Geometria descritiva passo a passo

Universidade Federal de Campina GrandeUniversidade Federal de Campina Grande

Centro de Ciências e TecnologiaCentro de Ciências e Tecnologia

Unidade Acadêmica de Eng. de ProduçãoUnidade Acadêmica de Eng. de Produção

Autor: Windsor Ramos da SilvaAutor: Windsor Ramos da Silva

Geometria Descritiva Geometria Descritiva Passo-a-PassoPasso-a-Passo

Índice Índice Geral

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Os Slides possuem links entre si: o primeiro refere-se a apresentação do trabalho (Slide 1) o segundo refere-se ao modo de navegar pelo trabalho (Slide 2), a partir deste slide o usuário pode voltar ao slide anterior, ou seja, o slide inicial (Slide 1) ou ir para os slides seguintes, como índice com os tópicos referentes a cada assunto (Slide 3 e 4). A partir daí, clicando no campo específico, o usuário poderá escolher o tópico o qual vai estudar, por exemplo, clicando no tópico Sistemas de Projeções vai para o slide referente a este assunto, daí, pode voltar para o índice geral ou ir para slide com outro assunto, por exemplo Distância Perpendicular entre duas Retas Reversas, dessa forma o usuário pode navegar sem problemas verificando todo assunto referente a Geometria Descritiva .

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Volta ao Índice do TópicoÍndice

Volta ao Índice GeralÍndice Geral

Sistemas de Projeções

Estudo do Ponto

Estudo da Reta

Métodos Descritivos

Plano Auxiliar Primário e Projeção Pontual da Reta

Direção de uma Reta

Inclinação de uma Reta

Pontos Colineares

Pontos Coplanares

Posição Relativa das Retas

ÍNDICE

Verdadeira Grandeza da Reta

Tópico 02

Tópico 05

Tópico 04

Tópico 03

Tópico 01

Tópico 06

Tópico 07

Tópico 08

Tópico 09

Tópico 10

Tópico 11

Interseção entre Planos (Visibilidade)Ângulo entre Planos (Ângulo Diedro)

Interseção entre Planos

ÍNDICE

Estudo do PlanoVerdadeira Grandeza de um Plano

Inclinação de um Plano

Distância Perpendicular entre Ponto e Plano

Interseção entre Reta e Plano

Ângulo entre Reta e Plano

Interseção entre Reta e Plano (Visibilidade)

Posições Relativas das Retas no Espaço

Índice Geral

Tópico 13

Tópico 15

Tópico 16

Tópico 17

Tópico 14

Tópico 12

Tópico 22

Tópico 20

Tópico 18

Tópico 19

Tópico 21

Índice Geral

SISTEMAS DE PROJEÇÕESSISTEMAS DE PROJEÇÕES

/OBLÍQUA

SISTEMAS DE PROJEÇÕESSISTEMAS DE PROJEÇÕES

a1

a2

a3

a4 a7

a8

A B

C

B1A1

C1

A B

C

B1A1

C1

A B

C

A1 B1

C1

CENTRAL OU CÔNICA CILÍNDRICA: ORTOGONAL

Oa6

a5

A

A projeção de um ponto sobre um planoé a interseção de uma reta que passa

por um ponto (Reta Projetante) de um plano de projeção.

Índice Geral

ESTUDO DO PONTO

Estudo do Ponto

Estudo da Representação do Ponto

Desenvolvimento dos Diedros

Projeções Ortográficas nos Diedros

Representação do Ponto

Posicionamento de Elementos num Espaço

Posições do Ponto em Relação aos Planos de Projeção

Posições do Ponto

Índice Geral


ESTUDO DO PONTOESTUDO DO PONTO


O ponto é o menor elemento da Geometria e dar

origem aos demais elementos Geométricos.

Apesar da sua importância não existe problemas

geométricos apenas com o ponto e sim quando

este estiver em conjunto com outros elementos.



O ponto em relação aos planos de projeções, pode

está situado no 1o, 2o, 3o e 4o diedros, mas não é

interessante a representação no 2o e 4o diedros tendo

em vista a superposição de imagens após o

rebatimento dos planos de projeções sobre o plano

vertical.

O sistema de representação no 1o diedro é utilizado

nas normas DIN (DASS. INT. NORM) e o no 3o diedro

pelas normas ASA (American Standard Association).


No Brasil as representações podem ser feitas pelos dois sistemas, com preferência para a projeção ortogonal no 1o diedro.

Os diedros estão formados pela interseção de dois planos, um vertical e outro horizontal, a reta interseção entre os dois planos é chamada de Linha de Terra e é comum aos quatro semi-planos:

PVS - Plano Vertical Superior

PVI - Plano Vertical Inferior

PHA Plano Horizontal Anterior

PHP - Plano Horizontal Posterior


ESTUDO DA REPRESENTAÇÃO DO PONTOESTUDO DA REPRESENTAÇÃO DO PONTO

a'b'c'

ac b

a'b'c'


DESENVOLVIMENTO DOS DIEDROSDESENVOLVIMENTO DOS DIEDROS(Gaspard Monge)(Gaspard Monge)

11oo Diedro Diedro22oo Diedro Diedro

33oo DiedroDiedro 44oo DiedroDiedro

T

L

a'

a

Plano Vertical Plano Vertical SuperiorSuperior

Plano Horizontal Plano Horizontal AnteriorAnterior

Plano Horizontal Posterior

Pla

no

Ver

tica

l In

feri

or

A



PROJEÇÕES NOS DIEDROSPROJEÇÕES NOS DIEDROS

Z

Y

X

PH

PV

O

PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 1o DIEDRO

PH

PV


Z

Y

X

PH

PV

O

No 2o Diedro acontece superposição de imagem.


PV

PH


Z

Y

X

PH

PV

O


PH

PV


PH

PV

Z

Y

X

PH

PV

O

No 4o Diedro acontece superposição de imagem.



PH

PV

REPRESENTAÇÃO DO PONTOREPRESENTAÇÃO DO PONTO

PH

PV

L T

L

TPH

a

a'

a

A a'

a


Para posicionar os elementos num espaço tridimensional determina-se um ponto “O” chamado ponto de referência que é o ponto comum aos três planos principais de projeção.

A partir do ponto “O” de origem para localizar os

elementos usa-se o sistema de coordenadas

cartesianas: Abscissa (X), Afastamento (Y) e Cota (Z).

Sobre o eixo X marca-se a abscissa, Sobre o eixo Y marca-se o afastamento,Sobre o eixo Z marca-se a cota.

Todos os valores deverão ser sempre positivos e escritos em milímetro.

POSICIONAMENTO DE ELEMENTOS NUM ESPAÇO:POSICIONAMENTO DE ELEMENTOS NUM ESPAÇO:


PH

PH

PV

PV

Z

PP

Y

PH

X

Y

O

POSIÇÃO DO PONTO EM RELAÇÃO AOS POSIÇÃO DO PONTO EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃOPLANOS DE PROJEÇÃO

Abscissa

a

a''

Afa

stam

ento

Co

tas

a

a''

AbscissaCota

AfastamentoÉPURAÉPURA

A(30, 15, 20)A(30, 15, 20)

Abscissa Afastamento

Cota

a'

a

PP

PP

a''

a

a'

a''

A

a'

PH

PV PPX

Z

Y

Y

OAfastamento


1. Plano Vertical (A) (X e Z)

2. Plano Horizontal (B) (X e Y)

3. Plano de Perfil (C) (Y e Z)

4. Eixo X (D) (PH e PV)

5. Eixo Y (E) (PH e PP)

6. Eixo Z (F) (PV e PP)

7. Origem (G) (PV, PH e PP)

8. No espaço (H) (X, Y, Z - diferentes de zero)

O ponto em relação aos planos de projeções, pode ocupar 8 (oito) pos ições distintas:


Quando um ponto pertence a um dos planos de projeção, é representado em Épura através de suas duas projeções e do próprio ponto.

