Mat logaritmos

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    06-Jun-2015

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<ul><li> 1. EL442 A Fundamentos da Metodologia do Ensino daMatemtica IIProf. Antonio Miguel Logaritmos Carlos Eduardo FerreiraRA: 992693 Fbio Fogliarini Brolesi RA: 023718 Guilherme MenezesRA: 016225 Mrcia MayumiRA: 034449Universidade Estadual De Campinas2006</li></ul><p> 2. LogaritmosLogaritmos so os termos de uma progresso pordiferena (PA) cujo primeiro termo zero,correspondentes aos de outra progresso porquociente (PG), cujo primeiro termo a unidade. 3. Sumrio 4. Memrias estudantisCarlos Eduardo FerreiraNo me lembro de nenhuma situao no escolar relacionada ao tema logaritmos.Esse o motivo pelo qual escolhi esse tema: tentar dar exemplos e utilizar logaritmos emsituaes prticas do dia-a-dia, no s em pesquisa ou no mbito acadmico.Na escola o tema logaritmo foi apresentado de forma superficial sem nenhum exemploprtico de utilizao, somente com o propsito de complementao do currculo escolar.Foi apresentado no prprio livro didtico adotado e o professor no soube expandir o temaalm do exposto no livro. Lembro-me que inicialmente todos os alunos tiveramdificuldades, mas logo se aprendeu a realizar os clculos mecanicamente. No entendamoso significado da palavra log dos dois lados da equao e para muitos foi mais uma incgnitapara dificultar nossas vidas, pois muitos queriam fazer as contas com a prpria palavra log,achando que o conjunto de letras era uma incgnita.Os exerccios eram sempre clculos com as propriedades dos logaritmos, comomudana de base, por exemplo, mas sem conexo nenhuma com um problema real.Mais tarde reaparece no currculo pr-vestibular. Neste perodo devido necessidade de entendimento do tema para o vestibular comeo a compreender melhor osignificado, mas novamente o tema foi exposto de forma rpida e com muitos exercciosnas apostilas sem fim, que chamvamos os intocveis.Eram milhes de exerccios para sefazer.E, recentemente, o tema surge na universidade, e no um tema principal denenhuma disciplina. Aqui a situao piorou, pois j se exigia domnio total para resoluode outros problemas ainda piores. Logo quando me deparei com problemas muito maisdifceis, aprendi o contedo, obrigatoriamente.Mas na universidade o tema foi estudado de forma mais abrangente, como em crescimentopopulacional na Biomatemtica, por exemplo. 5. Fbio Fogliarini BrolesiEu tomei contato com logaritmo no 1 colegial (1999) na Escola Tcnica EstadualConselheiro Antnio Prado (ETECAP) em Campinas. Lembro-me de que meus colegas que estudavam em outras escolas me disseram que era uma parte muito difcil daMatemtica. Quando comecei a ver o assunto, fiquei realmente assustado. O professor disseque as operaes (+, -, , ) tinham nicas inversas (isso eu j sabia, pois at a 8 srie eutive que fazer muitas provas reais), mas a potenciao no tinha 1 mas 2 inversas: araticiao e o logaritmo. Eu fiquei muito curioso com o fato, mas nunca procurei a fundo arespeito do assunto.O fato de o log ter algumas propriedades estranhas (a base deveria ser positiva, 1, o argumento deveria ser positivo, log 10n = n e outras coisas como log a log b = b, ou coisaparecida me puseram um certo bloqueio com a matria.Quando aprendi o natural neperiano (e) foi ento que a coisa ficou pior, como umnmero que no tinha fim era natural? Para mim o natural era ser 10, pois usamos a basedecimal!Uma lembrana boa que eu tenho foi a introduo histrica da matria, o log foiusado muito por astrnomos, para ver o posicionamento de estrelas (no sei se de fato verdade) e j tambm usado rguas de clculo (o professor levou uma) e quanto maior,mais precisa ele era. Ele tambm levou um livro com vrios logs de nmeros. 