptons”.
Contudo, ao mesmo tempo em que ideias de variação quantitativa ou de mudança eram
constantes no pensamento grego, os problemas envolvendo movimento, continuidade e infinito
não foram estudados com destaque. Com isso, a ideia de velocidade, como razão entre o espaço
e tempo, e, por conseguinte, o conceito de velocidade instantânea foram considerados. Isso fez
com que não fosse desenvolvido, um pensamento um pouco mais complexo e abstrato com
relação à noção de variabilidade. (Bueno & Viali, 2009)
Assim, pode-se afirmar que no período da Antiguidade, não foi estabelecida a ideia geral
do conceito de função.
1.1.2. Idade Média
A Idade Média foi bastante importante para o desenvolvimento das ciências exatas, onde
conceitos como, por exemplo, velocidade instantânea e aceleração, foram capazes de contribuir
para a área da cinemática e do pensamento matemático. Também, este período foi caracterizado
3 De acordo com (Eves, 2004) apud (Bueno & Viali, 2009), “as funções matemáticas empiricamente tabuladas
acabaram-se tornando, posteriormente, o suporto para a sequência do desenvolvimento de toda a astronomia”.
5
pela observação de fenômenos naturais, onde foi descoberto que existiam regularidades que
podiam ser descritas através de leis quantitativas.
Aproximadamente na metade do século XIV, de acordo com (Bueno & Viali, 2009, p.
39):
“O estudo da intensidade das formas e seu aspecto mais importante, a
cinemática, eram abordados na Inglaterra em um contexto aritmético,
enquanto que, na França, Nicole Oresme (1323–1382) desenvolveu esse
estudo através de uma abordagem geométrica, introduzindo o conceito de
latitude das formas em meados do séc. XIV. As formas ou qualidades são
fenômenos como a luz, a distância, a velocidade, que possuem vários níveis
de intensidade e que mudam continuamente, dentro de limites dados”.
Uma das implicações práticas da teoria da latitude foi o desenvolvimento das funções
do tempo, e, em especial, a determinação da velocidade média de um movimento
uniformemente acelerado.4
Entretanto, no período da Idade Média, uma relação de dependência entre duas
quantidades foi definido através de uma descrição verbal (ou gráfica), não tendo sido
desenvolvido o conceito de expressões algébricas. Neste sentido, de acordo com (Ponte, 1992)
apud (Bueno & Viali, 2009), “apesar da grande evolução em termos de generalização e
abstração e de alguns resultados particulares alcançados, o estudo das funções em matemática
como um conceito e objeto individualizado ainda não havia sido alcançado”.
1.1.3. Idade Moderna
O conceito de função que conhecemos hoje foi possível, em grande parte, pelo
desenvolvimento da álgebra simbólica e também pela extensão do conceito de número, na
medida em que foi introduzida a noção de números imaginários e o conjunto dos números
complexos. Isso fez com que fosse possível conceituar função como uma relação entre
conjuntos numéricos e também expressar funções através de fórmulas. (Bueno & Viali, 2009)
4 O Movimento uniformemente variado é o movimento no qual a velocidade escalar varia uniformemente no
decorrer do tempo. O movimento caracteriza-se por haver uma aceleração diferente de zero e constante. Fonte:
Wikipedia.
6
Com a formalização do simbolismo de François Viète, a partir da segunda metade do
século XVI, após a contextualização de funções através de equações escritas, houve
significativo avanço no estudo da matemática, em especial no desenvolvimento das funções.
Um dos principais percussores do desenvolvimento do conceito de função foi René
Descartes. De acordo com (Bueno & Viali, 2009, p. 46):
“Com os registros de representação tabular, gráfico e algébrico bem
desenvolvidos, há, então, a partir das ideias de Descartes de aplicação da
álgebra à geometria, o componente que levou o conceito de função a se
desenvolver mais rapidamente e a alcançar o cerne de toda a Matemática
atual. A partir das ideias e inovações de Descartes, foi possível desenvolver-
se, então, o estudo do cálculo diferencial e integral, da análise matemática e
de outros campos fundamentais para o desenvolvimento da ciência moderna”.
