Matemática Financeira 02

Washington Franco MathiasJosé Maria Gomes

MatemáticaFinanceira

Com + de 600 exercíciosresolvidos e propostos

Material de Apoio (Portal Atlas)

5a Edição

SÃO PAULOEDITORA ATLAS S.A. – 2008

2 Matemática Financeira • Mathias e Gomes

Capitalização contínua

Admitamos uma importância de $ 1.000,00, que pode ser aplicada por 1 ano à taxa de 12% a.a. nas seguintes hipóteses de capitalização:

– anual

– semestral

– trimestral

– mensal

– diária

Vejamos o montante que resulta em cada uma das hipóteses de capitalização:

Capitalização Montante ($)

Anual 1.120,00

Semestral 1.123,60

Trimestral 1.125,51

Mensal 1.126,83

Diária 1.127,47

Constatamos que o valor do montante aumenta à medida que aumentamos o nú-mero de capitalizações de uma dada taxa nominal. À primeira vista parece, inclusive, que o valor do montante cresce indefinidamente, à medida que as capitalizações vão sendo feitas com maior freqüência. Vejamos então o que ocorre quando admitimos uma capitalização horária:

Ch = 1.000 ×

⎛ ⎞+⎜ ⎟×⎝ ⎠

24 3650,121

24 365

Ch ≅ 1.000 (1 + 0,000013699)8760

Ch ≅ 1.127,49

Este resultado nos permite inferir que o valor do montante não cresce indefini-damente com a freqüência de capitalização, tendendo para um limite. E, de fato, se admitirmos uma capitalização infinitamente grande, ou seja, que a capitalização seja feita em intervalos de tempo infinitesimais, teremos o montante como sendo:

C ≅ $ 1.127,50

Material de Apoio (Portal Atlas) 3

Cálculo do montante em capitalização contínua

Seja: Cnk = C0 ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠1

knik

Cnk = C0

Fazendo-se:

k’ = ki

temos: Cnk = C0 1

1k ni

k⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

'

'

Cnk = C0 ⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

11

nik

k

'

'

Se: k k→ ∞ ⇒ → ∞'

Então: C’n = →∞ →∞

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

'

0' '

1lim( ) lim 1

'

nik

nkk kC C

k

C’n = C0 1

lim 1

nik

k k→ ∞

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

'

' '

Demonstra-se em cálculo que:

1lim 1

k

k k→ ∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

'

' = e

Onde e é um número irracional que serve de base para os logaritmos naturais ou neperianos (e = 2,718281828459...)

Portanto, tem-se: C’n = C0eni

A taxa i é chamada taxa instantânea e a notação comumente adotada é a letra grega δ (delta). Escrevemos então.)

C’n = C0 enδ

⎛ ⎞⎜ ⎟

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

11

ki

⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

kni

i


O conceito de capitalização contínua perde muito do seu significado nas aplica-ções práticas, e por isto raramente é usado. Porém, existem ocasiões em que se admite que os fluxos monetários não são devidos ou recebidos em dado instante, mas que se encontram distribuídos no tempo. É o caso, por exemplo, da geração de lucro na operação de uma empresa, que ocorre ao longo do ano e que pode ser associado a um fluxo uniforme. O mesmo se dá com o desgaste dos equipamentos (depreciação) e, como as entradas de caixa são constituídas de lucros gerados mais depreciação, po-demos dizer que este é um fluxo que pode ser considerado uniformemente distribuído no tempo.

Neste caso, e no tratamento matemático de certos modelos decisórios, o conceito de capitalização contínua é muito útil.

Exemplo: Calcular o montante que resulta quando $ 1.000,00 são aplicados à taxa de juros de 12% a.a. por um prazo de 4 anos e com capitalização contínua. Comparar o resultado obtido com o resultante da aplicação nas mesmas condições em juros compostos.

Resolução: Capitalização contínua

C’n = C0 enδ

onde: C0 = 1.000,00

n = 4 anos

δ = 12% a.a.

Então: C’n = 1.000,00 e 4 x 0,12

C’n = 1.000,00 e 0,48

In (C’n) = In (1.000,00) + 0,48

In (C’n) = 6,907755 + 0,48

In (C’n) = 7,387755

∴ C’n ≅ $ 1.616,07

Nota: É comum indicarem-se os logaritmos na base e por In e os logaritmos na base 10 por log.

