Guia derivadas

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Licenciado Ysmael González – v 1.0 - https://sites.google.com/site/ydavgonzalez/

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA

VARIABLE

AUTOR:

LICENCIADO YSMAEL D. GONZÁLEZ H.

SANTA ANA DE CORO, JULIO DE 2015

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

“FRANCISCO DE MIRANDA”

DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA

https://sites.google.com/site/ydavgonzalez/

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RECTAS TANGENTES

Conociendo el concepto de límite se puede dar una definición matemática de recta tangente

a una curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0) de la curva. Si se considera el punto 𝑄(𝑥, 𝑓(𝑥))

sobre la curva que sea diferente de 𝑃 y se calcula la pendiente 𝑚𝑝𝑞 de la recta secante que

pasa por 𝑃 y 𝑄:

𝑚𝑝𝑞 =𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0

Si se hace que 𝑥 tienda a 𝑥0, entonces el punto 𝑄 se moverá a lo largo de la curva y se acercara

al punto 𝑃. Si la recta secante que pasa por 𝑃 y 𝑄 tiende a una posición límite cuando

𝑥 → 𝑥0, entonces se considerará esta posición como la posición de la recta tangente en 𝑃.

Dicho de otra manera, si la pendiente 𝑚𝑝𝑞 de la recta secante que pasa por 𝑃 y 𝑄 tiende a un

límite cuando 𝑥 → 𝑥0, entonces se considerara que ese límite es la pendiente 𝑚𝑝𝑞 de la recta

tangente en 𝑃. Se llega a la siguiente definición.

𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0)

𝑄(𝑥, 𝑓(𝑥))

𝑦 = 𝑓(𝑥)

Recta tangente

Recta secante


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Definición 1: Suponga que 𝑥0 está en dominio de la función 𝑓. La recta tangente a la curva

𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0) es la recta con ecuación

𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑚𝑡𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥0)

donde

𝑚𝑡𝑎𝑛 = lím 𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0

siempre y cuando el límite exista. Para abreviar, también se le llamara la recta tangente a

𝑦 = 𝑓(𝑥) en 𝑥0.

Ejemplo: use la definición anterior para encontrar la ecuación de la recta tangente a la

parábola 𝑦 = 𝑥2 en el punto 𝑃(1,1).

𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim 𝑥→1

𝑓(𝑥) − 𝑓(1)

𝑥 − 1


𝑥2 − 1

𝑥 − 1


(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

𝑥 − 1


(𝑥 + 1) = 2

Luego, la recta tangente a 𝑦 = 𝑥2 en (1,1) tiene la ecuación

𝑦 − 1 = 2(𝑥 − 1)

𝑦 = 2𝑥 − 1

Hay una fórmula alternativa de expresar la fórmula de la definición 1que es común usar si se

hace que ℎ denote la diferencia ℎ = 𝑥 − 𝑥0 entonces decir que 𝑥 → 𝑥0 es equivalente a decir

ℎ → 0 por lo que la formula puede reescribirse en términos de 𝑥0 y ℎ como

𝑚𝑡𝑎𝑛 = lím ℎ→0

𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)

ℎ


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DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN DERIVADA

En la sección anterior se demostró que si el límite

lím ℎ→0

𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)

ℎ

Existe, entonces puede interpretarse como la pendiente a la recta tangente a la curva 𝑦 =

𝑓(𝑥) en el punto 𝑥 = 𝑥0, este límite es tan importante que tiene una notación especial:

𝑓′(𝑥0) = lím ℎ→0

𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)

ℎ

Puede pensarse en 𝑓′ (léase 𝑓′ prima) como una función cuya entrada es 𝑥0 y cuya salida es

el número 𝑓′(𝑥0) que representa la pendiente de la recta tangente a 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑥 =

𝑥0, para enfatizar esta definición se sustituye 𝑥0 por 𝑥 y se enuncia la siguiente definición.

