Matemática - Módulo 03

Matemática

JOSÉ AUGUSTO DE MELO M3

Matemática I

Trigonometria ......................................................... 3 Números Complexos ............................................ 21 Equações Algébricas ........................................... 28

Matemática II

Estudo Analítico da Reta ..................................... 32 Estudo Analítico da Circunferência ...................... 40 Limite ................................................................... 46 Derivada .............................................................. 51

A reprodução por qualquer m

eio, inteira ou em

parte, venda,

exposição à venda, aluguel, aquisição, ocultamento,

empréstim

o, troca ou manutenção em

depósito sem

autorização do detentor dos direitos autorais é crim

e previsto

no Código Penal, A

rtigo 184, parágrafo 1 e 2, com

multa e pena de reclusão de 01 a 04 anos.

Anotações

Tecnologia ITAPECURSOS

3 Matemática M3

TRIGONOMETRIA

1 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Dado o triângulo retângulo ABC, definimos:

Seno de um ângulo agudo a

hipotenusa a oposto cateto Sen

α = α

Assim: a b B ˆ Sen = e

a c C ˆ Sen =

Cosseno de um ângulo agudo a

hipotenusa a adjacente cateto Cos

α = α

Assim: a c B ˆ Cos = e

a b C ˆ Cos =

Tangente de um ângulo agudo a

α α

= α a adjacente cateto a oposto cateto tg

Assim: c b B ˆ tg = e

b c C ˆ tg =

2 ALGUMAS RELAÇÕES ENTRE AS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

a) a c sen = α ,

a b cos = α

2

2

2

2 2 2

a b

a c cos sen + = α + α

1 a a

a b c cos sen

2

2

2

2 2 2 2 = =

+ = α + α , ou seja:

sen 2 α + cos 2 α = 1

b) a / b a / c

cos sen

= α α

; α = = α α tg

b c

cos sen

α α

= α cos sen tg

c) o 90 = β + α α − = β o 90

a c sen = α

a c cos = β ) 90 cos( sen o α − = α

De modo análogo, provase que α = α − cos ) 90 sen( o

α = α −

α = α −

Cos ) 90 ( Sen Sen ) 90 ( Cos

o

o


4 Matemática M3

3 UM PEQUENO COMENTÁRIO

As razões trigonométricas definidas até agora são válidas apenas para ângulos agudos de um triângulo retângulo. Necessidades práticas exigem que definamos essas razões para ângulos arbitrários e até mesmo para números reais quaisquer. Para que isso seja possível, definiremos novamente essas razões, substituindo o ângulo por um arco e o triângulo retângulo por uma circunferência. Veja a seguir.

4 MEDIDA DE ARCOS

Chamase arco a cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos. B B

A A A = B A = B

Observação:

Se A = B obtemos dois arcos: o arco nulo e o arco de uma volta. A medida de um arco AB na unidade PQ é por definição:

PQ o compriment AB o compriment AB . med =

Unidades mais usadas

a) Grau: arco unitário equivalente a 360 1

da circunferência.

b) Radiano: arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém. Observação:

Para converter uma unidade de medida em outra lembrese que 180° = πrad. Comprimento de um arco

Seja α a medida em radianos do arco AB (ou do ângulo central AÔB).

raio do o Compriment AB o Compriment ) rad ( AB . med =

r l

= α

α = . r l (α em rad.)

5 A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

Seja x0y um sistema de coordenadas no plano. Com centro em O, tracemos uma circunferência de raio 1. Consideramos o ponto A como a origem de todos os arcos tomados sobre essa circunferência. Arcos percorridos no sentido antihorário serão considerados como tendo medida algébrica positiva e arcos percorridos no sentido horário serão considerados negativos. A uma tal circunferência, denominamos de circunferência trigonométrica.

6 ARCO TRIGONOMÉTRICO

Se P é um ponto da circunferência trigonométrica, ele determina uma infinidade de arcos com origem A e extremidade P. Se π < α ≤ 2 O é a medida de AP em radianos, chamamos de arco trigonométrico AP ao conjunto de valores do tipo α + 2Kπ, com K inteiro. A α chamaremos de 1ª determinação positiva de AP.

r


5 Matemática M3

Obs.: Se o 360 0 < α ≤ , o arco trigonométrico será representado por o 360 . K + α

Observe que um arco trigonométrico é uma família de arcos com origem A e extremidade P que são obtidos dandose voltas na circunferência no sentido positivo ou negativo. No que se segue, procuramos sempre trabalhar com a 1ª determinação positiva do arco trigonométrico.

7 SENO E COSSENO

Podemos agora definir o seno e o cosseno de qualquer arco.

Sejaαa primeira determinação positiva do arco trigonométrico AP. Como P está num sistema de coordenadas, ele tem uma abscissa (OQ) e uma ordenada (OR).

Definição:

a) cos α = OQ (abscissa de P) b) sen α = OR (ordenada de P)

Observe que:

a) 1 ≤ cos 1 ≤ α

1 ≤ sen 1 ≤ α

b) Sinal do seno

c) Sinal do Cosseno

d) O seno é crescente no 1º e no 4º quadrantes e decrescente no 2º e 3º quadrantes.

e) O cosseno é crescente no 3º e no 4º quadrantes e decrescente no 1º e 2º quadrantes.

f) No triângulo OPQ temos:

PQ = sen x, OQ = cos x e OP = 1 Aplicando o teorema de Pitágoras, obtemos sen 2 x + cos 2 x = 1.

8 TANGENTE E COTANGENTE

tg x = AT cotg x = BS

Veja que os triângulos OPP 1 e OAT são semelhantes. Logo, podemos dizer que:

1

1

OP PP

OA AT

= e substituindo x cos x sen

1 tgx

=

Com um raciocínio semelhante, você mostra que:

cotg x = x sen x cos


6 Matemática M3

Considerações importantes

a) A tg x e a cotg x podem assumir qualquer valor real.

b) Sinal da tangente.

c) Sinal da cotangente.

d) A tangente dos arcos com extremidades em B ou

B’ não existe ou seja, só existe tg x se π + π

≠ k 2

x

(ou em graus x ¹ 90° + k . 180°).

e) A cotangente dos arcos com extremidade em A ou A’ não existe ou seja, só existe cotg x se

π ≠ k x (ou ° ≠ 180 . k x ).

9 SECANTE E COSSECANTE

Se x é um arco para o qual sen x ¹ 0 e cos x ¹ 0, definimos:

D.1) Secante

x cos 1 x sec =

D.2) Cossecante

x sen 1 x sec cos = (obs.: cossec x = csc x)

Representação geométrica

sec x = OQ cossec x = OR

Observe que:

a) sec x ≤ 1 ou sec x ≥ 1

csc x ≤ 1 ou csc x ≥ 1 b) O sinal da secante coincide com o sinal do cosseno e o sinal da cossecante

coincide com o sinal do seno.

c) Só existe sec x, se π + π

≠ k 2

x , k inteiro. Só existe csc x, se π ≠ k x , k inteiro.

10 REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE As simetrias apresentadas pelas extremidades dos arcos trigonométricos nos permitem calcular as razões trigonométricas de qualquer arco, usando sempre um arco do 1º quadrante.

A) Arcos do 2º quadrante. Se x está no 2º quadrante, o seu simétrico em relação ao eixo Oy está no 1º quadrante e pode ser achado calculandose 180° x ou π x, conforme x seja dado em graus ou radianos.

Não é difícil provar que as razões trigonométricas de 180° x e x têm o mesmo valor absoluto. A determinação do sinal das razões trigonométricas de x é feita pelo que já aprendemos anteriormente.


7 Matemática M3

Exemplos:

Reduza ao 1º quadrante.

a) sen 110º

Solução:

110º está no 2º quadrante. Seu simétrico será 180º 110º = 70º Como no 2º quadrante o seno é positivo teremos: sen 110º = sen 70º

b) cos 874º

Solução:

874º 360º 154º 2

Então, cos 874º = cos 154º Simétrico de 154º = 180º 154º = 26º No 2º quadrante, o cosseno é negativo. Logo, cos 874º = cos 154º = – cos 26º.

c) 3 2 tg

π =

Solução:

3 2π está no 2º quadrante, seu simétrico é

3 3 2 π

= π

− π

No 2º quadrante, a tangente é negativa, logo: 3

tg 3 2 tg

π − =

π

B) Arcos do 3º quadrante

Se x está no 3º quadrante, use o seu simétrico em relação à origem, calculando x 180° ou x π . Exemplo:

Reduza ao primeiro quadrante: sec 220° Solução:

220° está no 3º quadrante. Seu simétrico será 220° 180° = 40°. No 3º quadrante a secante é negativa, logo: sec 220° = sec 40°.

C) Arcos do 4º quadrante.

Exemplo:

Reduza ao 1º quadrante: sen 310°.

Solução:

310° está no 4º quadrante. Seu simétrico é 360° 310° = 50°.

No 4º quadrante o seno é negativo. Logo:

sen 310° = sen 50°.


8 Matemática M3

11 ARCOS OPOSTOS cos (x) = cos x sen (x) = sen x tg (x) = tg x cotg (x) = cotg(x) sec (x) = sec x cossec (x) = cossec x

12 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS As definições dadas anteriormente nos permitem deduzir uma série de relações entre o seno, o cosseno, a tangente e as outras funções circulares. Dentre essas, nos interessam mais de perto um grupo de oito relações independentes, que denominaremos de relações fundamentais.

R.1) x cos x sen tgx = R.4)

x cos 1 x sec = R.7) 1 + tg 2 x = sec 2 x

R.2) cotg x = x sen x cos

R.5) x sen 1 x sec cos = R.8) 1 + cotg 2 x = cossec 2 x

R.3) cotg x = tgx 1

R.6) sen 2 x + cos 2 x = 1

As relações R.1, R.2, R.4 e R.5 são provadas facilmente usando semelhança de triângulos. Como exemplo, provemos R.4.

Os triângulos OPB e OAB são semelhantes, pois:

B A ˆ O O B ˆ P = (retos)

B O ˆ A B O ˆ P = (comuns)

Logo:

OA OB

OB OP

= e substituindo, x cos

1 1 x sec

=

ou x cos

1 x sec =

A relação R.3 é conseqüência imediata de R.1 e R.2. Provemos R.6. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo OAB, obtemos: sen 2 x + cos 2 x = 1.

Para provar R.7, partimos de sen 2 x + cos 2 x = 1. Para cos x ¹ 0, obtemos:

x cos 1

x cos x cos

x cos x sen

2 2

2

2

2

= + e daí: tg 2 x + 1 = sec 2 x

De modo análogo, provase R.8. Fique atento às seguintes observações:

a) Apenas a relação sen 2 x + cos 2 x = 1 é válida para todo x. As demais possuem restrições. Por exemplo,

1 + tg 2 x = sec 2 x só vale para π + π

≠ k 2

x , pois para esses valores existe a tg x e a sec x. Procure achar

os valores de x para os quais as demais relações são válidas. b) É importante que você saiba que o x pode representar qualquer arco. Assim, podemos dizer que:

sen 2 50º + cos 2 50º = 1 1 + tg 2 3a = sec 2 3a e assim por diante.

c) De cada relação você pode tirar outras. Assim, por exemplo, de sen 2 x + cos 2 x = 1, concluise que 1 sen 2 x = cos 2 x.


9 Matemática M3

1. (AMANRJ) Se 3 tg 2 = θ e ° ≤ θ ≤ ° 90 0 , então o valor de sen θ é:

a) 2 2

b) 2 3

c) 2 2 − d) 2 1

e) n.r.a.