Capitalização em juros compostos:

Cn = C0 (1 + i)n

onde: C0 = 1.000,00

n = 4 anos

i = 12% a.a.


Nestas condições:

C4 = 1.000,00 (1,12)4

C4 ≅ $ 1.573,52

Como se esperava o montante obtido quando se fez capitalização contínua (1.616,07) é maior que o obtido através de juros compostos (1.573,52). Este fato torna conveniente a determinação de uma taxa de juros efetiva que permita fazer-se a equivalência entre a capitalização contínua e a composta.

Obs.: Um outro modo de visualizar-se o processo de capitalização contínua é o racio-cínio feito através de juros simples.

Seja: J = Cin

Em um período muito pequeno (Δn), podemos escrever que o juro (ΔJ), que tam-bém é um valor pequeno, é dado por:

ΔJ = Ci Δn

Por exemplo, aplicando-se $ 1.000,00 à taxa de juros simples de 10% a.a., por 1 dia, teremos:

ΔJ = 1.000 × 0,10 × 1

365 = $ 0,27

Sabemos que o montante, em juros simples, é dado por:

N = C (1 + in)

N = C + Cin

Nestas condições, um acréscimo pequeno no montante (ΔN) pode ser expresso do seguinte modo:

ΔN = Ci Δn

Fazendo-se com que o acréscimo seja cada vez menor, até tomar-se infinitesimal-mente pequeno o período de capitalização (dn), teremos também acréscimos infinite-simais ao montante (dN), já que ambos são proporcionais:

dN = Cidn

Como o diferencial do montante é um acréscimo infinitesimal ao capital, podemos fazer:

dC = Cidn

dCC

= idn

d (InC) = idn


Para obter o valor do montante temos de integrar esta expressão. Ou seja, temos de calcular a soma de seus infinitos termos e, nestas condições, estaremos fazendo uma capitalização contínua. A integração deve ser feita entre o principal (C0) e o mon-tante (C’n) para o primeiro membro e entre a data de aplicação (zero) e de recebimen-to (n) para o segundo membro:

=∫ ∫

0

'

0( )

C n n

Cd lnC idn

In (C’n) – In (C0) = in

In ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠0

'nCC

= in

=

' inn

o

Ce

C ∴ C’n = C0 e

in

Taxa efetiva em capitalização contínua

Já foi visto que:

if + 1 = 1ki

k⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

onde i é a taxa de juros nominal e if é a taxa efetiva.

Temos: if + 1 =

Fazendo: ki

= k’

temos: if + 1 = 1

1k i

k⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

'

'

No limite, fazendo-se k’ → ∞, colocamos if = δ, que é a taxa de juros instantânea:

'

11 lim 1

ik

k kδ

→ ∞

⎡ ⎤⎛ ⎞+ = + =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

'

' ei

Portanto:

δ = ei – 1

⎛ ⎞⎜ ⎟

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

11

ki

⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ki

i


Podemos escrever também:

δ + 1 = ei

In (δ + 1) = Inei

i = In (δ + 1)

Deste modo, pode-se calcular a taxa efetiva (δ) que resulta quando se capitaliza uma taxa nominal (i) de modo contínuo e vice-versa.

Exemplo: Dada a taxa de juros nominal de 12% a.a., determinar a taxa efetiva instantânea.

Resolução: δ = ei – 1

δ = e0,12 – 1

δ ≅ 1,1275 – 1

δ ≅ 0,1275 ou δ ≅ 12,75% a.a.

Obs.: Existe também um outro problema: dada a taxa efetiva (i), poderemos querer determinar a taxa instantânea (δ) que lhe seja equivalente.

Sendo: if + 1 = 1ki

k⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

1 + ( )= +1/

1k

f

ii

k

ik

= (1 + if)1/k – 1

i = k [(1 + if)1/k – 1]

1/[(1 ) 1]1

kfii

k

+ −=

Portanto: →∞

⎡ ⎤⎢ ⎥+ −

δ = = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1/(1 ) 1lim (1 )

1

k

fk

iIn i

k

Logo:

δ = In (1 + if)


Exemplo: Sendo dada a taxa de juros efetiva de 12% a.a., determinar a taxa ins-tantânea que lhe é equivalente.