O ponto pertencente a um dos eixos é representado por este e por mais duas projeções, se coincidir com o ponto “O” de origem a representação em Épura é o próprio ponto e suas projeções.

A representação de um ponto no espaço é feita através das três projeções, nos planos: vertical, horizontal e de perfil.

POSIÇÕES DO PONTOPOSIÇÕES DO PONTO


z

x

PV

y

PP

PH

POSIÇÕES DO PONTO EM RELAÇÃOPOSIÇÕES DO PONTO EM RELAÇÃOAOS PLANOS DE PROJEÇÃOAOS PLANOS DE PROJEÇÃO

d''

H,h,h',h''

b'

b

b''

f f''F

g'g''G

B

ee'E

2. Plano Vertical (B) (X e Z)

4. Plano de Perfil (D) (Z e Y)

5. Eixo X (E) (Interseção PV e PH)

6. Eixo Y (F) (Interseção PH e PP)3. Plano Horizontal (C) (X e Y) 7. Eixo Z (G) (Interseção PV e PP)

8. Origem (H) (PH, PV, PP)

1. No Espaço (A) (X, Y, Z - diferente de zero)

d

d'

A

a"a'

a

c''

C

D

PH

PV PHX

Z

Y

Y

h h''h'H

ÉPURAÉPURA

b''

b

b'B

c''ee'Ec'

cC

d''D

a''

a'

a

g'g''G

Ff

F f''

d

d'

c

c'


Pontos ColinearesPontos Colineares

a'

b'

OPPPV

PH

Z

XY

Y

c'

a

b

c

a''

b''

c''Três ou mais pontos são Colineares se e se somente se, por estes pontos passar uma reta imaginária.

Na representação em épura dos pontos em cada plano de projeção, também ficam numa mesma linha reta.

Índice Geral

Pontos CoplanaresPontos Coplanares

a'

b'

c'

a

b

c

a''

b''

c''

OPPPV

PH

Z

XY

Y

Pontos Coplanares são três ou mais pontos por onde se pode passar um plano imaginário. Se por dois pontos se pode passar infinitos planos, por um conjunto de pontos Coplanares composto de pelo menos três pontos pode-se passar apenas um e um único plano.

Índice Geral

ESTUDO DA RETA

Estudo da Reta

Posições Relativas das Retas

Identificação das Retas

Propriedades: Retas do Primeiro Grupo

Propriedades: Retas do Segundo Grupo

Propriedades: Retas do Terceiro Grupo

Índice Geral


ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA


A projeção de uma reta sobre um plano de projeção,

é o lugar geométrico das projeções de todos os seus

pontos sobre este plano. De um modo geral a

posição de uma reta no espaço fica bem determinada

quando são conhecidas as posições dessa reta,

sobre dois ou mais planos ortogonais. (Planos de

Projeção).



POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS

Em relação aos planos de projeção as retas

podem ocupar várias posições em relação aos

planos de projeção, posições estas que

determinam propriedades e identidades. As retas

estão divididas em três grupos distintos, devido

o posicionamento destas com os planos de

projeção.



IDENTIFICAÇÃO DAS RETAS

Retas do 1o GRUPO

1. Ao PH - Reta Vertical 2. Ao PV - Reta de Topo

3. Ao PP - Reta Fronto-Horizontal

Retas do 2o GRUPO

1. Ao PH - Reta Horizontal

2. Ao PV - Reta Frontal

3. Ao PP - Reta Perfil

1. Ao PV, PH e PP - Reta QualquerRetas do 3o GRUPOÍndice Índice Geral


PROPRIEDADES:

Retas do 1o Grupo: São retas perpendiculares a um

dos planos principais de projeção. Neste plano

principal a projeção da reta se reduz a um PONTO, o

qual chamamos de projeção pontual da reta.

Sendo a reta perpendicular a um plano é paralela aos

outros dois planos adjacentes, nestes planos as retas

se apresentam em suas dimensões reais, que

chamamos de VG, ou seja, Verdadeira Grandeza da

reta.


RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃODOS PLANOS DE PROJEÇÃO

PV

Y

PH

X

Z

PP

PV

RETA VERTICALRETA VERTICAL

Z

YX

Y

PVPH

PPo

b''

a''a'

b'

ba

VGVG

a''

b''

A

a

Bb'

a'

b

VG

VG


Y

PH

PP

X

Z

PV

c'' d''d'

c

d

RETA DE TOPORETA DE TOPO

Z

Y

YX

PVPH

PPo


c'

VG

VGd''

c'd'

c''

C

d

D

cVG

VG


Y

PH

PP

X

Z

PV

e' f'

e f

RETA FRONTO-HORIZONTALRETA FRONTO-HORIZONTAL

Z

YX

Y

PVPH

PPo


f''e''

E

F

e'

f

f'

e

e'' f''

VG

VG

VG

VG


Y

PH

PP

X

Z

PV

Y

PH

PP

X

Z

PV

Y

PH

PP

X

Z

PV

RETAS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃORETAS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO

RETA VERTICALRETA VERTICAL RETA DE TOPORETA DE TOPORETA FRONTO-RETA FRONTO-HORIZONTALHORIZONTAL

A

a’’

a

Bb'

a'

b

b''

VG

VGc'd'

c'' d''

C

d

D

c

VG

VG

E

F

e'

f

f'

e

e'' f''

VG

VG

Z

YX

Y

PV

PH

PP

o

b''

a''

ba

a'

b'

VG VG

Z

YX

Y

PV

PH

PP

c'' d''c'd'

oc

d

VG

VG

e' f'

e f

e''f''

o

Z

YX

Y

PV

PH

PP

VG

VG



PROPRIEDADES:

Retas do 2o Grupo: São retas paralelas a um dos

planos principais de projeção, neste plano principal

de projeção a reta se apresenta em V.G. (Verdadeira

Grandeza) e nos outros dois planos se apresentam

oblíquas, portanto, em projeção reduzidas.


Y

PH

PP

X

Z

PV

RETA HORIZONTALRETA HORIZONTAL

b''

a

b

a''b'a'

RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO: PARALELAS A UM GRUPO: PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃODOS PLANOS DE PROJEÇÃO

Y

YX

PVPH

PP

Z

o

a

a'

a''

Bb'

b''

b

A

VG

VG


Y

PH

PP

X

Z

PV

c

c''

d

d''d'

c'

RETA FRONTALRETA FRONTAL


Y

YX

PVPH

PP

Z

o

d'

c''

d''

C d

D

c

c'

VG

VG


Y

PH

PP

X

Z

PV

e''

f''

e'

f'

e

f

Y

YX

PVPH

PP

Z

o

RETA DE PERFILRETA DE PERFIL


PV

e''

F

fe

f''

e'

f'

E VGVG


Y

PH

PP

X

Z

PV

Y

PH

PP

X

Z

PV

Y

PH

PP

X

Z

PV

RETAS PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃORETAS PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO

RETA HORIZONTALRETA HORIZONTAL RETA FRONTALRETA FRONTAL RETA DE PERFILRETA DE PERFIL

a' A

a’’

a

Bb'

b''

bVG

d'

c''

d''

C d

D

c

c'

VG

f''

f

E

F

e'

f'

e''

e

VG

e''

f''

e'

f'

e

f

XPP

Y

Y

Z

oPV

PH

VG

XPP

Y

Y

Z

oPV

PH

c

c''

d

d''d'

c'VGb''

PV

PHX

PP

Y

Y

Z

o

a

b

a''b'a'

VG



PROPRIEDADES:

Retas do 3o Grupo: São retas oblíquas aos três

planos principais de projeção.