Definición 2. La función 𝑓′ definida por la fórmula

𝑓′(𝑥) = lím ℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

Recibe el nombre de la derivada de 𝑓 con respecto a 𝑥. El domino de 𝑓′ coniste en todas

las 𝑥 en el domino de 𝑓para las que el límite existe.

El termino derivada se usa debido a que la función 𝑓′ deriva de 𝑓 por un proceso de límite.

Cuando la variable independiente es 𝑥 la operación derivación suele denotarse también por

𝑓′(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥)] O 𝑓′(𝑥) = 𝐷𝑥[𝑓(𝑥)]

En el caso en que hay una variable dependiente 𝑦 = 𝑓(𝑥), la derivada suele denotarse

también

𝑓′(𝑥) =𝑑𝑦

𝑑𝑥 O 𝑓′(𝑥) = y′(𝑥)


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TÉCNICAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

Teorema 1. La derivada de una función constantes es 0

Si 𝑓(𝑥) = 𝑐 entonces 𝑓′(𝑥) = 0

Ejemplo:

𝑑

𝑑𝑥[4] = 0

Teorema 2. (La regla de la potencia)

Si 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1

Ejemplo:

𝑑

𝑑𝑥[𝑥2] = 2x

𝑑

𝑑𝑥[

1

𝑥4] =

𝑑

𝑑𝑥[𝑥−4] = −4𝑥−4−1 = −4𝑥−5 = −

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𝑥5

Teorema 3. Derivada de una función por una constante

Si 𝑓(𝑥) = 𝑐. (𝑔(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑐. (𝑔′(𝑥))

Ejemplo:

Si 𝑓(𝑥) = 4. 𝑥2 entonces 𝑓′(𝑥) = 4 . 2𝑥 = 8𝑥

Teorema 4. Derivadas de sumas y diferencias, sean 𝑢(𝑥) y 𝑣(𝑥) funciones diferenciables.

Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥) + 𝑣′(𝑥)

Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) − 𝑣(𝑥) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥) − 𝑣′(𝑥)

Ejemplo:

Si 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥2 entonces 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 10𝑥


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Teorema 5. Regla del producto, sean 𝑢(𝑥) y 𝑣(𝑥) funciones diferenciables.

Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) + 𝑣′(𝑥) ∙ 𝑢(𝑥)

Ejemplo:

Si 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 5) (𝑥 − 1) luego

𝑓′(𝑥) = (2𝑥)(𝑥 − 1) + 1 ∙ (𝑥2 − 5) = 2𝑥2 − 2𝑥 + 𝑥2 − 5

𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 − 5

Teorema 6. Regla del cociente, sean 𝑢(𝑥) y 𝑣(𝑥) funciones diferenciables.

Si 𝑓(𝑥) =𝑢(𝑥)

𝑣(𝑥) entonces 𝑓′(𝑥) =

𝑢′(𝑥).𝑣(𝑥)−𝑣′(𝑥).𝑢(𝑥)

[𝑣(𝑥)]2

Ejemplo:

Si 𝑓(𝑥) =(𝑥2−5)

(𝑥−1) luego

𝑓′(𝑥) =2𝑥 ∙ (𝑥 − 1) − 1 ∙ (𝑥2 − 5)

(𝑥 − 1)2

𝑓′(𝑥) =2𝑥2 − 2𝑥 − 𝑥2 + 5

(𝑥 − 1)2

𝑓′(𝑥) =𝑥2 − 2𝑥 + 5

(𝑥 − 1)2

Teorema 7. Regla de la cadena, sean 𝑢(𝑥) y 𝑣(𝑥) funciones diferenciables.

Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑣(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑣(𝑥)) ∙ 𝑣´(𝑥)

Ejemplo:

Si 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 5)2 luego 𝑢(𝑥) = 𝑥2 y 𝑣(𝑥) = 𝑥2 − 5


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𝑓′(𝑥) = 2(𝑥2 − 5) ∙ (2𝑥)

𝑓′(𝑥) = 4𝑥2 − 20𝑥

Teorema 8. Potencia de una función. Sea 𝑢(𝑥) una función diferenciable.

