MATEMÁTICAAULA 1 e 2 – REGRA DE TRÊS

PROPORÇÃO DIRETA

Sabemos que uma proporção é direta quando, tendo duas grandezas, verificamos que:◦Aumentando uma grandeza a outra

também aumentará;◦Diminuindo uma grandeza a outra

também diminuirá.

PROPORÇÃO DIRETA

Quanto maior for a o número de cópias, maior será o custo em Euros.◦Ou seja, se aumentarmos a grandeza

número de cópias, aumentaremos também a grandeza custo.

EXEMPLOS DE GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Velocidade média e distância percorrida, pois, se você dobrar a velocidade com que anda, deverá, num mesmo tempo, dobrar a distância percorrida.

Área e preço de terreno. Quanto maior a área, maior o preço.

Altura de um objeto e o comprimento da sombra projetada por ele. Quanto mais alto o objeto, maior será a sombra projetada.

Proporção inversaSabemos que uma proporção é inversa quando, tendo duas grandezas, verificamos que:◦Aumentando uma grandeza a outra diminuirá;

◦Diminuindo uma grandeza a outra aumentará.

Proporção inversaQuanto maior a velocidade de um

automóvel, menor será o tempo que ele levará para chegar ao lugar determinado.

Se a 180Km/h leva-se 20 segundos para alcançar um objetivo, a 200 Km/h esse mesmo objetivo será alcançado em 18 segundos.

EXEMPLOS DE GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

A Velocidade média e o tempo de viagem são inversamente proporcionais, pois, se você dobrar a velocidade com que anda, mantendo fixa a distância a ser percorrida, reduzirá o tempo do percurso pela metade.

Número de torneiras de mesma vazão e tempo para encher um tanque, pois, quanto mais torneiras estiveram abertas, menor o tempo para completar o tanque.

PROPORÇÃO DIRETA X INVERSA

Imagine um grupo de pessoas que se instale num acampamento que cobra R$ 100,00 a diária individual. ◦Uma pessoa gasta R$ 100,00 num dia, Duas

pessoas gastam R$200,00, ou seja, aumentam as pessoas, aumentam os gastos. Isso é proporção direta.

Suponha que esse grupo disponha de R$2.000,00 para gastos com estadia.◦Quanto maior o numero de pessoas, menor será

o tempo que permanecerão no acampamento. Duas pessoas ficariam por 10 dias. Quatro pessoas por 5 dias. Isso é proporção inversa.

RESUMINDODuas grandezas são proporcionais se

elas se alteram com mesma medida, mesma razão. ◦São diretamente proporcionais se elas

têm a mesma tendência: quando uma aumenta a outra também aumenta e quando uma diminui a outra também diminui.

◦São inversamente proporcionais se elas têm tendência inversa: quando uma aumenta a outra diminui e quando uma diminui a outra aumenta.

EXERCÍCIOS1) O número de acertadores e os prêmios

são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?

2) Sabendo que a, b, c e 120 são diretamente proporcionais aos números 180, 120, 200 e 480, determine os números a, b e c.

3) Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72, 128. Determine os números x e y.

Número de acertadores Prêmio

3 R$ 200.000,00

4 R$ 150.000,00

EXERCÍCIOS

4) Diga se é diretamente ou inversamente proporcional:

a) Número de pessoas em um churrasco e a quantidade (gramas) que cada pessoa poderá consumir.b) A área de um retângulo e o seu comprimento, sendo a largura constante.c) Número de erros em uma prova e a nota obtida.d) Número de operários e o tempo necessário para eles construírem uma casa.e) Quantidade de alimento e o número de dias que poderá sobreviver um náufrago.

REGRA DE TRÊSRegra de três é o método de cálculo utilizado

quando sabemos o valor de três grandezas para descobrirmos o valor de uma quarta grandeza proporcional às três já conhecidas.

Exemplo 1:◦ Um carro percorre 900km em 6 horas. Quanto ele

percorrerá em 8 horas se manter a mesma velocidade?

Sabemos três grandezas e queremos saber o quarto valor que é proporcional aos outros três.◦ Para isso basta dividirmos a distância percorrida

(900km)pela quantidade de horas (6 horas).

Esse cálculo nos informará qual a distância percorrida em uma hora. 900 dividido por 6 é igual a 150.

Isso significa que em uma hora o carro percorre 150km.

Para sabermos o quanto ele percorrerá em 8 horas basta multiplicar esse valor (150) por 8.

Assim, teremos 8x150 que é igual a 1200.

Logo, em 8 horas, mantendo a mesma velocidade, o carro irá percorrer 1.200Km.

DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Note que nesse caso colocamos setas para indicar a natureza da proporção, ou seja, se ambas aumentam ou diminuem, são proporcionais, o que é o caso.

Em outras palavras, aumentando o número de horas aumentará a distância percorrida.