6. Guilherme G. MenezesO meu primeiro contato com os logaritmos foi no primeiro ano do Ensino Mdioem que estudei em Osasco. Lembro-me que o tema foi apresentado meramente expositivo eque, por isso, poucos alunos prestavam ateno. Como eu costumava ser um alunoextremamente tmido, prestava ateno em todos os detalhes da aula e ficava comparandoesse novo professor com o professor da oitava srie. Talvez seja por isso que, mesmo tendomuitas dificuldades, conseguia tirar boas notas em matemtica. No julgo a metodologia doprofessor como mais correta ou no, mas para muitos, ela funcionou. Muitos consideravamo tema logaritmos intil e, como o professor no mostrava uma utilidade prtica, houve umtotal desinteresse sobre o assunto.Lembro-me que o professor do primeiro ano do ensino mdio era totalmente ooposto do professor da oitava srie, pois apesar da apresentao expositiva ele tentavachamar a ateno dos alunos em relao ao tema e dava oportunidades aos mesmos de semanifestarem. Apenas os realmente interessados faziam perguntas, o que era impossvel deacontecer durante a aula do professor da oitava srie. Durante a oitava srie, lembro-me quetodos deviam permanecer sentados e calados. Qualquer interferncia era motivo derepreenso e at advertncia escrita para os alunos. Muito diferente do que ocorreu duranteo primeiro ano: a aula era muito mais tranqila e interessante de se assistir, o professorfazia piadinhas e mostrava para os alunos que o tema no era um bicho de sete cabeas.Com isso, alm do respeito ganhou tambm muitos alunos interessados na matemtica,alm de amigos, que at hoje o encontram na escola. Soube que atualmente amboscontinuam lecionando na mesma escola, mas o professor da oitava srie mudou totalmente,sendo mais compreensivo com seus alunos. 7. Mrcia NakamuraMeu primeiro contato com os logaritmos foi em um curso especializado dematemtica, o Kumon. No consigo lembrar exatamente com que idade fui apresentada aoLog, mas com certeza era algo bem diferente do que j havia visto at ento.O mtodo Kumon consiste em blocos de exerccios sucessivos com uma pequenateoria descrita no incio da folha e com alguns exemplos, ou seja, era um aprendizadototalmente mecnico. Os exerccios eram repetidos e ao longo do aprendizado(o que eraanalisado pelo nmero de acertos dos exerccios), o nvel dos exerccios iam aumentandoat aprendermos toda a parte tcnica de logaritmos.Com isso, quando na escola foi dada a matria, para mim, j no assustava tantoquando assustou o restante da sala. Acredito que ter aquelas letrinhas LOG como algo aser calculado gerou uma certa confuso na cabea de muitos alunos. Mesmo tendo um bomprofessor, um bom material (apostilas do Sistema Didtico Etapa com apostilas tericas,apostilas de exerccios, aulas, plantes de dvidas; o fato de Log no ser uma simplesincgnita ou um nmero bloqueou alguns alunos a entenderem o significado de Log.Principalmente porque na primeira aula, logaritmo ou qualquer outra matria apresentadade maneira generalizada, com letras ao invs de nmeros, terico mesmo. A partir domomento m que o professor colocou nmeros ao invs de letras, uma parte da sala passou aentender bem melhor e decorar a definio de Log.Como eu j havia feito centenas de exerccios no Kumon no tive dificuldades decompreender que o professor falava e acompanhar os exerccios mais longos, ou ainda,construo do grfico de Log. A nica surpresa que tive foi quando vi o Ln, que logome foi esclarecido que nada mais era do que Log na base e.Eu me lembro que os primeiros exerccios de Log eram simples, a classe atresolvia, mas a partir das propriedades, ocorriam maiores dificuldades para clculos ouainda aplicar Log para se resolver alguma equao mais complicada era praticamenteimpossvel. A sala via Logaritmo como algo isolado e at intil. O professor sempre tentavatrazer problemas, e no exerccios isolados, que aplicasse Log, mas nem sempre a turmaconseguia acompanhar a linha de raciocnio. 