Outros dois estudiosos que contribuíram de forma bastante significativa foram Isaac
Newton e Gottfried Leibniz. Newton apresentou uma intepretação cinemática e geométrica de
de análise matemática, descrevendo conceitos de tempo e movimento, sendo capaz de
interpretar as variáveis dependentes como uma quantidade “continuamente fluente que possui
uma velocidade de variação”.
Já Leibniz foi capaz de desenvolver noções básicas de diferenciação e integração, sendo
um dos percussores do Cálculo Diferencial e Integral.5 Leibniz definiu os termos constante,
variável, coordenadas e parâmetros, além de dividir as funções e curvas em duas classes
diferentes: algébricas e transcendentais. (Bueno & Viali, 2009, p. 46)
Outro estudioso que merece destaque é Johann Bernoulli, um dos primeiros
matemáticos a utilizar o Cálculo na resolução de problemas. Em 1718, Bernoulli publicou um
artigo que continha a definição de função como “uma quantidade composta, de alguma forma,
por uma variável e constantes”. Foi Bernoulli o primeiro a fornecer uma definição explícita de
uma função como uma expressão analítica.
Leonhard Euler (1707-1783), foi possivelmente, um dos maiores matemáticos da
história. Segundo (Bueno & Viali, 2009, p. 42):
5 É um ramo importante da matemática, desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria, que se dedica ao
estudo de taxas de variação de grandezas e a acumulação de quantidades. Fonte: Wikipedia
7
“Euler também foi o responsável pelos avanços seguintes mais significativos
no desenvolvimento do conceito de função, detalhando o seu estudo de acordo
com o padrão da análise matemática da época. Definiu uma constante como
uma quantidade definitiva que assume sempre um e o mesmo valor, uma
variável como um valor indeterminado ou universal que compreende todos os
valores determinados e uma função de uma variável como uma expressão
analítica composta por uma quantidade variável e números ou quantidades
constantes”.
A definição dada por Euler foi capaz de influenciar todo o desenvolvimento da
matemática a partir de então, contribuindo para o desenvolvimento do estudo do tema. Depois
de Euler, podemos citar D’Alembert, Lagrange, Laplace, Cauchy, Fourier e Dirichlet. Além
destes, diversos outros estudiosos contribuíram para o avanço do desenvolvimento do estudo
das funções ao longo dos últimos cinco séculos. A tabela abaixo, extraída do trabalho de (Sá,
et al., 2003), resume as principais contribuições históricas dos matemáticos no período da Idade
Moderna.
Autor Ano Contribuição
René Descartes
(1596-1650)
-- Definiu função como qualquer potência de x, como x2, x3, etc.
Isaac Newton
(1643-1727)
-- Introduziu o termo “variável independente”.
James Gregory 1667 Na obra “Vera Cicculi et Hyperbolae Quadratura”, conceituou
função sem utilizar a palavra propriamente dita: “Nós chamamos
uma quantidade x composta de outras quantidades a, b,.... se x
resulta de a, b,.... pelas quatro operações elementares, por
extração de raízes ou por qualquer outra operação imaginável.”
Gottfried Wilhelm
von Leibniz
(1646-1716)
1694 Utilizou a palavra “função” para designar quantidades geométricas
que dependiam de um ponto em uma curva. E na obra História usou
a palavra “função” para representar quantidades que dependem de
uma variável.
Jakob Bernoulli
(1654-1705)
1694 Definiu a palavra função como: “quantidades geométricas que
dependiam de um ponto em uma curva’.
Johann Bernoulli
(1655-1705)
-- Definiu função como: “função de uma magnitude variável à
quantidade composta de alguma forma por esta magnitude variável
e por constantes”.
Leonhard Euler
(1707-1783)
-- Introduziu o símbolo f(x)
D’Alembert
(1717-1783)
-- Definiu a equação da onda: 𝜕2𝑦
𝜕𝑡2= 𝑎
𝜕2𝑦
𝜕𝑥2
Daniel Bernoulli
(1700-1782)
1753 Tentativa de resposta para o problema da corda vibrante:
𝑦(𝑥, 𝑡) = ∑𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑥
𝑙
∞
𝑛=1
𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑎𝑡
𝑙
Joseph-Louis
Lagrange
1797 Na obra de Théorie des Functions Analytiques, definiu: “chama-se
função de uma ou de várias quantidades a toda expressão de
8
(1736-1813) cálculo na qual essas quantidades entrem de alguma maneira,
combinadas ou não com outras quantidades cujos valores são
dados e invariáveis, enquanto que as quantidades da função podem
receber todos os valores possíveis. Assim, nas funções são
consideradas apenas as quantidades assumidas como variáveis e
não as constantes que aparecem combinadas a elas”.