Solução:

4 sec ; sec 3 1 ; sec tg 1 2 2 2 2 = θ θ = + θ = θ +

De θ

= θ 2 2

cos 1 sec vem

θ = θ 2

2

sec 1 cos e então

4 1 cos 2 = θ

Mas, 1 cos sen 2 2 = θ + θ e então 1 4 1 sen 2 = + θ e daí:

4 3 sen 2 = θ . Como θ está no 1º quadrante e no 1º quadrante sen θ > 0, vem sen

2 3

= θ

Resposta: b

2. Para que valores de m a equação 1 4 m x cos + = é possível?

Solução:

Como 1 x cos 1 ≤ ≤ − , devemos ter: 1 1 4 m 1 ≤ + ≤ − ; 4 4 m 4 ≤ + ≤ −

0 m 8 ≤ ≤ −

3. (UFUMG) O valor numérico da expressão: x g cot

1 x tg x sec cos . x sec y 2

2 2 2 − − = , para 4 1 x cos = é:

a) 16 1 b) 16 c)

16 16

d) 16 15 e) 16

Solução:

x g cot ) 1 x tg ( x sec cos . x sec y 2

2 2 2 + − = ;

1 x sec cos x sec x sec cos . x sec y

2

2 2 2

−

− =

1 x sec cos ) 1 x sec (cos x sec y

2

2 2

−

− = ; y = sec 2 x; 16

x cos 1 y 2

= =

Resposta: b

4. Demostre a identidade

sec 2 x . cos sec 2 x = sec 2 x + cos sec 2 x Solução:

Seja y = sec 2 x + cossec 2 x. Então:

x sen 1

x cos 1 y 2 2

+ = ; x sen . x cos x cos x sen y 2 2

2 2 + =

x sec . x cos 1 y

2 2 = ;

x sen 1 .

x cos 1 y 2 2

= = sec 2 x . cossec 2 x

cossec cossec

cossec


1 0 Matemática M3

y = sec 2 x . cossec 2 x

5. Calcule m para que se tenha simultaneamente

sen x = m 1 e cos x = m . 3 Solução:

sen 2 x + cos 2 x = 1

(m 1) 2 + (m . 3) 2 = 1

m 2 2m + 1 + 3m 2 = 1

4m 2 2m = 0, que resolvida dá m = 0 ou m = 2 1

Como ambos satisfazem à condição 1 x sen 1 ≤ ≤ − e 1 x cos 1 ≤ ≤ − , teremos:

Resposta: m = 0 ou m = 2 1

13 FÓRMULAS DE ADIÇÃO

Daremos a seguir um conjunto de fórmulas que vão nos possibilitar calcular as funções trigonométricas de arcos do tipo a + b e a b. As demonstrações serão omitidas.

sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

sen (a b) = sen a . cos b sen b . cos a

cos (a + b) = cos a . cos b sen a . sen b

sen (a b) = cos a . cos b + sen a . sen b

b tg . a tg 1 b tg a tg ) b a ( tag

− +

= + b tg . a tg 1

b tg a tg ) b a ( tag +

− = −

1. Calcule sen 15°.

Solução: y = sen 15° = sen (45° 30°) y = sen 45° . cos 30° sen 30° . cos 45°

4 2 6 y

2 2 .

2 1

2 3 .

2 2 y

− = ⇒ − =

2. Sendo a b = 3 π , calcule o valor da expressão:

y = (sen a + cos b) 2 + (sen b cos a) 2

Solução:

y = sen 2 a + 2sen a cos b + cos 2 b + sen 2 b 2sen b cos a + cos 2 a y = (sen 2 a + cos 2 a) + (sen 2 b + cos 2 b) + 2(sen a cos b sen b cos a)

y = 1 + 1 + 2 sen (a b), e como a b = 3 π ,

y = 2 + 2 sen 3 π ; y = 2 + 2 .

2 3 ; y = 2 + 3


1 1 Matemática M3

3. (SANTA CASA SP) Se sen 61º = m, o valor da expressão y = sen 16º + cos 16º é:

a) m b) 2m c) 2 m d) m 2 e) m 2 Solução:

61º = 45º + 16º. Portanto, se sen 61º = m, vem: sen (45º + 16º) = m sen 45º cos 16º + sen 16º . cos 45º = m

2 2 cos 16º +

2 2 sen 16º = m

2 2 (cos 16º + sen 16º) = m

cos 16º + sen 16º = 2 m 2

® y = 2 . m

Resposta: c

14 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES COM ARCOS DO TIPO ± π K X E X 2 K ± π

Com o uso das fórmulas de adição, podese deduzir algumas regras que nos permitem simplificar expressões

com arcos do tipo ± π K x ou x 2 K

± π . Assim teremos:

A) Arcos da forma x K ± π

Regra prática: A função é mantida Suponha x no 1º quadrante.

Localize o quadrante do arco x K ± π e dê o sinal conveniente.

Exemplos:

a) sen (π x)

Solução:

Como estamos supondo x no 1º quadrante π x estará no 2º quadrante, onde o seno é positivo; logo, sen (π x) = sen x

b) tg (π x)

Solução:

π x “está” no 2º quadrante onde a tangente é negativa. Logo tg (π x) = tg x c) Cos (π + x)

Solução: Se x está no 1º quadrante, π + x está no 3º quadrante, onde o cosseno é negativo. Portanto, Cos (π + x) = Cos x

d) Cotg (2π x)

Solução: 2π x será um arco do 4º quadrante, concorda? No 4º quadrante, a cotangente é negativa e então cotg (2π x) = cotg x


1 2 Matemática M3

B) Arcos da forma x 2 K

± π

Regra prática Considere x no 1º quadrante. Troque a função pela sua cofunção.

Localize o quadrante de x 2 K

± π

e dê o sinal conveniente.

Exemplos:

a) Sen ( 2 π x)

Solução:

Como 2 π x é do 1º quadrante, o seno é positivo, logo sen (

2 π x) = cos x (troque o seno pelo cosseno)

b) Cos ( 2 π + x)

Solução:

2 π + x é do 2º quadrante, onde o cosseno é negativo, logo: cos (

2 π + x) = sen x

c) tg ( 2 3π

+ x)

Solução:

2 3π

+ x está no 4º quadrante, onde a tangente é negativa.

tg ( 2 3π

+x) = cotg x

d) Cossec ( 2 3π

x)

Solução:

2 3π

x está no 3º quadrante onde a cossecante é negativa.

Cossec ( 2 3π x) = sec x

1. Se sen 3 1

= α , o valor de sen (25 π + α ) sen (88 π α ) é:

a) 0 b) 3 1

c) 3 2 d)

3 1

− e) 2 3

−

Solução: Como uma volta completa na circunferência trigonométrica mede 2π , observe que de 2π em 2π radianos, os valores das funções trigonométricas se repetem. Assim, se f é uma função trigonométrica, f(x + k. 2 π ) = f(x). Assim: sen (25 π + α ) = sen (12 . 2 π + π + α ) = sen ( π + α ) = sen α

sen (88 π α ) = sen (44 . 2 π α ) = sen (α ) = sen α

Logo, a expressão dada equivale a: sen (25 π + α ) sen (88 π α ) = sen α (sen α ) = sen α + sen α = 0

Resposta: a


1 3 Matemática M3

2. (FATECSP) Se S = sen ( π x) . cos ( 2 π x) + tg (x

2 π ) . cos (

2 π + x) . cos (2 π x) então para todo x real,

π ≠ K x , Z K ∈ , S é igual a: a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2

Solução:

Observe que: sen ( π x) = sen x

cos ( 2 π x) = sen x

tg (x 2 π ) = tg (

2 π x) = cotg x

cos ( 2 π + x) = sen x

cos (2 π x) = cos x

15 FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO Usando as fórmulas de adição, provase que:

a) sen 2x = 2 sen x cos x b) cos 2x = cos 2 x sen 2 x

cos 2x = 1 2 sen 2 x cos 2x = 2 cos 2 x 1

c) tg 2x = x tg 1 x tg 2 2 −

Como sugestão para você, vamos provar a fórmula sen 2x = 2 sen x cos x. Para isso, façamos na fórmula sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a, a = b = x. Obteremos: sen (x + x) = sen x . cos x + sen x . cos x sen 2x = 2 sen x cos x

Atenção: Essas fórmulas podem aparecer sob diversas formas. O importante é que o arco que aparece no primeiro membro seja o dobro do arco que aparece no 2ºmembro. Assim é correto afirmar que:

sen 6x = 2 sen 3x cos 3x cos 4x = cos 2 2x sen 2 2x

sen x = 2 sen 2 x cos

2 x

1. Se sen x cos x = 5 1 , calcule:

a) sen 2x b) sen x + cos x

Solução:

a) De sen x cos x = 5 1 , obtemos:

(sen x cos x) 2 = 25 1 ;

sen 2 x + cos 2 x 2 sen x cos x = 25 1

1 sen 2x = 25 1 ; sen 2x = 25

24

Portanto: S = sen x . sen x + (cotg x) . (sen x) . cos x

S = sen 2 x + x sen x cos . sen x . cos x

S = sen 2 x + cos 2 x ; S = 1 Resposta: d

b) Seja y = sen x + cos x. Então:

y 2 =sen 2 x + cos 2 x + 2 sen x cos x

y 2 = 1 + sen 2x

y 2 = 1 + 25 24

; y 2 = 25 49

; y = 5 7

±


1 4 Matemática M3

2. (FUVESTSP) O valor de (sen 22º30’ + cos 22º30’) 2 é:

a) 2 3

b) 2 3 2 + c)

2 2 2 +

d) 1 e) 2

Solução:

y = (sen 22º30’ + cos 22º30’) 2

y = sen 2 22º30’ + cos 2 22º30’ + 2 sen 22º30’ . cos 22º30’ y = 1 + sen 45º

y = 1 + 2 2 ; y = 2

2 2 +

Resposta: c

16 FÓRMULAS DE DIVISÃO Como vimos, cos 2a = 1 2 sen 2 a. Logo, fazendo a = x/2, obtemos:

cos x = 1 2 sen 2 2 x e daí:

sen 2 x =

2 x cos 1−

±

Para decidir sobre qual sinal usar, localize o quadrante no qual se localiza o arco 2 x .

De modo semelhante, provase que:

cos 2 x = 2

x cos 1+ ± e

x cos 1 x cos 1

2 x tg

+ −

± =

1. Calcule cos 22°30’

Solução:

Como 22°30’ é um arco do 1º quadrante, teremos:

cos 22°30’ = 2 45 cos 1 o +

+

cos 22°30’ = 2

2 / 2 1+ cos 22°30’ =

2 2 2 +

cos 22°30’ = 4 2 2 +

Em determinados problemas, é muito útil sabermos expressar o seno, o cosseno e a tangente de um arco como função do arco metade. Isso pode ser feito usandose as fórmulas a seguir:

sen x =

2 x tg 1

2 x tg 2

2 + cos x =

2 x tg 1

2 x tg 1

2

2

+

−

tg x =

2 x tg 1

2 x tg 2

2 −


1 5 Matemática M3

Provemos, como exemplo, a fórmula sen

2 x tg 1

2 x tg 2

x 2 +

=

Demonstração:

Sabemos que sen 2 x cos

2 x sen 2 x = e daí:

)2 x( cos .

) 2 / x cos( ) 2 / x sen( . 2 x sen 2 =

sen x = 2 tg 2 x . cos 2 2

x ; sen x = 2 tg 2

x .

2 x sec

1 2

sen x = 2 .

2 x tg 1

2 x tg

2 + ; sen x =

2 x tg 1

2 x tg 2

2 +

17 FÓRMULAS DE TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO

Como vimos:

sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

sen (a b) = sen a . cos b sen b . cos a

Somando membro a membro estas igualdades obtemos:

sen (a + b) + sen (a b) = 2 sen a cos b

Se fizermos a + b = p e a b = q, resolvendo o sistema, encontrase

a = 2 q p + e b =

2 q p −

Portanto: sen p + sen q = 2 sen 2 q p + cos

2 q p −

De modo semelhante, provase que:

sen p sen q = 2 sen 2 q p − cos

2 q p +

cos p + cos q = 2 cos 2 q p + cos

2 q p −

cos p cos q = 2 sen 2 q p + sen

2 q p −

tg p + tg q = q cos . p cos ) q p sen( +

tg p tg q = q cos . p cos ) q p sen( −

1. Transforme em produto:

a) y = 2 cos x 2 b) y = sen x + cos x Solução:

a) y = 2 (cos x 2 2 ); y = 2 (cos x cos

4 π )

y = 2

π − π + −

2 4 / x sen .