Não apresentam projeção em V. G. (Verdadeira

Grandeza).


Y

PH

PP

X

Z

PVb'

a' a''

b''

a

b

RETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃORETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃO

RETA QUALQUERRETA QUALQUER

b'

Aa''

aB

a'b''

bY

YX

PVPH

PP

Z

o


POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇOPOSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO

o

Y

ZPV

PHX

RETAS PARALELASRETAS PARALELAS RETAS COINCIDENTESRETAS COINCIDENTES

d

d'

b

b'

a

a'

c

c'

o

Y

ZPV

PHX

b

a

b'

a'

d

c

d'

c'

Índice Geral

RETAS CONCORRENTES E REVERSASRETAS CONCORRENTES E REVERSASDuas retas são concorrentes quando em Épura as projeções do ponto de concorrência estiverem sobre uma mesma perpendicular

c

c'

a

a' d'

d

b'

bp

p'

o

Y

ZPV

PHX

RETAS CONCORRENTESRETAS CONCORRENTESRETAS REVERSASRETAS REVERSAS

o

Y

ZPV

PHX

c

d'

c'

da

a'

b'

b



MÉTODOS DESCRITIVOS

Métodos Descritivos

Mudança de Plano de Projeção

Método de Rotação

Método de Rebatimento

Índice Geral


MÉTODOS DESCRITIVOS:

Para resolvermos problemas espaciais, recorremos aos métodos descritivos, que são:

1. Mudanças de Planos de Projeção

2. Rotação

3. Rebatimento




Mudanças de Planos de Projeção: Consiste em

considerar a figura fixa e determinar uma nova

projeção sobre um plano auxiliar perpendicular a

um plano de projeção. Este deve ser paralelo à

figura no espaço.




Método de Rotação: Consiste em fazer girar a

figura em torno de um eixo de rotação conveniente,

até que ela venha ocupar uma posição desejada.




Método de Rebatimento: Este método conduz a

traçados simples, é utilizado em muitos problemas,

cujo tratamento descritivo exigirá a rigor, apenas

uma mudança de plano e uma única rotação.


VERDADEIRA GRANDEZA DA RETA

Verdadeira Grandeza da Reta

V. G. por Mudança de Plano de Projeção

V. G. por Rotação

Índice Geral


VERDADEIRA GRANDEZA DA RETA

Determinar a V.G. de uma reta qualquer consiste

em colocar um plano auxiliar de projeção,

perpendicular a um dos planos principais de

projeção e paralelo a reta.


VERDADEIRA GRANDEZA DA RETAVERDADEIRA GRANDEZA DA RETA

PPPA1

PA1PH

PV

PA1

a'

b'

a1

b''

b

a

a1

b1

b1

b1

a1

a''

Y

YX

PV

PH

PP

Z

o

V.G.

V.G.

V.G.Mudança de Planos de Projeção


VERDADEIRA GRANDEZA DA RETAVERDADEIRA GRANDEZA DA RETAPOR ROTAÇÃOPOR ROTAÇÃO

Consiste em fazer girar a reta em torno de um

eixo de rotação conveniente, até que ela venha

ocupar uma posição desejada.

Quando se tratar da V.G. de uma reta qualquer

sobre o PH deve-se transformar esta em uma

reta Horizontal, sobre o PV em uma reta Frontal e

sobre o PP em uma reta de Perfil.


VERDADEIRA GRANDEZA DA RETAVERDADEIRA GRANDEZA DA RETAPOR ROTAÇÃOPOR ROTAÇÃO

o

Y

ZPV

PHX

a'

b'

b

ao

Y

ZPV

PHX

a'

b'

b

a

a'

a

VG

a

VG

a'

Método de Rotação

Reta Frontal

Reta Horizontal


PLANO AUXILIAR PRIMÁRIO E PROJEÇÃO PONTUAL DE RETA

Projeção Pontual da Reta nos Planos Principais

Projeção Pontual das Retas: Vertical e Horizontal – no PA1

Projeção Pontual da Reta Qualquer – no PA2

Índice Geral

PLANO AUXILIAR PRIMÁRIO PLANO AUXILIAR PRIMÁRIO E PROJEÇÃO PONTUAL DE RETAE PROJEÇÃO PONTUAL DE RETA

A projeção pontual de uma reta é determinada num plano de projeção perpendicular à reta no espaço. Por Exemplo: A reta de Topo tem projeção pontual no PV, a reta Vertical tem esta projeção no PH e a reta Fronto-Horizontal tem projeção pontual no PP. Para as retas Frontal, Horizontal e de Perfil fazemos uso de um Plano Auxiliar Primário (PA1) e que deve ser colocado perpendicularmente atrás ou à frente dessas retas. Em Épura isto significa colocar o eixo do plano auxiliar primário, perpendicular à projeção da reta em VG, e fazer a projeção neste plano auxiliar (PA1).


PLANO AUXILIAR PRIMÁRIO PLANO AUXILIAR PRIMÁRIO E PROJEÇÃO PONTUAL DE RETAE PROJEÇÃO PONTUAL DE RETA

o

Y

ZPV

PHX

a

b

b'a'

PHPA1

a1b1

b’

PROJEÇÃO PONTUALPROJEÇÃO PONTUAL

DA RETA VERTICAL - PHDA RETA VERTICAL - PH

o

Y

ZPV

PHX

PROJEÇÃO PONTUALPROJEÇÃO PONTUAL

DA RETA HORIZONTAL - PA1DA RETA HORIZONTAL - PA1

a,

VG

VG

a’

b


o

Y

ZPV

PHX

a

b

a'

b'

PA1PA2

PH

PA1

PLANO AUXILIAR SEGUNDÁRIO PLANO AUXILIAR SEGUNDÁRIO E PROJEÇÃO PONTUAL DE RETAE PROJEÇÃO PONTUAL DE RETA

PROJEÇÃO PONTUAL DA RETA QUALQUER – PA2PROJEÇÃO PONTUAL DA RETA QUALQUER – PA2

VG

a1 b1a2b2,


DIREÇÃO DE RETA

Direção de Reta

Direção da Reta Horizontal

Direção das Retas do Primeiro Grupo

Direção das Retas do Segundo Grupo

Direção das Retas do Terceiro Grupo

Índice Geral

DIREÇÃO DE RETADIREÇÃO DE RETA

A direção de uma reta é o ângulo formado entre o

NORTE (de frente para o P.V.) e a projeção Horizontal

da reta, sua determinação é feita a partir do ponto

que inicia a reta (Origem da Reta). A direção é

calculada através do AZIMUTE, e se faz no sentido

dos ponteiros do relógio, a partir do Norte e expresso

em graus. Esta conceituação é aplicável para os três

Grupos de Retas. A Reta Vertical é a única que não

possui direção, por se apresentar sobre o Plano

Horizontal em projeção pontual.