Joseph-Louis
Lagrange
(1736-1813)
1806 Lecons sur le calcul des functions: “funções representavam
diferentes operações que deviam ser realizadas em quantidades
conhecidas para obterem-se valores de quantidades
desconhecidas, e estas quantidades desconhecidas eram,
propriamente, o último resultado do cálculo”.
Jean Baptiste Joseph
Fourier
(1768-1830)
1822 Afirmou em La Théorie Analytique de la Chaleur: “qualquer
função poderia ser expressa por uma série trigonométrica da
seguinte forma:
𝑓(𝑥) =𝑎02= ∑ [𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝑙+ 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝑙]
∞
𝑛=1
Benhard Bolzano
(1781-1848)
1817 Publicou Functionlehre, onde conceituou continuidade muito
próximo do conceito atual. Demostrou o teorema do valor médio.
Augustin Louis
Cauchy
(1789-1857)
1821 Em Cours d’analyse definiu função: “quando quantidades
variáveis estão ligadas entre si de tal forma que, o valor de uma
delas sendo dado, pode-se determinar o valor das demais, diz-se
usualmente que estas quantidades são expressas por meio de uma
delas, que toma o nome de variável independente; e as outras
quantidades expressas por meio da variável independente são o
que chamamos de funções dessa variável”. Definiu continuidade
através de infinitésimos.
Peter Gustav Lejune
Dirichlet
(1805-1859)
-- Demonstrou que nem todas as funções podem ser escritas pela série
de Fourier.
Peter Gustav Lejune
Dirichlet
(1805-1859)
1837 Definiu função como: “se uma variável y está relacionada com
uma variável x de tal modo que, sempre que é dado um valor
numérico a x, existe uma regra segundo a qual um valor único de
y fica determinado, então diz-se que y é função da variável
independente x”.
Nikilái Lobatchevsky
(1792-1856)
-- Definiu função: “a concepção geral exige que uma função de x seja
chamada de número que é dado para cada x que muda
gradualmente com x, o valor da função pode ser dado ou por uma
expressão analítica, ou por uma condição que favoreça um meio
para testar todos os números e selecionar um deles; ou finalmente,
a dependência pode existir mas permanecer desconhecida”.
Bernhard Riemann
(1826-1866)
-- Esclareceu os critérios de integrabilidade, e deu origem ao conceito
de “Integral de Riemann”.
Phillip Cantor
(1845-1918)
-- Desenvolveu a teoria dos conjuntos.
Karl Weisrstrass
(1858-1932)
-- Definiu função como uma série de potência juntamente com todas
as que podem ser obtidas dela por prolongamento analítico.
Giuseppe Peano
(1858-1932)
-- Definiu três conceitos primitivos que o zero, o conceito de número
(inteiro não-negativo) e a relação de ser sucessor de, os quais, junto
com seus cinco postulados, forneceram uma construção rigorosa do
conjunto dos números naturais.
9
Nicolas Bourbaki 1968 Em Théorie des Ensembles conceituou função de duas maneiras:
“Sejam E e F dois conjuntos, distintos ou não. Uma relação entre
uma variável x de E e uma variável y de F é dita uma relação
funcional em y, ou relação funcional de E em F, se qualquer que
seja x E, existe um e somente um elemento y a F que esteja
associados a x na relação considerada. Dá-se o nome de função à
operação que desta forma associa a todo o elemento x a E o
elemento y a F que se encontra ligado a x na relação dada; diz-se
que y é o valor da função para o elemento x, e que a função está
determinada pela relação funcional considerada. Duas relações
funcionais equivalentes determinam a mesma função”. E;
“Um certo subconjunto do produto cartesiano AxB”.
Tabela 1: Quadro Sintótico do Conceito de Função
Fonte: Adaptado de (Sá, et al., 2003)
1.2. Definição de Função
Dentre as inúmeras definições de funções estabelecidas até hoje, este trabalho utilizará
a seguinte definição:
Definição 1. Sejam A, B 𝐴, 𝐵 ⊂ ℝ. Uma função f definida em A e com valores em B é uma
regra que associa a cada elemento de 𝑥 ∈ 𝐴 um único elemento 𝑦 ∈ 𝐵.