2 4 / x sen 2

y = 4 . sen

π + 8 2

x . sen

π − 8 2

x

Como sen (x) = sen x, podemos dizer que:

sen

π − 8 2

x = sen

− π

2 x

8

Portanto, a solução pode também ser dada por:

y = 4 sen

π + 8 2

x . sen

− π

2 x

8


1 6 Matemática M3

b) y = sen x + sen ( x 2 / − π )

+ π −

− π + =

2 x 2 / x cos

2 x 2 / x sen 2 y

π −

π =

4 x cos

4 sen 2 y e como sen

2 2

4 =

π

π − = 4

x cos 2 y

Se quisermos transformar um produto em soma, usamos as fórmulas de reversões.

a) sen a . sen b = 2 1 [sen (a + b) + sen (a b)]

b) cos a . cos b = 2 1 [cos (a + b) + cos(a b)]

18 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Para resolver uma equação trigonométrica, tente reduzila a uma das equações fundamentais dadas a seguir.

a) Equação do tipo sen x = sen a

Como se vê no diagrama abaixo, todos os arcos com extremidades em a ou π a , satisfazem à equação. Logo, a solução procurada é:

x = a + 2k π ou x = π a + 2k π

b) Equação do tipo cos x = cos a

A solução é:

x = a + 2k π oux = a + 2k π

c) Equação do tipo tg x = tg a

A solução é:

x = a + k π

a

a

Observações: Essas equações são as equações fundamentais. Qualquer outra equação para ser resolvida deve ser transformada em uma equivalente a uma das equações fundamentais.

Das relações vistas até agora decorre que uma resposta de uma equação pode apresentar várias formas. Não se esqueça de verificar o domínio de validade da equação.


1 7 Matemática M3

1. Resolva a equação 2 sen x 1 = 0

Solução:

2 sen x 1 = 0; sen x = 2 1 ; sen x = sen

6 π e então:

x = 6 π + 2k π ou x = π

6 π + 2k π , o que dá; x = 6

5π + 2k π

Resp.: x = 6 π + 2k π ou x = 6

5π + 2k π

2. Resolva a equação 4 cos x + 3 sec x = 8, no intervalo 2

x 0 π

≤ ≤

Solução:

4 cos x + 3 sec x = 8

4 cos x + x cos 3

= 8; 4cos 2 x + 3 = 8 cos x e daí:

4 cos 2 x 8 cos x + 3 = 0

∆ = 64 48 = 16

cos x = 8 4 8 ± ; cos x =

2 1 ou cos x =

2 3

se cos x = 2 1 , x = 3

π

se cos x = 2 3 , não existe x, pois 1 x cos 1 ≤ ≤ −

3. Resolva a equação cotg 2x = cotg (x + 4 π )

Solução:

A solução da equação cotg x = cotg a é a mesma da equação tg x = tg a, ou seja, x = a + k π . Logo:

2x = x + 4 π + k π ; x = 4

π + k π

4. Resolva a equação 3 sen x + cos x = 3 , no intervalo (0, 2 π ). Solução:

Da equação dada tiramos que cos x = 3 3 sen x. Substituindo na igualdade sen 2 x + cos 2 x = 1, obtemos:

sen 2 x + ( 3 3 sen x) 2 = 1 sen 2 x + 3 6 sen x + 3 sen 2 x = 1 4 sen 2 x 6 sen x + 2 = 0 ou 2 sen 2 x 3 sen x + 1 = 0

∆ = 9 8 = 1

sen x = 4 1 3 ± ; sen x = 1 ou sen x =

2 1

Se sen x = 1, x = 2 π

Se sen x = 2 1 ; x = 6

π ou x =

6 5π

Resposta: S = 6 5 ,6 , 2

π π π


1 8 Matemática M3

19 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Até agora temos falado de seno, cosseno, tangente de um arco (ou ângulo). No entanto, podemos falar de seno, cosseno e tangente de um número real. Veja:

a) A função seno

É a função f : R ® R definida por f(x) = sen x, onde sen x é o arco de x radianos. Propriedades

Domínio: R

Imagem: [1, 1]

y = sen x é uma função ímpar (sen (x) = sen x)

Se y = a + b sen (cx + d) seu período é p = c 2π

b) A função cosseno

É a função f : R ® R, definida por f(x) = cos x, onde cos x é o cosseno do arco de x radianos.

Gráfico:

Propriedades: Domínio: R Imagem: [1, 1] y = cos x é uma função par (cos (x) = cos x)

Se y = a + b cos (cx + d) seu período é p = c 2π

c) A função tangente

É a função f: A ® R, onde A = π + π

≠ ∈ k 2

x ; R x , definida por f(x) = tg x, sendo tg x a tangente do arco de x radianos.

Gráfico: Propriedades

Domínio: π + π

≠ ∈ k 2

x ; R x

Imagem: R

y = tg x é uma função ímpar (tg (x) = tg x)

Se y = a + b tg (cx + d) seu período é p = c π

Observações: De modo semelhante, podemos definir as funções y = cotg x, y = sec x e y = cossec x.

O período de y = a + b cotg (cx + d) é p = c π

O período de y = a + b sec (cx + d) e y = a + b cossec (cx + d) é p = c 2π

Sejam f(x) e g(x) funções periódicas de períodos P 1 e P 2 respectivamente, com 2 1 P P ≠ . Se P 1 / P 2 = m/n, onde m e n são inteiros positivos e primos entre si, então as funções f + g e f . g são periódicas e seu período é P = nP 1 = mP 2 .

1

0

π π 2

3 2 π 2π

1

1

0

3 2 π π π

2 2π

1

1

0


1 9 Matemática M3

Exemplo:

Ache o período de y = cos 4x . tg 3 x 2

Solução:

Período de f(x) = cos 4x; 2 4

2 P 1 π

= π

=

Período de g(x) = tg 3 x 2 ;

2 3

3 2 P 2

π =

π =

3 1

P P

2 3 2

P P

2

1

2

1 = → π

π = . Portanto, o período procurado é: p = 3P 1 = 1P 2 = 2

3π

20 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Como você já sabe, uma função só admite inversa se for bijetora, e as funções trigonométricas não são bijetoras. No entanto, se restringirmos seus domínios convenientemente, obteremos funções bijetoras nesses domínios.

A) A função arcoseno

Seja a função f: D® A, definida por f(x) = sen x, onde

D =

π π −

2 ,

2 e A = [1, 1]

Nessas condições f é bijetora, e então tem inversa, que denominaremos de função arcoseno e será a função f 1 : A ® D, para a qual f 1 (x) = arc sen x.

Exemplo:

Se y = arc sen x, então arc sen ( 2 1 ) é o arco do intervalo

π π −

2 ,

2 , cujo seno vale

2 1 .

Logo arc sen ( 2 1 ) = 3

π .

B) A função arcocosseno

Seja a função f: D ® A, definida por f(x) = cos x, com D = [0, π ] e A = [1, 1]. Nessas condições, f é bijetora. Sua inversa, que chamaremos de função arcocosseno é a função f 1 : A ® D, definida por f 1 (x) = arc cos x, onde arc cos x é o arco cujo cosseno é x.

Exemplo:

Seja y = arc cos x. Calcule y = arc cos ( 2 3 − )

Solução:

y = arc cos ( 2 3 − ) é o arco do intervalo [0, p] cujo cosseno vale 2

3 − . Logo arc cos ( 2 3 − ) = 6

5π

π 2

y

1

0 π x

1

1

1

π 2

π 2

y


2 0 Matemática M3

C) A função arcotangente

Seja a função f: D ® R, definida por f(x) = tg x, com D =

π π −

2 ,

2 . Então f é bijetora. Sua inversa, que

chamaremos de função arcotangente é a função f 1 : R®D, definida por f 1 (x) = arctg x onde arctg x é o arco cuja tangente vale x.

Exemplo: Calcule arctg (1)

Solução:

arctg (1) é o arco do intervalo

π π −

2 ,

2 , cuja

tangente vale 1. Logo, arctg (1) = 4 π

−

1. Ache o domínio da função y = arcsen (3x + 1)

Solução:

Como o domínio de f(x) = arcsen x é 1 x 1 ≤ ≤ − , deveremos ter:

1 1 x 3 1 ≤ + ≤ − ; 0 x 3 2 ≤ ≤ − ; 0 x 3 2

≤ ≤ −

Resposta: 0 x 3 2

≤ ≤ −

2. (PUCSP) Um dos valores de sen (arcsen 3/5 + arcsen 2/3) é:

a) 16

8 5 − b)

17 8 5 + c)

14 8 5 −

d) 12

8 5 + e)

15 8 5 3 +

Solução:

Observe que se arcsen x = a, então sen a = x.

Então, teremos arcsen ( 5 3 ) = a ® sen a =

5 3 e

2 a

2 π

≤ ≤ π

−

arcsen ( 3 2 ) = b ® sen b = 3

2 e

2 b

2 π

≤ ≤ π

− .

O que se pede então é achar y = sen (a + b), logo: y = sen a cos b + sen b cos a (I) Usando a relação sen 2 x + cos 2 x = 1, e observando os quadrantes onde estão a e b, você encontra que

cos a = 5 4 e cos b = 3 5 ; substituindo em (I), você terá:

15 8 5 3 y

5 4 .

3 2

3 5 .

5 3 y

+ = → + = .

Resposta : e

π 2

y

0 x − π 2


2 1 Matemática M3

NÚMEROS COMPLEXOS 1 INTRODUÇÃO

A impossibilidade da realização de algumas operações levou o matemático a ampliar os conjuntos numéricos. Assim, para que a b existisse, para a∈N e b∈N com a < b foi criado o conjunto Z dos números inteiros. Se

a e b são inteiros, a b será definido só se b ¹ 0 e se for criado o conjunto Q dos números racionais. A extração

de raízes de números positivos levou à criação dos números reais (R).

Mas o conjunto R tem ainda uma limitação que nos incomoda desde o momento em que aprendemos a resolver equações do 2ºgrau. Nessas equações, se ∆ < 0, ao usar a fórmula resolutiva aparece a raiz quadrada de um número negativo, que em R não existe. O que vamos fazer nesta unidade é ampliar o conjunto R, ou seja, vamos criar um novo conjunto numérico, que contém R, no qual a radiciação será sempre possível. Assim, nesse novo conjunto numérico, as equações de 2º grau com ∆ < 0 também terão solução.

2 CRIANDO UM NOVO TIPO DE NÚMERO

Seja a equação: x 2 4x + 13 = 0. Seu discriminante é: ∆ = 16 52 = 36. Em R, essa equação não tem solução. Apesar disso, usemos a fórmula de Báskara.

x = ± − 4 36 2

; x = ± − 4 36 1

2 .( )

; x = ± − 4 6 1 2

2 3 1 ± −

Se imaginarmos um novo conjunto numérico, no qual exista um número, que representaremos por i, tal que

i 2 = 1, então −1 = i e teremos:

x’ = 2 + 3i e x” = 2 3i. Um tal número será chamado de número complexo.

3 DEFINIÇÃO DE NÚMERO COMPLEXO

Sejam x e y números reais e i um número tal que i 2 = 1. Chamase número complexo a todo número da forma: Z = x + yi.

a) A forma Z = x + yi é chamada de forma algébrica do número complexo.

b) Em Z = x + yi, x é a parte real e y é a parte imaginária. Representase por:

=

= → + =

y Im(Z) x Re(Z)

yi x Z

c) O número i é a unidade imaginária.

d) Em z = x + yi, temos: se y = 0, então Z é um número real se x = 0 e y ¹ 0, então Z é imaginário puro.

Observe que o conjunto dos reais R estácontido noconjunto dos númeroscomplexos, que representaremos por C.

4 IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS

a + bi = c + di ↔ = =

a c b d

Exemplo: Se (x 1) + 2i = 3 + (y + 2)i, calcule x e y.