Resolução: δ = In (1 + if)

δ = In (1 + 0,12) ≅ 0,1133

δ ≅ 11,33% a.a.

O número e

O número e, sendo irracional (como o número π), só pode ser expresso precisa-mente como o limite de uma série infinita e convergente ou como o limite de uma fração contínua.

O leitor poderá obter o valor de i e com a precisão desejada através da série seguinte:

= + + + + + +1 1 1 1 1

1 . . .1! 2! 3! 4! 5!

e

Exemplo: e = 1 + 11!

= 2

e = 1 + + =1 1

2,51! 2!

e = 1 + + + ≅1 1 1

2,671! 2! 3!

e = 1 + + + + ≅1 1 1 1

2,70831! 2! 3! 4!

E procedendo deste modo, poder-se-á obter o valor de e com a aproximação de-sejada.

1.2 Inflações elevadas e hiperinflação

Quanto mais elevada é a taxa de inflação, maior é a necessidade de indicadores que permitam fazer a correção da perda do valor da moeda.

As forças econômicas que causam inflações elevadas num país (da ordem de 20% a 30% ao ano) tendem a ser instáveis. Como resultado, podemos ter uma taxa de in-flação em elevação constante ou, então, uma taxa oscilante. Neste último caso, a taxa de inflação pode ser de 30% a.a., num dado ano e passar para 100% no ano seguinte, para cair a 50% no terceiro ano.

Nestas condições, é impossível fazer previsões, o que torna necessário usar o jul-gamento ou apelar para indicadores físicos, como a quantidade de insumos requerida para a produção de um dado bem, por exemplo.


A América Latina tem-se caracterizado por uma “cultura inflacionária”, onde as inflações elevadas têm sido mais a norma do que a exceção. Como pode ser visto no Quadro 1.

Quadro 1 Inflação na América Latina.

País Período Taxa anual equivalente

Argentina 1947-19601960-1974

27% a.a.27% a.a.

Brasil 1947-19601960-1974

16% a.a.36% a.a.

Chile 1947-19601960-1971

31% a.a.25% a.a.

Uruguai 1949-19601960-1970

11% a.a.49% a.a.

Fonte: Jones (1982).

Quando a taxa de inflação passa a crescer de modo explosivo, diz-se que existe uma hiperinflação. Nestas condições, os preços passam a crescer por um fator de 10, de 100 ou mais em um único ano.

Diz-se que um país está em hiperinflação quando a taxa de inflação ultrapassa a marca dos 50% num mês e fica acima deste percentual por vários meses seguidos. Esta, pelo menos, têm sido a experiência histórica recente.

O Quadro 2 contém algumas das hiperinflações conhecidas.

Quadro 2 Incidência da hiperinflação.

País Período (19XX) Taxa média mensalNúmero de meses de hiperinflação

Áustria out./21 a ago./22 47,1% 11

Alemanha ago./22 a nov./23 322% 16

China (Xangai) ago./48 a abr./49 400% –

China (Chunking) ago./48 a abr./49 298% –

Grécia nov./43 a nov./44 365% 13

Hungria mar./23 a fev./24 46% 10

Hungria ago./45 a jul./46 19.800% 12

Polônia jan./23 a jan./24 81,4% 11

Rússia dez./21 a jan./24 57% 26

Fonte: Jones (1982) e Cagan (1973).


Na hiperinflação, o valor da moeda cai rapidamente porque a população perde a confiança na mesma. Isto pode ocorrer, por exemplo, se o governo gasta mais do que arrecada e passa a emitir moeda para financiar o seu déficit orçamentário. Pode ser também que o governo esteja se financiando com títulos, porém estes títulos perderam a credibilidade e a população só aceita ficar com os títulos por um prazo muito curto.

O importante, qualquer que seja a causa, é que uma situação de hiperinflação pro-voca uma fuga para ativos reais, como ouro, dólar e bens (terrenos, automóveis etc.).