As notações usuais são: 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 𝑓(𝑥) ou
𝑓: 𝐴 → 𝐵 ou
𝑥 → 𝑓(𝑥)
O número x é chamado de variável independente da função e y variável dependente da
função.
1.2.1. Função do Primeiro Grau
Uma função do primeiro grau pode ser definida como:
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
10
Onde 𝑚, 𝑏 ∈ ℝ. Note que 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ. O gráfico de f é a reta de
coeficiente linear m passando pelo ponto (0, b). O gráfico abaixo mostra a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
2𝑥 + 2. Neste caso b = 2 e o coeficiente linear (m) vale 2. A raiz da equação é dada pelo ponto
onde f(x) assume o valor zero. Na figura abaixo, a raiz é dada pelo ponto (-1, 0).
Figura 1: Gráfico da Função de Primeiro Grau: f(x) = y = 2x + 2
Fonte: autoria do Grupo
As funções do primeiro grau podem ser classificas em funções crescentes ou
decrescentes. O que define esta classificação é o valor do coeficiente linear (m). Quando 𝑚 >
0, a função é crescente. Entretanto, quando 𝑚 < 0, a função é dita decrescente. A figura abaixo
ilustra estes dois tipos de função.6
6 Vale lembrar que o coeficiente linear (m), pode assumir o valor zero. Neste caso, a função é dita constante.
x
y
F(x) = y = 2x + 2
(-1, 0)
11
Figura 2: Função Crescente e Função Decrescente
Fonte: autoria do Grupo
1.2.2. Função do Segundo Grau
Uma função do segundo grau pode ser definida como:
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Onde 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 ∈ ℝ; 𝑎 ≠ 0. O 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ. Contudo, a 𝐼𝑚(𝑓) depende do
discriminante ∆ da equação f(x) e do coeficiente a.
O gráfico de uma função de segundo grau é uma parábola, de vértice 𝑣 = (−𝑏
2𝑎, −
∆
4𝑎).
A concavidade da parábola depende do valor do coeficiente a. Quando a > 0, a
concavidade é voltada para cima e a função f(x) possui ponto de mínimo igual ao vértice. Já
quando a < 0, a concavidade é voltada para baixo e a função f(x) possui ponto de máximo igual
ao vértice. A figura abaixo mostra estes dois casos.
x
y
x
y
FUNÇÃO CRESCENTE (m > 0)
y = x + 2
FUNÇÃO DECRESCENTE (m < 0)
y = – x + 2
m > 0 m < 0
12
Figura 3: Função do Segundo Grau: Concavidade da Parábola
Fonte: autoria do Grupo
Em relação às raízes da equação do segundo grau, o que define o valor das raízes é o
descriminante (∆). É possível termos três situações distintas: (i) quando ∆> 0, (ii) ∆= 0 e; (iii)
∆< 0.
1º Caso: ∆> 𝟎 → Quando ∆> 0, a função apresenta duas raízes reais e distintas.
2º Caso: ∆= 𝟎 → Quando ∆= 0, a função apresenta duas raízes reais e iguais.
3º Caso: ∆< 𝟎 → Quando ∆< 0, a função não apresenta raízes reais.
O gráfico abaixo ilustra estas situações.
x
y
x
y
CONCAVIDADE PARA CIMA (a > 0)
y = x2 – 2x – 3
CONCAVIDADE PARA BAIXO (a < 0)
y = – x2 – 2x + 3
13
Figura 4: Estudo das Raízes da Equação do Segundo Grau: a > 0
Fonte: autoria do Grupo
Figura 5: Estudo das Raízes da Equação do Segundo Grau: a < 0
Fonte: autoria do Grupo
1.2.3. Função Polinomial de Grau n
A função polinomial de grau n é definida por:
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎0
Onde 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, 𝑎0 ∈ ℝ; 𝑎𝑛 ≠ 0;𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ, mas a 𝐼𝑚(𝑓) e o gráfico de f dependem
essencialmente do grau do polinômio e de 𝑎𝑛. A figura abaixo ilustra exemplos de equações
polinomiais de grau n.
