Matemática I - Tópico 04: Equações do 1º e 2º graus e Inequações

Matemática ITópico 04– Funções (equações e

Inequações)

Ricardo Bruno N. dos SantosProfessor Faculdade de Economia

e do PPGE (Economia) UFPA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁINSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – ICSA

FACULDADE DE ECONOMIA

2.1.1) Conceito: Uma função é uma relação entre duas variáveis x e y (ou conjuntos A e B) tal que o conjunto de valores para x é determinado, e a cada valor x está associado a um e somente um valor para y.

As variáveis x e y são conhecidas também como variável dependente (y) e independente (x).

A relação entre x e y é expressa por: y=f(x).

2.1.2) Domínio de uma função: O domínio da função são todos os valores encontrados no conjunto de dados de x, ou conjunto A.

2.2.3) Contradomínio e imagem: O contradomínio é a representação de todos os elementos que temos no conjunto B, enquanto que a imagem são todos os elementos do contradomínio (conjunto B) que possuem alguma correspondência com o domínio (conjunto A)

FUNÇÕESConceito, domínio, contradomínio e imagem

Representando através de um diagrama teremos:


Vamos observar o seguinte exemplo para fixarmos a ideia de domínio, contradomínio e imagem de uma função:

Dada a seguinte função f(x)=x+1, e os conjuntos A(1, 2, 3, 4, 5) e B(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

Então pelo diagrama de flechas teremos:


Quais dos gráficos abaixo podemos classificar como função:


Uma função pode ser definida algebricamente por meio da regra (ou lei) em termos da variável x do domínio. A regra, no entanto, não nos fornece todas as informações sem que seja definido o domínio.

Por exemplo, podemos definir o volume de uma esfera como uma função do seu raio, pela fórmula:

Outra forma algébrica de representar uma função seria:

Como poderíamos representar o gráfico dessa função, para a positivo e a negativo?

FUNÇÕESDeterminação do domínio de funções algébricas.

Alguns conceitos importantes Continuidade de uma função:

FUNÇÕESAlguns conceitos importantes

Funções Constantes crescentes e decrescentes.



Funções limitadas: Uma função f é limitada inferiormente se existe algum número b que seja menor ou igual a todo número da imagem de f. Qualquer que seja o número b este é chamado de limite inferior de f.

Uma função f é limitada superiormente se existe algum número B que seja maior ou igual a todo número da imagem de f. Qualquer que seja o número B, este é chamado de limite superior de f.

Uma função f é limitada se é limitada das duas formas, superior e inferiormente.

Graficamente é fácil visualizar isso:



Extremo Local e Absoluto: Um máximo local de uma função f é o valor f (c) que é maior ou igual a todos os valores da imagem de f sobre algum intervalo aberto contendo c. Se f(c) é maior ou igual a todos os valores da imagem de f então f (c) é o valor máximo (ou máximo absoluto) de f.

Um mínimo local de uma função f é o valor f (c) que é menor ou igual a todos os valores da imagem de f sobre algum intervalo aberto contendo c. Se f(c) é menor ou igual a todos os valores

da imagem de f então f(c) é o valor mínimo (ou mínimo absoluto) de f.

Extremos locais são chamados também de extremos relativos.Vejamos o gráfico



A Função: Afim (1º Grau)

3.1.1) Definição: Toda função do tipo f(x) = ax + b com {a, b} R e a0 é denominada função do 1º grau ou função afim.

Exemplos:a) b) c)

O domínio da função afim será todos os valores da variável x, sua imagem correspondente serão todos os resultados de y obtidos a partir do domínio x.

A Função: Afim (1º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem

O gráfico de uma função do 1º grauPor definição o gráfico de uma função do 1º grau de R em R é

uma reta.Suponha que tenhamos o seguintes valores de :E que são gerados o seguintes pares ordenadosO gráfico da respectiva função então será:


Agora se mudarmos a função para teremos:


3.2.1) Equação da reta:Imagine que nosso coeficiente angular a passe a ser denominado

por m, então: .O coeficiente angular m de uma reta não vertical que passa pelos

pontos () e () é dado por

A equação da reta que passa pelo ponto e tem coeficiente angular m é . Essa é a equação geral da reta.

Retas verticais não são gráficos de funções porque elas falham no teste da linha vertical. Uma reta no plano cartesiano é o gráfico de uma função do primeiro grau se, e somente se, ela é uma reta inclinada ou uma reta horizontal.

Exemplo: Encontre a lei para a função do primeiro grau f tal que e

A Função: Afim (1º Grau) Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas

Solução Algébrica: Queremos encontrar uma reta que passa pelos pontos (-1, 2) e (3, -2). O coeficiente angular é

Usando este valor m e as coordenadas de (- l, 2), a equação é dada por:


Convertendo para a notação de função, temos a lei procurada teremos:

Portanto, graficamente poderíamos representar a função por:


3.2.2) Retas paralelas e perpendiculares: conceitualmente ambas são bem simples:

Retas paralelas: Duas retas no plano são paralelas se ambas são verticais ou se têm os mesmos coeficientes angulares.