Si 𝑓(𝑥) = [𝑢(𝑥)]𝑛 entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑛 ∙ [𝑢(𝑥)]𝑛−1 ∙ 𝑢′

Ejemplo:

Si 𝑓(𝑥) = (𝑥3 − 𝑥)3 luego

𝑓′(𝑥) = 3(𝑥3 − 𝑥)2 ∙ (3𝑥2 − 1)

𝑓′(𝑥) = 3(𝑥6 − 2𝑥4+𝑥2) ∙ (3𝑥2 − 1)

𝑓′(𝑥) = 3(3𝑥8 − 6𝑥6+3𝑥4−𝑥6 + 2𝑥4−𝑥2)

𝑓′(𝑥) = 3(3𝑥8 − 7𝑥6 + 5𝑥4−𝑥2)

𝑓′(𝑥) = 9𝑥8 − 21𝑥6 + 15𝑥4−3𝑥2)

Esta regla constituye un caso especial de la regla de la potencia donde 𝑢(𝑥) es

𝑥.

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICA, LOGARITMICAS Y

EXPONENCIALES

Teorema 9. Derivadas de funciones trigonométricas, sea 𝑢(𝑥) una función diferenciable.

Si 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑢(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑢(𝑥)) ∙ 𝑢´(𝑥)

Si 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑢(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑢(𝑥)) ∙ 𝑢´(𝑥)

Si 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛(𝑢(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2(𝑢(𝑥)) ∙ 𝑢´(𝑥)

Si 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑢(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑢(𝑥)) ∙ 𝑡𝑎𝑛(𝑢(𝑥)) ∙ 𝑢´(𝑥)

Si 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡(𝑢(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑠𝑐2(𝑢(𝑥)) ∙ 𝑢´(𝑥)

Si 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐(𝑢(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑠𝑐(𝑢(𝑥)) ∙ 𝑐𝑜𝑡(𝑢(𝑥)) ∙ 𝑢´(𝑥)


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Ejemplo:

Si 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) entonces 𝑓′(𝑥) = cos (𝑥)

Si 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥3) entonces 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥3) ∙ (𝑥3)′ = −3𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥3)

Si 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐(𝑠𝑒𝑛(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑠𝑐(𝑠𝑒𝑛(𝑥))𝑐𝑜𝑡(𝑠𝑒𝑛(𝑥))𝑐𝑜𝑠(𝑥)

Teorema 10. Derivadas de funciones logarítmicas, sea 𝑢(𝑥) una función diferenciable

Si 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑢(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) =𝑢´(𝑥)

𝑢(𝑥)

Si 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑢(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) =𝑢´(𝑥)

𝑢(𝑥)∙𝑙𝑛𝑏

Ejemplo:

Si 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥3) entonces 𝑓′(𝑥) =3𝑥2

𝑥3=

3

𝑥

Si 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔10(𝑥2) entonces 𝑓′(𝑥) =2𝑥

𝑥3∙ln (10)=

2

𝑥∙ln (10)

Teorema 10. Derivadas de funciones exponenciales, sea 𝑢(𝑥) una función diferenciable

Si 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑢(𝑥) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑢(𝑥) ∙ 𝑢′(𝑥)

Si 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑢(𝑥) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑏𝑢(𝑥) ∙ ln(𝑏) ∙ 𝑢′(𝑥)

Ejemplos:

Si 𝑓(𝑥) = 𝑒4𝑥 entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑒4𝑥 ∙ 4 = 4𝑒4𝑥

