Resolução de problemasResolução de problemas

Aplicações da teoria de Aplicações da teoria de ConjuntosConjuntos

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ContinuaçãoContinuação

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FunçõesFunções 1. Interpretação de Gráficos

O gráfico representa a viagem da Joana num dia em que resolveu visitar uns amigos

Tempo (horas)

Distância( Km)

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FunçõesFunções 1. Noção de Função

Considera os seguintes conjuntos A e B

1 •

2 •

3 •

4 •

• 5

• 6

•7

•8

•9

A Bf

Definição de Função:

Dados dois conjuntos A e B, se f é uma correspondência entre A e B e se a cada elemento de A corresponde um e um só elemento de B, então f é uma função ou aplicação de A para B. Voltar

C

FunçõesFunções 1. Noção de Função

•A esta correspondência chama-se _________.

•Ao conjunto A chamamos conjunto de partida ou _________________ e representa-se por ______. Df = { }

•A todo o elemento de A chamamos _____________.

•Ao conjunto B chamamos _______________________ da função.

Conjunto de chegada de f = { }

•A todo o elemento de B ao qual corresponde um elemento de A chamamos ___________.

Estabelece o conjunto C formado pelas imagens dos elementos de A

• Ao conjunto C chamamos ______________ da função e representa-se

por D’f = { }

função

Domínio

Df

imagem

Conjunto de Chegada

Objectos

1, 2, 3, 4

contradomínio

D’f 5, 6, 7

5, 6, 7, 8, 9

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FunçõesFunções 1. Noção de Função

Simboliza-se do seguinte modo:

f:

A B

x y=f(x)

• x é variável independente e y a variável dependente

• Ao conjunto B chamamos Conjunto de Chegada

• Ao conjunto A chamamos Domínio e representa-se por Df

• Ao conjunto das imagens chama-se Contradomínio da função e representa-se por D‘

f

• A cada objecto x corresponde uma e uma só imagem y=f(x);

FunçõesFunções 1. Interpretação de diagramas

A correspondência não é uma função porque o objecto 1 tem duas imagens, 4 e 5, logo mais do que uma imagem.

A correspondência não é uma função porque o objecto 2 não tem imagens.

Exemplo 1:

Exemplo 2:

Num determinado dia registaram-se as temperaturas de ar Num determinado dia registaram-se as temperaturas de ar na cidade de Aveiro, de hora a hora e, a partir delas, na cidade de Aveiro, de hora a hora e, a partir delas, elaborou-se o gráfico das temperaturas em função da hora do elaborou-se o gráfico das temperaturas em função da hora do dia.dia.

FunçõesFunções 2. Representação gráfica de uma Função

Horas

Temperaturaº C

Indique:

• o domínio;

• o contradomínio;

1

2

[0;24]

[-3;6]

• as horas do dia em que se registou a temperatura 0ºC

3

• os intervalos de tempo onde a temperatura: - é positiva; - é negativa;

4

• os intervalos onde a temperatura: -aumenta; -aumenta e é positiva; - diminui; - diminui e é positiva; - é constante;

5

FunçõesFunções 2. Representação gráfica de uma Função

Um gráfico de uma função só pode ser intersectado no máximo uma vez por uma qualquer recta vertical.

• Como averiguar se se trata de uma função

Não se trata de uma representação de uma

funçãoTrata-se de uma representação de uma

função

FunçõesFunções Interpretação gráfica do domínio

Domínio

O domínio de uma função obtém-se projectando o seu gráfico sobre o eixo dos xx

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FunçõesFunções Interpretação gráfica do Contradomínio

Contradomínio

O Contradomínio de uma função obtém-se projectando o seu gráfico sobre o eixo dos yy

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FunçõesFunções 3. Noções gerais de uma função

• Zeros de uma função

zeros

Definição: Zero de uma função é todo o objecto que tem imagem nula.

DDeterminação dos zeros de uma função:GraficamenteAveriguar as abcissas dos pontos do gráfico para os quais o gráfico da função intersecta o eixo das abcissas ( xx )

AnaliticamenteDeterminar os valores de x para os quais f(x)=0 isto é, x: f (x)=0

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FunçõesFunções 3. Noções gerais de uma função

Definição : Seja f uma função de domínio D, dizemos que : - f é positiva em I (I⊂ D) se e só se f(x) > 0, para todo o x∈I. - f é negativa em I (I⊂ D) se e só se f(x) < 0, para todo o x∈I.

DDeterminação do sinal de uma função:

Graficamente-A função é positiva para todos os valores de x cujas imagens estão acima do eixo das abcissas.

-A função é negativa para todos os valores de x cujas imagens estão abaixo do eixo das abcissas.

f(x) >0

f(x) < 0

• Sinal de uma função

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FunçõesFunções Noções gerais de uma função

A função f é crescente num intervalo E.

A função f é estritamente crescente num intervalo E.

A função g é estritamente decrescente num intervalo E.

A função g é decrescente num intervalo E.

a b

g

g(a)

g(b)

a b

f

f(a)

f(b)

O a b

f

f(a)

f(b)

O a b

g

g(a)

g(b)

• Monotonia de uma função

Definição : Diz-se que f é crescente / estritamente crescente em E⊂Df se para todos os números reais a e b pertencentes a E, se a < b, então f(a)≤f(b) / se a < b, então f(a)< f(b).

Definição : Diz-se que g é decrescente / estritamente decrescente em E⊂Df se para todos os números reais a e b pertencentes a E, se a < b então g(a) ≥ g(b) / se a < b, então g(a)>g(b).

Definição : Uma função crescente ou decrescente diz-se monótona.

Observação: Uma função constante é considerada crescente e decrescente. Voltar

FunçõesFunções Noções gerais de uma função

• Monotonia de uma função

Definição : Seja f uma função de domínio D.

f(a) é um máximo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(a) ≥ f(x)

f(b) é um mínimo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(b) ≤f(x)

 

Definição : Seja f uma função de domínio D.

f(a) é um máximo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que f(a) ≥ f(x), qualquer que seja o x ∈ E ∩ D

f(b) é um mínimo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que f(b)≤ f(x), qualquer que seja o x ∈ E ∩ D

 

Definição : Aos valores do domínio a que correspondem os máximos / mínimos relativos da função chamam-se maximizantes / minimizantes

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FunçõesFunções Noções gerais de uma função

FDefinição : Uma função f é injectiva num intervalo E⊂Df se para dois valores quaisquer de E, x1 e x2, se x1 ≠ x2 então f(x1) ≠ f(x2).

• Injectividade de uma função

Voltar

Definição : Uma função f é não injectiva num intervalo E⊂Df se existem pelo menos dois objectos distintos com a mesma imagem.

FunçõesFunções Noções gerais de uma função

GraficamenteVê-se que uma função é não injectiva se existir pelo menos uma recta horizontal que intersecte o gráfico da função em mais do que um ponto.

f é função injectiva f é função não injectiva

• Injectividade de uma função

FunçõesFunções Noções gerais de uma função

• Sobrejectividade de uma função

FDefinição : Uma função g é sobrejectiva se o seu contradomínio coincide com o conjunto de chegada.

f é não sobrejectiva

g é sobrejectiva