Matemática apostila 1 prof. cesar

Matemática 2ª Série

Apostila 1

Prof. Cesar H. Fieschi

CNPJ: 06.306.644/0001-99

Apostila 1 de Matemática

Índice

1. Conteúdo:---------------------------------------------------------------------------------------3

Matrizes------------------------------------------------------------------------------------------3

1.1.1 Tipos de Matrizes---- ----------------------------------------------------------4

1.1.2 Operações com Matrizes-----------------------------------------------------6

2. Determinantes--------------------------------------------------------------------------------10

3. Sistemas Lineares--------------------------------------------------------------------------12

3.1.1 Sistema Lineares Homogêneos-------------------------------------------15

3.1.2 Regra de Cramer---------------------------------------------------------------16

4. Exercício Propostos ------------------------------------------------------------------18

5. Bibliografia-----------------------------------------------------------------------------------20

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1. Conteúdo:

Matrizes

- Conceito

Matriz é uma tabela com colunas (vertical) e linhas (horizontal). Então chamamos de matriz toda tabela m x n sendo que m e n podem assumir qualquer valor natural menos o zero. Sendo que m é o número de linhas e n o número de colunas.

- Representação

Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas entre parênteses, chaves ou entre duas barras duplas, exemplo:

0 1 2 3 4A3x5 = 3 5 7 9 11 ; 0 2 4 6 8

Observe que a matriz do exemplo acima tem indicação do número de linhas e do número de colunas. O exemplo esta indicado A3 x 5 que lê: matriz A de ordem três por cinco.

Cada número pertencente a uma matriz é o seu elemento.

Se pegarmos uma matriz qualquer de ordem m x n, como iríamos representá-la?Cada elemento de uma matriz pertence a uma linha e uma coluna. Considere a matriz a A 3 x 5 do exemplo anterior: o elemento 1 pertence a 1ª linha e a 2ª coluna e o elemento 11 pertence a 2ª linha e a 5ª coluna.

Para representarmos uma matriz de ordem 2 x 2 onde não temos seus elementos definidos, representamos da seguinte forma:

a11 a12

a21 a22

a11,a12,a21 e a22 são elementos da matriz de ordem 2 x 2 (duas linhas e duas colunas).

Então o elemento a21 pertence a 2ª linha e 1ª coluna.

Exemplo:Escreva a matriz A = (ai j)2 x 3 tal que ai j = 2i + j.

A matriz A é de ordem 2 x 3, então podemos escrevê-la assim:

a11 a12 a13

a21 a22 a23

Agora os números que ocuparam o lugar de: a11, a21, a12, a22, a13 e a23, irão depender da equação dada no enunciado: ai j = 2i + j.Então iremos calcular cada elemento sabendo que:


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i é a linha que o elemento pertence.j é a coluna que o elemento pertence.

a11 = 2 . 1 + 1 a21 = 2 . 2 + 1a11 = 3 a21 = 5

a12 = 2 . 1 + 2 a22 = 2 . 2 + 2a12 = 4 a22 = 6

a13 = 2 . 1 + 3 a23 = 2 . 2 + 3a13= 5 a23 = 7

Então os elementos que pertencem a matriz A são:

3 4 5

5 6 7

De maneira abreviada podemos escrever a matriz A na forma : A= (ai)mxn, 1≤ i≤ m, 1 ≤ j ≤ n e i, j є N.Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou apenas por características específicas.

1.1.1 Tipos de Matrizes

Matriz Linha

Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas uma linha. O número de colunas é independente. Por exemplo:

A1 x 3= [ -1 0 3 ]

Matriz Coluna

Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna. O número de linhas é independente. Por exemplo: 0A5 x 1= 2 5

Matriz Nula

Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo:Podendo ser representada por 2 x 2.

0 0

0 0


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Matriz Quadrada

Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é o mesmo do número de linhas. Por exemplo:

2 0 5A3x3= 0 1 4

6 4 3

Diagonal principalDiagonal secundária

Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma diagonal principal.

