Lugar das Raizes, Lugar Geometrico

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Lugar Geométrico das Raízes• Construído diretamente a partir dos pólos e zeros da

função de transferência de malha aberta G(s)H(s).

• Os pólos de malha fechada são solução da equação1 + G(s)H(s) = 0, ou:

→ arg( G(s)H(s) ) = ± 180o (2k+1), k = 0, 1, 2, ...

→ | G(s)H(s) | = 1

u Para cada ponto so (do plano complexo s) que satisfaz a condição de ângulo, arg( G (so)H(so) ), há um ganho K correspondente que satisfaz a condição de módulo.

Lugar Geométrico das Raízes• LGR: Gráfico dos pólos de malha fechada para todos

os valores do ganho K de 0 a ∞.

• Para traçarmos o gráfico, vimos que precisamos apenas achar os pontos que satisfazem a condição angular (a aplicação da condição do módulo dirá que valor de K corresponde a uma dada localização no LGR).

• Primeiro passo: localizar os pólos (pontos de partida do LGR) e zeros (pontos de chegada do LGR) de malha aberta (ou seja, da função de transferência G(s)H(s) ).

• A seguir: determinar que porções do eixo real pertencem ao LGR (ponto de teste so).

Lugar Geométrico das Raízes→ Regra geral 1: Os pontos no eixo real que encontram-

se à esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros são parte do LGR. (por que?)

• Próximo passo:determinar o número de ramos do LGR.

→ Regra geral 2: Um ramo do LGR parte de cada pólo de malha aberta do sistema (correspondente a K = 0). Para K → ∞, cada ramo irá terminar em um zero de malha aberta. Se o sistema tiver n pólos e m zeros finitos, com n ≥ m, m ramos irão terminar nos m zeros finitos, e os n – m ramos restantes irão terminar nos n – m zeros no infinito. (→ Mas onde estão estes zeros no infinito?)

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Lugar Geométrico das Raízes• Zeros no infinito e assíntotas – Regra geral 3:

→ Vimos que as assíntotas originam-se no eixo real no ponto:

→ e partem ao longo dos ângulos:

mnzerospólos

−∑−∑

=σ

( )...2 ,1 ,0 ,

12180=

−+

=θ kmnko

Lugar Geométrico das Raízes• Exemplo:

→ Passo 1: Determinar os pólos e zeros de malha aberta

• não há zeros de malha aberta;• pólos de malha aberta:

→ Passo 2: Determinar o LGR no eixo real ⇒ o eixo real negativo (por que?)

→ Passo 3: Zeros no infinito ⇒ 3 zeros no infinito e, portanto, 3 assíntotas (por que?)

( ) 1)( ,22

1)( 2 =

++= sH

ssssG

jss ±−== 1 e 0

Lugar Geométrico das Raízes• Assíntotas:

• ponto de partida:

• ângulos:

→ Passo 4: Cada ramo do LGR parte de um pólo de malha aberta e termina em um zero finito (nenhum, neste caso) ou em um zero no infinito.• Um ramo inicia-se em s = 0 e percorre o eixo real

negativo (→ − ∞);• E os outros dois ramos?

32

3)1()1(0

−=−−++−+

=σjj

( )3

12180 +=θ ko

3

Lugar Geométrico das Raízes• Os outros dois ramos partem dos pólos complexo

conjugados e “caminham” na direção dos zeros no infinito → Mas de que modo?

Lugar Geométrico das Raízes• Ângulos de partida (a partir dos pólos complexos

conjugados): determinam a direção em que os ramos partem dos pólos de malha aberta.

→ Considere um ponto de teste so muito próximo (à uma distância ε > 0) do pólo em s = – 1 + j.

• Suponha que um vetor partindo do pólo para so faça um ângulo θ em relação ao eixo real positivo. Neste caso, como fica a condição de ângulo?

oo 90135)()()()(11

−−θ−=−∠−−∠=∠ ∑∑==

n

ji

m

iioo pszssHsG

Lugar Geométrico das Raízes

⇒ Estes ângulos serão constantes, independentes de θ, somente se a distância ε entre so e o pólo em s = – 1 + j for muito pequena.

oo 90135)()()()(11

−−θ−=−∠−−∠=∠ ∑∑==

n

ji

m

iioo pszssHsG

4


• Condição angular:

⇒ θ = − 45°

• Assim, o LR parte do pólo em s = – 1 + j com um ângulo de − 45°

• Como as raízes complexas ocorrem em pares conjugados ⇒ ângulo de partida a partir do pólo em s = – 1 – j é + 45°.

oo 90135)()()()(11

−−θ−=−∠−−∠=∠ ∑∑==

n

ji

m

iioo pszssHsG

oo 180225)()( −=−θ−=∠ oo sHsG

Lugar Geométrico das Raízes• Uma questão permanece: como os pólos de malha

fechada partem dos pólos de malha aberta (K = 0) e atingem as assíntotas (K → ∞) ?