x
y
x
y
x
y
Duas raízes reais distintas Duas raízes reais iguais Não existem raízes reais
Duas raízes reais distintas Duas raízes reais iguais Não existem raízes reais
x
y
x
y
x
y
14
Figura 6: Funções Polinomiais de Grau n
Fonte: autoria do Grupo
1.3. Definição de Continuidade
Dados uma função f : X R, X R e a X, dizemos que f é contínua no ponto a se
para todo > 0 , existe > 0 tal que:7
𝑥 ∈ 𝑋, |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)|휀
Se a função for contínua em todos os pontos do domínio X, dizemos que f : X R é
contínua.
De maneira mais simplificada e intuitiva, dizemos que a função f(x) é contínua se, ao
desenharmos o gráfico da função, não tiramos o lápis do papel. O gráfico abaixo ilustra estas
situações.
7 Definição extraída de (Oliveira, 2013)
x
y
x
y
15
Figura 7: Função Contínua e Função Não Contínua
Fonte: autoria do Grupo
De acordo com a figura acima, o Caso 1 mostra uma função contínua, isto é, para todo
domínio de f(x), existe uma imagem correspondente. Já no Caso 2, no ponto x = 4, a função
não é contínua, isto é, não está definido um valor f(x) para x = 4.8
1.4. Aplicações Práticas de Funções
O dia a dia está repleto de exemplos aplicação de funções polinomiais de primeiro,
segundo e grau n. Diversos ramos da ciência utilizam funções na busca de respostas aos
problemas práticos. A seguir, serão mostrados diversos usos destas funções.9
8 No Caso 2, temos a função f(x) definida por: 𝑓(𝑥) = {ℎ(𝑥) = 2, 𝑠𝑒 𝑥 < 4
𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 4
9 Os exemplos a seguir foram extraídos de (UERJ, 2013).
x
y
CASO 1
FUNÇÃO CONTÍNUA
CASO 2
FUNÇÃO NÃO CONTÍNUA
- 5x + 6
- 5x + 6
x
y
16
1.4.1. Função do Primeiro Grau: Aplicação Prática
Exemplo:
Sabemos que a pressão da água do mar é função da profundidade. Denotemos por P a pressão
e H a profundidade relativa ao nível do mar. Experimentalmente verifica-se que a pressão da
água ao nível do mar é de 1 atm, (atm = atmosfera) e que acréscimos iguais na profundidade
correspondem a acréscimos iguais na pressão. Logo, ao passar de um ponto do mar para outro
situado a 1m (m =metro) de profundidade, haverá um aumento da pressão de aproximadamente
1 atm. Passando do nível do mar a uma profundidade de H m, a pressão aumentará H × 0,1. A
pressão da água, em atmosferas, é dada pela função polinomial do primeiro grau:
𝑃 = 𝑓(𝐻) = 0,1𝐻 + 1
Figura 8: Gráfico da Função P = f(H)
Fonte: autoria do Grupo
Observando a função acima, é possível determinar tanto a pressão da água, dada
determinada profundidade e/ou, qual a profundidade, quando conhecemos a pressão exercida
pela água. Por exemplo:
x
y
17
(a) Qual a pressão da água quando a profundidade é de 100m?
Resolução:
𝑃 = 𝑓(𝐻) = 0,1𝐻 + 1
𝑃 = 𝑓(100) = 0,1 × 100 + 1
∴ 𝑓(100) = 11
Portanto, pode-se afirmar que quando a profundidade é de 100 metros, a pressão da água
é de 11 atm.
(b) Qual a profundidade quando a pressão da água é de 50 atm?
Resolução:
𝑃 = 𝑓(𝐻) = 0,1𝐻 + 1 50 = 0,1 × 𝐻 + 1 ∴ 𝐻 = 590
Portanto, pode-se afirmar que quando a pressão da água é de 50 atm, a profundidade é
de 490 metros.
1.4.2. Função do Segundo Grau: Aplicação Prática
Exemplo:
A trajetória de um corpo lançado obliquamente, desprezando a resistência do ar, é dada por uma
função polinomial do segundo grau. A partir de seu deslocamento horizontal (ao longo do eixo
dos x), obtemos sua altura y. Por exemplo, um objeto é lançado no ar. Se sua altura, em metros,
t segundos após o lançamento é dada por 𝑦 = 𝑓(𝑡) = 20𝑡 − 10𝑡2, qual é a altura máxima
atingida pelo objeto e em que instante ele a atinge?