Matriz Diagonal

Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos que não pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não. Por exemplo:

3 0 0

A = 0 1 0

0 0 2

Matriz Identidade

Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. Veja o exemplo:

1 0 0

I3 = 0 1 0 0 0 1


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Matriz Oposta

Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B. Se tivermos uma matriz:

3 4 - 5

B= 5 - 6 7

A matriz oposta a ela é:

-3 -4 5

B= -5 6 - 7

Concluímos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos.

Matrizes Iguais ou igualdade de matrizes

Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus elementos correspondentes forem iguais.

Matrizes Transpostas

Dada a matriz A, chamamos de transposta de A a matriz A t , na qual as linhas de A são suas colunas e vice-versa.

2 5 0 2 1 A = , At = 5 3 1 3 5 0 5

1.1.2 Operações com Matrizes

A operação com qualquer matriz sempre resultará em outra matriz, independentemente da operação utilizada.


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Antes de falarmos da adição e da subtração de matrizes, iremos relembrar do que uma matriz é formada: toda matriz tem seus elementos que são dispostos em linhas e colunas.

A quantidade de linhas e colunas deve ser maior ou igual a 1. Cada elemento vem representado com a linha e a coluna que pertence. Exemplo: Dada uma matriz B de ordem 2 x 3 o elemento que se encontra na 1º linha e 2° coluna será representado por b12.

Adição de Matrizes

As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. E o resultado dessa soma será também outra matriz com a mesma ordem.

Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B.

Exemplo: Dada as matrizes A e B determine A+B.

Solução:

Propriedades da adiçãoSendo A, B, C e O(matriz nula) matrizes de mesmo tipo e p, q R, valem as propriedades:∈

- Comutativa: A+B = B+A- Associativa: A+(B+C) = (A+B)+C- Elemento neuto: A+O = O+A = A

Subtração de Matrizes

As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem.A subtração de matrizes é dada pela sentença:A – B = A + (– B )


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Multiplicação

Multiplicação de número real por matriz

Dada uma matriz A = (aij)mxn e um número real k, denomina-se matriz produto do numero real K por A, a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementos por k.

Observe como exemplo a determinação da matriz 3ª, a partir de

Sendo A, B, C, O (matriz nula) matrizes de mesmo tipo, valem as propriedades da multiplicação de numero real por matriz:

- 1.A = A- (-1).A = -A- p.O = O- 0.A = 0- p.(A + B) = p.A + p.B- (p + q).B = p.B + q.B- p.(q.A) = (p.q).A

Multiplicação de matrizes

Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C (cij) satisfaz:


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Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e , a seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaixo:

O produto entre duas matrizes A e B é definido se , e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:

O elemento neutro da multiplicação de matrizes é a matriz identidade(I).


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Exercício - exemplo

2 Determinantes

Determinante é o valor numérico de uma matriz quadrada (que tem o mesmo número de linhas e de colunas).

• Determinantes de matrizes de ordem 1

Matriz de ordem 1 é uma matriz que possui apenas uma linha e uma coluna.Por exemplo:A = (1)B = [-5]

O valor do determinante desse tipo de matriz é o próprio elemento da matriz de ordem 1, assim podemos concluir que o determinante das matrizes A e B serão:

det A = | 1 | = 1

det B = | -5 | = -5

OBSERVAÇÃO: As duas barras que limitam os elementos de um determinante não devem ser considerados módulos, é apenas um símbolo que representa os determinantes.

• Determinantes de matrizes de ordem 2

Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, basta multiplicar os elementos da diagonal principal e diminuir pelo produto dos elementos da diagonal secundária.

Dada uma matriz de ordem 2:


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O seu determinante será = a11 . a22 – a21 . a12.

Exemplo:Dada a matriz B de ordem 2x2 . Calcule o seu determinante:

= -3 . 0 – 1 . 2 = 0 – 2 = -2, portanto det B = -2

• Determinantes de Matrizes de ordem 3

O cálculo do determinante de matriz de ordem 3 é feito utilizando um processo chamado de regra de Sarrus..

