GEOMETRIA ANALÍTICA

A Geometria Analítica teve como principal idealizador o francês René Descartes (1596 – 1650).

Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, faz-se corresponder a cada ponto

do plano um par ordenado e vice-versa.

Quando os eixos desse sistema são perpendiculares entre si, em um ponto O (origem), essa

correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal (ou plano cartesiano).

1º quadrante: x>0 e y>0

2º quadrante: x<0 e y>0

3º quadrante: x<0 e y<0

4º quadrante: x>0 e y<0

Distância de dois pontos

Dados os pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB), calcula-se a distância entre eles, aplicando o teorema

de Pitágoras no triângulo ABC,

seja d a distância entre os pontos A e B

O x

y

1º quadrante 2º quadrante

3º quadrante 4º quadrante

d2 = (AC)2 + (BC)2

d2 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2B

d = 2AB

2AB )yy()xx( −+−

Ponto médio

Dados os pontos A = (xA, yA), B = (xB, yB) e P que divide AB ao meio, temos:

P =

++2

yy,

2xx BABA

Condição de alinhamento de três pontos

Se três pontos A = (xA, yA), B = (xB, yB) e C = (xC, yC) estão alinhados, então:

01yx1yx1yx

CC

BB

AA=

Equações de uma reta

I) Equação geral é obtida a partir da condição de alinhamento de três pontos. A toda reta

r do plano cartesiano está associada ao menos uma equação da forma ax + by + c = 0

onde a, b, c são números reais, a ≠ 0 ou b ≠ 0 e (x,y) representa um ponto genérico da

reta r.

II) Equações paramétricas são equações da forma x = f(t) e y = f(t), que relacionam as

coordenadas x e y dos pontos da reta com um parâmetro “t”.

III) Equação reduzida é obtida isolando-se o y na equação geral ax + by + c = 0, onde

obtemos bc

xba

y −−= . Fazendo-se mba

=− e qbc

=− , temos y = mx + q.

m é chamado de coeficiente angular da reta r, ( fornece a inclinação da reta em relação ao

eixo Ox, m = tgθ

π

≠θ2

q é chamado coeficiente linear ( é a ordenada do ponto em que a reta intercepta Oy)

Sendo P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) dois pontos de uma reta não paralela ao eixo Oy, o

coeficiente angular da reta é dado por 12

12

xxyy

m−−

= .

IV) Equação de uma reta conhecidos coeficiente angular e um ponto )xx(myy 00 −=− ,

onde (x0, y0) é o ponto conhecido.

Posições relativas entre retas

I) Paralelismo: Duas retas r e s, distintas, são paralelas se, e somente se, mr = m s

II) Concorrência: Duas retas r: a1x + b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0 são concorrentes

se sr mm ≠ .

Caso particular: concorrentes e perpendiculares

sr m

1msr −=⇔⊥

EXERCÍCIOS SOBRE GEOMETRIA ANALÍTICA

1) Os pontos A = (-4, -2) e B = (-2, 2) pertencem respectivamente aos quadrantes:

a) 1º e 2º

b) 2º e 3º

c) 3º e 2º

d) 4º e 2º

e) 3º e 4º

2) O ponto A = (m+3, n-1) pertence ao 3º quadrante, para os possíveis valores de m e n:

a) m > 3 e n < 1

b) m < 3 e n > 1

c) m < -3 e n > 1

d) m < -3 e n < -1

e) m < -3 e n < 1

3) Num triângulo ABC, sendo A = (4,3), B = (0,3) e C um ponto pertencente ao eixo Ox com

AC = BC. O ponto C tem como coordenadas:

a) (2,0)

b) (-2,0)

c) (0,2)

d) (0,-2)

e) (2,-2)

4) A distância entre os pontos P = (1,0) e Q = (2, 8 ) é:

a) 7

b) 3

c) 2

d) 2 7

e) 5

5) O valor de x para que os pontos A = (x, 5), B = (-2,3) e C = (4,1) sejam alinhados é:

a) 8

b) 6

c) -5

d) -8

e) 7

6) Os pontos A = (0,0), B = (3,7) e C = (5, -1) são vértices de um triângulo. O comprimento da

mediana AM é:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

7) O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A = (-1,2) e B = (3,6) é:

a) -1

b) 21

c) 32

d) 3

e) 1

8) A equação da reta que passa pelo ponto (-1,-2) e tem coeficiente angular -1 é:

a) x + y -1 = 0

b) x + y +1 = 0

c) x + y -3 = 0

d) x + y +3 = 0

e) x – y + 3 = 0

9) equação da reta que passa pelos pontos (2, -3) e (8, 1) é:

a) 2x – 3y – 13 = 0

b) -2x – 3y + 13 = 0

c) 3x – 2y + 13 = 0

d) 2x – 3y + 13 = 0

e) 2x + 3y – 13 = 0

10) O ponto de interseção das retas x + 2y = 3 e 2x + 3y – 5 = 0 é:

a) (1,-1)

b) (1,1)

c) (1,2)

d) (-1,1)

e) (2,1)

11) O valor de “a” para que as retas r: ax + y – 4 = 0 e s: 3x + 3y – 7 = 0 sejam paralelas é:

a) 1

b) 21

c) 2

d) 3

e) -1

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE GEOMETRIA ANALÍTICA

1) c

2) e

3) a

4) b

5) d

6) c

7) e

8) d

9) a

10) b

11) a