Matemática e realidade. 9º ano. produtos notáveis e fatoração

Embed Size (px)

Text of Matemática e realidade. 9º ano. produtos notáveis e fatoração

  1. 1. mae_ . msoxm__cm. .mmzacacm4emnom; imprimiu'*J'rfClL. ii(-:1E ? xiiilrlak ?Unidade Xw _a _a a m _a g... a _a a. , .__. %m_%. w.mra a aa a a m. . .a a . w a MEM a,a , a _pm
  2. 2. f t Productos notveis D*weaA data da cartax/ Pedro,que adora Matemtica,resolveu deixar um bilhete para seu amigo.Leia-o e responda:Em que dia foi escrito o bilhete?So Paulo,( + 1)?+ (v:- na de maio de MMIX. Caro amigo,Acabei de fazer uma lio de Matemtica. Foi em maio de 2009.O dia - representado por ( + D2 + ( - DE - podemos descobrir calculando os dois quadrados. Quadrado da soma ou diferena de_ dois termosRecordemos produtos notveis:(a+b)*= (a+b)(a+b) a b (a+b)Z= a2+ab+ba+b2 b at,bg b(a + b)2= az + 2ab + bA deduo tambm pode ser feita usando geometria e a a a2 ba a gura ao lado.Trocando b por (-19) ca:a b [a + (-b)]2 =a" + 221Gb) + (-b)' rea total =(a + b)?Da:rea total =a?+ 2ab + bz l(a-b)2=aZ-2ab+b2% Assim:(T2+1)2=
  3. 3. :: siga jpz , .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..z1 Calcule a rea de cada quadrado:b) F29-4, O 2+V 2 Calcule os produtos notveis:O 104g a) (1 +V)2 em. ? e) (2+3)2 7+i212 b) (W+5)2 34-10 " f) (*+)2 5+2u3 C) (3-lz 1:46 3 g) (1 -2Vl 1.) 4 a d) (V-UE _z 3 h) (4V-3) 41 24g.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. c .. .. .. .. .. n .. .. .- .o .- n .. n .. .. .- u uUm fator racionalizanteSabemos que *i5 um nmero irracional e tambm que 3 + *i5 irracional.Por quanto podemos multiplicar V5 a m de obter um nmero racional no nulo? E3+NPComo (NEY =5, fcil responder primeira pergunta:basta multiplicar V5 por ela mesma.'O resultado,5, um nmero racional no nulo.(H outras respostas - voc pode descobrir algumas -,mas uma suficiente para responder pergunta. )j multiplicando a soma 3 + *g por ela mesma,fica:*=9~s=4 Agora,o resultado um nmero racional no nulo,como queramos.Veja estes outros exemplos: (6+/ )(6_/ )=62-.
  4. 8. Diferen a de dois quadradosObserve as figuras a seguir:lah-Ha b rea pintada =a?- b?rea pintada =(a + b)(a - b)Note que as reas pintadas so iguais.A diferena de dois quadrados pode ser fatoradaempregando-se:az-bz= (a+b)(a-b)Veja estes exemplos: X2-25=X2-5z= (X+5XX-5) x4- 1 = (x2)2- 1208+ no8- 1)= (x2+ 1)(x+ 1)(x- 1)Trinmio uadrado perfeito ___________v ___Vamos recordar alguns pontos: inteiro quadrado perfeito o quadrado de outro inteiro 16 inteiro quadrado perfeito,pois 16 =42.' polnmo quadrado perfeito o quadrado de outro polnmio16x2 monmio quadrado perfeito,pois 16x2 =(4x)2.Como (a + b):= a2 + 2ab + bz,o trinmio a2 + 2ab + bz quadrado perfeito.E tambm a2 - 2ab + bz,que o quadrado de a - b.Para fatorar trinmios quadrados perfeitos,basta indica-los na forma de quadrados: a2+2ab+b2=(a+b)2 e a2-2ab+b'= (a-b)2A figura ao lado demonstra geometricamente 0 trinmio quadrado perfeito. Veja os exemplos: x2+8x+16=x2+2-x~4+42=(x-P4)2 4X2-4X+1=(2X)2-2-2X'1+12=(2X-D2 rea total =a2 + 2ab + b?= (a + 13)?52). )l to)