Y

PH

PP

X

Z

PV

DIREÇÃO DA RETA HORIZONTALDIREÇÃO DA RETA HORIZONTAL

b' a''

a

a' b''

b

o

Y

YX

PVPH

PP

Z

oo

A

B

a'

b'

b

a'' b''

aVG

VG



DIREÇÃO DAS RETASDIREÇÃO DAS RETASDO PRIMEIRO GRUPODO PRIMEIRO GRUPO


PV

Y

PH

X

Z

PP

PV


Z

YX

Y

PVPH

PPo

b''

a''a'

b'

ba

VGVG

a''

b''

A

a

Bb'

a'

b

VG

VG

0o


Y

PH

PP

X

Z

PV

c'' d''d'

c

d


Z

Y

YX

PVPH

PPo


c'

VG

VG

cd180o

dc0o ou 360o

dc0o ou 360o

cd180o

d''

c'd'

c''

C

d

D

cVG

VG

dc0o ou 360o

cd180o


Y

PH

PP

X

Z

PV

e' f'

e f


Z

YX

Y

PVPH

PPo


f''e''

E

F

e'

f

f'

e

e'' f''

VG

VG

VG

VG

ef90o

fe270o

fe270o

ef90o



DIREÇÃO DAS RETASDIREÇÃO DAS RETASDO SEGUNDO GRUPODO SEGUNDO GRUPO

Y

PH

PP

X

Z

PV


b''

a

b

a''b'a'


Y

YX

PVPH

PP

Z

o

a

a'

a''

Bb'

b''

b

A

VG

VGab125o

ba305o

ba305o

ab125o


Y

PH

PP

X

Z

PV

c

c''

d

d''d'

c'



Y

YX

PVPH

PP

Z

o

d'

c''

d''

C d

D

c

c'

VG

VG

cd90o

dc270o

dc270o

cd90o


Y

PH

PP

X

Z

PV

e''

f''

e'

f'

e

f

Y

YX

PVPH

PP

Z

o



PV

e''

F

fe

f''

e'

f'

E VGVG

ef180o

fe0o ou 360o

ef180o

fe0o ou 360o



DIREÇÃO DAS RETASDIREÇÃO DAS RETASDO TERCEIRO GRUPODO TERCEIRO GRUPO

Y

PH

PP

X

Z

PVb'

a' a''

b''

a

b



b'

Aa''

aB

a'b''

bY

YX

PVPH

PP

Z

o

ba45o

ab225o

ab225oba45o


INCLINAÇÃO DE RETA

Inclinação de Reta

Inclinação de uma Reta Frontal

Inclinação das Retas do Primeiro Grupo

Inclinação das Retas do Segundo Grupo

Inclinação das Retas do Terceiro Grupo

Índice Geral

INCLINAÇÃO DE RETAINCLINAÇÃO DE RETA

A inclinação de uma reta é o ângulo formado entre a reta e o Plano Horizontal de Projeção.

A inclinação que a reta tem em relação ao Plano Horizontal de Projeção é determinada no plano de projeção onde a reta mostra a sua V.G. e este plano deve ser perpendicular ao plano horizontal. As retas do 1o Grupo tem inclinação máxima ou mínima. Já as retas do 2o Grupo têm a inclinação mostrada em um dos dois planos, P.V. ou P.P., por serem perpendiculares ao P.H.. Para as retas do 3o Grupo é necessário colocar um plano auxiliar de projeção perpendicular ao P.H. e paralelo a reta no espaço. Portanto a inclinação será expressa em graus e medida com o transferidor.


Y

PH

PP

X

Z

PV a''

a

b'

a'

b''

b

o

INCLINAÇÃO DE RETAINCLINAÇÃO DE RETA

Y

YX

PVPH

PP

Z

o o

A b

a

a'

Bb'

a''

b''

VG

VG



INCLINAÇÃO DAS RETAS INCLINAÇÃO DAS RETAS DO PRIMEIRO GRUPODO PRIMEIRO GRUPO


PV

Y

PH

X

Z

PP

PV


Z

YX

Y

PVPH

PPo

b''

a''a'

b'

ba

VGVGa''

b''

A

a

Bb'

a'

b

VG

VG

ab90o

ab90o


Y

PH

PP

X

Z

PV

c'' d''d'

c

d


Z

Y

YX

PVPH

PPo


c'

VG

VGd''

c'd'

c''

C

d

D

cVG

VG

cd0o


Y

PH

PP

X

Z

PV

e' f'

e f


Z

YX

Y

PVPH

PPo


f''e''

E

F

e'

f

f'

e

e'' f''

VG

VG

VG

VG

ef0o



INCLINAÇÃO DAS RETAS INCLINAÇÃO DAS RETAS DO SEGUNDO GRUPODO SEGUNDO GRUPO

Y

PH

PP

X

Z

PV


b''

a

b

a''b'a'


Y

YX

PVPH

PP

Z

o

a

a'

a''

Bb'

b''

b

A

VG

VG ab= 0o


Y

PH

PP

X

Z

PV

c

c''

d

d''d'

c'



Y

YX

PVPH

PP

Z

o

d'

c''

d''

C d

D

c

c'

VG

VG

cd45o

ab45o


Y

PH

PP

X

Z

PV

e''

f''

e'

f'

e

f

Y

YX

PVPH

PP

Z

o



PV

e''

F

fe

f''

e'

f'

E VGVG

ef35o

ab35o



INCLINAÇÃO DAS RETAS INCLINAÇÃO DAS RETAS DO TERCEIRO GRUPODO TERCEIRO GRUPO

Y

PH

PP

X

Z

PVb'

a' a''

b''

a

b

RETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS DE PLANOS PROJEÇÃORETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS DE PLANOS PROJEÇÃO


b'

Aa''

aB

a'b''

bY

YX

PVPH

PP

Z

o

PHPA1 b1

a1

ab28o


POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO

Retas Paralelas

Distâncias entre Retas Paralelas

Retas Concorrentes e Reversas

Retas Perpendiculares

Pertinência Ponto-Reta

Distância Perpendicular entre Ponto e Reta

Distância Perpendicular entre Retas Reversas

Retas Paralelas e Coincidentes

Índice Geral

Plano Auxiliar Secundário


o

Y

ZPV

PHX

RETAS PARALELASRETAS PARALELAS RETAS COINCIDENTESRETAS COINCIDENTES

d

d'

b

b'

a

a'

c

c'

o

Y

ZPV

PHX

b

a

b'

a'

d

c

d'

c'


RETAS CONCORRENTES E REVERSASRETAS CONCORRENTES E REVERSASDuas retas são concorrentes quando em Épura as projeções do ponto de concorrência estiverem sobre uma mesma perpendicular

c

c'

a

a' d'

d

b'

bp

p'

o

Y

ZPV

PHX

RETAS CONCORRENTESRETAS CONCORRENTESRETAS REVERSASRETAS REVERSAS

o

Y

ZPV

PHX

c

d'

c'

da

a'

b'

b



RETAS PERPENDICULARESRETAS PERPENDICULARES

Duas retas concorrentes são perpendiculares quando num plano de projeção as duas retas aparecem perpendiculares entre si e pelo menos uma delas aparece em V.G., neste plano.