Dada a matriz A de ordem 3x3 , o seu determinante será calculado da seguinte forma:

Escrevemos o seu determinante, repetindo as duas primeiras colunas à direita da matriz A:

Agora devemos multiplicar os elementos conforme indicado abaixo, sabendo que os produtos da direita conservaram os sinais e os produtos da esquerda inverteram os sinais:


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Feito as multiplicações devemos somar os seus produtos.

det A = 0 – 40 + 0 – 15 + 0 – 4 = -59, obtendo o det A = -59

Equação Linear

É toda equação que possui variáveis e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ....., são os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo número real b.Exemplos:

x + y + z = 202x –3y + 5z = 64x + 5y – 10z = –3x – 4y – z = 0

3. Sistemas Lineares

Um conjunto de m equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com m equações e n incógnitas.Exemplos:Sistema linear com duas equações e duas variáveis.

x + y = 3x – y = 1

Sistema linear com duas equações e três variáveis.

2x + 5y – 6z = 24x – y + 10z = 30

Sistema linear com três equações e três variáveis.

x + 10y – 12z = 1204x – 2y – 20z = 60–x + y + 5z = 10

Sistema linear com três equações e quatro variáveis.

x – y – z + w = 102x + 3y + 5z – 2w = 214x – 2y – z + w = 16Solução de um sistema linear


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Dado o sistema:

x + y = 3x – y = 1

A solução deste sistema é o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equações do sistema linear. Observe:x = 2 e y = 12 + 1 = 3 3 = 32 – 1 = 1 1 = 1

Dado o sistema:

2x + 2y + 2z = 202x – 2y + 2z = 82x – 2y – 2z = 0

Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) é solução do sistema, pois ele satisfaz as três equações do sistema linear. Veja:

2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20 10 + 6 + 4 = 20 = 202 * 5 – 2 * 3 + 2 * 2 = 8 10 – 6 + 4 = 8 = 82 * 5 – 2 * 3 – 2 * 2 = 0 10 – 6 – 4 = 0 = 0

Classificação de um sistema linear

Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.

SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.SI – Sistema Impossível – não possui solução.

Associando um sistema linear a uma matriz

Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes ocuparão as linhas e as colunas da matriz, respectivamente. Veja exemplo 1:O sistema:x + y = 3x – y = 1pode ser representado por duas matrizes, uma completa e outra incompleta.

Matriz completa

1 1 3

1 -1 1

Matriz incompleta

1 1

1 -1


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Exemplo 2

x + 10y – 12z = 1204x – 2y – 20z = 60–x + y + 5z = 10

Matriz completa

1 10 -12 120

4 -2 -20 60

-1 1 5 10

Matriz incompleta

1 10 -12

4 -2 -20

-1 1 5

Obs.: O sistema também pode possuir uma representação matricial. Observe o sistema de equações lineares:

x + 10y – 12z = 1204x – 2y – 20z = 60–x + y + 5z = 10

Equação matricial do sistema:

Denominamos de sistema linear o conjunto de equações lineares na variável x com m equações e n variáveis. Ao resolvermos um sistema linear podemos obter as seguintes condições de solução: uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Sistema Possível e Determinado (SPD): ao ser resolvido encontraremos uma única solução, isto é, apenas um único valor para as incógnitas. O sistema a seguir é considerado um sistema possível e determinado, pois a única solução existente para ele é o par ordenado (9,1).


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X + y = 10

X – y = 8

Sistema Possível e Indeterminado (SPI): esse tipo de sistema possui infinitas soluções, os valores de x e y assumem inúmeros valores. Observe o sistema a seguir, x e y podem assumir mais de um valor, (1,-3), (3,110, (0,-5), (1/2,-4) e etc.