Como a proporção é direta, a fórmula matemática seria assim escrita:

Grandeza 1 Grandeza 2

Tempo (horas)Distância (Km)

6 9008 x

Logo, para achar o valor de x

basta fazermos a multiplicação entre meios e extremos, ou seja:

6.x=8.900 6x=7200 x= x=1200Resposta: 1200Km

INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo 2:◦Um automóvel, com velocidade

média de 90 Km/h, percorre certo espaço durante 8 horas. Qual será o tempo necessário para percorrer o mesmo espaço com uma velocidade de 60 Km/h?

Primeiro é necessário descobrir se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

No exemplo anterior verificamos que aumentando o tempo, aumentaríamos também a distância percorrida, ou seja, tínhamos grandezas diretamente proporcionais.

No presente exemplo, perguntamos: Diminuindo a velocidade diminuiremos o tempo de viagem?

A resposta óbvia é:NÃO!Logo, temos grandezas inversamente

proporcionais.

Observe no gráfico a diferença entre as setas:

Como as grandezas são inversamente proporcionais, será necessário que invertamos uma das grandezas para que o cálculo resulte correto:

Grandeza 1 Grandeza 2

Tempo (horas)Velocidade(Km/h)

8 90x 60

Assim, ao invés de escrevermos:

Escreveremos: Note que, assim, as setas ficaram

no mesmo sentido, permitindo que apliquemos a regra de três para descobrirmos o valor de x.

Aplicando a fórmula matemática, teremos:

Logo, para achar o valor de x

basta fazermos a multiplicação entre meios e extremos, ou seja:

60x=8.90 60x=720 x= x=12Resposta: 12 horas

RESUMINDOSe as grandezas são diretamente

proporcionais, basta fazermos a multiplicação em cruz (meios e extremos) para encontrar o valor procurado.

Se as grandezas forem inversamente proporcionais, invertemos uma das frações antes de multiplicarmos em cruz.

REGRA DE TRÊS COMPOSTAEssa regra é aplicada para as situações

em que temos mais de duas grandezas proporcionais.

Exemplo:◦Numa fábrica, 10 máquinas

trabalhando 20 dias produzem 2000 peças. Quantas máquinas serão necessárias para se produzir 1680 peças em 6 dias?Grandeza 1: Grandeza 2: Grandeza 3:

Número de máquinas Dias

Número de peças

10 20 2000x 6 1680

Para colocarmos as setas indicando se são grandezas proporcionais diretas ou inversas, é necessário perguntar:

Aumentando o número de máquinas, aumentaremos a quantidade de dias para confeccionarmos determinado número de peças?◦A resposta é NÃO, logo a seta tem que

indicar o sentido inverso ao da grandeza 1, pois são inversamente proporcionais.Grandeza 1: Grandeza 2: Grandeza 3:Número de máquinas Dias

Número de peças

10 20 2000x 6 1680

Aumentando o número de máquinas, aumentaremos o número de peças produzidas?

A resposta é SIM, logo as grandezas 1e 3 diretamente proporcionais e as setas devem indicar a mesma direção.

Grandeza 1: Grandeza 2: Grandeza 3:Número de máquinas Dias

Número de peças

10 20 2000x 6 1680

Para efetuarmos os cálculos corretamente, todas as grandezas devem estar com as setas apontando para o mesmo lado.

Assim, INVERTEMOS a posição das informações da segunda coluna, deixando todas as setas apontando para a mesma direção:

Que resultará na fórmula:

10 6 2000x 20 1680

A resolução do problema será:

12000x=10.3360012000x=336000

28Resposta: Serão necessárias 28

máquinas.

EXERCÍCIOS

1) Um pedreiro é capaz de assentar 8 metros de muro por dia. Quantos metros de muro esse pedreiro consegue assentar em 15 dias?

2) Uma máquina é capaz de produzir 6 réguas a cada dois minuto. Quantas réguas essa máquina consegue produzir em 15 minutos?

3) Marlene está lendo um livro com 352 páginas. Em 3 horas ela já leu 48 páginas. Quanto tempo Marlene vai levar para ler o livro todo?

4) Abrindo completamente 4 torneiras idênticas, é possível encher um tanque com água em 72 minutos. Se abrirmos 6 torneiras iguais a essas, em quanto tempo vamos encher o tanque?

EXERCÍCIOS

5) Um avião, à velocidade de 900 Km/h, leva 140 minutos para ir de Brasília a Porto Alegre. Se o mesmo avião voasse a 750 Km/h, em quanto tempo faria a mesma viagem?

6) Funcionando durante 8 dias, 4 máquinas produziram 600 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 6 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 12 dias?

7) Se 5 homens podem arar um campo de 10 ha em 9 dias, trabalhando 8 horas por dia, quantos homens serão necessários para arar 20 ha em 10 dias, trabalhando 9 horas por dia?

RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS1) Um pedreiro é capaz de assentar 8

metros de muro por dia. Quantos metros de muro esse pedreiro consegue assentar em 15 dias? Aumentando a quantidade de dias, aumenta a quantidade de muros construídos?

SIM! Então são grandezas diretamente proporcionais. As setas apontam a mesma direção.Logo, basta multiplicar em cruz.Assim, x=8.15

x= 120Resposta: 120 metros de muro em 15 dias.

Metros Dias8 1x 15

RéguasMinutos

6 2x 15

RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS

2) Uma máquina é capaz de produzir 6 réguas a cada dois minuto. Quantas réguas essa máquina consegue produzir em 15 minutos?

Aumentando a quantidade de minutos, aumenta a quantidade de réguas produzidas?SIM! São diretamente proporcionais.Logo, basta multiplicar em cruz.Assim, 2x=6.15

x=

x=x= 45Resposta: A máquina produz 45 réguas em 15 minutos.

RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS3) Marlene está lendo um livro com 352

páginas. Em 3 horas ela já leu 48 páginas. Quanto tempo Marlene vai levar para ler o livro todo? Aumentando a quantidade de horas, aumenta a quantidade de páginas lidas?

SIM! Então são grandezas diretamente proporcionais. As setas apontam a mesma direção.Logo, basta multiplicar em cruz.Assim, 48x=352.3

48x=1056x= x=22

Resposta: Ela levará 22 horas para ler o livro todo.

Páginas Horas352 X48 3

4) Abrindo completamente 4 torneiras idênticas, é possível encher um tanque com água em 72 minutos. Se abrirmos 6 torneiras iguais a essas, em quanto tempo vamos encher o tanque?

Aumentando o número de torneiras aumentaremos o tempo para encher o tanque?NÃO! Então são grandezas inversamente proporcionais. As setas apontam para direções contrárias.Logo, é preciso deixar as duas grandezas com as setas na mesma direção, invertendo uma delas.Dessa forma, basta multiplicar em cruz.Assim: 6x=4.72

6x=288

x=

x= 48Resposta: O tanque vai se encher em 48 minutos.

Torneiras Minutos4 726 x

Torneiras Minutos6 724 x

5) Um avião, à velocidade de 900 Km/h, leva 140 minutos para ir de Brasília a Porto Alegre. Se o mesmo avião voasse a 750 Km/h, em quanto tempo faria a mesma viagem?

Diminuindo a velocidade do avião diminuiremos o tempo da viagem?NÃO! Então são grandezas inversamente proporcionais. As setas apontam para direções contrárias.Logo, é preciso deixar as duas grandezas com as setas na mesma direção, invertendo uma delas.Dessa forma, basta multiplicar em cruz.Assim: 750x = 900.140

750x = 126000x= x=168

Resposta: Faria a viagem em 168 minutos.

Velocidade Minutos900 140750 x

Velocidade Minutos750 140900 x

6) Funcionando durante 8 dias, 4 máquinas produziram 600 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 6 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 12 dias?

Aumentando o número de máquinas aumentaremos o número de peças produzidas?SIM! São grandezas diretamente proporcionais.Aumentando o número de dias trabalhados aumentaremos o número de peças produzidas?SIM! São grandezas diretamente proporcionais.Logo, todas as setas apontarão para a mesma direção.Na Regra de Três Composta nós isolamos o item que queremos descobrir e multiplicamos os demais.

Dessa forma:

32x=600.72 32x=43200

x=

x=1350

Resposta: Produzirá 1350 peças em 12 dias.

DiasMáquin

as Peças8 4 60012 6 x

7) Se 5 homens podem arar um campo de 10 ha em 9 dias, trabalhando 8 horas por dia, quantos homens serão necessários para arar 20 ha em 10 dias, trabalhando 9 horas por dia?

Quanto mais homens, mais hectares arados?SIM! Logo são grandezas proporcionais diretas.Quanto mais homens, mais horas trabalham por dia?NÃO! Logo são grandezas proporcionais inversas.Quanto mais homens, mais dias trabalharam?NÃO! Logo são grandezas proporcionais inversas.Para realizarmos a Regra de Três todas as setas devem apontar a mesma direção. Invertemos, então, as grandezas, para deixarmos todas as setas na mesma direção.

Homens

Hectares

Dias

Horas

5 10 9 8x 20 10 9

Homens

Hectares

Dias

Horas

x 20 9 85 10 10 9

Na Regra de Três Composta nós isolamos o item que queremos descobrir e multiplicamos os demais.Assim, teremos:. .

900x = 5.1440900x = 7200X=X=8Resposta: São necessários 8 homens para arar 20 hectares durante 10 dias trabalhando 9 horas cada dia.