Noções básicas de triângulos e quadriláteros

Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf

Sumário Página

O triângulo e seus elementos .......................................................................................... 1

Reconhecendo triângulos................................................................................................ 1

Classificação quanto aos lados................................................................................. 1

Classificação quanto aos ângulos............................................................................. 2

Relação entre as medidas dos ângulos do triângulo ....................................................... 2

Os quadriláteros e seus elementos .................................................................................. 6

Conhecendo alguns quadriláteros especiais.................................................................... 6

Paralelogramos ......................................................................................................... 6

Retângulo .............................................................................................................. 7

Losango................................................................................................................. 7

Quadrado............................................................................................................... 7

Trapézios .................................................................................................................. 8

Relação entre as medidas dos ângulos do quadrilátero ..................................................8

Referências bibliográficas............................................................................................. 12

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Noções básicas de triângulos e quadriláteros

O triângulo e seus elementos

Como você sabe, triângulo é um polígono de três lados. No triângulo ABC da figura abaixo, podemos destacar os seguintes elementos:

� Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo ABC.

� Os segmentos AB , AC e BC são os lados do triângulo ABC.

� Os ângulos A , B e C assinalados na figura são os ângulos internos do triângulo ABC.

� Utilizamos o símbolo ∆ para indicar um triângulo.

Reconhecendo triângulos

Os triângulos podem ser classificados de acordo com as medidas de seus lados ou com as medidas de seus ângulos internos.

Classificação quanto aos lados

2

Classificação quanto aos ângulos

Relação entre as medidas dos ângulos do triângulo

Consideremos o ∆ABC, a seguir, e sendo a, b e c as medidas de seus ângulos internos.

Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180º. Se a, b e c expressam as medidas dos três ângulos internos de um triângulo

qualquer, temos: o180=++ cba .

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Exemplos:

a) Calcular a medida x na figura abaixo.

Como 75º, x e 2x são as medidas dos ângulos internos do ∆ABC, temos:

o

o

o

oo

oo

35x

3105

x

105x3

75180x3

180x2x75

=

=

=

−=

=++

b) No triângulo retângulo da figura, a medida de B supera a medida de C em 10º. Quais as medidas dos três ângulos do triângulo?

medida de C = x

medida de B = x + 10º

medida de A = 90º

Através da relação, temos:

o

o

o

oo

oo

ooo

40x

280

x

802x

100180x2

180100x2

1809010xx

=

=

=

−=

=+

=+++

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EXERCÍCIOS A

(1) Com o auxílio de uma régua, efetue as medições necessárias e classifique os triângulos quanto aos lados:

a)

b)

c)

(2) Com o auxílio de um transferidor, efetue as medições necessárias e classifique os triângulos quanto aos ângulos:

a)

b)

c)

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(3) Nas figuras a seguir, determine o valor de x:

a)

b)

c)

d)

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Os quadriláteros e seus elementos

Como você já estudou anteriormente, quadrilátero é um polígono de quatro lados. No quadrilátero ABCD da figura abaixo, podemos destacar os seguintes elementos:

� Os pontos A, B, C e D são os vértices do quadrilátero ABCD.

� Os segmentos AB , BC, CD e DA são os lados do quadrilátero ABCD.

� Os ângulos A , B , C e D assinalados na figura são os ângulos internos do quadrilátero ABCD.

� O segmento AC, cujas extremidades são dois vértices não-consecutivos, é uma diagonal do quadrilátero ABCD. O segmento BD é outra diagonal desse quadrilátero.

Conhecendo alguns quadriláteros especiais

Paralelogramos

O paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos, dois a dois.

Paralelogramo ABCD:

CD//AB e BC//AD

Dentre os paralelogramos podemos destacar:

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Retângulo

É o paralelogramo que tem os quatro ângulos congruentes (os quatro ângulos são retos).

Losango

É o paralelogramo que tem os quatro lados congruentes.

Quadrado

É o paralelogramo que tem os quatro lados congruentes e também os quatro ângulos congruentes (retos).

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Trapézios

O trapézio é o quadrilátero que possui apenas dois lados paralelos.

Trapézio ABCD:

CD//AB

As figuras nos mostram trapézios que têm os três lados diferentes. São os

chamados trapézios escalenos.

As figuras nos mostram trapézios que têm dois

ângulos internos retos. São os chamados trapézios

retângulos.

As figuras nos mostram trapézios cujos lados não-paralelos são congruentes.

São os chamados trapézios isósceles.

Relação entre as medidas dos ângulos do quadrilátero

Consideremos o quadrilátero ABCD, a seguir, e sendo a, b, c e d as medidas de seus ângulos internos.

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Em quadrilátero, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 360º. Se a, b, c e d expressam as medidas dos quatro ângulos internos de um quadrilátero

qualquer, temos: o360=+++ dcba .

Exemplo:

► Calcular a medida x e B na figura abaixo.

Como x, x − 14º, 69º e 133º são as medidas dos ângulos internos do quadrilátero ABCD, temos:

o

o

o

o

o

86x

2

172x

º172x2

º188º360x2

360º188x2

360º202º14x2

360º133º69º14xx

=

=

=−==+

=+−

=++−+

Como:

72º B

14º86º B

14ºxB

=

−=

−=

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EXERCÍCIOS B

(1) O quadrilátero da figura abaixo é um paralelogramo? Justifique sua resposta.

(2) Sabemos que o retângulo possui os quatro ângulos congruentes e retos. No retângulo abaixo, determine o valor de dcba +++ , onde a, b, c e d são as medidas dos quatro ângulos internos do retângulo.

(3) No trapézio abaixo, determine, usando um transferidor, as medidas a, b, c e d dos ângulos internos. A seguir, calcule dcba +++ .

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(4) Complete as palavras cruzadas abaixo de acordo com as perguntas.

HORIZONTAIS VERTICAIS 1. Quadrilátero com os lados opostos

paralelos. 2. Diz-se de um triângulo que tem um

ângulo interno obtuso. 3. Diz-se de um triângulo que tem todos

os lados iguais. 6. Quadrilátero com todos os lados

iguais. 4. Quadrilátero com os ângulos internos

retos. 8. Paralelogramo com os lados iguais e

os ângulos retos. 5. Diz-se de um triângulo que tem todos

os ângulos internos agudos. 7. Diz-se de um trapézio que tem dois

lados iguais. 9. Quadrilátero com pelo menos dois

lados paralelos. 10. Diz-se de um trapézio com os lados

todos diferentes.

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Referências bibliográficas

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS LIMA DE FREITAS. Disponível em:

<http://www.limafreitas.org >. Acesso em: 8 de novembro de 2008.

ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando

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BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:

FTD, 2006.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.

EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá:

Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.

GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e

descobrir. São Paulo: FTD, 2005.

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José

Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.

GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.

GUELLI, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento. São Paulo:

Ática, 1998.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São

Paulo: Scipione, 2006.

SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br>.

Acesso em: 23 de outubro de 2008.