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LÓGICA MATEMÁTICA CURSO: Sistemas de Informação 1º PERÍODO CENTRO UNIVERSITÁRIO – CESMAC FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - FACET

Introdução à Lógica de Predicados

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Page 1: Introdução à Lógica de Predicados

LÓGICA MATEMÁTICA

CURSO: Sistemas de Informação

1º PERÍODO

CENTRO UNIVERSITÁRIO – CESMAC FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - FACET

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Objetivo da Aula

• A aula de hoje tem como objetivo uma introdução sobre a Lógica de Predicados

• Assim, uma introdução sobre a linguagem da Lógica de Predicados

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Sumário

• Introdução

• Conceito

• Alfabeto

• Fórmulas

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Conteúdo Programático

• Lógica Proposicional: – Sintaxe

– Semântica

– Propriedades Semânticas

– Método para determinação da validade de fórmulas

• Lógica de Predicados: – Sintaxe

– Semântica

– Propriedades Semânticas

– Resolução.

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Introdução

• O que lhe lembram Predicado?

–Uma regra da nossa gramática

–Análise Sintática

– Sujeito, Verbo, Predicado...

• Ao iniciar uma análise simples do sujeito e o verbo.

– Ex.: João trabalha

Pedro estuda

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Introdução

• Sujeito - Elemento da oração a respeito do qual damos alguma informação. Seu núcleo (palavra mais importante) pode ser um substantivo, pronome ou palavra substantivada.

• Tipos de sujeitos:

– Simples

– Composto

– Oculto, elíptico ou desinencial

– Indeterminado

– Inexistente ou oração sem sujeito

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Introdução

• Verbo - é a palavra que exprime um fato (geralmente uma ação, estado ou fenômeno da natureza) e localiza-o no tempo, usados também para ligar o sujeito ao predicado.

• Predicado - É tudo aquilo que se informa sobre o sujeito, e é estruturado em torno de um verbo. Ele sempre concorda em número e pessoa com o sujeito.

• Há também tipos de predicados, mas não são relevantes para nós.

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Introdução

• Exemplos:

– João é pardo.

Sujeito + predicado

– Mário e Mauro são irmãos.

Sujeito + Conjunção + Sujeito + Predicado

– Eu estou feliz.

Sujeito + Predicado

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Conceito

• É mais rica do que a Lógica Proposicional

• Além de conter objetos da Proposicional, mais quantificadores, símbolos funcionais e de predicados fazem parte

• Comentam ser uma extensão da Lógica Proposicional

• Mas, afinal, por que?

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Conceito

• Também denominada Lógica de Primeira Ordem

• Há uma analogia e semelhança mais próxima à realidade da computação

• Ainda, na Lógica Proposicional são limitados os quantificadores e objetos

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Conceito

“Todo aluno de Análise de Sistema é nerd. João é aluno de Análise de Sistema. Logo, João é nerd.”

“Qualquer um para a lateral direita.”

• Existe quantificadores para “todo” e “qualquer”?

• São consideradas também funções, predicados e variáveis, de forma análoga ao Cálculo diferencial

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Alfabeto

• Símbolos de pontuação: ,

• Símbolo de verdade: true ou false

• Conjunto enumerável de símbolos para variáveis: x, y, z...

• Conjunto enumerável de símbolos para funções: f, g, h

• Conjunto enumerável de símbolos para predicados: p, q, r, p2, q2, r2....

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Fórmulas

• Muitos dos elementos da Lógica proposicional foram incorporados

• Existem infinitos símbolos

• As fórmulas são formadas por:

a) variáveis

b) Funções e predicados

c) constantes

d) conectivos

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Fórmulas

a) Variáveis • Sintaticamente iguais às constantes • Análogo a linguagens de programação

Exemplo: x, y, z b) Funções Semelhante a função em programação, recebe um ou mais argumentos e produz uma resposta, um elemento do domínio como um número ou um objeto. Exemplo: soma(x,y)

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Fórmulas

Ex.: +(3,4)

pai_de(João)

Predicados

Semelhante a uma função em programação com resposta booleana, a resposta será sempre verdadeiro ou falo. Utilizado para representar relações

• Exemplo: irmao(x, y), pai(x,y), vizinho(x,y)

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Fórmulas

c) Constantes

• Dão nomes as coisas particulares

• Exemplo: Rubens, Brasília, Arapiraca

d) Conectivos

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Fórmulas

• Como na lógica proposicional, liga-se as sentenças atômicas com os conectivos : e, ou, se...então, não, se e somente.

• Com os quantificadores e variáveis se aplica o mesmo princípio

• Na tradução:

João gosta de Maria e ela o adora.

gosta(João, Maria) ^ adora(Maria, João).

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Fórmulas

• O tratamento de pronomes é muito relevante na formação das fórmulas

• “algo”, “todo mundo”, “nada”, “ele”, “ela”...

• Se os pronomes estão ligados por um conectivo trate-os antes do conectivo.

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Fórmulas

• Simbolização – x, y, z, ...

Minúsculas para os sujeitos

– P, Q, R, ...

Maiúsculas para os predicados

– Ex.: João é professor

a = João

P = professor

Pa

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Fórmulas

– Ex. 2:

– Existem sábios

∃x .sábios(x)

- Todos os homens são sábios

∀x = Todos os

∀x.homens(x). Sx.sábios(x)

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Fórmulas

∀ - “para qualquer”, “qualquer um”, “para cada”, “cada objeto”, “tudo”, “qualquer coisa”,...

∃ - “para algum”, “alguns”, “há pelo menos um”, “algum objeto”, “alguma coisa”....

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Fórmulas

– Ex.:

Há pelo menos um objeto humano e sábio

∃x.(humano(x) ^ sábio(x))

*Como regra geral, pode-se dizer que

∀ se faz acompanhado de ->

∃ se faz acompanhado de .

• Por que isso?

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Fórmulas

• Todos os homens são sábios

• Consequência:

– Dado um objeto qualquer, se é humano, é sábio

– Dado um x qualquer do universo, se x é homem, x é sábio

– Dado um x qualquer do universo, x homem -> x sábio

∀x(Hx -> Sx)

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Fórmulas

• Exemplos – Os astronautas são bem treinados.

∀x(Ax -> Tx)

– Alguns senhores são ingênuos ou mal assessorados

∀x(Ix v Mx)

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Exercícios

• Traduza as frases para a fórmula de lógica de predicados.

a) Todo professor é funcionário

b) Alguns alunos são funcionários

c) Se alguém matou Maria, este alguém também matou João

d) Todo número primo maior do que 2 é ímpar

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E na próxima aula...

• Continuaremos os conceitos básicos de lógica...

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E por hoje...

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• Obrigado!

• Até a próxima aula!

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