Editora Moderna

Encontro de professores de Matemática

Geometria no ensino fundamental

Equilíbrio entre experimentação e dedução

Prof. Luiz Márcio Imenes

imenes@uol.com.br

Exemplos de atividades experimentais em geometria

Montar um bloco retangular a partir de sua planificação.

Montar uma pilha de cubos e desenhar suas vistas simplificadas

Experiências com formas espaciais: quem rola?

Outros exemplos:• Transformar uma folha de papel na superfície

lateral de um cilindro.• Montar polígonos com canudos de tomar

suco.• Construir um esquadro de papel e usá-lo para

desenhar.• Construir retas perpendiculares e retas

paralelas dobrando papel.• Girar 90º para a direita ou para a esquerda

(brincar de robô).• Construir bissetriz dobrando papel.

Desenhar itinerários em malha de quadrados obedecendo certas instruções.• Avance 2

• Esquerda 90º

• Avance 3

• Esquerda 90º

• Avance 2

• Direita 90º

• Avance 3

• Direita 90º

• Avance 2

Mais alguns exemplos: • Desenhar retas paralelas deslizando o esquadro

na régua.• Desenhar uma circunferência usando barbante;

ou então, só uma régua.• Descobrir, por meio de tentativas, com quais

polígonos regulares se pode recobrir o plano.• Desenhando, observar que “o raio divide a

circunferência em seis partes iguais”.• Recortando papel, observar que a soma das

medidas dos ângulos de um triângulo é 180º.• Com dobraduras, observar que as bissetrizes de

um triângulo se encontram em um ponto.

Desenhar quadrados e investigar (experimentalmente): as medidas das diagonais são diretamente proporcionais às medidas dos

lados?

Desenhar triângulos retângulos e investigar (experimentalmente): a medida de um cateto é diretamente proporcional à medida do ângulo agudo oposto a ele?

Exemplos de atividades envolvendo dedução em

geometria

A experimentação leva a um fato: hexágonos regulares recobrem o plano.

A partir desse fato, pode-se deduzir a medida dos ângulos internos de um

hexágono regular.

O fato experimental: quadrados e triângulos equiláteros recobrem o plano (daí, as respectivas malhas).

Partindo desse fato, podem-se deduzir as medidas dos ângulos de polígonos desenhados sobre malhas triangulares ou quadriculadas.

Conhecimento prévio: a propriedade fundamental da circunferência

PROBLEMA• Se a circunferência de centro A

tem raio 5 cm e a de centro B tem raio 3 cm, então descubra as medidas de:AB, CB, AD, DB, EB e AE.

• Dos pontos assinalados na figura, qual está:

a) a 5 cm de A e a 3 cm de B?b) a mais de 5 cm de A e a menos de

3 cm de B?c) a menos de 5 cm de A e a menos

de 3 cm de B?d) a 5 cm de A e a 10 cm de B?

A experiência de traçar retas paralelas deslizando o esquadro na régua leva à percepção de que o paralelismo preserva ângulos (retas paralelas

cortadas por uma transversal formam pares de ângulos iguais).

A partir desse fato, pode-se deduzir que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual

a 180º.

Premissa: a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.

A partir desse fato, pode-se deduzir a soma das medidas dos ângulos de um quadrilátero ou de qualquer outro polígono.

Construir um polígono regular de n lados usando transferidor (divide-se 360º por n).

Em seguida, deduzir a medida do ângulo interno do polígono regular.

Quais são os conhecimentos prévios envolvidos nesta atividade?

Conhecendo a fórmula da área do retângulo, pode-se deduzir a fórmula

da área do paralelogramo.

Conhecendo a fórmula da área do paralelogramo, deduz-se a do triângulo.

• E depois, a do losango e a do trapézio.

Conhecendo semelhança de triângulos, podem-se deduzir relações métricas típicas dos triângulos retângulos, entre as quais o

teorema de Pitágoras.

Questões para debate:

• Até 6º ou 7º anos só abordagem experimental e, depois, só o tratamento dedutivo?