Si 𝑓(𝑥) = 10𝑥2 entonces 𝑓′(𝑥) = 10𝑥2

∙ ln(10) ∙ 2𝑥 = 2𝑥 ln(10) 10𝑥2


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DERIVACIÓN IMPLICITA

Se dice que una ecuación de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) define a 𝑦 explícitamente como una función

de 𝑥 porque la variable 𝑦 aparece sola e uno de los lados de la ecuación. Sin embargo, en

ocasiones las funciones están definida por ecuaciones en las que 𝑦 no está sola en uno de los

lados de la ecuación; por ejemplo, la ecuación

𝑦𝑥 + 𝑦 + 1 = 𝑥

No es de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) pero si define a 𝑦 como una función de 𝑥 ya que puede

reescribirse como

𝑦 =𝑥 − 1

𝑥 + 1

Por lo tanto la ecuación 𝑦𝑥 + 𝑦 + 1 = 𝑥 define a 𝑦 implícitamente como una función de

𝑥. En general, no es necesario resolver una ecuación para 𝑦 en términos de 𝑥 para poder

derivar las funciones definidas implícitamente por la ecuación.

Ejemplo: Utilice la derivación implícita para encontrar 𝑑𝑦

𝑑𝑥 si 5𝑦2 + 𝑠𝑒𝑛(𝑦) = 𝑥2

Es posible derivar ambos lados tratando a 𝑦 como una función derivable de 𝑥 (aún no

especificada).

𝑑

𝑑𝑥[5𝑦2 + 𝑠𝑒𝑛(𝑦)] =

𝑑

𝑑𝑥[𝑥2]

5𝑑

𝑑𝑥[𝑦2] +

𝑑

𝑑𝑥[𝑠𝑒𝑛(𝑦)] = 2𝑥

5 (2𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝑦)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥

10𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑐𝑜𝑠(𝑦)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥

Resolviendo para 𝑑𝑦

𝑑𝑥 se obtiene

Se usa aquí la regla de la

cadena porque 𝑦 es una

función de 𝑥.


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(10𝑦 + 𝑐𝑜𝑠(𝑦))𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

2𝑥

10𝑦 + 𝑐𝑜𝑠(𝑦)

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

La segunda derivada: La derivada 𝑓′ de la función 𝑓 recibe el nombre de primera derivada

de la función. El adjetivo primera sirve para distinguir esta derivada de las otras relacionadas

con una función. El orden de la misma es 1. La segunda derivada 𝑓′′ de una función es la

derivada de la primera. En 𝑥 se denota por 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 o bien 𝑓′′(𝑥), la segunda derivada se

determina aplicando las mismas reglas de la diferenciación que se usaran para calcular la

primera derivada.

𝒇(𝒙) 𝒇′(𝒙) 𝒇′′(𝒙)

𝑥6 6𝑥5 30𝑥4

𝑥2 − 5𝑥 + 6 2𝑥 − 5 2

𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥

ln (𝑥) 1

𝑥 −

1

𝑥2

Derivadas de orden superior

Definición 3: Derivada de n-ésimo orden. La derivada de n-ésimo orden de 𝑓, denotada

por 𝑓(𝑛), se encuentra al diferenciar la derivada de orden 𝑛 − 1 en 𝑥, es decir,

𝑓(𝑛)(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑛−1)(𝑥)]

Ejemplo: Dada

𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 5𝑥4 + 𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥 − 12

𝑓′(𝑥) = 5𝑥4 − 20𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥 + 1


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𝑓′′(𝑥) = 20𝑥3 − 60𝑥2 + 6𝑥 − 6

𝑓′′′(𝑥) = 60𝑥2 − 120𝑥 + 6

𝑓(4)(𝑥) = 120𝑥 − 120

𝑓(5)(𝑥) = 120

𝑓(6)(𝑥) = 0

Todas las demás derivadas de orden superior serán también0.


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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Anton, H., Bivens, I. y Davis, S. (2010) Cálculo de una variable: Trascedentes tempranas. 2°

Edición (pp. 165-255)

Budnick, F. (2007) Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales.

4° edición (pp. 728-767)


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