Solução:

Devemos ter: x 1 = 3; x = 4

y + 2 = 2; y = 0


2 2 Matemática M3

5 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

Se a + bi e c + di são dois números complexos, definese:

a) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i b) (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i

6 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

Se Z 1 = a + bi e Z 2 = c + di definese

Z 1 . Z 2 = (a + bi) . (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i

Obs.: proceda como se estivesse multiplicando duas expressões e depois substitua i por 1.

Exemplo: Calcule: (2 3i)(1 + i) Solução: (2 3i)(1 + i) = 2 + 2i + 3i 3i 2

= 2 + 5i + 3 = 1 + 5i

7 POTÊNCIAS DE i

Observe que: i 0 = 1 i 2 = 1

i 1 = 1 i 3 = i 2 . i = i

A partir daí, i n dará um desses valores, e para calcular seu valor basta achar o resto da divisão de n por 4.

Exemplo: Calcule:

a) i 9 b) i 26 c) i 507

Solução:

a) 9 4 Õ i 9 = i 1 = i

1 2

b) 26 4 Õ i 26 = i 2 = 1

2 6

c) Para achar o resto da divisão de 507 por 4, basta

dividir o número formado pelos dois últimos algarismos por 4.

7 4 Õ i 507 = i 3 = i

3 1

8 PROPRIEDADES

Os números complexos satisfazem às nove propriedades operacionais da álgebra.

P.1) Comutativa

Z 1 + Z 2 = Z 2 + Z 1 e Z 1 . Z 2 = Z 2 . Z 1 P.2) Associativa

(Z 1 + Z 2 ) + Z 3 = Z 1 +( Z 2 + Z 3 )

(Z 1 . Z 2 ) . Z 3 = Z 1 . (Z 2 . Z 3 )

P.3) Distributiva

Z 1 .( Z 2 + Z 3 ) = Z 1 . Z 2 + Z 1 . Z 3 P.4) Existe o elemento neutro da adição e da multiplicação.

P.5) Existe o elemento simétrico da adição e o elemento inverso da multiplicação.


2 3 Matemática M3

1) Determine x e y reais para que se tenha: (x + yi)(3 + 4i) = 7 + 26i

Solução:

(x + yi)(3 + 4i) = 3x + 4xi + 3yi + 4yi 2 , e como i 2 = 1, teremos:

(x + yi)(3 + 4i) = (3x 4y) + (4x + 3y)i. Queremos que: (3x 4y) + (4x + 3y)i = 7 + 26i e então:

3 4 7 4 3 26 x y x y

− = + =

que resolvido nos dá x = 5 e y = 2.

2) Calcule (1 i) 6 Solução:

Observe inicialmente que: (1 i) 2 = 1 2i + i 2 = 2i

Portanto: (1 i) 6 = [(1 i) 2 ] 3 = (2i) 3 = 8i 3 = 8 . i 2 . i = 8i

9 CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Se Z = x + yi, seu conjugado é o número Z = x yi.

Propriedades: P.1) (Z) = Z

P.2) Z Z Z Z 1 2 1 2 + = +

P.3) Z Z Z Z 1 2 1 2 . . =

10 DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

Sejam Z 1 e Z 2 números complexos com Z 2 ¹ 0. Definese:

Z Z

Z Z Z Z

1

2

1 2

2 2 =

. .

Exemplo: Efetue 1 2 3 + − i i

Solução: 1 2 3

1 2 3 6 2 9

1 7 10

110

7 10

2

2 + −

= + + − +

= + + +

− =

+ = +

i i

i i i i

i i i i

i i ( )(3 ) (3 )(3 )

1) Determine Z ∈ C tal que iZ + 2 Z = 3 3i

Solução:

Seja Z = x + yi, com x e y reais. Então a equação dada fica: i(x + yi) + 2(x yi) = 3 3i e daí vem:

(2x y) + (x 2y)i = 3 3i.

Portanto, devemos ter: 2 3

2 3 x y x y

− = − − = −

que resolvido dá x = 1 e y = 1.

Resposta: Z = 1 + i.


2 4 Matemática M3

2) Determine o número complexo cujo produto por 5 + 8i é real e cujo quociente por 1 + i é imaginário puro.

Solução:

Seja Z = x + yi o número procurado, queremos que:

a) (x + yi) (5 + 8i) = (5x 8y) + (8x + 5y)i seja real. Então: 8x + 5y = 0 (I)

b) x yi

i x y y x

i + +

= +

+ −

1 2 2 seja imaginário puro. Logo x y + 2

= 0 ou x + y = 0 (II) e y x ¹ 0

Resolvendo o sistema

8 5 0 0

x y x y

+ = + =

encontrase x = 0 e y = 0. Mas para esses valores y x = 0 e o quociente x yi i

+ + 1

não é imaginário puro.

Resposta: Não existe tal número.

11 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO

Um número complexo pode ser representado também como um par ordenado de números reais, bastando para isso fazer a correspondência x + yi↔ (x, y). Desse modo, a cada número complexo Z = x + yi corresponde um ponto P = (x, y) no plano cartesiano. Ponto esse que é chamado de afixo de Z, e o plano passa a ser denominado plano de ArgandGauss. Observe que:

a) Os números reais, Z = x + 0i, são representados no eixo x, que passará a ser chamado de eixo real.

b) Os números da forma Z = 0 + yi, com y ¹ 0, são representados no eixo y, que chamaremos de eixo imaginário.

12 MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Se Z = x + yi, chamase módulo de Z ao número representado por | Z | ou r e definido por:

| Z | = r = x y 2 2 +

Obs.: O módulo de um número complexo representa a distância do seu afixo à origem.

Propriedades

a) Z Z = d) Z Z n n =

b) Z Z Z Z 1 2 1 2 . . = e) Z Z Z Z 1 2 1 2 + ≤ + (desiguadade triangular)

c) Z Z

Z Z

1

2

1

2 = (Z 2 ¹ 0)


2 5 Matemática M3

1) Determine o módulo de Z = 5 2 5 2

+

−

i i

Solução:

Z i i

i

i =

+

− =

+

−

5 2 5 2

5 2

5 2 . Como 5 2 + i e 5 2 − i são conjugados, eles têm o mesmo módulo; logo | Z | = 1.

13 ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Seja Z = x + yi de afixo P = (x, y). Chamase argumento de Z o ângulo θ formado pelo semieixo positivo Ox e pelo segmento OP, ângulo esse tomado no sentido antihorário. Para determinar θ observe que:

cosθ = x r e senθ =

y r

Exemplos: Determine o argumento dos números:

a) Z i = + 3 b) Z = 1 i c) Z = 3i

Solução:

a) Z i = + 3

( ) r = + 3 1 2 2 ; r = + 3 1 ; r = 2

cos

sen

θ

θ θ θ

π =

=

⇒ = =

3 2 1 2

30 6

o ou rd

b) Z = 1 i

r = + − 1 1 2 2 ( ) ; r = 2

cos

sen

θ

θ θ

= =

= − = −

⇒ =

1 2

2 2

1 2

2 2

315 o

c) Z = 3i

r = + − 0 3 2 2 ( ) ; r = 3

cos sen

θ θ

θ = = −

= 0 1

270 o

14 FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO

A forma algébrica para cálculo de potências ou raízes de números complexos torna a operação quase impraticável, por isso veremos como representar um número complexo numa outra forma muito mais prática.

Seja então Z = x + yi, cujo módulo representaremos por r, e cujo argumento representaremos por θ . Então:

cosθ = x r

Õ x = r cosθ

senθ = y r

Õ y = r sen θ

Logo, substituindo em Z = x + yi, obtémse:

Z = r cosθ + i . r sen θ ; Z = r . (cosθ + i sen θ )

que chamamos de forma trigonométrica de Z.


2 6 Matemática M3

Exemplo: Ache a forma trigonométrica de Z = 1 + 3 i

Solução:

Z = 1 + 3 i

r = 1 3 + = 2

cos

sen

θ

θ θ

=

=

=

1 2 3 2

60 o

Logo:

1 + 3 i = 2 (cos 60º + i sen 60º)

Observação: Se Z 1 = r 1 . (cosθ 1 + i sen θ 1 ) e

Z 2 = r 2 . (cosθ 2 + i sen θ 2 ) provase que:

a) Z 1 . Z 2 = r 1 . r 2 [cos ( θ 1 + θ 2 ) + i sen ( θ 1 + θ 2 )]

b) Z Z

r r

i 1

2

1

2 1 2 1 2 = − + − [cos( ) sen( )] θ θ θ θ

15 POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

A fórmula Z 1 . Z 2 = r 1 . r 2 [cos ( θ 1 + θ 2 ) + i sen ( θ 1 + θ 2 )] vale para um número finito de fatores. Desse modo, se Z = r . (cosθ + i sen θ ), teremos:

Z n = r . r . ... . r . [cos ( θ +...+ θ ) + i sen ( θ + ... + θ )], e então:

n fatores n parcelas n parcelas

Z n = r n . (cos n θ + i sen n θ ) Õ 1ª fórmula de De Moivre.

Exemplo: Calcule ( 3 + i) 5

Solução:

Z = 3 + i

r = 3 1 + = 2

cos

sen

θ

θ θ

=

=

=

3 2 1 2

30 o

1 2 4 3 4 1 2 4 3 4 1 2 4 3 4

Logo:

Z = 2 (cos 30º + i sen 30º) e então;

Z 5 = 2 5 . (cos 150º + i sen 150º)

Z 5 = 32 . − +

3 2

1 2

i. ; Z i 5 16 3 16 = − +

1) Mostre que, se ( 3 + i) 2n , com n inteiro, é real, então n é múltiplo de 3.

Solução:

3 2 6 6

+ = +

i i cos sen

π π , concorda?

Então: ( ) 3 2 2 6

2 6

2 2 + = +

i n i n n n cos sen

π π ou ( ) 3 2 3 3

2 2 + = +

i n i n n n cos sen

π π .

Como esse número é real, sen nπ 3

0 = .

Portanto, n K

π π

3 = e daí n = 3K, K ∈ Z e n é múltiplo de 3.


2 7 Matemática M3

16 RADICIAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

Seja Z um número complexo e n ∈ N*. Chamase raiz enésima de Z e representase por Z n ao número complexo w tal que w n = Z.

Se Z = r (cosθ + i sen θ ) e w = p (cosα + i senα ) então como w n = Z, obteremos:

p n . (cos nα + i sen nα ) = r (cosθ + i sen θ ) e daí:

p n n = → = r p r

cos n = cos sen n = sen

α θ α θ

α θ π

⇒ = + n K 2 e então:

α θ π = n

+ 2K n

, onde K varia de 0 a n 1, pois a partir daí obtemos arcos congruos com os arcos já obtidos.

Concluímos, então, que: Z r K n

i K n

K n n = +

+ +

= − n . cos .sen , , ..., θ π θ π 2 2 0 1 1

Essa é a 2ª fórmula de De Moivre.

Observe que o número de raízes complexas de um número é igual ao índice da raiz.

Exemplo: Calcule − 64 3

Solução: 64 = 64 . (cos π + i sen π ), concorda?

Então: − = +

+ +

64 64 23

23

3 3 . cos . sen π π π π K i K

K Z i i = → = +

= + 0 4

3 3 2 2 3

1 cos sen

π π

( ) K Z i = → = + = − 1 4 4 2

cos sen π π

K Z i i = → = +

= − 2 4 5

3 5 3

2 2 3 3

cos sen π π

17 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

a) As raízes enésimas de Z têm todas o mesmo módulo, por isso a representação dessas raízes no plano de ArgandGauss situase sobre uma circunferência de

raio igual a r n e centro (0, 0). b) As raízes quadradas de um número Z são

extremidades de um diâmetro da circunferência descrita em a.

c) As raízes de índice n ≥ 3 são vértices de um polígono regular de n lados inscrito na circunferência descrita em a.

Assim, as raízes cúbicas de 64 são lados do triângulo eqüilátero inscrito na circunferência de centro (0, 0) e raio 4.


2 8 Matemática M3

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 1 DEFINIÇÃO

Equação algébrica, de grau n, é toda sentença do tipo p(x) = 0, onde p(x) é um polinômio de grau n.

