VOLÚMENES

ÁNGULOS.

ÁREASIDENTIDADES

CUADRILÁTEROS.

GEOMETRÍA

bSen

B

aSen

A

cSen

C

22 yxr

Entre los elementos de un cuadrilátero mencionamos sus lados y ángulos,

CUADRILÁTERO

Es un polígono de cuatro lados. se presentan dos ejemplos de cuadriláteros, convexo el de la izquierda y cóncavo el de la derecha. Para designarlos utilizamos letras mayúsculas en los vértices.

ANGULOS.

Tienen lado inicial y el lado terminal. y de acuerdo al sentido degiro se definen ángulos positivos y ángulos negativos

Una posición muy importante de un ángulo trigonométrico es suposición estándar (posición normal).

Un ángulo está en posición estándar cuando su lado inicialcoincide con el eje positivo de las x y su vértice con el origen delsistema cartesiano. El lado terminal del ángulo colocado en estaposición indicará el cuadrante al que pertenece dicho ángulo.

El grado sexagesimal. Es el ángulo central que comprende un arcoigual a la trescientos sesentava parte de un círculo cuyo centro es elvértice de dicho ángulo. Su símbolo ( ).

El grado sexagesimal posee 60 minutos y cada minuto 60 segundos.El radián. es el ángulo central que teniendo su vértice en el centro de un

círculo, subtiende un arco de longitud igual a la que corresponde al radio de

dicho círculo. Se representa (rad).

Para transformar de grados a radianes se usa la relación:

Nro. Rad x = n

Para transformar de radianes a grados se usa la relación:

No x = Nro. rad.

CLASES DE ÁNGULOS.

Nulos, agudos, rectos, obtusos, complementarios, suplementarios, de cualquier

180

180

El cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa se llama Seno

del ángulo:

• El cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa se llama

Coseno del ángulo:

• El cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se

llama Tangente del ángulo:

• El cociente entre el cateto adyacente y el cateto opuesto se

llama Cotangente del ángulo:

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS.

El cociente entre la hipotenusa y el cateto adyacente se

llama Secante del ángulo:

• El cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto se

llama Cosecante del ángulo;

Si se analizan las funciones del ángulo b se llegan a las

siguientes conclusiones:

bCosaSen bCtgaTan

bCscaSec

FÓRMULAS

tTantTan

tCostCos

tSentSen

)(

)(

)(

Fórmulas Variaciones

A estas parejas de funciones se las denomina cofunciones, dándose que;

siendo a y b, ángulos complementarios una de las funciones de las parejas, es

igual a la cofunción de su ángulo complementario. De esto se tiene que, si

existe en alguna aplicación por ejemplo, esto es igual a

( x es el complemento). Con números;

VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

Se pueden hallar los valores de las funciones trigonométricas de ángulos de

30 , 45 y 60 por métodos sencillos y sin utilizar calculadora, si tomamos en

cuenta la definición de las funciones y los valores de los lados de un triángulo

equilátero (los 3 lados y sus tres ángulos son iguales) tenemos:

3357 CotTan

)90( xSen xCos

Si trazamos una bisectriz por un ángulo, este triangulo queda dividido en dos triángulos rectángulos. La bisectriz es a su vez altura y mediatriz del lado opuesto. Separando un triángulo tenemos:Un triángulo rectángulo con sus lados y ángulos conocidos.

60

60 60

2

2 2

2 30

60

1

3

Calcular los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30 y

60 . Ej:

Para las funciones de 45 usamos un triángulo rectángulo isósceles (los catetos

son iguales y sus ángulos opuestos son iguales y miden 45 ) veamos:

Ejemplos:

2

45

1

1

2

45

.,360;

2

160;

2

130 etcTanCosSen

1

1

145;

2

145;

2

145 TanCosSen

Se puede hacer práctica de la operatoria algebraica con los valores de las

funciones trigonométricas por ejemplo:

Halle el valor de la siguiente expresión:

Este tipo de ejercicios se realizan efectuando las operaciones algebraicas con

los valores de estas funciones así:

305603452 CscCtgCos

10

3

3

2

225

3

13

2

12

6

6102332

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES.