Para as retas do 1o e 2o Grupos esta perpendicularidade é vista em um dos planos principais. No caso de duas retas quaisquer, a perpendicularidade deverá ser determinada onde encontrarmos a V.G. de pelo menos uma das retas, isto poderá ser determinado no P.A.1.


PA1

PHd1


o

Y

ZPV

PHX

RETAS PERPENDICULARESRETAS PERPENDICULARES

o

Y

ZPV

PHX

d

b'

b

d'

c

c'

a

a'

e'

e

b1

c1

a1

a

b'

b

c'

c d

a'

d'

e'

e

e1

VG



Duas retas são paralelas quando suas projeções

de mesmo nome sobre pelo menos dois planos

são paralelas. Com exceção as retas de perfil, que

necessita da projeção no plano de perfil.

RETAS PARALELASRETAS PARALELAS


A distância entre duas retas paralelas é determinada em um plano de projeção em que se encontram as projeções pontuais das retas. Para as retas do 1o Grupo, as projeções são encontradas em um dos Planos Principais, podemos dizer que a solução é imediata. Já para as retas do 2o Grupo as projeções pontuais são encontradas num Plano Auxiliar Primário colocado perpendicularmente as retas no espaço.

Em Épura, isto significa colocar o eixo perpendicular à projeção que está em V.G. encontrando, portanto as projeções pontuais das retas. Para as retas quaisquer se faz necessário o uso de um Plano Auxiliar Secundário, colocado também, perpendicular à projeção que esteja em V.G. e encontrando as projeções pontuais, consequentemente a distância entre as retas.

DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS PARALELASDISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS PARALELAS


D

D

DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO GRUPO

RETAS VERTICAISRETAS VERTICAIS RETAS DE TOPORETAS DE TOPO

o

Y

ZPV

PHX

o

Y

ZPV

PHX

a,b

a’

b’

VG

c’

c,d

d’

VG

b’a’

a

b

VG

d’c’

c

d

VG


a”b”

d’

d

a’

a

c’

c

b’

b

c”d’’

DistânciaPerpendicular

DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTREDISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRERETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO GRUPO

RETAS FRONTO-HORIZONTAISRETAS FRONTO-HORIZONTAIS

VG

VG

VG

VG

o

Y

Z

PV

PHX

Y

PP


DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTREDISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS DO 2 RETAS DO 2OO GRUPO GRUPO

d

d'

c

c'

a

a'

b

b'

o

Y

ZPV

PHX


o

Y

ZPV

PHX

d'

d

c'

c

b'

b

a'

a


PH

PA1

PVPA1

RETAS HORIZONTAISRETAS HORIZONTAIS RETAS FRONTAISRETAS FRONTAIS

VG VG

VG

VG

b1a1 d1c1

a1b1c1d1


DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTREDISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO GRUPO

RETAS DE PERFILRETAS DE PERFIL

PP

Y

YX

PVPH

Z


c''

a''

c'

d'

c

d

a'

b'

a

b

b''

d''

c1d1

a1b1

PP

PA1

VG

VG


PLANO AUXILIAR SECUNDÁRIOPLANO AUXILIAR SECUNDÁRIO

É qualquer plano de projeção perpendicular a um

plano auxiliar primário.

Para determinar a distância perpendicular entre as

retas paralelas do 3o Grupo, se faz necessário

determinar as V.Gs., destas num PA1. Para isto

coloca-se o eixo do PA2 perpendicular as V.Gs.

como se faz para as retas do 2o Grupo.


DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTREDISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS DO 3RETAS DO 3OO GRUPO GRUPO

RETAS QUAISQUERRETAS QUAISQUER

o

Y

ZPV

PHX

c

c'

d

d'

a

a'

b

b'


PH

PA1

PA1PA2

a1

c1d1

b1

b1a1

d1c1

VG

VG


Um ponto pertence a uma reta, quando as

projeções desse ponto estão sobre as projeções de

mesmo nome da reta, isto é, a projeção horizontal

do ponto sobre a projeção horizontal da reta, a

projeção vertical do ponto sobre a projeção vertical

da reta e a projeção de perfil do ponto sobre a

projeção de perfil da reta.

PERTINÊNCIA PONTO E RETAPERTINÊNCIA PONTO E RETA


Y

o

Z

YX

PV

PH

PPb''

a''a'

b'

c' c''

ba c

PERTINÊNCIA DE PONTO E RETAPERTINÊNCIA DE PONTO E RETA

o

Z

YX

PV

PH

PPb'

a' a''

b''

a

b

c

c''c'

Y

b''

o

Z

YX

PV

PH

PP

a

b

a''b'a'

c

c''c'

Y


A distância perpendicular entre um ponto e uma reta do 1o Grupo, é vista em um dos planos principais de projeção. No caso da Reta de Topo a distância é vista no PV, da Reta Vertical no PH e da Reta Fronto-horizontal no PP. Daí conclui-se que a distância é medida no plano de projeção onde se encontra a projeção pontual da reta e projeção do ponto.Para medir a distância entre um ponto e uma reta do 2o Grupo sua projeção pontual está no PA1, assim como a projeção do ponto, feita a partir de mudança de planos. É neste plano que se faz a medição. Já as retas do 3o Grupo, encontra-se a VG da reta no PA1 bem como a projeção do ponto, em seguida coloca-se um plano de projeção PA2 de frente para a VG da reta, ou seja perpendicular, projetando assim a projeção pontual da reta e a projeção do ponto, portanto, a medição é feita como nos demais casos.

DISTÂNCIA PERPENDICULAR PONTO E RETADISTÂNCIA PERPENDICULAR PONTO E RETA


Y

PH

X

Z

PV

PP

A

a''

a

B

a'

b

b''

b'p

Pp'p''

DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE PONTO E RETADISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE PONTO E RETA


b''

a''a'

b'

ab

p´ p´´

p

o

Z

YX

PV

PH

PP

Y


Y

PH

PP

X

Z

PV


DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE PONTO E RETADISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE PONTO E RETA

b''

a

b

a''b'a'

Y

YX

PVPH

PP

Z

PA1PH


a1b1

p

p' p''

p1a

a'

a''

Bb'

b''

b

A

p

Pp'

p''

VG

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Y

PH

PP

X

Z

PV

b'

a' a''

b''

a

b


Y

YX

PVPH

PP

Z



PA1PH

PA1PH2

p

p' p''

p1

a1

b1

a1b1

p2

b'

Aa''

aB

a'b''

b

p'

p''

p

P

VGq1

q

q' q''


A distância perpendicular entre retas reversas é determinada em um plano de projeção que mostra uma das retas em projeção pontual, daí traça-se uma perpendicular, da projeção pontual à projeção da outra reta, lugar onde pode ser medida a distância entre as retas

Uma vez determinado o ponto, perpendicular a projeção, faz o alçamento deste ponto até a outra projeção da reta, daí traça-se uma perpendicular até a projeção de mesmo nome da outra reta que se encontra em V.G. e continua determinando sobre as retas, as novas projeções.

DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS REVERSASRETAS REVERSAS


c'

d'

c


b'

a

a'

b

PA1PH

PA2PA1

DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS REVERSASDISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS REVERSAS

c1

d1

b1

a1

•c2d2

b2

a2

q2

q1

r1

r

q

r'

q'

dXPVPH

Z

Yo


ESTUDO DO PLANO

Estudo do Plano

Elementos que definem um Plano

Identificação dos Planos

Propriedades: Planos do Primeiro Grupo

Propriedades: Planos do Segundo Grupo

Propriedades: Planos do Terceiro Grupo

Índice Geral


ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANO

Plano, também chamado de superfície, é uma extensão expressa em duas dimensões: Comprimento e Largura.A superfície plana (Plano) é uma superfície tal que toda reta que une dois quaisquer de seus pontos, está inteiramente compreendida nesta superfície.Sabemos que: um plano pode ser definido por três ou mais pontos não alinhados (Coplanares), por duas retas paralelas, por duas retas concorrentes ou ainda, por uma reta e um ponto não pertencente a esta. O plano pode ser: Ilimitado e Limitado O plano Ilimitado é imensurável O limite do plano é a linha, assim podemos distinguir linhas retas e curvas.Os planos limitados por linhas retas (lados), sãochamados de polígonos. Já os planos limitados por linhas curvas, tem denominação própria, como sejam, círculo, circunferência, elipse, etc...



ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANOElementos que definem um plano:Elementos que definem um plano:

o

Y

ZPV

PHX

o

Y

ZPV

PHX

o

Y

ZPV

PHX

o

Y

ZPV

PHX

c

c'

a

a'

b

b'

d

d'

c

c'b

b'

a

a'

c

c'

a

a' d'

d

b'

b

a'

a

b'

bc

c'

Três Pontos Três Pontos não Alinhadosnão Alinhados

Duas RetasDuas Retas ParalelasParalelas

Duas RetasDuas RetasConcorrentesConcorrentes

Uma Reta eUma Reta eUm PontoUm Ponto



IDENTIFICAÇÃO DOS PLANOS

1. Ao PH - Plano Vertical

Planos do 2o GRUPO 2. Ao PV - Plano de Topo

3. Ao PP - Plano de Rampa

Planos do 1o GRUPO

1. Ao PH - Plano Horizontal 2. Ao PV - Plano Frontal

3. Ao PP - Plano de Perfil

1. Ao PV, PH e PP - Plano QualquerPlanos do 3o GRUPO



PROPRIEDADES:

Planos do 1o Grupo: São Planos paralelos a um dos planos principais de projeção, neste plano é mostrada a sua V.G., as projeções nos outros planos são perpendiculares e são chamadas de projeções lineares.

• Plano Horizontal paralelo ao Plano Horizontal

• Plano Frontal paralelo ao Plano Vertical

• Plano de Perfil paralelo ao Plano de Perfil


Y

PH

PP

X

Z

PV

PLANOS DO 1PLANOS DO 1OO GRUPO: PARALELO A UM DOS GRUPO: PARALELO A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO HORIZONTALPLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO HORIZONTAL

b''a'

a

b'

b

c'

c

c''a''

Y

YX

PVPH

PP

Z

PLANO HORIZONTALPLANO HORIZONTAL

b''

c

Aa'

b'c'

a''c''

b

BC

a

VG

VG


Y

PH

PP

X

Z

PV f'

f

Y

YX

PVPH

PP

Z

PLANO FRONTALPLANO FRONTAL

e''

d''f''d'

d

e'

e

PLANOS DO 1PLANOS DO 1OO GRUPO: PARALELO A UM DOS GRUPO: PARALELO A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO VERTICALPLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO VERTICAL

d''f''

e'

f'

d'

de

E

f

F

D

e'

VG

VG


Y

PH

PP

X

Z

PV

g''

h'' i''h'

Y

YX

PVPH

PP

Z

PLANO DE PERFILPLANO DE PERFIL

h

g

i

g'

i'

PLANOS DO 1PLANOS DO 1OO GRUPO: PARALELO A UM DOS GRUPO: PARALELO A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO DE PERFILPLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO DE PERFIL

g''

h'' i''g'

h'i'

h g i

G

IH

VG VG


Y

PH

PP

X

Z

PVAa'

b'c'

a''c'' b''

bc

BC

a

VG

PLANOS PARALELOS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃOPLANOS PARALELOS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃOPLANO HORIZONTALPLANO HORIZONTAL PLANO FRONTALPLANO FRONTAL PLANO DE PERFILPLANO DE PERFIL

Y

PH

PP

X

Z

PVd''

e'

f'

d'e

E

f

F

D

VGf''

d

XPV PP

Y

Y

Z

PH o

a'b'c' c'' b''

a

b

c

a''

VG

Y

Y

X

Z

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PH

PPo

g''

h'' i''

g'

h'i'

i

gh

VG

Y

PH

PP

X

Z

PV

g''

h'' i''g'

h'i'

h g i

G

IH

VG

fY

Y

X

Z

PV

PHPP

o

e''

d''f''

e'

f'd'

d e

VG



PROPRIEDADES:

Planos do 2o Grupo: São Planos perpendiculares a um dos planos principais de projeção, neste plano é mostrada a sua projeção linear, as projeções nos outros planos são oblíquas e são chamadas de projeções reduzidas.

• Plano Vertical perpendicular ao Plano Horizontal

• Plano de Topo perpendicular ao Plano Vertical

• Plano de Rampa perpendicular ao Plano de Perfil


Y

PH

PP

X

Z

PV

c'

a'b'

c

A

b

b

c''

B

a''

b''

Cc'

a'

a

c''

a''

b''

b

Y

YX

PVPH

PP

Z

PLANO VERTICALPLANO VERTICAL

b'

PLANOS DO 2PLANOS DO 2OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO HORIZONTALPLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO HORIZONTAL

c


Y

PH

PP

X

Z

PV

a'

c'b'

a

c''

a''

b''

b

Y

YX

PVPH

PP

Z

PLANO DE TOPOPLANO DE TOPO

c'

a'

b'

c''

A

bc

B

a''

b''

C a

c

PLANOS DO 2PLANOS DO 2OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO VERTICALPLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO VERTICAL


Y

PH

PP

X

Z

PV c'

a'

b'

c

a

b''c''

a''

b

Y

YX

PVPH

PP

Z

PLANO DE RAMPAPLANO DE RAMPA

c'

a'

b'

c

A

a

c''

B

a''

b''

C b

PLANOS DO 2PLANOS DO 2OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO DE PERFILPLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO DE PERFIL


PLANOS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃOPLANOS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO

PLANO VERTICAL PLANO DE TOPO PLANO DE RAMPA

Y

PH

PP

X

Z

PV

c'

a'b'

c

A

b

b

c''

B

a''

b''

C

Y

Y

X

Z

PV

PH

PPo

c'

a'

b'

c

a

c''

a''

b''

b

Y

Y

X

Z

PV

PHPP

o

c'

a'

b'

ca

c''

a''

b''

b

XPV PP

Y

Y

Z

PH o

c'

a'

b'

c

a

c''

a''

b''

b

Y

PH

PP

X

Z

PV

c'

a'

b'

c

A

bc

B

a''

b''

C aY

PH

PP

X

Z

PV

c'

a'

b'

c

A

a

c''

B

a''

b''

C b



PROPRIEDADES:

Planos do 3o Grupo: São Planos oblíquos aos três planos principais de projeção, nestes planos não apresentam projeção em V.G. nem projeção linear e sim projeções reduzidas sobre os três planos.