8. Questes Orientadas1)Como apresentar o tema Logaritmos de uma forma prtica?2)Onde o logaritmo aplicado?3)Como surgiu o logaritmo?4)Qual a origem da palavra Log?5)A partir de que momento podemos apresentar Log?6)Qual a necessidade de se introduzir Ln?7)Por que no podemos ter Log de um nmero negativo?8)Como foram calculadas as tbuas logartmicas?9)Como convencer os alunos a aprenderem logaritmos?10)Quais as evidncias de que um aluno assimilou o contedo?11)Quais as vantagens e desvantagens de aplicar exerccios em excesso? 9. Atividades Propostas ATIVIDADE 7 No sculo XVI, alm da prtica social da astronomia, a prtica social financeira tambm contribuiu para a construo da idia de logaritmo. Nessa poca, antes de surgirem os logaritmos, j era difundida a prtica de se fazer emprstimos a juros. Imagine uma pessoa, naquela poca, que tenha emprestado uma quantia equivalente a R$ 1257,00 a juros compostos a 12% ao ano. a)Quanto deveria receber essa pessoa caso a durao do emprstimo fosse 1, 2 ou t anos? b)Quanto receberia essa pessoa caso a durao do emprstimo fosse de 2 anos e 197 dias? c)A que tipos de expedientes recorriam as pessoas daquele sculo para se resolver um tal tipo de problema, quando no se dispunha nem de calculadoras, nem da teoria dos logaritmos constituda e, nem mesmo, de acesso a algoritmos para a realizao das quatro operaes tal como hoje os conhecemos (Atividade baseada em IMENES, L.M.P., TROTTA, F.; JAKUBOVIC, J. Matemtica Aplicada, vol. 1, p. 221-222).Resoluo da atividade 7:a)R$ 1257,00Taxa de 12% ao ano. 1 ano: R$ 1257,00 (1,12) = R$ 1407,84 2 anos: R$ 1257,00 (1,12)2 = R$ 1576,78 t anos: R$ 1257,00 (1,12)tb)2 anos e 197 dias:197197R$ 1257,00 (1,12) 2+ 360 = R$ 1257,00 1,122 1,12 360 = R$ 1576,78 360 1,12197Aplicando log ao montante:197log(1,257 103) + log(1,122) + log(1,12 360 ) = 197log(1,257) + log(103) + 2log(1,12) + log(1,12) = 360 197log(1,257) + 3log(10) + 2log(1,12) +log(1,12) = 360197log(1,257) + 3 + 2log(1,12) + log(1,12)360c)Para resolver os problemas, as pessoas do sculo XVI utilizavam tabelas e tinham defazer longos e laboriosos clculos aritmticos. Por isso, foi necessrio obter novosmtodos que permitissem efetuar multiplicaes e radiciaes de maneira mais rpida esimples. 10. ATIVIDADE 8As operaes aritmticas chegaram a ser classificadas, at uma determinada poca, segundoseu grau de dificuldade, em trs espcies:1.As de primeira espcie: adio e subtrao;2.As de segunda espcie: multiplicao e diviso;3.As de terceira espcie: potenciao e radiciao.Antes do surgimento dos logaritmos, para se resolver problemas semelhantes ao daatividade anterior, procurava-se um processo que permitisse reduzir cada operao desegunda ou terceira espcie a uma de espcie inferior e, portanto, mais simples. Algunsexpedientes utilizados para se obter o produto de dois nmeros baseavam-se emconhecimentos algbricos ou trigonomtricos acompanhados do uso de tbuastrigonomtricas e outras como a tbua do quadrado da metade de um nmero. Recorria-se,por exemplo, a identidades algbricas ou trigonomtricas tais como:a)Utilizando a primeira identidade, mostre como naquela poca podia ser efetuada aseguinte multiplicao: 0,8988 0,9455.b)Com auxlio da Tabela 1 e utilizando a segunda identidade, mostre como naquelapoca podia ser efetuada a seguinte multiplicao: 1525 321.c)Com o auxlio da Tabela 2 e utilizando a terceira identidade, mostre como se efetuariao clculo de raiz stima ded) (***)e) (***)Tabela 1N (N/2)2N (N/2)21200 360000 1845851006,251201 360600,2518468519291202 361201 1847852852,251203 361802,2518488537761204 362404 1849854700,25Tabela 2 N = 10mMN = 10m M60,8 1,78390 125,7 2,0993460,9 1,78462 125,8 2,0996861,0 1,78533 125,9 2,1000361,1 1,78604 126,0 2,1003761,2 1,78675 126,1 2,10072 ......... ... 