NOVAS TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA – NTEM

ALUNA: LUANA FERREIRA D’AVILA

PÓLO: NOVA IGUAÇU GRUPO: 2 Atividade 1: TAAGEM

Resolução Algébrica e Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 2x2

Apresentarei neste tópico três exemplos que demonstram a interpretação geométrica

da solução algébrica de sistemas de equações lineares de duas equações com duas incógnitas.

Para este caso temos que o sistema pode ser possível e determinado (SPD), possível e

indeterminado (SPI) ou impossível (SI).

SISTEMA IMPOSSIVEL

Este tipo de sistema não tem solução algébrica. De fato, as retas cujas equações gerais são:

{6x + 4y = 31 ¿¿¿¿ são retas paralelas, não possuem ponto em comum na geometria euclidiana.

Contextualizando: O triplo da altura de uma estrutura metálica pequena somado ao dobro

de sua largura dá 7 metros. Ao somarmos as medidas da altura e largura de uma estrutura

maior que possui o dobro da medida da estrutura menor obtemos 31 metros. Quanto mede a

altura e largura da estrutura maior? Não existe estrutura que atenda estas características.

FIGURA 1

SISTEMA LINEAR POSSÍVEL E DETERMINADO

O sistema tem solução algébrica única, que podemos ver através da representação

gráfica que nos mostra o ponto de interseção das retas cujas equações gerais são:

{ x + y = 2¿ ¿¿¿

Solução: x=2 e y=0

Contextualizando: A soma da quantidade em reais que eu e minha irmã temos no

bolso dá R$ 2,00. O triplo da quantia que me cabe diminuido da quantia exata que minha

irmã tem resulta em R$ 6,00. Quantos reais temos separadamente?

FIGURA 2

SISTEMA LINEAR POSSIVEL E INDETERMINADO

Este tipo de sistema tem infinitas soluções que são representadas pela interseção das

retas cujas equações gerais são:

{ x + y = 4 ¿ ¿¿¿

Observa-se que estas equações representam retas coincidentes.

Contextualizando: O semi-perímetro de uma caixa de lados x e y mede 4 metros. O

perímetro de uma segunda caixa com lados iguais a 2x e 2y mede 8 metros. Qual a medida

dos lados de cada caixa?

FIGURA 3

Resolução Algébrica e Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 3x3

Apresentarei neste tópico exemplos que demonstram a interpretação geométrica da

solução algébrica de sistemas de equações lineares de três equações com três incógnitas. Em

um sistema de equações com três equações com três incógnitas, cada equação representa um

plano no espaço tridimensional.

Para este caso temos que o sistema pode ser possível e determinado (SPD), possível e

indeterminado (SPI) ou impossível (SI).

Na totalidade, existem oito posições possíveis para os planos α , β e µ .

sistema possível e determinado: 1 posição

sistema possível e indeterminado: 3 posições

sistemas impossíveis: 4 posições

Abaixo são expostas estas oito posições relativas de α , β e µ:

SISTEMA LINEAR POSSIVEL E DETERMINADO- 3X3

O sistema é determinado , ou seja, possui solução única, quando os três planos se encontram em um único ponto.

{x-y+z=6 ( α ) ¿ {x+y-z=4 ( β )¿ ¿¿¿

Solução: x=5, y=6 e z=7

Contextualizando: Fui ao shopping passear e num impulso adquiri vestidos, saias e sapatos. Ao ser questionada por meu pai sobre a quantidade de peças, respondi:

A quantidade de vestidos diminuída da quantidade de saias, mais o número de sapatos dá 6.

A quantidade de vestidos somada a quantidade de saias, diminuída do número de sapatos dá 4.

O dobro de vestidos menos o número de saias somado ao triplo da quantidade de sapatos daria 25.

Será que meu pai será capaz de descobrir a quantia exata de vestidos, saias e sapatos que comprei?

x

y

z

PLANO α

PLANO β

PLANO µ

FIGURA 4

SISTEMA LINEAR POSSIVEL E INDETERMINADO- 3X3

Quando os três planos se intersectam em uma reta r, isto é, se α ∩ β ∩ µ = r , diz-se

que o sistema é indeterminado e a solução do sistema está contida em qualquer ponto da reta

r. Há três casos possíveis:

1º CASO- Os 3 planos são diferentes e possuem uma reta r em comum, α ∩ β ∩ µ = r.

Qualquer ponto desta reta r pertence ao conjunto solução do sistema.

{x+y+z=1 (α )¿ {2x-y+z=3 ( β )¿ ¿¿¿

Uma das possíveis soluções: x= 4/3 , y= -1/3 e z=0

Contextualizando: Há possibilidade geométrica de construir uma caixa com as

dimensões oferecidas acima?Espera-se que o aluno interprete este possível resultado como

solução para o sistema, mas que não solucione o problema proposto.

x y

z

(-2.68,-4.47,3.29)

(5.35,3.81,-3.29)

PLANO α

PLANO β

PLANO µ

FIGURA 5.1

2º CASO: Os 3 planos são coincidentes, ou seja, estão sobrepostos. Neste caso o

sistema é indeterminado e qualquer ponto dos planos é uma solução do sistema.