Correção monetária

Histórico

A correção monetária, ou indexação, foi introduzida no Brasil pela equipe econô-mica do governo que se iniciou em 1964. A idéia era corrigir ou minorar as distorções que a inflação provocava na economia e, com isto, garantir a colocação de títulos da dívida pública. A Introdução da correção monetária foi, então, um instrumento auxiliar na estratégia gradualista de combate à inflação. Porque, segundo se dizia, uma políti-ca ortodoxa de combate à inflação (tratamento de choque) seria política inviável para a nossa economia na época.

Primeiramente foram criadas as Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacional (ORTN), que desempenharam um papel importante no financiamento não inflacionário do déficit federal, pois foi restabelecida a confiança nos títulos da dívida pública. De-pois, foram estabelecidas normas para a correção monetária dos débitos fiscais, do ati-vo imobilizado, das depreciações, do capital de giro, dos títulos da dívida pública etc.

Foi criado o Banco Nacional da Habitação (BNH, já extinto) para operar financia-mentos habitacionais com fundos do FGTS (Fundo de Garantia do Tempo de Serviço). O BNH também começou a operar empréstimos com correção monetária, o que con-tribuiu para generalizar a idéia de indexação da economia.

No início, os coeficientes de correção eram estabelecidos pelo Conselho Nacional de Economia, que depois foi extinto. A partir de 1967 os coeficientes passaram a ser fixados pelo Ministério do Planejamento, também depois extinto.

Ao longo do tempo, todo o processo de correção acabou, de certo modo, vincu-lado aos índices de variação das ORTN. A variação das ORTN passou a desempenhar o mesmo papel que já desempenhava o índice 2 (o IGP-DI: índice geral de preços – dis-ponibilidade interna) como medida de inflação. O próprio valor da Unidade Padrão de Capital (UPC), do BNH, ficou definido como o valor da ORTN do mês inicial de cada trimestre civil.

A UPC passou a ser a unidade-padrão para os cálculos de financiamentos e amor-tizações do Sistema Financeiro Habitacional (SFH), ou seja, do sistema ligado ao BNH. Por outro lado, a ORTN passou a ser a unidade-padrão para os financiamentos feitos para o setor industrial pelo Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico (o BNDE


que, depois passaria a ser BNDES, com o “S” significando “Social”) e pelos demais bancos repassadores.

A partir de agosto de 1968 foi introduzida a taxa flexível de câmbio, também conhecida como processo de minidesvalorização cambial. Com isto, a taxa cambial, que mede a relação entre o cruzeiro e as outras moedas, passou a variar em intervalos curtos e não regulares de tempo. Nestas condições, as mudanças nos valores da taxa de câmbio passaram a compensar, aproximadamente, as diferenças entre as inflações interna e externa. Uma medida da inflação externa é dada pela inflação americana. Uma medida melhor da inflação externa pode ser obtida considerando-se uma média ponderada das inflações dos principais países com os quais o Brasil mantém comércio: Estados Unidos, Comunidade Econômica Européia e Japão.

Assim, a indexação acabou difundindo-se por toda economia brasileira, o que introduziu mais um complicador em nosso já complexo quadro de regulamentação.

Indexação e decisões econômicas

Em 1985, algumas correntes de economistas teorizaram que a inflação brasileira era “inercial”, ou seja, perpetuada pelos próprios mecanismos de indexação difundi-dos na economia nos últimos 20 anos.

Estas idéias obtiveram uma aceitação imediata entre os políticos e a elite, por-que prometiam um ajuste indolor. Foi um grande experimento econômico, que se consubstanciou nos chamados planos de ajuste heterodoxos ou, mais popularmente, “congelamentos”.

No período de 1985/1990 tivemos seis Ministros da Fazenda, dez Presidentes do Banco Central cinco planos de ajustes, com resultados duvidosos, porque a inflação voltou a subir depois de cada plano (v. Gráfico 1).

Tivemos também, no período, quatro unidades Monetárias diferentes. Em cada plano foram introduzidas regras novas de indexação, como as “tablitas”, regulamen-tações sobre as regras de correção dos contratos, mudanças nos critérios para cálculo dos índices etc. A ORTN foi substituída pela OTN (Obrigação do Tesouro Nacional) que, por sua vez, foi substituída pelo BTN (Bônus do Tesouro Nacional).