• Plano Qualquer, oblíquo aos três Planos

Principais de projeção


Y

PH

PP

X

Z

PV

Y

YX

PVPH

PP

Za'

c'b'

a

c''

a''

b''

b

PLANO QUALQUERPLANO QUALQUER

c

PLANOS DO 3PLANOS DO 3OO GRUPO: OBLÍQUOS AOS TRÊS GRUPO: OBLÍQUOS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃO – PH, PV e PPPLANOS DE PROJEÇÃO – PH, PV e PP

a''

c'

a'

b

c

b''

a

b'

A

c''

BC

c


Índice Geral

VERDADEIRA GRANDEZAVERDADEIRA GRANDEZA

ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANOOs planos do 1o Grupo estão paralelos a um dos planos principais de projeção e perpendiculares aos planos adjacentes. No plano em que estiver paralelo encontra-se a V.G. do plano no espaço e nos outros encontram-se as projeções lineares deste plano.

Já, a V.G. dos planos do 2o Grupo como estão perpendiculares a um dos planos, neste, se mostra em projeção lineares e nos outros em projeção reduzidas, levando portanto a determinar sua VG no PA1, quando este é colocado paralelo a projeção linear.

O plano do 3o Grupo, se caracteriza por ser obliquo a todos os planos de projeção. Sendo assim, para determinar a sua VG, se faz necessário duas mudanças de plano, ou seja, a VG é determinada no PA2. Sendo assim, para determinar a VG, deve-se seguir os seguintes passos: Índice Geral

ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANOEscolhe-se uma das projeções em que uma das arestas esteja em V.G., determina-se a projeção pontual desta aresta e projetando também os outros pontos, determinado assim, a projeção linear do plano no espaço, agora a resolução da V .G. se processará igual aos planos do 2o Grupo. Se não tivermos nenhuma das arestas do plano no espaço em V.G. teremos que criar uma reta que pertença ao plano e que mostra a sua V.G. em um dos planos principais.

Escolhe-se uma projeção do plano no espaço desde que a projeção da aresta esteja paralela ao plano, daí encontra-se no plano adjacente a V.G., com este elemento procederá segundo a descrição anterior.

Índice Geral

ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANOVERDADEIRA GRANDEZAVERDADEIRA GRANDEZA

Os planos do 1o Grupo estão paralelos a um dos planos principais de projeção e perpendiculares aos planos adjacentes. No plano em que estiver paralelo encontra-se a V.G. do plano no espaço e nos outros encontram-se as projeções lineares deste plano.

Já a V.G. dos planos do 2o Grupo determina-se quando se coloca um plano auxiliar paralelo a projeção linear do plano no espaço. E é notável as características do 1o Grupo com este.

Índice Geral

VERDADEIRA GRANDEZA DO PLANOVERDADEIRA GRANDEZA DO PLANO

o

Y

ZPV

PHX

b'

b

a'

a

VG

c'

c

PHPA1

c1

a2

b2PLANO VERTICALPLANO VERTICALÍndice Geral


o

Y

ZPV

PHX

a'

c'

b'

b

a

c

a1b1

c1

c2

a2

b2

PHPA1

PA1

PA2

VG

A V.G. do plano do 3o Grupo é determinada como se segue: Escolhemos em um dos planos principais uma das projeções de uma aresta que esteja em V.G. determina-se a projeção pontual desta aresta (reta) projetando os outros pontos determinando assim a projeção linear do plano no espaço, agora a resolução da V .G. se processará igual aos planos do 2o Grupo.

Índice Geral


o

Y

ZPV

PHX

a'

b'

c'b

a

c

c2

b2

a2

PHPA1

PA1PA2

c1a1

e'

e

VG

b1e1

Se não tivermos nenhuma das arestas do plano no espaço em V.G. teremos que criar uma reta que pertença ao plano e que mostra a sua V.G. em um dos planos principais. Em seguida determina-se a projeção pontual desta reta e a projeção dos outros pontos, obtendo assim a sua projeção linear, daí determina-se a sua V.G. segundo a descrição anterior.

Índice Geral

INCLINAÇÃO DO PLANO

Inclinação de um Plano

Inclinação dos Planos do Primeiro Grupo

Inclinação dos Planos do Segundo Grupo

Inclinação dos Planos do Terceiro Grupo

Índice Geral

INCLINAÇÃO DE UM PLANOINCLINAÇÃO DE UM PLANO

A inclinação de um plano é o ângulo formado entre um plano no espaço e o Plano Horizontal de Projeção e é determinada em um plano de projeção perpendicular ao P.H. e que o plano em questão esteja em projeção linear.

O plano, não tem direção, por não ser um elemento retilíneo que possa ser direcionado.


INCLINAÇÃO DE UM PLANOINCLINAÇÃO DE UM PLANO

o

Y

ZPV

PHX

a'

b'

c'

ba

c

PH

PA1

c1a1

e'

e

o

Y

ZPV

PHX

O

a'

b'

c'

c

b

a

O

b1 e1

PLANO DE TOPOPLANO DE TOPO PLANO QUALQUERPLANO QUALQUERÍndice Índice Geral


INCLINAÇÃO DOS PLANOS INCLINAÇÃO DOS PLANOS DO PRIMEIRO GRUPODO PRIMEIRO GRUPO

Y

PH

PP

X

Z

PV

PLANOS DO 1PLANOS DO 1OO GRUPO: PARALELO A UM DOS GRUPO: PARALELO A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃOPLANOS DE PROJEÇÃO

b''a'

a

b'

b

c'

c

c''a''

Y

YX

PVPH

PP

Z


b''

c

Aa'

b'c'

a''c''

b

BC

a

VG

VG abc0o


Y

PH

PP

X

Z

PV f'

f

Y

YX

PVPH

PP

Z

PLANO FRONTALPLANO FRONTAL

e''

d''f''d'

d

e'

e


d''f''

e'

f'

d'

de

E

f

F

D

e'

VG

VG

abc90o

abc90o


Y

PH

PP

X

Z

PV

g''

h'' i''h'

Y

YX

PVPH

PP

Z

PLANO DE PERFILPLANO DE PERFIL

h

g

i

g'

i'


g''

h'' i''g'

h'i'

h g i

G

IH

VG VG

ab90o

ab90o



INCLINAÇÃO DOS PLANOS INCLINAÇÃO DOS PLANOS DO SEGUNDO GRUPODO SEGUNDO GRUPO

Y

PH

PP

X

Z

PV

c'

a'

a

c''

a''

b''

b

Y

YX

PVPH

PP

Z


b'

PLANOS DO 2PLANOS DO 2OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃOPLANOS DE PROJEÇÃO

c

abc90o

c'

a'b'

c

A

b

b

c''

B

a''

b''

C


Y

PH

PP

X

Z

PV

a'

c'b'

a

c''

a''

b''

b

Y

YX

PVPH

PP

Z

PLANO DE TOPOPLANO DE TOPO

c'

a'

b'

c''

A

bc

B

a''

b''

C a

c


abc48o

abc48o


Y

PH

PP

X

Z

PV c'

a'

b'

c

a

b''c''

a''

b

Y

YX

PVPH

PP

Z

PLANO DE RAMPAPLANO DE RAMPA

c'

a'

b'

c

A

a

c''

B

a''

b''

C b


abc48o

abc48o


Índice Geral

INCLINAÇÃO DOS PLANOS INCLINAÇÃO DOS PLANOS DO TERCEIRO GRUPODO TERCEIRO GRUPO

Y

PH

PP

X

Z

PV

Y

YX

PVPH

PP

Za'

c'b'

a

c''

a''

b''

b


c

PLANOS DO 3PLANOS DO 3OO GRUPO: OBLÍQUOS AOS TRÊS GRUPO: OBLÍQUOS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃOPLANOS DE PROJEÇÃO

a''

c'

a'

b

c

b''

a

b'

A

c''

BC

c

abc60o

abc60o

b1c1

a1

PA1

PH


Índice Geral

DISTÂNCIA PERPENDICULARDISTÂNCIA PERPENDICULARENTRE PONTO E PLANOENTRE PONTO E PLANO

DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE PONTO E PLANOPONTO E PLANO

A distância entre um ponto e um plano é obtida da seguinte maneira:

1o Coloca-se o plano em projeção linear.