{x+2 y-z=3 (α )¿ {2x+4y−2 z=6 (β )¿ ¿¿¿ Uma das possíveis soluções: x= 3 , y= 0 e z=0

Observa-se qua as equações dos planos são múltiplas uma das outras.

Contextualizando: Há possibilidade geométrica de construir uma caixa com as

dimensões oferecidas acima?Espera-se que o aluno interprete este possível resultado como

solução para o sistema, mas que não solucione o problema proposto.

x

y

z

(4.88,4.92,1.29)

(-2.88,-0.92,-5.29)

PLANO α

PLANO β

PLANO µ

FIGURA 5.2

3º CASO: 2 planos coincidem e o 3º plano intercede-os numa reta r. Qualquer ponto

que esteja sobre a reta r pertence ao conjunto solução deste sistema.

{x+2y-z=3 ( α) ¿ {2x+4y-2z=6 ( β ) ¿ ¿¿¿

Uma das possíveis soluções é : x=3, y=0 e z=0

Contextualizando: Um grupo de amigos que viaja em carros separados desloca-se

segundo o sistema de equações acima. Há possibilidade de nos encontrarmos no caminho?

Algum grupo viaja junto? Em que ponto podemos marcar para nos encontrarmos?

(-0.46,-2.44,3.56)

(6.46,2.44,-3.56)

PLANO α

PLANO β

PLANO µ

FIGURA 5.3

SISTEMA LINEAR IMPOSSÍVEL

Um sistema é dito impossível quando ao menos dois desses planos estão paralelos no

espaço, ou se dois deles intersectam o terceiro segundo retas paralelas. Neste caso a interseção

α ∩ β ∩ µ é vazia. Há quatro casos possíveis de impossibilidade de solução:

1º CASO- 2 planos são coincidentes e o 3º plano é paralelo aos demais. Não há

interseção dos três planos mutuamente.

{x+2y-z=3 ( α) ¿ {2x+4y-2z=6 ( β ) ¿ ¿¿¿Contextualizando: Recebi uma encomenda de casinha de cachorro com as seguintes

características:

A medida da altura somada ao dobro da largura diminuída da medida da

profundidade deve resultar em 3 metros.

O dobro das características acima deve resultar em 6 metros.

No entanto, o triplo das caracteríticas exigidas dever se igualar a 8 metros,

devido a problemas de espaço.

Que medidas deve ter a casinha de cachorro para que atenda a todas as características

acima? Existe alguma possibilidade desta casinha ser construída?

x

y

z

PLANO α

PLANO β

PLANO µ

FIGURA 6

2º CASO- os 3 planos são paralelos. Assim, α // β // µ , impossibilitando um ponto de

interseção aos planos.

{x+2y-z=3 ( α) ¿ {2x+4y-2z=4 ( β ) ¿ ¿¿¿Contextualizando: Existe algum sólido geométrico cujas medidas de altura, largura e

profundidade atenda às características citadas no sistema cima?

(6.88,-2.92,6.29)

(-3.88,5.92,-3.29)

PLANO α

PLANO β

PLANO µ

FIGURA 6.1

3º CASO- Há 2 planos paralelos e o 3º faz uma interseção com os demais. Pode-se

observar no gráfico que α // β e µ ∩ α, µ ∩ β. Não há ponto de interseção entre os três

planos simultaneamente.

{x-2y+3z=4 ( α ) ¿ {2x+4y+z=0 ( β ) ¿ ¿¿¿Contextualizando: Crie um cubo cujas faces obedeçam as medidas de altura, largura

e comprimento indicadas no sistema de equações acima.

x

y

(3.77,-3.77,10.54)

(-3.77,3.77,-4.54)

PLANO α

PLANO β

PLANO µ

FIGURA 6.2

4º CASO: Os 3 planos se interceptam dois a dois segundo retas paralelas:

α ∩ β, α ∩ µ, µ ∩ β

{x+2y-3z=1 (α ) ¿ {3x+y+z=2 ( β ) ¿ ¿¿¿Contextualizando: Eu, meu avô e uma tia nos movimentamos em carros separados

segundo o sistema de equações acima. Em que ponto podemos marcar para nós três nos

encontrarmos?

x

y

z(-4.51,-4.19,3.43)

(4.51,4.19,-3.43)

FIGURA 6.3

x

y

z

(4.51,-4.19,3.43)

(-4.51,4.19,-3.43)

FIGURA 6.4

PLANO α

PLANO β

PLANO µ

Resolução e Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações Não Lineares

Um sistema não-linear é aquele que não pode ser modelado por meio de equações

lineares: algébricas ou diferenciais.

Intersecção de círculo com hipérbole

Temos 4 soluções que são os pontos onde as curvas se interceptam. No gráfico pode-

se ver claramente os pontos de interseção.

{x2+y2 -2=0 ¿ ¿¿¿Contextualizando: Um satélite que possui órbita circular descrita pela equação

x2 +y2 -2=0 é ameaçado pela órbita de um astro que se move segundo a equação

9x2 -y2 -9=0 . Há chance deste satélite colidir com o astro desconhecido? Se houver

chance, cite em qual ponto esta colisão pode ocorrer.

x

y

Sistemas 2x2 – Print da tela do Maxima

Sistemas 3x3 – Print da tela do Maxima

Print com tela do Maxima para as cônicas