• Considere a reta a − 45° a partir do pólo em s = – 1 + j.

• Se nos movermos ao longo desta linha:

→ As contribuições ao argumento dos pólos em s = 0 e s = – 1 + j não irão mudar.

→ No entanto, a contribuição do pólo em s = – 1 – jirá diminuir.

⇒ Portanto, a fase será menos negativa do que – 180°ao longo desta linha.

Lugar Geométrico das Raízes• Assim, como θ deve variar para que a condição de

ângulo continue sendo satisfeita?

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Lugar Geométrico das Raízes• Próximas considerações:

• Em que ponto o LR corta o eixo imaginário?

• Em que ponto sobre o eixo real os ramos partindo de pólos de malha aberta reais separam-se?

• Para isto, considere o sistema dado por:

• LGR? • Pólos e zeros de malha aberta;• Porção do eixo real pertencente ao LGR;• Zeros no infinito: ângulo e ponto de partida das assíntotas.

( ) ( )2 1 1

)()(++

=sss

sHsG


• Nenhum zero de malha aberta;• Pólos de malha aberta em: s = 0; s = – 1 e s = – 2; • Zeros no infinito: n – m = 3 ⇒

•

• Pólo em s = – 2: LGR parte de – 2 e move-se para a esquerda, na direção – ∞;

• E nos pólos em s = 0 e s = – 1?

( ) ( )2 1 1

)()( ++

=sss

KsHsGK

3)12(180 +=θ k

103

)2()1(0 −=−

−+−+=σ

Lugar Geométrico das Raízes• Pólos em s = 0 e s = – 1 → Um ramo parte de 0 e outro

de – 1 ⇒ em algum ponto sobre o eixo real, os ramos se encontram e, a seguir, os pólos tornam-se complexos.

⇒ Como determinar este ponto em que os ramos se separam?

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Lugar Geométrico das Raízes• Determinação do ponto de quebra:

• Até agora: ao variar K de 0 a ∞, como o LGR (ou seja, os pólos de malha fechada) variam?

• Agora: ao caminharmos ao longo do LGR, como Kvaria?

→ Começando de s = 0, e movendo-se para a esquerda (não há LR à direita de s = 0) ⇒ o valor de K aumenta.

→ Começando de s = – 1, e movendo-se para a direita, também sabemo que o valor de K aumenta.

→ Se continuássemos em cima do eixo real, ao invés de acompanharmos os pólos de malha fechada, ao passarmos do ponto de quebra, o valor de K passa a diminuir, até 0.

Lugar Geométrico das Raízes• Determinação do ponto de quebra (continuação):

• Portanto, o ponto de quebra é um ponto de máximopara K.

• Assim, para determinar o ponto de quebra, podemos pensar em K como uma função de s, K(s). O ponto de máximo de K(s), que é o ponto de quebra, pode ser encontrado por:

• Como K somente é definido ao longo do LGR, para pontos pertencentes ao LR, pode-se obter K(s) a partir da condição de magnitude.

?)( Mas . 0)(

==∂

∂sK

ssK

Lugar Geométrico das Raízes• IMPORTANTE: Os pontos de quebra podem ser pontos de

separação de partida ou de chegada em relação ao eixo real.

• Se um lugar das raízes estiver entre dois pólos de malha aberta adjacentes sobre o eixo real, então existe pelo menos um ponto de separação de partida entre os dois pólos.

• Analogamente, se existir um lugar das raízes entre dois zeros adjacentes (um zero pode estar localizado em – ∞) sobre o eixo real, então sempre existirá pelo menos um ponto de separação de chegada entre os dois zeros.