18
Figura 9: Gráfico da Função y = f(t)
Fonte: autoria do Grupo
Resolução:
Para determinar o ponto máximo que o objeto atinge, basta determinar qual o vértice da
parábola da figura acima. Como dito na seção 1.2.2 deste trabalho, a fórmula que determina o
vértice é: 𝑣 = (−𝑏
2𝑎, −
∆
4𝑎).
Dessa maneira, temos que:
𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (𝑥𝑣, 𝑦𝑣) =
{
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎= −
20
2 × (−10)= 1
𝑦𝑣 = −∆
4𝑎= −
√𝑏24𝑎𝑐
4 × (−10)=400
40= 10
∴ 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 (𝑥𝑣, 𝑦𝑣) = (1,10)
Portanto, o objeto atingirá o ponto máximo (10 metros), 1 segundo após o lançamento.
x
y
19
1.4.3. Função Polinomial do Grau n: Aplicação Prática
Suponha que foram introduzidos numa ilha, 144 indivíduos de uma certa espécie de
macacos. Inicialmente, a quantidade de indivíduos tende a crescer; após um certo tempo, o
alimento e a população de macacos decresce. Se o número de macacos no tempo t, em anos, é
dado pela expressão P(t) abaixo, em quanto tempo a população se extingue?
𝑃(𝑡) = −𝑡4 + 32𝑡2 + 144
Resolução:
Para saber quando a população se extingue, basta achar as raízes da equação P(t). Para isso,
basta igualar P(t) = 0.
𝑃(𝑡) = 0 = −𝑡4 + 32𝑡2 + 144
−𝑡4 + 32𝑡2 + 144 = −(𝑡 − 6)(𝑡 + 6)(𝑡2 + 4)𝑅𝑎í𝑧𝑒𝑠: 6, −6
Portanto, a população será extinta no ano 6 (vale lembrar que 𝑡 ≥ 0. O gráfico abaixo
ilustra este exemplo.
Figura 10: Gráfico da Função P = f(t)
Fonte: autoria do Grupo
x
y
20
2. ANÁLISE
Devido às regras da APS, que restringe o número de páginas deste trabalho, optou-se
por demonstrar o histórico do desenvolvimento do conceito de função e também focar a teoria
na determinação do grau das funções. Dessa maneira, foram exemplificadas funções de
diferentes graus.
Em nenhum momento, este trabalho pretendeu esgotar o tema funções. Entretanto,
procurou-se organizar a teoria de forma a proporcionar ao leitor o entendimento histórico das
funções ao longos dos séculos (desde a Idade Média até os tempos atuais) e também resumir os
principais conceitos e definições de funções praticados atualmente nas escolas.
Levando isso em consideração, para cada tipo de função apresentada (primeiro grau,
segundo grau e grau n), foram mostradas aplicações práticas destas funções no dia a dia.
Assim, para as funções do primeiro grau, foi proposta uma aplicação prática onde se
relacionava a profundidade do mar com a pressão exercida pela água. A relação entre
profundidade e pressão é dada por uma expressão linear, onde a pressão aumenta de forma
diretamente proporcional à medida em que a profundidade também aumenta. Pelo exemplo, era
possível calcular o valor da pressão dada a profundidade de água. Também era possível calcular
a profundidade da água em função da pressão exercida. De acordo com a expressão apresentada,
foi possível construir um gráfico que mostrava como a pressão aumentava de acordo com o
aumento da profundidade.
É interessante notar que, no nível do mar, a pressão exercida pela atmosfera já é de 1
atm. Assim, para cada 10 metros de profundidade da água, a pressão aumentava linearmente
em uma unidade. A partir deste exemplo dado, o professor também pode explorar um pouco
alguns conceitos de física básica, tais como: pressão, empuxo e força. Todas essas grandezas
possuem uma relação linear em relação à profundidade da água.