2o Baixa-se uma perpendicular do ponto até a

projeção linear do plano.

3o Neste plano de projeção pode ser medida a distância, visto que esta projeção está em V.G.

Índice Geral

PHY

PH

PP

X

Z

PV

DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM PONTO E UM PLANO HORIZONTALPONTO E UM PLANO HORIZONTAL

b''a'

a

b'

b

c'

c

c''a''

Y

YX

PVPH

PP

Z


p''p'

p

b''

c

Aa'

b'c'

a''c''

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BC

a

p''

p'

p

P

PH


Índice Geral

Y

PH

PP

X

Z

PV

c'

a'

a

c''

a''

b''

cb

Y

YX

PVPH

PP

Z


b'

p

p' p''

DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM PONTO E UM PLANO VERTICALPONTO E UM PLANO VERTICAL


c'

a'b'

c

A

b

b

c''

B

a''

b''

C

Pp'

p''

p

Índice Geral

Y

PH

PP

X

Z

PV

Y

YX

PVPH

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Za'

c'b'

a

c''

a''

b''

b


c

p''p'

p1

p

PHPA1

a1b1c1

x'

DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM PONTO E UM PLANO QUALQUERPONTO E UM PLANO QUALQUER

c'

a'

b

c

a''

b''

a

b'

A

c''

BC

cPp'

p''

p


q1

q

q' q''

x

Índice Geral

Índice Geral

INTERSEÇÃO ENTRE INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANORETA E PLANO

INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANOINTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO

A interseção de uma reta com um plano é determinada em um plano de projeção que mostra a projeção linear do plano e a projeção da reta. O ponto comum entre a projeção linear do plano e a projeção da reta, é o ponto de interseção. Para determinar esse ponto de interseção, nos outros planos de projeção faz-se o alçamento, sabendo-se que o ponto de interseção é um ponto comum da reta e do plano.

Determinada a interseção, faz-se a visibilidade entre a reta e o plano, observando o que é visível antes e após o plano.

Índice Geral

INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANOINTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO

a'

c'

b'

a1

c

a

b

b1

c1

d'

e'

d

e

d1

e1

PA1PH

p'

p

p1

o

Y

ZPV

PHX

f'

f

Índice Geral

Índice Geral

INTERSEÇÃO ENTRE RETA INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO (VISIBILIDADE)E PLANO (VISIBILIDADE)

INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO (VISIBILIDADE)INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO (VISIBILIDADE)

a'

c'

b'

a1

c

a

b

b1

c1

d'

e'

d

e

d1

e1

PA1PH

p

p1

o

Y

ZPV

PHX

f'

f

p'

Índice Geral

Índice Geral

ÂNGULO ENTRE ÂNGULO ENTRE RETA E PLANORETA E PLANO

ÂNGULO ENTRE RETA E PLANOÂNGULO ENTRE RETA E PLANO

O ângulo entre uma reta e um plano é determinado num plano de projeção que mostra o plano em projeção linear e a reta em V.G. Para medir o ângulo formado entre uma reta e um plano é necessário determinar a projeção linear do plano. Não estando em V.G. esta reta, coloca-se um plano de projeção auxiliar paralelo a projeção da reta, obviamente obtém-se a reta em V.G. e o plano em projeção linear.

Índice Geral

o

Y

ZPV

PHX

ÂNGULO ENTRE RETA E PLANOÂNGULO ENTRE RETA E PLANO

PA1PH PA2PA1

PA2

PA3

a1e1

a'

a

b'

b

b1

d1

e'

e

d'

d

a2

b2

c2

a3b3

c3

e2

d2

e3

d3

p'

p

p2

p3

VG

VG

c'

c

f'

f

c1

p1

Índice Geral

Índice Geral

INTERSEÇÃO INTERSEÇÃO ENTRE PLANOSENTRE PLANOS

INTERSEÇÃO ENTRE PLANOSINTERSEÇÃO ENTRE PLANOS

A interseção entre dois planos é determinada em um plano de projeção onde um dos planos é mostrado em projeção linear. Para determinar a interseção entre os planos é necessário que se verifique as aresta do plano, que fazem interseção com a reta interseção do plano, ou seja, o plano que se encontra em projeção linear, intercepta o outro plano, definido por dois pontos, que identificamos como reta interseção entre os planos.

Índice Geral


f1

o

Y

ZPV

PHX

f'

f

e'

e

d'

d

c'

c

b'

b

a'

a

d1

b1

e1a1

c1

z

x

z'

x'

PHPA1

g'

g

x1

z2

Índice Geral

Índice Geral

INTERSEÇÃO ENTRE INTERSEÇÃO ENTRE PLANOS (VISIBILIDADE)PLANOS (VISIBILIDADE)


VISIBILIDADEVISIBILIDADE

Índice Geral

A interseção entre dois planos é determinada em um plano de projeção onde um dos planos é mostrado em projeção linear. Para determinar a interseção entre os planos é necessário que se verifique as aresta do plano, que fazem interseção com a reta interseção do plano, ou seja, o plano que se encontra em projeção linear, intercepta o outro plano, definido por dois pontos, que identificamos como reta interseção entre os planos.

Determinada a interseção, faz-se a visibilidade entre os planos, observando o que é visível antes e após o plano que está em projeção linear.

f'

f

g'

g

f1

o

Y

ZPV

PHX

d'

d

c'

c

a'

a

d1

b1

e1a1

c1

z

x

PHPA1

x1

z2

INTERSEÇÃO ENTRE PLANOS (VISIBILIDADE)INTERSEÇÃO ENTRE PLANOS (VISIBILIDADE)

x'

e'

e

b'

b

z'

Índice Geral

Índice Geral

ÂNGULO ENTRE PLANOSÂNGULO ENTRE PLANOS(ÂNGULO DIEDRO)(ÂNGULO DIEDRO)

O ângulo entre dois planos (Ângulo Diedro) é determinado em um plano de projeção que mostra a projeção pontual da reta interseção entre estes planos, com isso, é determinado as duas projeções lineares dos planos, onde poderá ser medido o ângulo.

ÂNGULO ENTRE PLANOS (ÂNGULO DIEDRO)ÂNGULO ENTRE PLANOS (ÂNGULO DIEDRO)

Índice Geral

a2

d2

e2

f2

b2

c2

a2

d2c2

b2

f2

x2

z2

z3x3

PA1PA2

PA2PA3

f1

o

Y

ZPV

PHX

f'

f

e'

e

d'

d

c'

c

b'

b

a'

a

d1

b1

e1a1

c1

z

x

z'x'

PHPA1

g'

g

x1

z2e2

ÂNGULO ENTRE PLANOS ÂNGULO ENTRE PLANOS

(ÂNGULO DIEDRO)(ÂNGULO DIEDRO)

Índice Geral

Education

Geometria descritiva passo a passo