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Lista de revisão 3 ano
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Professor Cristiano Marcell
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)
Colégio Pedro II – Unidade Realengo II - 2012 Lista de exercícios de Números Complexos
Coordenador: Clayton Turno:Tarde Data:_____/_____
Aluno (a):________________________________________turma______n0:____
1) Considere i a unidade imaginária dos números
complexos. O valor da expressão (i - 1)8 é:
a) 32i b) 32 c) 16 d) 16i
2) O valor do número complexo [(1 + i9)/[1 + i
27)]
20
é: a) 1 b) i c) – i d) -1 e) 2
20
3) Os três vértices de um triângulo equilátero com centro no plano de Argand-Gauss são números Z1, Z2
e Z3,complexos, sendo dois deles Z1 = 4i e Z2 = -2 3 -2i.
a) Encontre o número complexo Z3 que representa o terceiro vértice desse triângulo.
b) Encontre a medida da área desse triângulo.
4) Admitindo que o centro do plano complexo
coincida com o centro de um relógio analógico, se o
ponteiro dos minutos tiver 4 unidades de comprimento, estará, às 16 horas e 50 minutos, sobre
qual número complexo?
5) Mostre que, para qualquer número complexo Z =a
+ bi e 𝑍 o seu conjugado, temos que Z. 𝑍 = 𝑧 2.
6) A figura indica a representação dos números Z1 e Z2 no plano complexo.
Sendo Z1. Z2 = a + bi, calcule o valor de a + b.
7) Seja o complexo z = 2 [cos (π/6) + sen (π /6) i], calcule z
6.
8)Mostre que O valor de [(1/2) + (1/2)i]100
é igual a -2
-50.
9) Qual a medida, em radianos, do argumento do
quociente dos números complexos Z = 1 - i 3 por W = -1 + i?
10) Seja z≠1 um número complexo tal que z7 = 1.
Determine o valor numérico da expressão: 𝑍
1 − 𝑍2+
𝑍2
1 − 𝑍4+
𝑍3
1 − 𝑍6+
𝑍4
1 − 𝑍+
𝑍5
1 − 𝑍3+
𝑍6
1 − 𝑍5
11) Resolva:
a) Calcular ( 3 + i)12
b) Sendo z = 2
2 + i
2
2, calcular o valor de 1 + z + z
2 +
z3 + ... + z
15.
12) Um jantar secreto é marcado para a hora em que
as extremidades dos ponteiros do relógio forem representadas pelos números complexos z e w a
seguir: z = α.[cos 𝜋
2 + i.sen
𝜋
2 ], w = z
2, sendo α um
número real fixo, 0 < α < 1.
Determine a hora do jantar.
GABARITO
1 (c)
2 (a)
3 a) Z = -2 +2 3 i.
b) 12 3
4 -2 3 + 2i.
5 Demonstração
6 4(1 - 3).
7 -64
8 Demonstração
9 11 π/12
10 Zero
11 a) 4096
b) zero
12 21 horas
Grau
Professor Cristiano Marcell
Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)
Gabarito comentado da questão 10.
10) (ITA)Seja z≠1 um número complexo tal que z7 =
1. Determine o valor numérico da expressão: 𝑍
1 − 𝑍2+
𝑍2
1 − 𝑍4+
𝑍3
1 − 𝑍6+
𝑍4
1 − 𝑍+
𝑍5
1 − 𝑍3+
𝑍6
1 − 𝑍5
O enunciado nos diz que Z7 = 1, logo:
Z7 = 1 ⟹ Z6.Z = 1⟹Z=1
𝑍6
Z7 = 1 ⟹ Z5. Z2 = 1⟹Z2=1
𝑍5
Z7 = 1 ⟹ Z4. Z3 = 1⟹Z3=1
𝑍4
Z7 = 1 ⟹ Z3. Z4 = 1⟹Z4=1
𝑍3
Z7 = 1 ⟹ Z2. Z5 = 1⟹Z5=1
𝑍2
Z7 = 1 ⟹ Z6. Z = 1⟹Z6=1
𝑍
Vamos então substituir, na expressão: 𝑍
1−𝑍2 +𝑍2
1−𝑍4 +𝑍3
1−𝑍6 +𝑍4
1−𝑍+
𝑍5
1−𝑍3 +𝑍6
1−𝑍5 =
=𝑍
1−1
𝑍5
+𝑍2
1−1
𝑍3
+𝑍3
1−1
𝑧
+𝑍4
1−𝑍+
𝑍5
1−𝑍3 +𝑍6
1−𝑍5=
=𝑍6
Z5−1+
𝑍5
Z3−1+
𝑍4
Z−1+
𝑍4
1−𝑍+
𝑍5
1−𝑍3 +𝑍6
1−𝑍5=
Note que nas três últimas parcelas podemos dizer que 1-z
= -(z-1); 1-z3 = -(z3 -1); e 1-z5 = -(z5-1). Logo:
=𝑍6
Z5−1+
𝑍5
Z3−1+
𝑍4
Z−1−
𝑍4
𝑍−1−
𝑍5
𝑍3−1−
𝑍6
𝑍5−1=
Arrumando teremos....
=𝑍6
Z5−1−
𝑍6
𝑍5−1+
𝑍5
Z3−1−
𝑍5
𝑍3−1+
𝑍4
Z−1−
𝑍4
𝑍−1=
=𝑍6−𝑍6
Z5−1+
𝑍5−𝑍5
Z3−1+
𝑍4−𝑍4
Z−1 =
=0
Z5−1+
0
Z3−1+
0
Z−1= 0
Gabarito comentado da questão 11
a) Calcular ( 3 + i)12
Chamemos de Z = 3 + i. Na forma polar ele será escrito Z = 2.(cos 30
0+i.sen 30
0).
Como ele quer que calcule ( 3 + i)12
, façamos
Z12
= 212
.(cos 12.(300)+i.sen 12.(30
0)).Pela fórmula
D’Moivre.
Z12
= 4096.(cos 3600+ i.sen 360
0) =
= 4096.(1 +i.0) = 4096.
b) 1 + z + z2 + z
3 + ... + z
15 é uma soma de P.G. finita
de 16 termos...
Vamos lembrar da fórmula da soma dos n primeiros termos da P.G. de razão igual a Z.
Sn= 𝑎1 .(𝑞16−1)
𝑞−1=
1.(𝑍16−1)
𝑍−1=
𝑍16−1
𝑍−1
Como z = 2
2 + i
2
2, temos, pela fórmula D´Moivre,
que z16
= 1. Logo...
𝑍16 − 1
𝑍 − 1=
1 − 1
𝑍 − 1=
0
𝑍 − 1= 0