Inúmeros exemplos de funções de primeiro grau podem ser explorados pelos
professores, tais como: modelo de precificação da passagem de táxi (que aumenta linearmente
em função da quantidade de quilômetros rodados pelo taxi); preço da conta de luz ao
consumidor no Brasil, onde o preço é também diretamente proporcional ao consumo de energia
elétrica do cliente, medido em KWh.
Para ilustra a aplicação de função de segundo grau no dia a dia, foi escolhida uma função
que relaciona a trajetória de um corpo lançado por um objeto lançado em função do tempo. De
acordo com a função apresentada, era possível estimar a altura máxima atingida pelo objeto e
em quanto tempo após o lançamento ele estaria no ponto máximo. Da mesma maneira, dado
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um tempo t, podia-se calcular qual a altura do objeto naquele momento. Este tipo de exercício
é uma aplicação direta da física mecânica. Assim, como no exemplo anterior, o professor pode
explorar conceitos básicos de física tais como: resistência do ar, força, distância.
Exercícios como estes são bastante comuns em livros didáticos e provas de cursos e
vestibulares. Com isso, o professor pode ir além e incluir novos exemplos de aplicações do
segundo grau para o aluno. Por exemplo, fios de alta tensão que passam pelas torres de
transmissão são dispostos de maneira a considerar a dilatação e contração devido ao calor e
frio, respectivamente. Com isso, caso o fio seja deixado muito esticado, quando houver uma
brusca diminuição da temperatura, haverá uma grande significativa contração, podendo causar
uma acidente no momento em que este fio diminuir de tamanho. Da mesma maneira, quando
houver uma alta temperatura ambiente, este fio irá se dilatar, podendo alcançar acidentes,
mesmo não sendo tão comum quanto o caso anterior. Também, em época de Copa do Mundo,
pode ser bastante interessante ao aluno saber qual a distância máxima atingida por uma bola
chutada por um goleiro com uma determinada força.
Já em relação à funções de grau n, foi escolhido um exemplo que possui relação com a
biologia uma vez que o exercício fazia relação com os habitantes (macacos) de uma ilha e o
tempo total de extinção da população. A função era de grau 4 e foi possível observar a tendência
de crescimento através do gráfico. Neste caso, a população seria extinta em 6 anos, a partir do
momento inicial.
Este exemplo poderia ser ampliado para a matéria de biologia, por exemplo, estimando
a contagem de uma população de bactérias em determinado tempo ao longo de um estudo.
A escolha destes exemplos foi precedida de uma análise histórica das provas do ENEM
– Exame Nacional do Ensino Médio, que nos últimos anos está procurando relacionar conceitos
aprendidos em sala de aula com a vida cotidiana da população. Isso é muito positivo para o
aluno, que é capaz de perceber como a teoria que aprende dentro da sala de aula é aplicada na
prática em seu dia a dia.
Neste sentido, foi possível observar que os trabalhos acadêmicos, principalmente de
Mestrado e Doutorado estão procurando relacionar sempre teoria e prática, mostrando
diferentes abordagens para o ensino do aluno, em especial do ensino médio.
Essa mudança de paradigma também pode ser observada nos livros didáticos. Aos
poucos, as páginas que antes eram exclusivamente de teoria já procuram adicionar exemplos
práticos sobre os conceitos dados em sala de aula. Para as ciências da Natureza, por exemplos,
inúmeras experiências são propostas para o aluno realizar individualmente ou em grupo,
visando aumentar o interesse pelo assunto ministrado pelo professor.
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Se o professor dispuser de um laboratório de informática, ele poderá explorar as
mudanças no gráfico das funções quando os parâmetros são modificados. Por exemplo, o que
acontece com o gráfico quando f(x) é multiplicado e/ou dividido por um número real. Isto é,
qual o deslocamento do gráfico ao longo dos eixos. Porém, esses aspectos ainda não estão sendo
bastante explorados pelos livros didáticos.
Assim, de maneira geral, a forma com que o conceito de função está sendo transmitido
aos alunos está sendo modificado. Pode-se perceber que a ideia é adequar o conteúdo dos livros
sejam adaptados ao que se pede nos Parâmetros Curriculares Nacionais. Mesmo que, em alguns
casos, essa adaptação ainda ocorra de forma bastante lenta, a tendência é que os livros consigam
expor todos os conceitos matemáticos relacionando-os com as aplicações práticas cotidianas
das pessoas, retomando a percepção dos alunos que a matemática é de extrema importância em
sua vida.