  5. 9. - .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .nZ 17 A rea de um retngulo dada pela expresso 2x2 + 4x,e um dos ' lados 2x.Qual a expresso que d o outro lado?x l~ 2 rea =2x2 + 4x * 18 Coloque em evidncia o fator comum:2X a) mx+ nx-px x(m+n-p) e) xzyzf-Tixy gxylxy-g) b) 2Ox2 + 25x 5x(4x + 5) f) 16a - 6433 16a'(a-ff c) 4m3 - @m2 2ml2m e 3) g) (a + b)x + 2(a + b) la ~ b)lx - 2) d) asbzcz + azbscz + azbzca : :inicia .b .c) h) (a + 1)x + (a + 1)y la l)(x 4 _. 'I I 19 Agrupe convenientemente os termos e fatore:. ' a) 8X+ay-bX*by(x+y)(arb) d) 12+4a+3b+ab(a. a)(s+4)b) mZ-mn-Sm + 3n (rn-n)(m-3) e) 7X2-y-i-X-7Xyl7x~1)(x y) c) x3 + 2x2 + 2x + 4 lx +2)lx= '_2) f) man -1+ n - m2 (n-illnt .1)20 Resolva cada equao:' a) x3-2x2:0 0;2 c) x3+x2+4x+4=O4 b) 4x2+2x=0 02-1? d)x3+x2-4x-4=0-1;2;-2 21 Simplique a expresso ; (5 + 12x! * .2x' Z 3x2 + 6x22 Quantas razes reais tem a equao x3 + x + x + 1 =0'?Uma:_i 23 Fatore as diferenas de quadrados:g a) 25a2 - 16 (5a + 4)[5a ~ 4) e) 4a2 ~ Qbz (2a- 3b)(2a l an) I b) x2-81 (x+9)(x-9) f) (x+y)2~y2 x(x+2y) c) lO0X2-l (1Ux+1)(10x-1] g) (a+b)2-(a-b)2 4ab .d) a2b2-4 (ab+2)(abr2) h) 1-(x+y)2 (1rx-y)(1+x+y)24 Fatore os trinmios: a) x2 + 2xy + y2 [x +y)' e) m2 + 4mn + 4n2 [m -zny b) a2+2a+1 (an) f) X2-12X+36 lx-s) c) x2-6x+9rx-3) g) 9x2+6x+1 taxa) d) 4x2-4x+1 (an):h) x3+2x2+x mu): 25 Fatore completamente:a) a - a2 al(a+1)(a-1) d) x -1 lxw 1)(x' t l)(x+1)(x-l) Z b) 2ax2 - 32a 2a(< + 4)(x - 4) e) X4 - 2X2 + 1 (x I 1)'"(x e 1)' c) a3+a2~4a~4 (a-2)(a+2)(a+*. ) f) x5+2x+x x(x+1) f 26 Simplifique:' x3+x (xwr-ztx-y) _a X51 ax-ay+2x-2y 4+553
  6. 10. I 27 Indique o valor de: a) Weendomom c) lx2+2x+1,sendox+120xm I .b) V(a+b)2,sendoa+b20ei-t d)~lx? -2x+1,sendox>1I :2a Simplique: v(a+b)2-4ab, sendoa-b>O/ a?+-+2=, sendoa>0 g~29 Sob que condio a igualdade verdadeira? Vx2+2x+1=x+1 x 1 x2-2x+1=1x x 1.. .. .. .. .. - .- .. .. .. - .- .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. - .. .. .. .. .. .. .. .. .. .- - .. .. .. .- - .. q . Formando uma equao Voc sabe formar uma equao que tem razes 2 e 3? fcil.Veja: Equao que tem raiz 2:x=2ou, ento, x-2=0 Equao que tem raiz 3: x=3ou, ento, x-3=OConsiderando a equao produto: (X-2)(x-3)=0 -para resolve-la basta igualar cada fator a zero.Logo,suas razes so 2 e 3. Assim,uma equao de razes 2 e 3 (x - 2)(x - 3) =O,ou,efetuando a multiplicao,x3 - 5x + 6 =O. Trinmio do 29 grau Repare que x2 - 5x + 6 um trinmio do segundo grau (o grau 2 o maior 'expoente de x).A sua forma fatorada (x - 2)(x - 3),isto : X2-5X+6=(X-2)(X-5) Vamos agora generalizar.Para formar a equao de razes m e n,temos:raiz m -_~: _ x - m =0 raiz n T x - n =0 razes m e n ? _..(x - m)(x - n) =Ox? -mx-nx+mn= O gx2-x(m+n)+mn= O' x2-(m+n)x+mn= O_. . g rUma equao de razes m e n : (x - m)(x -, n) =Oou,ento,x?- (m + n)x + mg =0 soma J L. produto das razes das raizes54
  7. 11. A forma fatorada do trinmio do 29 grau em x,x" - (m + n)x + mn, (x - m)(x - n). f I ix? -(m+n)x+m = (x-m)(x-n) soma uma das razes raiz produto outra das razes raiz Como formamos uma equao de razes 5 e 7?19 modo:Partindo da equao produto;29 modo:Partindo da soma e dO produto (X _ SXX _ 7) :O das raizes:x2-5x-7x+55=0 5+7=12