Assim, equação algébrica é uma equação da forma:

a n . x n + a n 1 . x n 1 + ... + a 1 . x + a o = 0 , onde

• a o , a 1 , ..., a n são números complexos, a n ¹ 0

2 RAIZ DE UMA EQUAÇÃO Um número a é raiz da equação P(x) = 0, se P(α ) = 0.

Assim, se P(x) = 2x 3 3x 2 + 8x 12, as raízes da equação P(x) = 0 são 3 2 , 2i, 2i, como você pode verificar por

substituição direta.

Nesta unidade, aprenderemos como determinar as raízes de uma equação.

3 TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA (T.F.A.)

T.F.A.: Toda equação algébrica de grau n ³ 1 tem ao menos uma raiz complexa.

Se P(x) é, então, um polinômio de grau n ≥ 1, pelo T.F.A., ele tem ao menos uma raiz que chamaremos α 1 . Pelo teorema de D’Alembert, segue que P(x) = (x α 1 ) . P 1 (x), sendo P 1 (x) um polinômio de grau n 1. Se n 1 ≥ 1, o T.F.A. nos permite afirmar que P 1 (x) = (x α 2 ) . P 2 (x), o que acarreta: a:

P(x) = (x α 1 )(x α 2 ) . P 2 (x)

Aplicando sucessivamente o T.F.A., chegaremos a: P(x) = (x α 1 ) . (x α 2 ) ... (x α n ) P n (x) onde P n (x) = a n .

Este é o teorema da decomposição.

Todo polinômio de grau n ³ 1 pode ser fatorado na forma: P(x) = a n . (x α 1 ) . (x α 2 ) ... (x α n ), onde α 1 , α 2 , α n são suas raízes.

Conseqüência:

Toda equação algébrica P(x) = 0, de grau n ≥ 1, tem exatamente n raízes.

Observação: Se uma determinada raizα aparecer m vezes, diremos que é raizα de multiplicidade m, o que equivale a dizer que P(x) = (x a) m . Q(x) e Q(α ) ¹ 0.

1) Resolva a equação 2x 3 3x 2 3x +2 = 0, sabendo que uma de suas raízes é o número 1, e em seguida decomponha o polinômio do 1ºmembro.

Solução:

Então P(x) = 0 equivale a (x + 1)(2x 2 5x + 2) = 0. As duas outras raízes são raízes de 2x 2 5x + 2 = 0, que resolvida nos dá 2, 1/2.

Logo: S = 1, 1/2, 2 e temos:

P(x) = 2(x + 1)(x 2)(x 1/2) = (x + 1)(x 2)(2x 1)

1 2 3 3 2

2 5 2 0 Õ Q(x) = 2x 2 5x + 2

Se 1 é raiz, então p(x) = (x + 1) . Q(x). Fazendo a divisão por BriotRuffini, achamos Q(x).


2 9 Matemática M3

2) Resolver a equação x 4 5x 3 + 10x 2 20x +24 = 0, sendo duas de suas raízes os números 2 e 3.

Solução:

Como 2 e 3 são raízes, P(x) = (x 2)(x 3) . Q(x). Dividimos então P(x) por x 2, obtendo Q 1 (x); então dividimos Q 1 (x) por x 3,obtendo Q(x).

2 1 5 10 20 24

3 1 3 4 12 0

1 0 4 0

Q(x) 1 2 4 3 4

As demais raízes são raízes de x 2 + 4 = 0, que dá x = ± 2i.

S = 2, 3, 2i, 2i

3) Obtenha o polinômio P(x) de grau 3, que possui uma raiz igual a 1 2 ,1 como raiz dupla e P(0) = 1.

Solução:

Pelos dados, podemos dizer que P x a x x ( ) ( )( ) = − + 1 2

1 2 .

Como P(0) = 1, vem: a(0 )(0 ) − + = 1 2

1 1 2 ; a = 2.

Portanto, P x x x ( ) ( )( ) = − + 2 1 2

1 2 ; P(x) = (2x 1) (x 2 + 2x +1) ou P(x) = 2x 3 + 3x 2 1.

4 PESQUISAS DE RAÍZES RACIONAIS E INTEIRAS

Teorema das raízes racionais

Seja a equação a n . x n + a n 1 . x n 1 + ... + a 1 . x + a o = 0, de coeficientes inteiros. Se o número racional p q ,

com p e q primos entre si, é raiz da equação, então p é divisor de a o e q é divisor de a n .

Observe que: O teorema só se aplica a equações com coeficientes inteiros.

O teorema não afirma que a equação tem raízes racionais da forma p q , mas se elas existirem, então p

é divisor de a o e q é divisor de a n . Se a equação P(x) = 0, de coeficientes inteiros, tem uma raiz p, inteira, então p é divisor de a o . Se a n = 1e a equação P(x) = 0 admitir raízes racionais, essas serão necessariamente números inteiros.

Exemplo: Verifique se a equação x 3 x 2 + 2x 2 = 0 tem alguma raiz inteira.

Solução:

As possíveis raízes inteiras são 1, 1, 2, 2 (divisores de 2). Mas:

P(1) = 6; P(1) = 0; P(2) = 10 e P(2) = 6. Logo a equação tem uma única raiz inteira, que é o número 1.

5 PESQUISA DAS RAÍZES COMPLEXAS

Teorema das raízes complexas Se o número Z = a + bi é raiz de multiplicidade m de uma equação de coeficientes reais, então o seu conjugado Z = a bi também é raiz de multiplicidade m da equação.

Conseqüências:

Numa equação algébrica de coeficientes reais, as raízes complexas e não reais ocorrem aos pares.

Uma equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar tem ao menos uma raiz real.


3 0 Matemática M3

1) Forme uma equação de coeficientes reais e menor grau possível, que tenha como raízes 1, i e 2i.

Solução:

Se i e 2i são raízes, seus conjugados i, 2i também são. Logo, a equação procurada é:

a(x 1)(x + i)(x i)(x 2i)(x + 2i) = 0 ou a(x 1) (x 2 +1)(x 2 + 4) = 0

2) Resolva a equação x 4 x 3 5x 2 + 7x + 10 = 0, sendo 2 + i uma de suas raízes.

Solução: Se 2 + i é raiz, 2 i também é; portanto:

Para achar as outras raízes, resolva a equação x 2 + 3x + 2 = 0. Você achará 1 e 2.

S= 1, 2, 2 + i, 2 i

2 + i 1 1 5 7 10

2 i 1 1 + i 4 + 3i 4 + 2i 0

1 3 2 0

6 RAÍZES REAIS

Teorema de Bolzano Se P(x) = 0 é uma equação algébrica com coeficientes reais e ] a, b [ é um intervalo real aberto, temos:

a) Se P(a) e P(b) têm mesmo sinal, então existe um número par de raízes reais em ] a, b [ ou não existem raízes reais em ] a, b [.

b) Se P(a) e P(b) têm sinais contrários, então existe um número ímpar de raízes reais da equação em ] a, b [.

Exemplos:

1) Quantas raízes reais a equação x 3 + 5x 2 3x + 4 = 0 pode ter no intervalo (0, 1)?

Solução:

P(0) = 4 > 0

P(1) = 7 > 0

2) Determine m na equação: x 5 2x 4 + 3x 3 5x 2 + x + (m 3) = 0 de modo que ela tenha ao menos uma raiz real compreendida entre 0 e 2.

Solução: P(0) = m 3

P(2) = m + 3

Para que a equação dada tenha ao menos uma raiz real no intervalo dado, P(0) e P(2) devem ter sinais opostos, ou seja, P(0) . P(2) < 0.

Logo: (m 3)(m + 3) < 0, que resolvido dá: 3 < m < 3.

Conclusão: a equação pode ter duas ou nenhuma raiz real no intervalo (0, 1).

7 RELAÇÕES DE GIRARD

São relações entre as raízes e os coeficientes de uma equação algébrica.

7.1 Relações de Girard para uma equação do 2º grau.

ax 2 + bx + c = 0; x 1 e x 2 Õ raízes. x x b a 1 2 + = − x x

c a 1 2 . =


3 1 Matemática M3

7.2 Relações de Girard para uma equação do 3º grau

ax 3 +bx 2 + cx + d = 0; x 1 , x 2 e x 3 Õ raízes.

x x x b a 1 2 3 + + = − x x x x x x c

a 1 2 1 3 2 3 . . . + + = x x x d a 1 2 3 . . = −

7.3 Relações de Girard para uma equação do 4º grau

ax 4 +bx 3 + cx 2 + dx + e = 0; x 1 , x 2 , x 3 , x 4 Õ raízes.

x x x x b a 1 2 3 4 + + + = − x x x x x x x x x x x x c

a 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 . . . . . . + + + + + =

x x x x x x x x x x x x d a 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 . . . . . . . . + + + = − x x x x e

a 1 2 3 4 . . . =

1) Resolva a equação x 3 6x 2 + 3x +10 = 0, sabendo que uma raiz é média aritmética das outras duas.

Solução:

Sejam a, b, c as raízes e suponhamos que b a c =

+ 2

ou seja a + c = 2b. Pelas relações de Girard, temos a + b + c = 6; 2b + b = 6; b = 2

Sendo 2 uma de suas raízes, teremos:

2 1 6 3 10

1 4 5 0

Logo, as outras raízes são as raízes de x 2 4x 5 = 0, que são 1 e 5.

2) Sendo a, b, c as raízes da equação x 3 +5x 2 7x 4 = 0 calcule a 2 + b 2 + c 2 .

Solução:

Das relações de Girard, obtemos: a + b + c = 5 (I) ab + ac + bc = 7(II) a . b . c = 4 (III)

De I vem: (a + b + c) 2 = (5) 2 .

a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = 25

a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc) = 25

( a 2 + b 2 + c 2 ) + 2. (7) = 25

a 2 + b 2 + c 2 = 39


3 2 Matemática M3

ESTUDO ANALÍTICO DA RETA

1 COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO Consideremos, sobre um plano, dois eixos, x e y, perpendiculares, cuja interseção, 0, é tomada como origem dos dois eixos. Seja P um ponto qualquer desse plano. A partir de P, trace paralelas aos eixos. Essas retas os interceptarão em P 1 e P 2 . As coordenadas de P 1 e P 2 ,que representaremos por x e y, são as coordenadas cartesianas de P e serão indicadas por P(x,y), onde x é a abscissa e y é a ordenada.

Os eixos dividem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes, e que são numerados no sentido antihorário.

1. Considere o ponto M(2 3K, 5). Ache K para que ele:

a) Pertença ao eixo y. b) Pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Solução:

a) Para que M pertença ao eixo y, sua abscissa deve ser nula, concorda? Logo: 2 3K = 0; K = 2 3 .

b) Da definição de bissetriz, você sabe que um ponto dela eqüidista dos lados do ângulo. Logo, se M pertence à bissetriz do 1º e 3º quadrantes, suas coordenadas serão iguais. Então: 2 3K = 5; K = 1

2 PONTO MÉDIO

Dados: P(x 1 , y 1 ) e Q(x 2 , y 2 )

Achar: M(x m , y m ) ponto médio de PQ

Solução:

PMR e MQS são congruentes.

Logo: PR = MS → x m x 1 = x 2 x m → x m = x x 1 2

2 +

MR = SQ → y m y 1 = y 2 y m → y m = y y 1 2

2 +

Logo: x m = x x 1 2

2 +

e y m = y y 1 2

2 +

y 2

y m

y 1

x 2 x m x 1

P 2

P 1


3 3 Matemática M3

3 FÓRMULA DA DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Dados: P(x 1 , y 1 ) e Q(x 2 , y 2 )

Achar: d, a distância entre P e Q.

Solução:

No triângulo PQR, temos: d 2 = PR 2 + RQ 2

d 2 = (x 2 x 1 ) + (y 2 y 1 ) daí

d (x x ) (y y ) 2 1 2

2 1 2 = − + −

1. Dados A(5, 2) e M(4, 7), ache as coordenadas do ponto M’ simétrico de M em relação a A.

Solução:

M’ é simétrico de M em relação a A, desde que A seja ponto médio de MM’.