O custo social destes planos ainda não foi estimado.

Deve-se dizer que a correção monetária foi extinta em janeiro de 1989, para ser reintroduzida logo em seguida com a retomada da inflação. Foi extinta novamente em fevereiro de 1991 e, em seu lugar, foi colocada a TR (Taxa Referencial de Juros) e a TRD (Taxa Referencial de Juros Diária) como indicadores da taxa de juros semelhantes à prime rate americana e à LIBOR inglesa. Porém, quem abrisse o jornal em dezembro de 1991 encontraria uma enorme variedade de indexadores como: o INPC do IBGE, o IGP e o IGP-M da FGV, o IPC da FIPE, o ICV do DIEESE, o ICVM da Ordem dos Economistas, a TR e a TRD, a cotação do dólar (no câmbio oficial, no turismo e no paralelo), a cotação do ouro, a BTNF atualizada pela TRD etc.


A complexidade decorrente desta multiplicidade de índices faz com que seja reco-mendável um exame cuidadoso de qualquer operação financeira sujeita a indexação.

Gráfico 1 INFLAÇÃO / IGP – E OS PLANOS NO BRASIL

Plano Cruzado

(%)100

80

60

40

20

0J M J S D M J S D M J S D M J S D M J S D M J S

86 87 88 89 90 91

Plano Bresser

Flexibilização

Plano Verão

Plano Collor I

Liberação de preços

Plano Collor II

Funaro27/2/86

Bresser29/4/87

Mailson5/1/88

Zélia15/3/90

Marcilio10/5/91

Tabelas Financeiras

As tabelas financeiras apresentadas a seguir se destinam à complementação do aprendizado, ou seja, são auxiliares na resolução dos problemas e exemplos pro-

postos, sendo portanto muito simplificadas, quer quanto às taxas apresentadas, quer quanto ao número de períodos considerados.

(1 + i)n = montante de 1, à taxa i pelo prazo n

Cálculo de montante e de valor atual

Este fator é utilizado para cálculo do montante de um capital aplicado à taxa i pelo prazo n. Em termos genéricos, pode-se dizer que este fator é o elo entre o capital aplicado e o montante.

1º Exemplo: O capital de $ 2.000,00 é aplicado por 12 meses, à taxa de 0,5% a.m. Qual é o montante?

Resolução: C0 = 2.000

i = 0,5% a.m.

n = 12 meses

Cn = ?

Cn = C0 (1 + i)n

Entrando na tabela para i = 0,5%, encontramos, para n = 12, o fator (1 + i)n = 1,061 678.


Então:

Cn = 2.000 (1 + 0,005)12

Cn = 2.000 (1, 061678)

Cn ≅ $ 2.123,36

2º Exemplo: Quanto deve ser aplicado à taxa de 2% a.t. para que após 36 trimestres se tenha o montante de $ 12.000,00?

Resolução: Cn = 12.000

i = 2% a.t.

n = 36 trimestres

C0 = ?

Cn = C0 (1 + i)n

C0 = (1 )n

n

Ci+

Para i = 2% e n = 36, temos: (1 + i)n = 2,039887

C0 = 12.000

2,039887

C0 ≅ $ 5.882,68

Cálculo de (1 + i)n para períodos não constantes na tabela

Considerando a propriedade de, na multiplicação de potências de mesma base, somarem-se os expoentes, temos que:

am + j = am . aj

Deste modo pode-se calcular o fator para um dado n, tomando-se dois ou mais fatores cuja soma de períodos a que se referem seja igual a n.

Exemplo: Calcular (1 + 0,02)70

Resolução: Na tabela de 2% temos o fator para n = 60 e para n = 72. O cálculo para n = 70 pode ser feito de diversos modos:

a) 1,02)70 = (1,02)60 . (1,02)10, visto que 70 = 60 + 10

(1,02)70 = (3,281031) (1,218994) ≅ 3,999557

b) (1,02)70 = (1,02)35 . (1,02)35, visto que 70 = 35 + 35

(1,02)70 = (1,999890) (1,999890) ≅ 3,999560


c) (1,02)70 = (1,02)72 . (1,02)– 2, pois 70 = 72 – 2

(1,02)70 = 4,1611401,040400

= 3,999558

Observação: A diferença entre os resultados se deve a aproximações nos valores ta-belados.