105,02,02119 7691 3,88598 105,12,02160 7692 3,88598 105,22,02202 7693 3,88610 105,32,02243 7694 3,88615(Atividade baseada em IMENES, L.M.P., TROTTA, F.; JAKUBOVIC, J. Matemtica Aplicada, vol. 1, p.222-223). 11. d)D um exemplo de problema associado s prticas nutico-astronmicas europias dos sculos que antecederam o surgimento da teoria dos logaritmos, cuja soluo envolvia a realizao de operaes aritmticas na poca consideradas de segunda espcie. Caracterize a operao envolvida e resolva-a atravs do uso de uma das frmulas de prostafrese. Explique o significado da palavra prostafrese e diga que tipo de conexo poderia ser estabelecida entre tal expediente metodolgico e a teoria de logaritmos. e)Faa uma busca em programas curriculares oficiais e livros didticos antigos a fim de verificar se e como o tpico frmulas de prostafrese neles aparecia e que objetivos tal tpico procura contemplar. Nos programas e livros didticos de matemtica da atualidade tal tpico no se acha includo. Voc acha que, de fato, ele se tornou suprfluo e obsoleto. Justifique sua resposta. f)Analise agora as atividades 7 e 8 acima propostas sob o ponto de vista didtico. Um professor que decidisse utiliz-las, no como um problema de fixao de idias j trabalhadas, mas como introdutria de novos tpicos matemticos, que propsitos poderia ter ele em mente e como deveria ele conduzir sua aula para atingir tais propsitos? A atividade estaria bem elaborada para que tais propsitos pudessem ser atingidos ou precisaria ser re-elaborada? Como? A atividade contm imprecises matemticas ou de outra natureza na sua redao? Quais? Ela seria acessvel para alunos que cursam o ensino mdio? Justifique. Voc acha que a atividade, do modo como proposta, poderia contribuir para fazer com que a histria participasse, de forma orgnica, dos processos escolares de transmisso e apropriao da matemtica, bem como para se estabelecer conexes entre tpicos aparentemente desconectados do currculo de matemtica e conexes entre a matemtica e outros domnios do saber? Justifique. Voc acha que a atividade, do modo como est proposta, artificial? Voc acha que os mtodos de resoluo da atividade so artificiais, pelo fato de distorcerem ou desconsiderarem a realidade? Comente e justifique suas respostas.Resoluo da atividade 8: a)0,8988 0,9455 Utilizando a identidade cos(x) cos(y) = [cos(x + y) + cos(x - y)] 0,8988 = cos(26) 0,9455 = cos(19) cos(26) * cos(19) = [cos(26 + 19) + cos(26 - 19)] = [cos(45) + cos(7)] = [0,7071 + 0,9925] = [1,6996] = 0,8498 b)1525 321 Utilizando a identidade: x y = [(x + y) 2]2 [(x - y) 2]2 1525 321 = [(1525 + 321) 2]2 [(1525 - 321) 2]2 = (1846 2)2 (1024 2)2 = 851929 362404 = 489525 c) 12. 60,8 = 101,78390;126 = 102,10072;7691 = 103,88598;105 = 102,02243;Ento: 14 ,15105101, 78390 10 2,10072 10 3,88598 7 1,78390 + 2,10072+ 3,88598 2,022437 = 10 = 10 7 = 10 2, 02158 = 105,1 10 2,02243Neste exerccio notrio que transformamos clculos complexos em clculos maissimples como somas, subtraes, divises simples, alm de obter auxlio de tabelas. ATIVIDADE 9 No livro Aritmtica Progressiva de Antnio Trajano, de1944, 75 Edio, pgina 237, encontra-se a seguinte definio de logaritmo: "Logaritmos so os termos de uma progresso por diferena (PA) cujo primeiro termo zero, correspondentes aos de outra progresso por quociente (PG), cujo primeiro termo a unidade". a)Construa uma PA e uma PG que satisfaam as condies da definio acima. b)De acordo com a definio dada, diga qual o logaritmo do quinto termo da PG criada. c)Diga em que base esto sendo calculados os logaritmos de cada um dos termos da PG que voc criou e explique por que. d)Seria correto afirmar que, de acordo com a definio acima, a base dos logaritmos dos nmeros que se quer determin...</p>