2x - y = 5

4x - 2y =10

Sistema Impossível (SI): ao ser resolvido, não encontraremos soluções possíveis para as incógnitas, por isso esse tipo de sistema é classificado como impossível. O sistema a seguir é impossível.

x + y = 6

3x + 3y = 9

Determinado

Possível IndeterminadoSistema

Impossível

3.3.1 Sistema Linear Homogêneo

Equação linear homogênea é uma equação que possui os termos independentes iguais a zero, por exemplo, 2x+5y-z = 0 é uma equação homogênea, portanto, podemos concluir que um sistema linear será considerado homogêneo se todas as suas equações tiverem os seus termos independentes iguais à zero.Em um sistema linear homogêneo seu conjunto solução (conjunto verdade) será sempre possível, ou seja, ao estudarmos um sistema homogêneo iremos encontrar sempre um sistema possível determinado ou possível indeterminado.O sistema linear será considerado possível, pois irá obter pelo menos um conjunto solução o (0, 0, 0, ... , 0), esse é chamado de solução trivial, nula ou imprópria do sistema.

Veja a classificação de um sistema linear homogêneo e suas características:


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3.3.3 Regra de Cramer

3Regra de Cramer é usada para a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas.Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas, na sua forma genérica:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3....................................................= .......................................................= ...an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bn

onde os coeficientes a11, a12, ..., ann são números reais ou complexos, os termos independentesb1, b2, ... , bn , são números reais ou complexos e x1, x2, ... , xn são as incógnitas do sistema nxn.

Seja D o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.

Seja D xi o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita xi ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termos independentes b1, b2, ... , bn.


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A regra de Cramer diz que:Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo denominador é o determinante D dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante D xi, ou seja:xi = D xi / D

Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:

x + 3y - 2z = 32x - y + z = 124x + 3y - 5z = 6

Teremos:

Portanto, pela regra de Cramer, teremos:

x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4

Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.


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4. Exercícios propostos:

-2 6 -3Considere a matriz A = 4 0 2 Pede-se calcular:

0 -1 2

1) a11 + a22 + a32

(a13)2

2) At

-1 6 -33) Sendo a matriz B = -2 0 3 . Calcule A – B 3 -1 0

4) A2 – I3

x -2 -2x –3 y -2Considere as matrizes A e B sendo A=B, onde A = e B = 0 z w + 3 -1 5) Calcule os valores de x, y, w e z .

6) Calcule At + Bt

7) As matrizes A e B são quadradas ? Justifique sua resposta.

8) calcule a matriz C = A.B

9) Petrobrás – BR – Técnico de Instrumentação – Maio 2006

Uma rede distribuidora é composta de 4 lojas instaladas numa mesma cidade. Na matriz M4x7 abaixo, cada elemento mij representa a quantidade de latas de certo tipo de lubrificante vendida na loja i no dia j da semana de 12 a 18 de março.Assim, por exemplo, o elemento m13 corresponde às vendas da loja 1 no dia 14 (terceiro dia da semana) e o e elemento m47, às vendas da loja 4 no dia 18 (sétimo dia da semana).M4x7 =

75 83 79 91 84 79 113128 114 123 109 114 123 142103 98 121 111 119 112 136169 168 154 148 162 171 189


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De acordo com as informações acima, qual a quantidade total de latas de lubrificante que esta rede distribuidora vendeu no dia 15/03?

(A) 459 (B) 463(C) 477(D) 479(E) 485

10) Se A é uma matriz 2x3 definida por aij = 2 , se i=j e 2+j, se i ≠ j então a matriz A será ?

5 0 0 -111) Dadas as matrizes A = e B= , calcule as matrizes X e Y solução

0 -5 1 0

2X + Y = 3A -B

do sistema

X – 2Y = 5A + 2B

12) Determine x, y e z no sistema:

x + 2y – z = - 5

- x – 2y –3z = - 3

4x – y - z = 4

13) Calcule o valor de m, para o sistema ser SPD

x - 3y + 2z = 1

2y + z = 3

-x + 3m y + z = -2

14) Resolva em R a seguinte equação:

1 2 x

-1 x x + 1 = 6

3 2 x


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15) Calcule o valor de x e y para que o determinante seja igual a zero

3 2 - 2 9

-1 -1 3 7

3 2 5x -3y

0 -1 1 2

4. Bibliografia

Provas dos concursos de anos anteriores

www.brasilescola.com

Matemática: Livro do Professor / Luiz Roberto Dante . – 1ª Edição – São Paulo : Ática, 2004.


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http://www.brasilescola.com/

Education

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