Façamos M’ = (x,y). Teremos:

x A = x M x

2 5 4 x

2 x 14

+ → − =

+ → = −

y A = y M y

2 2 7 y

2 y 11

+ → =

+ → =

Resposta: M = (14, 11)

4 INCLINAÇÃO DE UMA RETA

Seja r uma reta não paralela ao eixo x. Inclinaçãode r é o menor ângulo segundo o qual devemos “girar” o eixo x emtorno de A, no sentido antihorário, para que ele coincida com a reta. Se r for paralela ao eixo x, sua inclinação é nula.

q p

= 2 •

2 2

y 2

x 1 x 2

y 1

•

•

•

M’

A

M

5 COEFICIENTE ANGULAR

Definição:

Seja r uma reta não paralela ao eixo Oy. Chamase coeficiente angular de r (ou declive) ao número real m = tg q, onde q é a inclinação da reta.

Observações:

Alguns autores usam a palavra inclinação como sinônimo de coeficiente angular.

É fácil perceber que se q é agudo, m > 0, se q é obtuso m < 0, e se q = 90°, a reta não tem coeficiente angular.


3 4 Matemática M3

6 CÁLCULO DE M DADOS DOIS PONTOS DA RETA

No triângulo PQR, temos:

m tg RQ PR

y y x x 2 1

2 1

= = = − −

θ , ou seja

m y y x x 2 1

2 1 =

− −

7 EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA

8 EQUAÇÃO DE UMA RETA QUE PASSA POR UM PONTO P 0 (X 0 , Y 0 ) E TEM COEFICIENTE ANGULAR M

Seja uma reta que passa por P 0 (x 0 , y 0 ) e tem coeficiente angular m. Se P(x, y) é um ponto genérico da reta, teremos:

m y y x x

0

0 =

− −

e então: y y 0 = m(x x 0 )

y 2

y 1

x 1 x 2

x x o

y

y o

y

x

P o

Seja r uma reta não vertical, de coeficiente angular m, e que corta o eixo y no ponto N (0, n). Se M(x, y) é um ponto genérico da reta, teremos:

m y n x 0

= − −

→ y = mx + n (equação reduzida da reta)

Observações:

m é o coeficiente angular e n é o coeficiente linear.

De acordo com isso, a equação y = 2x + 3 representa uma reta de coeficiente angular 2, portanto, crescente e que corta o eixo y no ponto (0,3), pois o coeficiente linear vale 3.

Observações:

Se a reta for horizontal, m = 0 e sua equação se reduz a y = y 0 .

Se a reta for vertical, m não existe. No entanto, se uma reta é vertical e passa por P 0 (x 0 , y 0 ), todos os seus pontos têm a mesma abscissa e sua equação será x = x 0 .


3 5 Matemática M3

1. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(3, 4) e B(5, 9).

Solução:

Inicialmente, determinamos o coeficiente angular de AB.

m 9 4 5 3

= ; m 5 2

=

Achamos agora a equação da reta de coeficiente angular m = 5/2 e que passa por A(3, 4).

y 4 5 2 (x 3) − = − e daí: 2y 8 = 5x 15; y

5 2 x

7 2

= −

Observação:

Se usarmos o ponto B ao invés de A, obteremos a mesma equação. Verifique.

9 EQUAÇÃO GERAL DA RETA

A) Toda reta pode ser dada por uma equação do tipo ax + by + c = 0, com a ¹ 0 ou b ¹ 0.

Demonstração:

Se a reta não é vertical, ela pode ser representada pela equação reduzida y = mx + n, o que dá mx y + n = 0, que é uma equação do tipo ax + by + c = 0.

Se a reta for vertical, sua equação é x = x 0 ou x 0y x 0 = 0, que também é da forma ax + by + c = 0.

B) Toda equação do tipo ax + by + c = 0, com a ¹ 0 ou b ¹ 0 representa uma reta.

Demonstração:

Suponhamos inicialmente que b ¹ 0. Então de ax + by + c = 0 obtemos y a b x c

b = − − , que é a equação

reduzida de uma reta não vertical, de coeficiente angular m a b

= − e que corta o eixo OY no ponto (O, n),

onde n c b

= − . Se b = 0, a equação fica ax + c = 0 ou x c a

= − .

Como a ¹ 0 (pois b = 0), essa equação representa uma reta vertical.

Observação:

A equação ax + by + c = 0 é chamada equação geral da reta.

Dada a equação geral, veja que m a b

= −


3 6 Matemática M3

1. Determine o coeficiente angular da reta cuja equação é:

a) 2x 3y + 1 = 0 b) 2y 3 = 0 c) 3x 1 = 0

Solução:

a) m a b

= − ; m 2 3

= ; m 2 3

=

b) m a b

= − ; m 0 2

= − ; m = 0 e então temos uma reta horizontal.

c) m a b

= − ; m 3 0

= − = ?. Como m não existe, a reta é uma reta vertical.

2. Determine os pontos onde a reta 2x y + 3 = 0 intercepta os eixos coordenados.

Solução:

A interseção com o eixo x é obtida fazendose y = 0. Então 2x 0 + 3 = 0, x 3 2

= − e temos o

ponto −

3 2 ,0 .

A interseção com o eixo y é obtida fazendose x = 0. Logo: 2 . 0 y + 3 = 0; y = 3 e obtemos o ponto (0, 3).

3. Determine a interseção das retas: (r): 2x y + 1 = 0

(s): x + y 5 = 0

Solução:

A interseção das retas, se existir, será um ponto que pertence a ambas. Basta, então, resolver o sistema formado pelas equações das retas.

2x y = 1

x + y = 5 Resposta: 4 3 , 113

4. Seja a reta (r): x 4y + 17 = 0. Determine um ponto de r, cuja distância ao ponto A(8, 2) é 34 .

Solução:

Da equação dada, tiramos que x = 4y 17. Logo um ponto de r é da forma (4y 17, y). Sua distância ao ponto A será:

d (4y 17 8) (y 2) 2 2 = + − o que dá: d 17y 204y 629 2 = + .

Como d = 34 vem 17y 204y 629 34 2 + = e daí 17y 2 204y + 629 = 34 e simplificando:

y 2 12y + 35 = 0, cujas raízes são y = 5 e y = 7.

Se y = 5 temos x = 3

Se y = 7 temos x = 11.

Resposta: P 1 = (3, 5) e P 2 (11, 7)

Resolvendo, você encontrará: x 4 3

= e y 113

= .


3 7 Matemática M3

10 CONDIÇÃO DE PARALELISMO

Duas retas (não paralelas ao eixo y) são paralelas se e somente se m r = m s .

Demonstração:

11 CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO

Duas retas r e s são perpendiculares se e somente se m r . m s = 1

Demonstração:

Pelo teorema do ângulo externo, temos:

q 1 = 90º + q 2 ↔ tgq 1 = tg(90º + q 2 ) ↔

tgq 1 = cotgq 2 ↔ tgq 1 = − 1

tg 2 q ↔

m r = − 1m s

↔ m r . m s = 1

Uma Observação Interessante:

Dada a equação geral de uma reta ax + by + c = 0, temos:

A equação ax + by + k = 0 representa uma reta paralela à reta dada.

A equação bx ay + k = 0 representa uma reta perpendicular à reta dada.

1. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 3) e é paralela à reta 2x y + 1 = 0.

Solução:

1º modo: Como a reta r procurada é paralela a 2x y + 1 = 0, seus coeficientes angulares são iguais;

logo m r = 2. Como r passa por P(1, 3), teremos: y + 3 = 2(x 1); 2x y 5 = 0.

2º modo: Uma reta paralela a 2x y + 1 = 0 é da forma 2x y + K = 0. Como ela passa por P(1, 3), temos 2 . 1 (3) + K = 0, o que dá K = 5. Então a equação pedida é 2x y 5 = 0.

r // s ↔ q 1 = q 2 ↔ tgq 1 = tgq 2 ↔ m r = m s

1 2


3 8 Matemática M3

2. Ache a equação da reta que passa pelo ponto P(2, 3) e é perpendicular à reta 2x + 3y 5 = 0.

Solução:

1º modo:Coeficiente angular da reta dada: m = 2 3 . Coeficiente angular da reta pedida: m = 1

m r ; m = 3

2 .

Equação pedida: y + 3 = 3 2 (x 2) 3x 2y 12 0 − → − − =

2º modo:Uma reta perpendicular a 2x + 3y 5 = 0 é do tipo 3x 2y + k = 0. Como P(2, 3) pertence a essa reta, teremos 3 . 2 2 . (3) + k = 0; k = 12. Portanto, a equação é 3x 2y 12 = 0.

12 ÂNGULO DE DUAS RETAS

Sejam r e s duas retas não perpendiculares, de coeficientes angulares, respectivamente, m 1 e m 2 .

Se nenhuma dessas retas é vertical, o ângulo agudo q entre as retas r e s é calculado por:

tg m m 1 m . m

1 2

1 2 q =

− +

1. Calcule o ângulo agudo formado pelas retas:

a) r: 3x y + 2 = 0 e s: 2x + y 1 = 0

b) r: x 3 y + 1 = 0 e s: 2x + 3 = 0

Solução:

a) m r = 3 e m s = 2. Portanto: tg 2 3

1 + (2).3 q = ; tg q = 1. Então q = 45°

b) A reta s é vertical e m r = 1 3 . Logo tg q = 1

1 3

→ tg q = 3 . Então q = 60°

2. Ache a equação da reta que passa por P(2, 5) e que forma com x + 2y + 3 = 0 um ângulo de 45º.

Solução:

Seja s a reta procurada e r a reta dada: tg 45° = m s m r 1 + m s . m r

− ;

m s 1 2

1 + m s . 1 2

1 −

=

Simplificando: 2m s 1

2 + m s 1

− = Logo:

2m s 1 2 + m s

− = 1 → m s = 3;

2m s 1 2 + m s

− = 1 ↔ m s = −

1 3

Se uma das retas é vertical, seja m o coeficiente angular da outra reta. Provase que a tangente do ângulo agudo entre elas é:

tg 1 m

=


3 9 Matemática M3

1ª solução: reta que passa por P(2, 5) e m = 3 → y 5 = 3(x 2) → 3x y 1 = 0

2ª solução: reta que passa por P(2, 5) e m 1 3

= − → y 5 = − 1 3 (x 2) → x + 3y 17 = 0

13 DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA

Dado o ponto P(x 0 , y 0 ) e a equação geral da reta r ax + by + c = 0, a distância de P a r é dada por:

d ax by c

a b 0 0

2 2 =

+ +

+

1. Calcule o perímetro do quadrado que tem o vértice A(1, 4) e um lado na reta r: x + y + 5 = 0.

Solução:

Inicialmente verifique se A pertence a r.

1 + 4 + 5 = 0 ; 8 = 0 ; A ∉ r. .

Então, o lado do quadrado é dado pela distância de A à reta r.

x 1 4 5 1 1

= − + +

+ ; x 8

2 = ; x 4 2 =

Logo, o perímetro do quadrado é 2p = 4 . 4 2 = 16 2 .

2. Calcule a distância entre as retas 2x 3y + 1 = 0 e 2x 3y 5 = 0.

r

s

Solução:

Observe inicialmente que esse problema só tem sentido se as retas forem paralelas. Se isso acontecer, a distância entre elas é dada pela distância de um ponto de uma delas até a outra reta.

Determinemos, pois, um ponto da reta 2x 3y + 1 = 0.

x = 1; 2 . 1 3y + 1 = 0; y = 1; P(1, 1).

Calculemos agora a distância de P à outra reta.

d 2 . 1 3 . 1 5

4 9 =

− −

+ ; d 6

13 =


4 0 Matemática M3

ESTUDO ANALÍTICO DA CIRCUNFERÊNCIA

1 EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA

Seja uma circunferência de centro C(a, b) e raio r, no plano cartesiano. Se P(x, y) é um ponto qualquer da circunferência, temos: d PC = r

(x a) 2 (y b) 2 + − = r (quadrando)

(x a) 2 + (y b) 2 = r 2 → equação reduzida da circunferência.