(1 + i)1/k – Taxas equivalentes

Para facilitar interpolações exponenciais no cálculo de períodos não inteiros, fo-ram tabeladas as taxas equivalentes mais usuais, sendo as taxas apresentadas em sua forma percentual.

Exemplo: Calcular o montante referente à aplicação de $ 5.000,00 por 3 anos e 4 meses, à taxa de 20% a.a.

Resolução: C0 = 5.000

i = 20% a.a.

n = 3 anos e 4 meses

Cn = ?

Cn = C0 (1 + i)n

Cn = 5.000 (1 + 0,20)3 (1+ iq),

onde

iq = taxa equivalente quadrimestral

Na tabela de 20%, tem-se:

(1,20)3 = 1,728000

iq = 6,265857% a.q.

Portanto, Cn = 5.000(1,728)(1,06265857) = $ 9.181,37

an i

– Valor presente à taxa i de “n” anuidades unitárias, imediatas, postecipadas e periódicas

O fator n ia é a soma de uma progressão geométrica de n termos e razão (1 + i)– 1,

sendo o 1º termo igual a (1 + i)–1 e o último (1 + i)– n. Portanto:

n ia = 1 (1 ) ni

i

−− +


1º Exemplo: Calcular o valor presente (valor ou preço a vista) de 24 prestações men-sais de $ 100,00, a taxa de 2,5% a.m.

Resolução:

Temos que:

P = ?

0 1 2 3 22 23 24 Meses

100 100 100 100 100 100

R = 100

i = 2,5% a.m.

n = 24 meses

P = ?

P = ⋅n i

R a

P = ⋅24 2,5

100 a

Na tabela de 2,5%, encontramos:

24 2,5a = 17,884986

P = 100(17,884986)

P = $ 1.788,50

2º Exemplo: Calcular o preço a vista de um carro que é vendido em 12 prestações trimestrais de $ 5.000,00, considerando-se que a taxa contratada fora de 8% a.t.?

Resolução: R = 5.000

i = 8% a.t.

n = 12 trimestres

P = ?

P = ⋅n i

R a

P = ⋅12 8

5.000 a

P = 5.000(7,536078= $ 37.680,39

3º Exemplo: Uma geladeira é vendida por $ 10.000,00 a vista ou em 12 prestações mensais de $ 1.065,52 sem entrada. Qual é a taxa de juros mensal cobrada?


Resolução: P = 10.000

R = 1.065.52

n = 12 meses

i = ?

P = ⋅n i

R a

10.000 = ⋅12

1.065,62i

a

12 ia =

10.0009,385089

1.065,52=

Procurando-se nas tabelas, tem-se:

12 4a = 9,385074

Visto que 9,385074 ≅ 9,385089, pode-se concluir que a taxa cobrada é de 4% a.m.

Variações do fator n i

a

O valor de n i

a depende da taxa considerada e/ou do valor de n. Os efeitos indivi-duais podem ser analisados do seguinte modo:

Variação na taxa de juros com n constante

Seja n = 12

Então 12 0

a = 12,000000

12 5a

= 8,863252

12 10a = 6,813692

12 50a = 1,984585

Vemos, por conseguinte, que mantendo-se n constante, o fator n i

a decresce com o aumento da taxa de juros. Graficamente vem:

an i

n

0 i


Variação em n com a taxa de juros constante

Seja i = 10%

Então: 6 10

a = 4,355261

12 10a

= 6,813692

24 10a

= 8,984744

48 10a = 9,896926

Concluímos que, mantendo-se i constante, o fator n i

a cresce com o aumento de n.

an i

1/i

0 n

−( ) 1

n ia – Prestações constantes, imediatas, postecipadas e periódicas para o valor atual igual a 1, considerando-se a taxa de juros i e n prestações

O fator −1( )n i

a nada mais é do que o inverso de n i

a ,então:

