Seções Planas do Cone Circular Seções Planas do Cone Circular RetoReto

Professor AmorimInformática Educativa II –

Especialização em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática

» Um Pouco de História

Estudos sobre o tema que veremos aqui aparecem na história da humanidade antes mesmo de Euclides ( 325 – 265a.C.). Um nome que merece destaque é Apolonio de Perga (262 – 190a.C.), pois produziu uma série de oito livro sobre o assunto, “Seções Cônicas”, apesar do oitavo volume ter se perdido. Esta coleção veio a influenciar muito outros expoentes das ciências como Ptolomeu, Kepler, Galileu, Isaac Newton e outros.

» Lugar Geométrico

Denomina-se lugar geométrico a um conjunto de pontos que satisfazem a uma determinada propriedade e reciprocamente.

Em geral, os lugares geométricos que se destacam em algum estudo são aqueles cuja representação dos pontos num sistema de coordenadas geram um curva. Veja alguns exemplos de lugares geométricos:

» Secção Plana de um Cone Circular Reto

Imaginemos um cone circular reto ilimitado. Seja um plano que seccione todas as geratrizes do cone uma única vez. No interior desse cone e tangenciando o cone e o plano , vamos construir esferas conforme o exemplo a seguir:

Você pode visualizar e manipular a figura ao lado com o programa “CtrlView” e abrindo, com ele a figura ‘cone1’ em:

http://www.4shared.com/file/174995108/2fccb8d7/cone1.html

Brinque também com as outras formas que estão lá:http://www.4shared.com/file/175078272/4e3c4597/cone3.htmlhttp://www.4shared.com/file/175078290/3eb10935/cone2.html

Perceba que a interseção das esferas com o cone, formam círculos.

Circunferências de contato.

Vamos nos concentrar na esfera menor:

i) m é um ponto qualquer seção plana de com o cone;

ii) mT = mF;

iii) Construa os triângulos mTN e mNX, ambos retângulos em N.

N é a projeção ortogonal de m no plano do círculo de contato e X é a projeção ortogonal de m na interseção do plano com o plano da circunferência de contato.

Os triângulos citados estão destacados abaixo.

É possível perceber que:

)a é o ângulo de ‘abertura do cone’, é o ângulo que qualquer geratriz desse cone forma com o plano da circunferência de contato.

)b é o ângulo do plano , ou seja, o ângulo que forma com o plano da circunferência de contato.

Considerando, inicialmente, esses ângulos fixos, ou seja, sem variarmos as inclinações, teremos:

NmI ) senmT

Nm mF senII ) sen e cons tantemX mX sen

III ) mT mF já sabíamos

Essa constante ‘e’ recebe o nome de excentricidade.

Considerando fixo apenas o ângulo de abertura do cone e variando o ângulo de interseção do plano , observamos o que está sintetizado abaixo:

0 1e : O plano secciona todas as geratrizes numa única folha do cone. Chamaremos a figura assim obtida de elipse.

1e : O plano secciona uma única folha do cone,mqs não todas as geratrizes. Chamaremos a figura assim obtida de parábola.

1e : O plano secciona as duas folhas do cone, mas não todas as geratrizes. Chamaremos a figura assim obtida de hipérbole.

Estas figuras recebem o nome de cônicas. Ao longo da história da humanidade, o homem tem encontrado diversas aplicações úteis com base nas propriedades dessas figuras. Veja:

- Estudo das órbitas dos planetas em torno do Sol e trajetória de cometas:

- Construção de antenas mais eficientes, as antenas parabólicas. Construção de faróis que aproveitam o máximo das lâmpadas.

- Refletores odontológicos e aparelhos de radioterapia.

- Construção de lunetas e telescópios mais potentes e precisos.

- Na arquitetura: Acústica e na engenharia.

Catedral de

São Paulo.

Colisseu

Golden Gate

Para conhecer mais sobre as cônicas, suas propriedades e aplicações, veja alguns links:

Faculdade de Ciências de Lisboa: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/

UFRJ: http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/diversos/conicas.html

Jocelino Sato – Universidade Federal de Uberlândia 2004: http://www.4shared.com/file/175024073/b88991a7/Conicas_JocelinoSato.html

Síntese dos livros de Apolônio: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/apolonio/conicas.htm

Referências Bibliográficas:

» Boyer, C. B. História da Matemática. Editora Edgar Blücher Ltda. São Paulo: 1974.

» Lehmann, C. H. Geometria Analítica. Editora Globo. São Paulo: 1998.

» Revista do Professor de Matemática, IMPA-SBM, Rio de Janeiro.