2 EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA

Seja (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 a equação reduzida da circunferência de centro C(a, b) e raio r.

Desenvolvendo, obtemos:

x 2 + y 2 2ax 2by + a 2 + b 2 r 2 = 0 → equação geral da circunferência.

Observação:

Seja Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 uma equação geral de 2º grau em x e y. Para que essa equação represente circunferência, devemos ter:

A = B ≠ 0; C = 0; D 2 + E 2 4AF > 0

Satisfeitas essas condições, o centro da circunferência é: C D 2A

, E 2A

=

e seu raio r é: r D E 4AF

2. A

2 2

= + −

1. Ache a equação da circunferência de centro C(1, 2) e que passa pelo ponto P(5, 5).

Solução:

A equação reduzida da cincunferência procurada é (x 1) 2 + (y 2) 2 = r 2

Como o ponto P(5,5) pertence a ela, suas coordenadas devem satisfazer à equação.

(5 1) 2 + (5 2) 2 = r 2 → r 2 = 25

Portanto, a equação pedida é: (x 1) 2 + (y 2) 2 = 25

Observação:

O raio também poderia ser encontrado calculandose a distância de C a P.


4 1 Matemática M3

2. Ache a equação da circunferência de centro na reta y = 2x, e que passa pelos pontos P 1 (1, 1) e P 2 (0, 4).

Solução:

Seja C(a, b) o centro da circunferência. Como C pertence à reta y = 2x, teremos b = 2a. Logo C(a, 2a) e sua equação será:

(x a) 2 + (y 2a) 2 = r 2

P 1 ∈ circunferência → (1 a) 2 + (1 2a) 2 = r 2 → 5a 2 + 2a + 2 = r 2 (I)

P 2 ∈ circunferência → (0 a) 2 + (4 2a) 2 = r 2 → 5a 2 + 16a + 16 = r 2 (II)

De I e II, concluímos:

5a 2 + 2a + 2 = 5a 2 + 16a + 16 e daí a = 1. Pontanto o centro é C(1, 2).

Para achar r, é só substituir o valor de a = 1 em I (ou II). Você achará r = 5 .

Logo, a equação procurada é: (x + 1) 2 + (y + 2) 2 = 5

3. Verifique se as equações abaixo representam circunferências. Em caso afirmativo, dê o centro C e o raio r.

a) 4x 2 + 4y 2 + 8x + 4y + 1 = 0

b) 3x 2 + y 2 + 4x 6y 7 = 0

c) x 2 + y 2 + 6x 8y + 2xy 1 = 0

d) 2x 2 + 2y 2 + 2x y + 3 = 0

Solução:

a) Para fazer a verificação pedida, devemos comparar a equação dada com a equação geral. Como os coeficientes de x 2 e y 2 na equação geral valem 1, vamos dividir os termos da equação dada por 4. Teremos:

x y 2x y 1 4

0 2 2 + + + + =

Comparando com a equação geral, obtemos:

2a = 2; a = 1

2b = 1; b = − 1 2

a 2 + b 2 r 2 = 1 4

→ 1 + 1 4 r

2 = 1 4

→ r = 1

Temos, portanto, uma circunferência onde C(1, 1 2 ) e r = 1

b) Não representa circunferência, pois os coeficientes de x 2 e y 2 são diferentes.

c) Não representa circunferência, pois na equação geral da circunferência não existe termo em xy.

d) 2x 2 + 2y 2 + 2x y + 3 = 0 (dividindo por 2)

x 2 + y 2 + x 1y 2

+ 3 2 = 0 e então: 2a = 1; a = −

1 2

2b = − 1 2 ; b =

1 4

a 2 + b 2 r 2 = 3 2

→ 1 4 +

116 r

2 = 3 2

→ r 2 = 19 16 ; r =

19 16

= ??

Portanto, a equação não representa circunferência.


4 2 Matemática M3

4. Calcule m, p e k para que a equação a seguir represente uma circunferência.

Equação: 2x 2 + my 2 + 2kxy + 2x + 2y + p = 0

Solução:

Os coeficientes de x 2 e y 2 devem ser iguais, m = 2. Além disso o termo em xy deve ter coeficiente nulo, e então k = 0.

Substituindo m e k, obtemos: 2x 2 + 2y 2 + 2x + 2y + p = 0 (dividindo por 2)

x 2 + y 2 + x + y + p 2 = 0 e daí vem: 2a = 1; a = −

1 2

2b = 1; b = − 1 2

a 2 + b 2 r 2 = p 2 →

1 4 +

1 4 r 2 =

p 2 e então: r =

1 p 2

Para termos uma circunferência 1 p 2

> 0, o que dá p < 1

Resposta: m = 2, K = 0, p < 1

3 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA

1º modo: Calcule a distância do ponto dado P ao centro C da circunferência.

Se PC = r, o ponto P pertence à circunferência. Se PC > r, o ponto P é exterior à circunferência. Se PC < r, o ponto P é interior à circunferência.

2º modo: Usando a equação reduzida.

Sejam dados o ponto P(x 0 , y 0 ) e a circunferência (x a) 2 + (y b) 2 r 2 = 0

Se (x 0 a) 2 + (y 0 b)

2 r 2 = 0, P pertence à circunferência.

Se (x 0 a) 2 + (y 0 b)

2 r 2 > 0, P é exterior à circunferência.

Se (x 0 a) 2 + (y 0 b)

2 r 2 < 0, P é interior à circunferência.

3º modo: Usando a equação geral

Dados: P(x 0 , y 0 ) e a circunferência x 2 + y 2 2ax 2by + a 2 + b 2 r 2 = 0.

Se x y 2ax 2by a b r 0 0 2

0 2

0 0 2 2 2 + − − + + − = , P pertence à circunferência.


0 2

0 0 2 2 2 + − − + + − > , P é exterior à circunferência.


0 2

0 0 2 2 2 + − − + + − < , P é interior à circunferência.

1. Calcule p para que o ponto A(7, 9) seja exterior à circunferência: x 2 + y 2 2x 2y p = 0

Solução:

Para que A seja exterior à circunferência dada, devemos ter: 7 2 + 9 2 2 . 7 2 . 9 p > 0; o que dá p < 98.

Além disso, a equação dada deve representar uma circunferência. Logo: 2a = 2 → a = 1

2b = 2 → b = 1

a 2 + b 2 r 2 = p; 1 + 1 r 2 = p; r 2 = p + 2; r = p + 2 e então p + 2 > 0; p > 2

Resposta: 2 < p < 98


4 3 Matemática M3

2. Considere a circunferência x 2 + y 2 + 2x 6y + 6 = 0. Existe algum ponto de abscissa 3 no interior dessa circunferência?

Solução:

Seja P(3, a) o ponto procurado. Então, para que P esteja no interior da circunferência devemos ter: 9 + a 2 + 6 6a + 6 < 0

a 2 6a + 21 < 0

Mas essa inequação não tem solução. Portanto, não existe nenhum ponto satisfazendo ao problema.

4 POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA

1º modo: Comparando a distância do centro da circunferência à reta com o raio.

Se d é a distância do centro C à reta s, e r é o raio, teremos:

* d = r, a reta é tangente à circunferência * d < r, a reta é secante à circunferência * d > r, a reta é exterior à circunferência

2º modo: Procurando a interseção entre a reta e a circunferência.

Para isso, montamos o sistema com as equações da reta e da circunferência.

Se a solução for única, a reta e a circunferência são tangentes. Se tivermos duas soluções a reta e a circunferência são secantes. Se o sistema não tiver solução, a reta e a circunferência são exteriores.

1. Dada a reta x + y + c = 0 e a circunferência x 2 + y 2 2x = 0, ache c de modo que a reta seja exterior à circunferência.

Solução:

Inicialmente, verifique se a equação dada representa circunferência.

2a = 2; a = 1

2b = 0; b = 0

a 2 + b 2 r 2 = 0; 1 + 0 r 2 = 0; r = 1

Logo, temos uma circunferência de centro (1, 0) e raio 1. Para que a reta seja exterior à circunferência, a distância do centro dessa à reta deve ser maior que o raio. Logo:

a) 1 c

2

+ > 1 → c > 2 1 ou

b) 1 c

2

+ < 1 → c < 2 1

1 0 c 1 1

+ +

+ > 1; 1 c

2

+ > 1 o que dá


4 4 Matemática M3

2. Calcule o comprimento da corda determinado pela reta x y = 0, sobre a circunferência (x + 2) 2 + (y 2) 2 = 16.

Solução:

Verifique inicialmente se de fato a reta dada e a circunferência são secantes. Após isso, determine o centro e o raio da circunferência. Você achará:

C(2, 2) e r = 4

Calcule a distância do centro à reta

d 2 2

2 4 2

= =

Aplique Pitágoras no triângulo BCM, lembrando que BC = r.

r 2 = d 2 + x 2 ; 16 = 8 + x 2 ; x = 2 2

A corda AB vale 2x. Logo AB = 4 2

5 POSIÇÃO RELATIVA DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS 1º Processo: Resolvendo o sistema formado pelas equações das circunferências.

Se o sistema tiver duas soluções (2 pontos comuns), as circunferências são secantes. Se o sistema tiver uma única solução (1 ponto comum), as circunferências são tangentes exteriormente

ou tangentes interiormente. Se o sistema não tiver solução (nenhum ponto comum), as circunferências são exteriores ou uma é

interna à outra. 2º Processo: Comparando a distância entre os centros (d) com r 1 + r 2 ou |r 1 r 2 | onde r 1 e r 2 são os raios.

a) d > r 1 + r 2

r 1 r 2 C 2 C 1

r 1 r 2 C 2 C 1

b) d = r 1 + r 2

c) d = |r 1 r 2 | d) |r 1 r 2 | < d < r 1 + r 2

As circunferências são tangentes interiores.

As circunferências são exteriores. As circunferências são tangentes exteriormente.

As circunferências são secantes.

e) d < |r 1 r 2 |

Uma circunferência é interior à outra.

6 PROBLEMAS DE TANGÊNCIA Faremos esse estudo na forma de exercícios resolvidos.

1. (MAPOFEISP) Determinar as equações das retas tangentes à circunferência x 2 + y 2 2x 2y + 1 = 0 e perpendicular à reta y = x.

Solução:

Equação geral da reta y = x → x + y = 0. Uma reta perpendicular a ela é do tipo x y + k = 0.

O centro e o raio da circunferência dada são: C(1, 1) e r = 1.

A reta procurada é tangente à circunferência se e só se a distância do centro à reta é igual ao raio.

1 1 + k 1 + 1 = 1; |k| = 2 → k = ± 2

Resposta: x y + 2 = 0 e x y 2 = 0


4 5 Matemática M3

2. Dê a equação das retas que passam pelo ponto P(2, 10) e que são tangentes à circunferência x 2 + (y 2) 2 = 4.

Solução:

Inicialmente, achamos a posição relativa entre P e a circunferência. Verifique você que P é exterior à circunferência. O problema admite então duas soluções. Como essas retas passam por P(2, 10), teremos:

y + 10 = m(x 2) e daí mx y 2m 10 = 0 (I).

A circunferência dada tem centro C(0, 2) e raio r = 2. Aplicando a condição de tangência, teremos:

0 2 2m 10

m + 1 2 = 2 → |12 2m| = 2 m + 1 2 que resolvido dá m = −

35 12 .

Mas o problema admite duas soluções e só achamos um valor para m. Isso significa que a outra reta é vertical.

Resposta: x = 2 e 35x + 12y + 50 = 0

(substitua m = − 35 12 em I e simplifique).