• Até que ano pode-se usar da experimentação?

• Que importância tem a geometria na formação das pessoas?

• Para que deduzir se os alunos não se interessam por isso?

• Por que não tratar a geometria só dedutivamente?

Este livro didático, para estudantes de 13 anos, foi muito usado no Brasil nas décadas de 1950 e 1960.

Vejamos como o autor apresenta a geometria.

O autor anuncia aos estudantes que, agora, fazendo uso somente da razão, tomarão contato com a geometria dedutiva.

A seguir, apresenta as noções primitivas.

Nessa abordagem, a partir de alguns conceitos primitivos e de alguns postulados, demonstram-se teoremas.

Capa de edição em inglês de Os Elementos de Euclides (1570)

Essa forma de tratar a Matemática foi desenvolvida pelos gregos e exposta na obra fundamental Os Elementos, de Euclides (por volta de 300 a.C.).

“Nenhum trabalho, exceto a Bíblia, foi tão largamente usado ou estudado e, provavelmente, nenhum exerceu influência maior no pensamento científico.”Introdução à História da Matemática. Eves, H. Campinas: Editora da UNICAMP, 1995.

Manfredo Perdigão do Carmo é um matemático brasileiro vinculado ao IMPA – Instituto de Matemática Pura e Aplicada, do Rio de Janeiro. Em 1973, em uma conferência para professores de Matemática, dentre outras considerações, ele afirma:

“Um dos maiores mal-entendidos do ensino da Matemática proveio da adoção dos livros de Euclides, ou de pequenas modificações deles, no ensino da Geometria. De início, devemos absolver Euclides de toda e qualquer culpa no caso. Euclides escreveu os seus livros com uma finalidade metodológica e não didática.

A formalização global, por ele obtida do volume de fatos geométricos conhecidos até então foi uma obra de gênio, melhor compreendida por filósofos e pensadores do que por jovens estudantes. Em oposição a Arquimedes, que usava uma combinação de formalização local e métodos heurísticos e cujas técnicas de pesquisas continham o germe de uma forma de ensino mais efetiva, a obra de Euclides foi tomada como um modelo didático. As consequências desastrosas deste fato se fazem sentir até hoje.”Considerações sobre o ensino de Matemática. Manfredo Perdigão do Carmo. Revista de Ensino de Ciências, n.2. São Paulo: FUNBEC, 1981.

Entendo que o professor Manfredo não estivesse exagerando. • De fato, boa parte das pessoas que, naquela época,

foram apresentadas à geometria dedutiva ou aprendeu muito pouco ou, o que é mais grave, aprendeu a detestar Matemática e a odiar os teoremas.

• O problema é ainda maior: na verdade, o modelo formal inspirou todo o ensino de Matemática. Euclides não escreveu sobre combinatória, mas a maneira habitual de apresentá-la segue o modelo.

• Por fim: Euclides e sua obra são jóias preciosas demais para serem tratadas de modo equivocado. É preciso construir a compreensão do espírito dos Elementos.

Algumas tendências e orientações atuais

• Estudar conjuntamente figuras planas e espaciais.

• Explorar atividades experimentais e de construção (não se trata do clássico desenho geométrico!). Essa estratégia implica o uso de uma série de recursos (nenhum deles dispendioso).

• Estabelecer conexões com: Artes e Arquitetura, atividades profissionais, forma e função de objetos do cotidiano, outras disciplinas (Geografia, Ciências) etc.

• Incorporar programas de geometria dinâmica ao trabalho com geometria.

• No PISA e nos PCN usa-se a expressão espaço e forma para referir-se à geometria. A intenção é destacar que, além do estudo das formas, contemplam-se também as noções relativas a posição, localização, deslocamentos e representação de formas espaciais sobre o plano (vistas, mapas e plantas, cortes, perspectiva).

• Adotar abordagens problematizadoras, o que significa buscar sempre as justificativas para os fatos observados.

• Tais justificativas podem ser fruto da experimentação ou da argumentação dedutiva.

• Explorar formalizações locais.