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INTERVALOS REAIS
2 –3
INTERVALOS REAIS
Considere os conjuntos A = {x ℤ /–3 ≤ x < 2} e
B = {x ℝ /–3 ≤ x < 2}. É verdade que A = B?
O conjunto A tem apenas os elementos –3, –2, –1, 0 e
1, enquanto o conjunto B tem infinitos elementos,
dentre os quais estão os elementos de A, logo A e B
não são iguais.
O conjunto B pode ter seus elementos representados
na reta real, delimitando-se uma parte dessa reta.
veja
18/04/2013 2 JOSIVALDO PASSOS
INTERVALOS REAIS
Muitas vezes trabalhamos com determinados
subconjuntos de ℝ (partes da reta), denominados
intervalos reais. Em geral eles são definidos por
desigualdades.
Suponhamos dois números reais a e b tais que a < b.
Os subconjuntos de ℝ definidos a seguir são chamados
de intervalos reais de extremos a e b.
18/04/2013 3 JOSIVALDO PASSOS
b a
INTERVALOS REAIS – LIMITADOS
Intervalo fechado a, b.
Representações: [a, b] = {x ℝ /a ≤ x ≤ b}
Na reta real:
b a
Intervalo aberto a, b.
Representações: ]a, b[ = {x ℝ /a < x < b}
Na reta real:
18/04/2013 4 JOSIVALDO PASSOS
b a
INTERVALOS REAIS – LIMITADOS
Intervalo fechado em a e aberto em b.
Representações: [a, b[ = {x ℝ /a ≤ x < b}
Na reta real:
b a
Intervalo aberto em a e fechado em b.
Representações: ]a, b] = {x ℝ /a < x ≤ b}
Na reta real:
18/04/2013 5 JOSIVALDO PASSOS
OBSERVAÇÃO
Observe que cada intervalo inclui todos os reais
entre a e b; para os extremos a e b, temos:
Inclui os extremos fechado bolinha cheia (•)
colchetes normais [ ].
Não inclui os extremos aberto bolinha vazia (o)
colchetes invertidos ] [.
18/04/2013 6 JOSIVALDO PASSOS
a
INTERVALOS REAIS – ILIMITADOS
Intervalo de a fechado até +.
Representações: [a, +[ = {x ℝ / x ≥ a}
Na reta real:
a
Intervalo de a aberto até +.
Representações: ]a, +[ = {x ℝ /x > a}
Na reta real:
18/04/2013 7 JOSIVALDO PASSOS
a
INTERVALOS REAIS – ILIMITADOS
Intervalo de – até a fechado.
Representações: ]–, a] = {x ℝ / x ≤ a}
Na reta real:
a
Intervalo de – até a aberto.
Representações: ]–, a[ = {x ℝ /x < a}
Na reta real:
18/04/2013 8 JOSIVALDO PASSOS
5 –3
EXEMPLOS
Vamos analisar, em detalhes, o intervalo real
A = [–3, 5[.
Temos um intervalo fechado em –3 e aberto em 5;
Representa todos os reais entre –3 e 5, incluindo o
extremo -3, porém o extremo 5 não faz parte do
intervalo.
A = {x ℝ / –3 ≤ x < 5}
Note, por exemplo, que: –3 A; 0 A; 3 A
4,99 A; 5 A
18/04/2013 9 JOSIVALDO PASSOS
EXEMPLOS
Vamos analisar, agora, o intervalo B,
representado na reta real.
temos um intervalo aberto de 2 a +;
estão indicados todos os reais maiores que 2;
o extremo 2 não faz parte do intervalo.
B = {x ℝ / x > 2}
Note que: 0 B; 1 B; 1,9 B; 2 B; 2,001 B;
10000000 B; 1035 B
2
18/04/2013 10 JOSIVALDO PASSOS
OPERAÇÕES COM INTERVALOS REAIS
OPERANDO COM INTERVALOS REAIS
Podemos efetuar, com intervalos, as operações
usuais com conjuntos.
A B A interseção B: conjunto dos elementos comuns
a A e B;
A B A união B: conjunto dos elementos que
pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B;
A – B A menos B: conjunto dos elementos que
pertencem a A e não pertencem a B.
Na prática, operações que envolvem intervalos são
efetuadas a partir da representação na reta real.
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–2 6
3
3 6
EXEMPLO
Dado os intervalos A = ]–2, 6] e B = ]3, +[,
obter A B, A B e A – B.
Cálculo de A B.
A = ]–2, 6]
B = ]3,+[
A ⋂ B = ]3, 6]
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–2 6
3
–2
Cálculo de A B .
A = ]–2, 6]
B = ]3,+[
A B = ]–2, +[
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–2 6
3
–2 3
Cálculo de A – B.
A = ]–2, 6]
B = ]3,+[
A – B = ]–2, 3]
18/04/2013 15 JOSIVALDO PASSOS