Se derivan las siguientes identidades básicas llamadas identidades

pitagóricas.

identidades recíprocas :

xCtgxTan

xSecxCos

xCscxSen

1;

1;

1

xCtgxCsc

xTanxSec

xSenxCos

22

22

22

1

1

1

identidades de cociente.

xSen

xCosxCtg

xCos

xSenxTan ;

Sí consideramos un ángulo en posición estándar (algunos otrosautores lo llaman posición normal) y escogemos un punto P decoordenadas (x,y) en el lado terminal del ángulo como se indica enla figura y si tomamos la distancia de O a P, d (OP)

Entonces y opuesto, x adyacente r hipotenusa, entoncestenemos que:

Observando el grafico tenemos:

22 yxr

P (x,y)

y r

x O

Estas expresiones nos dan un modelo sobre el cual basamos

nuestra definición extendida para cualquier ángulo en

posición normal, tal como lo ilustramos a continuación:

x

yTan

r

xCos

r

ySen ;;

|

P (x,y)

y r

x

r y

P (x,y) P (x,y)

x x

y r

Si consideramos a P como un punto (x,y) cualquiera distinto de (0,0), en el

lado terminal del ángulo en posición estándar, si

es la distancia entre (0,0) y (x,y), entonces las seis funciones

trigonométricas de se definen:

Los valores de las funciones trigonométricas dependerán exclusivamente

del valor de , independientemente donde se escoja el punto P de

coordenadas.

22 yxr

0;0;0

0

yy

xCtgx

x

rSecy

y

rCsc

xx

yTan

r

xCos

r

ySen

Del cuadrante en que este el lado terminal del ángulodependerán los signos de las funciones trigonométricas.Recuerde que r es una distancia, por lo tanto siempre va a serpositiva.

Existe una regla nemotécnica que permite recordar fácilmentelos signos de las funciones trigonométricas de ángulos en loscuatro cuadrantes a saber:

Señorita

(Todas)

Cos

Sin

Ta

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES.

Definición: El valor de cada función trigonométrica para un número real t se define como su valor en un ángulo de tradianes, si ese valor existe.

Por ejemplo, el seno del número real , es simplemente, elseno del ángulo de radianes (que como usted sabe, es Sen30 = ½). De esta manera, no hay en realidad nada nuevo alevaluar la función trigonométrica de un número real.

La circunferencia unitaria es muy útil para describir las funcionestrigonométricas de los números reales.

Como veremos mas adelante, de este resultado podemosobtener algunas propiedades importantes de las funciones seno ycoseno. Debido al papel jugado por la circunferencia en esteanálisis, las funciones trigonométricas se refieren algunas veces alas funciones circulares.

Ya que (x, y) está situado en la circunferencia unitaria, sededuce que:

1 x 1 y 1 y 1

De lo anterior podemos deducir que:

Dominio y Rango.

Las observaciones anteriores indican que tanto Cos t y Sen tpueden ser cualquier número real del intervalo 1, 1 . Asíobtenemos las funciones seno y coseno.

y

Ambas con dominio en los números reales y como rango, elintervalo 1, 1 ..

11 tSenytCos

tSentf )( tCostf )(

Fórmulas para la suma y resta de senos, cosenos y tangentes

de dos ángulos.

Estas fórmulas las podemos aplicar tanto en la comprobación de

identidades, así como a la solución de ecuaciones trigonométricas.

ucosvsenvcosusenv)Sen(u

vsenusenvcosucosv)Cos(u

vtanutan1

vtanutanv)tan(u

Fórmulas del ángulo doble.

Estas fórmulas no solamente se aplican cuando el ángulo tieneesta forma, sino que se las puede utilizar para otros ángulosque tiene la misma relación.

Fórmulas de ángulo mitad.

ucosusen22usen

1u2cosusen21usenucos2uCos 2222

utan1

utan22uTan

2

2

ucos1

2

uSen

.

LEY DE LOS SENOS

LEY DE LOS COSENOS

bSen

B

aSen

A

cSen

C

bCosACCAB 2222

Áreas y perímetros de figuras geométricas

Volúmenes y áreas de figuras geométricas

Bibliografíahttp://es.wikipedia.org/wiki/

Wikipedia