23
3. RESULTADOS
O Brasil está passando por um momento bastante singular no que diz respeito ao seu
desenvolvimento econômico e social. Nos próximos três anos, o País será sede dos dois maiores
eventos esportivos: Copa do Mundo de Futebol (2014) e Olimpíadas (2016).
É sabido que os alunos em período escolar (ensino básico, fundamental e médio)
possuem um grande interesse por esportes. Saber utilizar este interesse e levar para dentro da
sala de aula situações reais para os alunos pode ser bastante importante, tanto para o professor
quanto ao aluno, para a fixação da matéria. Ainda mais quando se pensa na dificuldade em
relação ao ensino da matemática.10
Dessa maneira, torna-se essencial ao professor saber chamar a atenção do aluno para a
importância da matemática na vida de seu aluno.
Para futuros estudos, a sugestão deste trabalho para professores é o desenvolvimento de
material didático na área de funções cujo conteúdo tenha relação com a Copa do Mundo e
Olimpíadas.
Pode-se, por exemplo, aplicar conceitos econômico-financeiros para que o aluno estime
qual a renda de um jogo na copa do mundo, a partir do preço unitário do ingresso e a lotação
do estádio. Da mesma maneira, é possível estimar a despesa de um time com deslocamento,
considerando a distância da delegação ao estádio e as diversas sedes que o Brasil terá na Copa
do Mundo (vale lembrar que os jogos serão disputados nas cinco regiões brasileiras).
Outra possibilidade é utilizar funções aplicadas ao atletismo. Por exemplo, o lançamento
de dardo, disco e salto em distância são funções da força aplicada pelo atleta no momento do
salto e/ou arremesso e a trajetória desenvolvida é uma parábola, que é definida por uma função
do segundo grau.
Para isso, pode-se utilizar importantes ferramentas para o auxílio do aluno no momento
do aprendizado. A sugestão é a aplicação de sequência didática com o uso do software Winplot,
um software gratuito para auxílio do aprendizado de Cálculo Diferencial e Integral bastante
utilizado nos cursos de licenciatura em matemática no Brasil. De interface bastante amigável e
simples, é possível construir gráficos, integrais, áreas, volumes, etc., a partir dos exemplos
10 Um relatório do Fórum Econômico Mundial, publicado no dia 10/04/13, aponta o Brasil como um dos piores
países do mundo nos ensinos de matemática e ciências. Entre 144 nações avaliadas, o país aparece na 132ª posição,
atrás de Venezuela, Colômbia, Camboja e Etiópia. Outro dado alarmante é a situação do sistema educacional, que
alcança o 116º lugar no ranking - atrás de Etiópia, Gana, Índia e Cazaquistão. Os dois indicadores regrediram em
relação à edição 2012 do relatório, em que estavam nas 127ª e 115ª posições. (VEJA, 2013)
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encontrados nos livros didáticos de matemática. Os comandos são simples e basta o aluno
explorar o programa que conseguirá extrair valiosa ajuda para seu entendimento.11
Dessa maneira, diante do que foi estudado neste trabalho, espera-se que este conteúdo
seja útil ao professor no momento de considerar a relação entre funções e aplicações práticas
no dia a dia do aluno.
Diversas situações cotidianas mostram a importância de se mostrar ao aluno onde ele
poderá aplicar o que foi aprendido dentro da sala de aula. Muitos alunos perguntam ao
professor: “- Onde eu uso isso?”. No momento em que o professor consegue trazer exemplos
reais da vida do aluno à matéria que está sendo dada, a aula torna-se mais prazerosa e o
aprendizado pelo aluno mais eficiente e eficaz.
Por fim, com o objetivo de maximizar o aproveitamento do aluno, a recomendação é
unir aulas expositivas com aulas de informática, através do uso de softwares matemáticos,
visando melhorar o aprendizado e ilustrar as aplicações práticas do conteúdo estudado.
11 Para download gratuito do programa, basta acessar o site: http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html
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BIBLIOGRAFIA
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http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html [Acesso em 02/05/13 Maio 2013].
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VEJA, R., 2013. REVISTA VEJA. [Online]
Available at: http://veja.abril.com.br/noticia/educacao/matematica-e-ciencias-no-pais-sao-
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