Esta apresentao o resultado dotrabalho realizado pelo Professor
Paulo Petros Caratsoris, aluno do curso de ps-graduao em Novas
Tecnologias noEnsinodaMatemtica(latusenso),quefoirealizadoduranteas
atividades da disciplinaInformticanaEducao II,soba superviso da
tutora a distncia, a Professora Maria Ins de Souza Reynaud.
O objetivo principaldestetrabalho o derealizarumaapresentaos
GeometriasNo-euclidianas,comaintenodedivulgaresse contedo muito
pouco explorado nos ensinos Fundamental e Mdio.
3.
GEOMETRIA NO-EUCLIDIANA
Asprimeirasidiasgeomtricasforamabstradasda natureza pelo homem
nos primeiros dias da civilizao e influenciaram o desenvolvimento
da humanidade.
Inicialmente, essas idias refletiam as necessidades que o homem
tevedebuscar alternativas desobrevivncia na agricultura e no
pastoreio.Emdiferenteslocaisdo planeta o homem produziu
conhecimentogeomtrico para resolverproblemas como a demarcao de
terras, construo de casas, templos, palcios,entre outros.
4.
Cercade 300a. C.,emAlexandria, Euclides sistematizou o
conhecimento geomtrico dapoca, numaobra chamadaElementos,onde,
deuma forma lgica, ele organizou e sistematizou a geometria,
estabelecendoostermosprimitivos,axiomas,postuladose teoremas.
Usando como termos primitivos as noes de ponto, reta e plano,
Euclides construiu seu sistema formal alicerado em cinco
postulados, a saber:
P 1. possvel traar uma linha reta de qualquer ponto a
qualquer ponto.
P 2. possvel prolongar um segmento de reta indefinidamente para
a construo de uma linha reta.
P 3. possvel traar um crculo a partir de um centro e um
raio.
P 4. Todos os ngulos retos so iguais entre si.
P 5. Se uma retaincidindo sobre duas linhas retas forma ngulos
internos de um mesmo lado menores do que dois retos, prolongando-se
essas duas retas indefinidamente elas se interceptaro no lado em
que os dois ngulos so menores do que dois retos.
5.
O quinto postulado ficou conhecido como Axioma das Paralelas
porque se prova que equivalente ao seguinte: Por um ponto exterior
a uma reta passa sempre uma paralela reta dada.
Devido complexidade relativa de formulao e o insuficiente apelo
intuitivo do 5 Postulado, durante sculos diversos matemticos
tentaram deduzi-lo,e assim demonstr-lo como um teorema. O resultado
desse esforo que durou cerca de dois mil anos resistiu a todas as
tentativas de demonstrao.
O fato que a Geometria Euclidiana funciona muito bem em
superfcies planas. Porm, para algumas situaes geomtricas, como
superfcies curvas, tal geometria insatisfatria.
Foi a partir do sculo dezenove que, trabalhando de modo
independente, alguns matemticos famosos como Gauss, Lobachevski,
Bolyai e, um pouco mais tarde, Riemann estabeleceram a independncia
do quinto postulado, e criaram assim novas geometrias consistentes,
aplicveis a espaos curvos, conhecidas por no-euclidianas, como a
geometria esfrica e a hiperblica.
6.
GEOMETRIA ESFRICA
A geometria esfrica a geometria da superfcie bi-dimensional
duma esfera.
Nesta superfcie, as linhas retas so circunferncias mximas. Duas
quaisquer dessas retas cortam-se em dois pontos e no existem
paralelas. As trajetrias mais curtas entre os pontos, so chamadas
de geodsicas. As distncias entre dois pontos so os comprimentos
medidos ao longo de um arco de circunferncia mxima, e o ngulo entre
duas retas o ngulo entre estas circunferncias mximas.
Neste tipo de geometria aplica-se uma trigonometria esfrica,
onde, por exemplo, a soma dos ngulos interiores dum tringulo excede
os 180 graus.
A geometria esfrica tem importantes aplicaes prticas na navegao
e da astronomia.
7.
GEOMETRIA HIPERBLICA
Vimos, a geometria esfrica pode ser visualizada, em duas
dimenses, atravs da superfcie de uma esfera (ou elipside) com
curvatura positiva.
A geometria hiperblica, por sua vez, deve ser representada por
uma superfcie com curvatura negativa. Apesar do seu nome, as
melhores escolhas para isso no envolvem uma hiprbole.
A soma dos ngulos de um tringulo desenhado nesta superfcie
menor que 180 graus. Vemos tambm que quanto maior o tringulo, menor
a soma de seus ngulos. Isso exatamente o contrrio do que se passa
na superfcie da esfera que a representa. Alm disso, por um ponto P
podem passar infinitas "retas" paralelas a outra reta.
8. COMPARAOENTREA GEOMETRIA PLANA, ESFRICA E HIPERBLICA 9.
REFERNCIAS BILBIOGRFICAS
.Thomaz, M. L. , Franco, V. S. (2008) Geometria No-Euclidiana/
Geometria Esfrica. Paran.
. Gaiowski, A. O. , Bassoi, T. S. ,A Insero das Geometrias
No-Euclidianas no Currculo da Educao Bsica do Estado do
Paran.Paran