FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA TCA

Jorge Luis Jaramillo

PIET EET UTPL marzo 2010

Fundamentos matemáticos de la TCA

•Linealización de sistemas

•Transformada y antitransformada de la Laplace

•Integración de una ecuación diferencial

•Convolución de dos funciones

Linealización de sistemas

La teoría desarrollada parael diseño de sistemas decontrol, en su mayor parte, sebasa en el empleo de modelosmatemáticos lineales delproceso que se deseacontrolar

Sin embargo, son muchos lossistemas reales que exhibenuna conducta no lineal, por loque es necesario lalinealización de sistemas.

Con esta modificación, eldiseño del sistema de controlse aproxima al flujograma:

Flujograma tomado de documentación de soporte del curso de Análisis Dinámico de Sistemas. Universidad de Oviedo. 2003

Linealización de sistemas

Supongamos que una cierta variable y depende de alguna otra variable x através de alguna función f(x). Se dice que la relación entre las variables y y xes lineal si la función f(x) es la ecuación de la línea recta y = mx + b . Si laecuación no cumple con la condición anterior, entonces la ecuación es nolineal.

La linealización de una ecuación, alrededor de un punto, utiliza la serie deTaylor y el concepto de estados estacionarios.

La serie de Taylor de una función que tiene grado de derivación f (n)y en lasproximidades del punto a se define como :

donde es n! es el factorial, f (n) es la enésima derivada, y, a el punto en el quese quiere calcular la serie.

Linealización de sistemas

Gráfico tomado de Documentación de soporte del curso de Análisis Dinámico de Sistemas. Universidad de Oviedo. 2003

Linealizar unaecuación no linealimplica“reemplazarla”por una ecuaciónlineal. Estereemplazo es local,es decir válido enuna región próximaa un punto llamado

de equilibrio.

Linealización de sistemas

Se dice que un sistema físico está en estado estacionario cuando lascaracterísticas del mismo no varían con el tiempo. Desde esta perspectiva, unsistema estará en estado estacionario cuando sus variables descriptivas nocambien.

Desde la perspectiva matemática, un sistema físico se encuentra en estadoestacionario si las derivadas de las variables que lo describen son igual a cero.

Linealización de sistemas

PROBLEMA PROPUESTO

Transformada y antitransformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función f(t), definida para todos losnúmeros reales , es la función F(s) definida por:

siempre y cuando la integral esté definida. Así por ejemplo, latransformada de f(t)=e -t será:

L e e e dt e dts

es

t t st s t s t

0

1

0

1

0

1

1

1

1

L f t F s f t e dtst

0

Transformada y antitransformada de Laplace

Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útilen el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativasradica en que la integración y la derivación se convierten en operaciones demultiplicación y de división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales eintegrales en pseudo ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

Transformada y antitransformada de Laplace

Tabla de transformadas básicas de Laplace

Transformada y antitransformada de Laplace

Tabla de transformadas básicas de Laplace

Transformada y antitransformada de Laplace

Sea F(s) la transformada de Laplace de una función f (t). La transformadainversa de Laplace o antitransformada de F(s), se calcula como:

Generalmente no se resuelve esta ecuación, sino que se busca la respuestautilizando tablas y el método de las fracciones parciales.

L F s f tj

F s e dsc j

c jst1 1

2

Transformada y antitransformada de Laplace

PROBLEMA PROPUESTO

Integración de ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se pueden integrar utilizando los métodosnuméricos habituales, o, aplicando la transformada de Laplace.

El procedimiento para integrar ecuaciones diferenciales mediante latransformada de Laplace consiste en:

• Aplicar la transformada de Laplace a cada miembro de la ecuación diferencial,teniendo en cuenta los valores de las condiciones iniciales.

•Despejar la transformada de la solución, y(s) .

•Calcular la transformada inversa de Laplace

Integración de ecuaciones diferenciales

PROBLEMA PROPUESTO

Convolución de dos funciones

En matemáticas una convolución es un operador matemático que transformados funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representala magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertidade g.

Se puede considerar que una convolución es un tipo muy general depromedio móvil.

La convolución de f y g se denota f * g. Se define como la integral delproducto de ambas funciones después desplazada una distancia τ.

Convolución de dos funciones

Gifs tomados de wikipedia

DISCUSIÓN Y ANÁLISIS