−−= =

− +1 1

( )1 (1 ) nn i

n i

ia

a i

Portanto, se temos o valor atual (preço a vista) e queremos encontrar o valor da prestação, considerando-se a taxa i e o número de prestações n, basta multiplicar o valor atual pelo fator −1( )

n ia

1º Exemplo: Qual é a prestação mensal de um carro, cujo preço a vista é de $ 50.000,00, se for contratada a taxa de 3,5% a.m. e o prazo for de 24 meses?


i = 3,5% a.m.

n = 24 meses

−1

24 3,5( )a = 0,062273

R = −1( )n i

P a

R = 50.000(0,062273) = $ 3.113,65


2º Exemplo: Um financiamento de $ 100.000,00 é concedido a uma firma, para ser pago em 4 prestações semestrais iguais, a taxa de 20% a.s. Qual é o valor das prestações?


i = 20% a.s.

n = 4 semestres

(

4 20a )– 1 = 0,386289

R = −1( )n i

P a

R = 100.000(0,386289)

R = $ 38.628,90

Variações do fator −( ) 1

n ia

De modo análogo ao apresentado no item anterior, pode-se analisar o efeito da taxa ou do número de períodos mantendo-se uma variável constante e variando ape-nas a outra. Assim:


Seja n = 12

Então: −112 0

( )a = 0,083333

−1

12 5( )a = 0,112825

−1

12 10( )a = 0,146763

−1

12 50( )a = 0,503884

Portanto, mantendo-se n constante, o fator −1( )n i

a cresce com o aumento da taxa de juros. Graficamente tem-se:

(an i

1/n

0 i

)–1


Variação em n a taxa de juros constante

Seja i = 10%

Então: −16 10

( )a

= 0,229607

−1

12 10( )a

= 0,146763

−1

24 10( )a

= 0,111300

−1

48 10( )a

= 0,101041

Concluindo-se que, mantendo a taxa constante, o fator −1( )n i

a decresce com o aumento do número de períodos.

(an i

i

0 n

)–1

Nota: Constata-se que as conclusões do item 4.1 são o inverso das conclusões do item 3.1, o que é lógico, visto que

−1( )

n ia =

1

n ia

n is – Montante à taxa i de n prestações unitárias, imediatas, postecipadas e periódicas

O fator n is é a soma de uma progressão geométrica de n termos, sendo o 1º ter-

mo igual a (1 + i)n – 1, o último igual a 1 e a razão igual a (1 + i). Portanto:

(1 ) 1n

n i

ii

+ −=s

1º Exemplo: Qual é o montante de 60 depósitos mensais de $ 200,00, se o banco pagar 2% a.m. sobre o saldo credor?

Resolução:

0 1 2 3

200

58 59

200 200 200 200 200

60 Meses

S = ?


R = 200

i = 2% a.m.

n = 60 meses

S = ?

60 2s

= 114,051540

S = R ⋅ n is

S = 200 (114,051540)

S = $ 22.810,31

2º Exemplo: Quanto deve ser depositado trimestralmente em uma instituição que paga 8% a.t. sobre o saldo credor, para que, ao efetuar o 36º depósito, o correntista possua $ 100.000,00?

Resolução: S = 100.000

i = 8% a.t.

n = 36 trimestres

R = ?

36 8s

= 187,102148

S = Rn is

R = n i

Ss

R = 100.000

187,102148 R = $ 534,47

Variações do fator n is

O valor do n is depende da taxa considerada e/ou do valor de n. Analisando os

efeitos individuais, temos:


Seja n = 12

Então: 12 0s

= 12,000000

12 5s

= 15,917127

12 10s

= 21,384284

12 50s

= 257,492676


Conclui-se, portanto, que, mantendo o número de períodos constante, o fator n is

aumenta com o acréscimo nas taxas de juros. Graficamente, teríamos:

n

n is

0 i

Variação em n com a taxa de juros constante

Seja i = 10%

Então: 6 10s

= 7,715610

12 10s

= 21,384284

24 10s

= 88,497327

48 10s

= 960,173337

Por conseguinte, mantendo-se a taxa de juros constante, o fator n is

aumenta com

o aumento do número de períodos. No gráfico visualizaríamos:

n is

0 n

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Matemática Financeira 02