• Se existir um lugar das raízes entre um pólo e um zero (finito ou infinito) de malha-aberta sobre o eixo real, então não podem existir pontos de separação de partida ou chegada, ou então, lá existirá tanto pontos de separação de partida como de chegada.

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Lugar Geométrico das Raízes• Voltando ao exemplo:

• Para um ponto s pertencer ao lugar das raízes, deve-se ter:

• Pode-se definir K(s) como:

( ) ( )2 1 1

)()( ++

=sss

KsHsGK

( ) ( )1

2 1 −=

++ sssK → equação característica

do sistema

( ) ( )2 1 )( ++−= ssssK

( ) 0)263()(

23 )( 223 =++−=∂

∂⇒++−= ss

ssK

ssssK

33

16

234660263

22 ±−=

⋅⋅−±−=⇒=++ sss


• Como podemos saber qual é o valor de s correspon-dente ao ponto de quebra?

⇒ Somente s1 pertence ao LGR!!!

• Realmente, substituindo s1 e s2 para determinar o respectivo valor de K:

1.5774 0.4226; 331 21 −=−=⇒±−= sss

Lugar Geométrico das Raízes• Portanto, o LGR para o sistema é da forma:

• O que o LGR nos diz a respeito do sistema?

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Lugar Geométrico das Raízes• Qual é o erro de regime estacionário para uma entrada

degrau unitário?• Como há um pólo em s = 0, ess = 0 para a entrada degrau.

• Suponha que K = 0,35. O sistema é sobreamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido?• Como o ponto de quebra só ocorre para K = 0,38 , o sistema

para o K dado possui 3 raízes reais → 2 muito mais lentas do que a terceira, por estarem mais próximas do eixo jω: são portanto pólos dominantes. ⇒ Com dois pólos dominantes reais, o sistema é sobreamortecido.

• Como determinar o valor de K para o qual o sistema irá cruzar o eixo imaginário?

Lugar Geométrico das Raízes• Valor de K para o qual o sistema cruza o eixo

imaginário:

⇒ Pode-se utilizar o critério de Routh-Hurwitz.

KsssK

sHsGsG

sRsC

+++=

+=

23)()(1)(

)()(

23

0 >⇒ K6 <⇒ K

60 <<⇒ K para o sistema ser estável ⇒ K = 6 : as raízes da equação característica (pólos de malha fechada) são imaginárias.

Lugar Geométrico das Raízes• Para K = 6, o sistema será oscilatório, sem

amortecimento. Qual é a freqüência de oscilação?→ Para tanto, é necessário achar os pólos de malha fechada

para este valor de K:

→ O polinômio é cúbico, mas sabemos que a raiz éimaginária. Assim, s = jω e:

→ Assim, tanto a parte real quanto a imaginária devem ser iguais a zero:

0623 23 =+++ sss

0623 23 =+ω+ω−ω− jj

0=6+ω−0=ω+ω− 23 e 23

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• Isto é, a oscilação senoidal ocorre a uma freqüêcia de √2 rd/s.

• Em outras palavras, o lugar das raízes corta o eixo imaginário em ω = √2 .

• Exemplo: Plote o lugar das raízes para um sistema com realimentação unitária, com:

( )2±=ω⇒2=ω⇒0=6+ω−

2±=ω0;=ω⇒0=2−ωω−⇒0=ω+ω−22

2

3

23

)1( 2

)(+

+=

sss

sG


1) Localizar os pólos e zeros de malha aberta no plano complexo s. → zeros: s = – 2; pólos: s = 0; s = – 1.

2) Eixo real ∈ LGR: s < – 2 e – 1 < s < 0.

3) Assíntotas: 2 pólos e 1 zero ⇒ 1 zero no infinito e, portanto, 1 assíntota. θ = 180(2k+1)/1 = 180.

4) Pontos de quebra:

)1( 2

)(+

+=

sss

sG

2)(1)(

2

++−=−=

sss

sGsK

Lugar Geométrico das Raízes4) Pontos de quebra (continuação):

→ Observe que estes dois pontos estão no lugar das raízes ⇒ Um é o ponto de separação de partida e o outro de chegada em relação ao eixo real.

( ) ( ) ( )( )( )

02

1 2 12)(2

2

=+

+−++−=∂

∂s

ssssssK

( ) 0240252 222 =++⇒=+−++ ssssss

222

2444 2

±−=⋅−±−

=s

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