As retas e são paralelas.Graficamente temos:


Retas perpendiculares: Duas retas no plano são perpendiculares se uma delas é horizontal e a outra é vertical, ou, se elas têm coeficientes angulares k' e k" tal que k'k"=-1

Por exemplo, y=5x+10 e y=(-1/5)x-100 são perpendiculares, pois k’=5 e k’’=(-1/5) e k’k’’=-1.

Graficamente teríamos:


3.2.3) Intersecção de retas: Quando temos um intersecção de retas, verifica-se um ponto em comum entre elas, nesse caso temos retas concorrentes.

Na economia, essas retas devem ser concorrentes nos eixos positivos tanto de y como de x do plano cartesiano, esse intersecção é conhecida na economia como o ponto de equilíbrio.

Nesse caso nossas equações lineares representam preço (x) e quantidade (y).

O modelo com inclinação negativa é conhecido como demanda, e com inclinação positiva é conhecido como oferta, assim temos:


e Quais seriam os preços e quantidades de equilíbrio?


A Função Quadrática(2º Grau)

4.1.1) Definição: Uma função do segundo grau (também conhecida como função quadrática) é uma função polinomial de grau 2 da forma , onde a, b e c são constantes reais e a 0.

Veremos que o gráfico de toda função do segundo grau é uma parábola de concavidade para cima ou para baixo. Isto porque o gráfico de qualquer função do segundo grau pode ser obtido do gráfico da função por uma sequência de translações, reflexões, “esticamentos” e “encolhimentos”.

A Função Quadrática (2º Grau) Definição, domínio, gráfico e imagem

Sabemos que o gráfico f(x) = x2 tem a seguinte representação gráfica:


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O gráfico de , com a > 0, é uma parábola com concavidade para cima. Quando a < 0, o gráfico é uma parábola com concavidade para baixo. Independentemente do sinal de a, o eixo vertical y é a reta de simetria para o gráfico de . A reta de simetria para uma parábola é seu eixo de simetria. O ponto sobre a parábola que cruza seu eixo de simetria é o vértice da parábola. Pelo fato de uma função do segundo grau ser sempre uma parábola com concavidade para cima ou para baixo, seu vértice é sempre o ponto mais baixo ou o ponto mais alto da parábola.



A forma canônica de uma função de segundo grauExpandindo f (x) = a(x - h)2 + k e comparando os coeficientes

resultantes com a forma quadrática padrão ax2 + bx + c, onde os expoentes de x são organizados em ordem decrescente, podemos obter fórmula para h e k.

Como e na última linha desenvolvida anteriormente, temos que

e . Usando essas fórmulas, então qualquer função do segundo grau pode ser reescrita na forma


O gráfico de f é uma parábola com vértice (h, k) e eixo de simetria x - h, onde e . Se , então a parábola tem concavidade para cima; se a < 0, então a parábola tem concavidade para baixo:


Observe que o valor de k pode ser visto como: k

Exemplo:Use a forma canónica de uma função do segundo grau para

encontrar o vértice e o eixo de simetria do gráfico de . Reescreva a equação na forma canónica



A forma polinomial padrão de f é Assim, a=-3, b=6, e c=-5, e as coordenadas do vértice são:

e

, pois é a coordenada de um ponto cuja primeira coordenada é h. A equação do eixo de simetria é x=1, o vértice é (1,-2) e a forma canônica de f é


Agora vamos abrir espaço para verificar algumas aplicações das funções no Geogebra, Octave e no Calc.

- Geogebra. Clicke aqui para ir direto ao link

- Octave. Clique aqui para ir direto ao link

- Calc. Clique aqui para ir direto ao link

No Slideshare você poderá ver na sequência os três vídeos acima.

http://www.youtube.com/watch?v=YdPLSOq3UF8

http://www.youtube.com/watch?v=PBJoFuO-hsY

http://www.youtube.com/watch?v=QCs6RrEDZGk

As inequações são expressões matemáticas que utilizam, na sua formatação, os seguintes sinais de desigualdades:

>: maior que <: menor que ≥: maior ou igual ≤: menor ou igual ≠: diferentecom {a, b, c} As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de

Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.

A Função Quadrática (2º Grau) Inequações do 2º grau

Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.

O gráfico da equação será então:


Assim o conjunto solução será:S = {x | -7/3 < x < -1}


Agora resolvendo o exemplo, a inequação é responder a pergunta: “existe x real tal que seja positiva”

A resposta a essa pergunta se encontra no estudo do sinal de f(x), que pode, inclusive, ser feito através do gráfico da função. Assim, no nosso exemplo, dependendo de a e de , podemos ter uma das respostas seguintes:



Vamos agora resolver em R a inequação

A melhor forma de se resolver tal equação e verificar o comportamento do sinal de cada uma das equações, vamos denominar a primeira parte de f(x)= e a segunda parte de

As raízes de f serão


Graficamente temos

O ponto de variação do sinal seria:


Já para as raízes de g teríamos:

O gráfico seria

E a variação do sinal seria


Representando no eixo real a variação de sinal de f e g e fg, temos:

Assim nosso conjunto solução seria:


Como ficaria a solução para a seguinte inequação:

Analisando os sinais do numerador e denominador temos:


2( ) 2 1f x x x

2( ) 2g x x x

Fazendo o quadro quociente, tem-se


2( ) 2 1f x x x

2( ) 2g x x x

( )

( )

f x

g g

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