3. Obter a equação da reta, tangente à circunferência x 2 + y 2 = 100, e que forma um ângulo de 45º com 3x + y 7 = 0.

Solução: Seja y = mx + n a reta procurada. Sua equação geral é: mx y + n = 0. Como ela faz 45 o com 3x + y 7 = 0, temos:

tg45° = m + 3

1 + m. (3) m + 3 1 3m

1 → =

que resolvido dá m 1 2

= − ou m = 2

Se m = 2, obtemos a reta 2x y + n = 0. Para que ela seja tangente à circunferência, devemos ter d = r e como C(0, 0) e r = 10, teremos:

0 0 + n 4 + 1

10 = → |n| = 10 5 → n = ± 10 5

Teremos então as retas 2x y + 10 5 = 0 e

2x y 10 5 = 0

Se m = − 1 2 , obtemos a reta

12 x y + n = 0, que simplificada dá x + 2y 2n = 0. Para que ela seja tangente

à circunferência devemos ter:

0 + 0 2n 1 + 4

10 2n 10 5 n 5 5 = → = → = ±

Temos, então, as retas:

x + 2y + 10 5 = 0 e x + 2y 10 5 = 0.

Resposta: 2x y + 10 5 = 0; 2x y 10 5 = 0

x + 2y + 10 5 = 0 e x + 2y 10 5 = 0


4 6 Matemática M3

LIMITE 1 NOÇÃO INFORMAL DE LIMITE

Seja y = f(x) uma função. Dizemos que lim x a → f(x) = b,

lêse: limite de f(x) quando x tende a a é b, se quanto mais próximo de a tomarmos os valores de x, mais próximo de b teremos os valores de f(x).

Exemplo: Calcule lim x 2 → (3x 1)

Solução: É fácil perceber que para valores de x próximos a 2, f(x) = 3x 1 se aproxima de 5.

Logo: lim x 2 →

(3x 1) = 5

No cálculo do lim x a → f(x) interessanos estudar o comportamento da função para valores de x próximos de a, porém diferentes de a. Assim, pode acontecer de f(a) nem ser definido.

Exemplo: Calcule lim x→3 x x

2 9 3

− −

Solução:

Observe que f(3) não é definido. No entanto, como no processo do limite em questão, x se aproxima de 3, porém x ¹ 3, podemos afirmar:

lim x→3

x x

2 9 3

− −

= lim x→3

( )( ) x x x

− + −

3 3 3

= lim x→3 (x + 3) = 6

É importante realçar também que quando se diz que x tende a a, isto significa que x se aproxima de a por valores inferiores e também por valores superiores a a.

Se fazendo x se aproximar de a por valores inferiores a a, os valores da função se aproximam de b, dizemos

que o limite de f(x) para x tendendo a a pela esquerda é b e indicamos: lim x a → − f(x) = b

Agora, se fazendo x se aproximar de a por valores superiores a a, os valores da função se aproximam de b,

dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a pela direita é b e indicamos: lim x a → + f(x) = b

Esses dois últimos limites são conhecidos por limites laterais e lim x a → f(x) = b se e somente se tivermos

lim x a → + f(x) =

lim x a → − f(x) = b

Exemplo: Se f(x) = x x calcule lim x→ + 0 f(x),

lim x→ − 0 f(x) Verifique se existe lim x→0 f(x)

Solução: Como para x ≥ 0, |x| = x, teremos: lim x→ + 0

x x = lim x→ + 0

x x = 1

Como para x < 0, |x| = x, teremos:

lim x→ − 0

x x =

lim x→ − 0

−

xx = 1

Já que lim x→ + 0

f(x) ¹ lim x→ − 0 f(x), não existe lim x→0 f(x).


4 7 Matemática M3

2 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

a) lim x→2 (3x 1) = 5

3 FUNÇÃO CONTÍNUA Seja y = f(x) uma função definida no intervalo aberto (c, d). Se a é um ponto desse intervalo, dizemos que f é

contínua em a se lim x a → f(x) = f (a).

Se y = f(x) é definida no intervalo fechado [c, d], então:

a) f é contínua em c se lim x c → + f(x) = f(c)

b) f é contínua em d se lim x d → − f(x) = f(d).

Uma função f é contínua num intervalo se for contínua em todos os pontos desse intervalo. Graficamente, se uma função é contínua, seu gráfico não apresenta “buracos” e nem “saltos”.

1) Seja a função f(x) = x x

se x

se x

2 1 1

1

3 1

− −

≠

=

,

,

Calcule lim x→1 f(x). Essa função é contínua em x = 1?

Solução:

Como no cálculo do lim x→1 f(x) interessanos os valores de x próximos de 1, porém diferentes de 1, temos:

lim x→1 f(x) =

lim x→1

x x

2 1 1

− −

= lim x→1 ( )( ) x x

x − +

− 1 1

1 = lim x→1 (x + 1) = 2

Além disso, como esse limite é diferente de f(1), a função não é contínua em x = 1.

f(x) = 3x 1

b) lim x→3 x x

2 9 3

− −

= 6

f(x) = x x

2 9 3

− −

c) lim x→0

x x não existe


4 8 Matemática M3

2) Seja a função f(x) = 2 6

3 3

3

x x

se x

m se x

− −

≠

=

,

,

Determine m para que a função seja contínua em x = 3.

Solução:

Para f ser contínua em x = 3, lim x→3

f(x) = f(3)

Mas lim x→3

f(x) = lim x→3

2 6 3

x x

− −

= lim x→3

2 3 3

( ) x x

− −

= 2 e como f(3) = m, devemos ter m = 2.

4 UM SALTO NO INFINITO Em certas situações, necessitaremos estudar o comportamento de uma função f quando x assume valores maiores que qualquer número dado, ou quando x assume valores menores que qualquer número dado. No primeiro caso, dizemos que x tende a mais infinito (x→ ∞ + ) e no segundo dizemos que x tende a menos infinito (x→ ∞ ).

Exemplos:

a) Seja f(x) = 1 x . Quanto maior x, mais próximo de zero fica

1 x . Então: lim

x x →+∞

=

1 0

b) Se f(x) = 1 3 x

+ , teremos lim x x →−∞

+

=

1 3 3

c) lim ( ) x

x →+∞

− = +∞ 5

d) Seja f(x) = 1 1 x − . Então: lim ( )

x f x

→+∞ = 0 ; lim ( )

x f x

→−∞ = 0

lim ( ) x

f x → +

= +∞ 1 ; lim ( ) x

f x → −

= −∞ 1

5 NOÇÃO FORMAL DE LIMITE

Definição 1: Seja y = f(x) uma função de domínio D, e a um número que pode ou não pertencer a D. Dizemos que lim ( )

x a f x b

→ = , se e somente se, dado ε > 0 , existir δ > 0 , tal que para todo x com a x a − < < + δ δ e

x a ≠ , tivermos b ε < f(x) < b + ε .

Definição 2: Dizemos que lim ( ) x

f x b →+∞

= , se dado ε > 0 , existir M > 0, tal que para todo x > M, b ε < f(x) < b + ε .

Procure você dar as outras definições.

6 CÁLCULO DO LIMITE EM PONTOS DE DESCONTINUIDADE

Para calcular o limite em pontos de descontinuidade, podemos simplificar a função, calcular os limites laterais, etc. Veja alguns exemplos:

a) Calcule lim x

x x x x →

+ − − − 2

3 2 2 5 6 2

Solução:

Fazendo x = 2, obtemos 0 0 , que é uma forma indeterminada. Fatore

então o numerador da função usando o dispositivo de BriotRuffini.

2 1 2 5 6

1 4 3 0


4 9 Matemática M3

Para o caso do limite da soma, temos:

?

?

Para o caso do limite do produto, temos:

0 ?

0 ?

Então, o limite procurado é lim ( )( )

( ) lim( )

x x

x x x x

x x → →

− + + −

= + + = 2

2

2 2 2 4 3

2 4 3 15

b) Calcule lim ( ) x f x

→1 , sendo f(x) = x se x

x se x

+ >

<

1 2

1

1 2

,

,

Solução:

Nesse caso, usamos os limites laterais lim ( ) lim x x

f x x

→ → + + =

+ =

1 1

1 2

1 lim ( ) lim x x

f x x → → − −

= = 1 1

2 1 e então lim ( ) x f x

→ =

1 1

7 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES

Se lim x a →

f(x) = K e L ) x ( g lim a x

= →

, teremos:

a) lim [f(x) + g(x)] = K + L x a →

d) lim[ ( ). ( )] . x a

f x g x K L →

=

e) lim[ ( )] x a

n n f x K →

=

f) lim ( ) ( )

; ( ) x a

f x g x

K L

se L →

= ≠ 0

b) lim [f(x) g(x)] = K L x a →

c) lim [c. ( )] . x a

f x c K →

= c ∈ K

lim ( ) x a

f x →

lim ( ) x a

g x →

lim[ ( ) ( )] x a

f x g x →

+

+ ∞

− ∞

− ∞

+ ∞

+ ∞

− ∞

lim[ ( ). ( )] x a

f x g x →

lim ( ) x a

g x →

lim ( ) x a

f x →

lim ( ) x a

f x →

lim ( ) x a

g x →

lim ( ) ( ) x a

f x g x →

± ∞ ± ∞

Para o caso do limite de um quociente, temos:

0 0 ?

?

Os símbolos marcados com o sinal ? são chamados símbolos de indeterminação. Para calcular o limite nes ses casos devemos, por transformações convenientes, reduzir o cálculo a outros cujos resultados são conhecidos.

1) Calcule lim x

x x →

−

− 2

2 2

Solução:

Substituindo x por 2, obtémse a forma indeterminada 0 0 . Nesse caso, multiplique os termos da fração dada

por x + 2 (conjugado de x − 2 )

lim x

x x →

−

− 2

2 2 = lim

( )( ) ( )( ) x

x x x x →

− +

− + 2

2 2 2 2 = lim

( )( ) x

x x x →

− + − 2

2 2 2

= lim( ) x

x →

+ = 2

2 2 2


5 0 Matemática M3

2) Calcule lim x

x x →

−− 8

3 28

Solução:

Faça x y 3 = . Então x = y 3 . Além disso, se x Õ 8, então y x = 3 tende a 2. Logo:

lim x

x x →

−− 8

3 28 = lim

x

y y →

− − 2 3 2 8 = lim

( )( ) x

y y y y →

− − + + 2 2

2 2 2 4

= lim ( ) x y y → + + 2 2

1 2 4

= 112

8 LIMITES FUNDAMENTAIS

8.1 Limite da função polinomial quando x→ +∞ ou x→ −∞

Se P(x) = a n . x n + a n 1 . x

n 1 + ... + a 1 . x + a o então

lim ( ) lim (a ) x x

n n P x x

→+∞ →+∞ = e lim ( ) lim (a )

x x n

n P x x →−∞ →−∞

=

Exemplos:

a) lim ( ) lim ( ) x x

x x x →+∞ →+∞

− + = = +∞ 2 5 7 2 3 3 b) lim (3 ) lim (3 ) x x

x x x →−∞ →−∞

− − = = +∞ 2 2 5

8.2 Limite de uma função racional

Sejam os polinômios:

P(x) = a n . x n + a n 1 . x

n 1 + ... + a 1 . x + a o e

Q(x) = b m . x m + b m 1 . x

m 1 + ... + b 1 . x + b o

Então lim ( ) ( )

lim x x

n n

m m

P x Q x

a x b x →+∞ →+∞

= e também, lim ( ) ( )

lim x x

n n

m m

P x Q x

a x b x →−∞ →−∞

=

Exemplos:

a) lim lim x x

x x x x

x x →+∞ →+∞

− + − −

=

=

3 2 1 2 3

3 2

3 2

2

2

2

2 c) lim lim lim x x x

x x x

x x

x →+∞ →+∞ →+∞

− + +

= = = +∞ 2 2 2 1

3

b) lim lim lim x x x

x x x

x x x →−∞ →−∞ →−∞

− − +

=

= =

2

3

2

3 5

2 1 1 0

8.3 Limite de funções transcendentes

a) lim sen x

x x →

= 0

1

b) lim x

x

x e

→+∞ +

= 1 1 , lim

x

x

x e

→−∞ +

= 1 1 , ( ) lim

x x x e

→ + =

0

1 1

c) lim ln x

x a x

a →

− =

0

1


5 1 Matemática M3

1) Calcule lim cos x

x x →

−

0 2

1

Solução:

lim cos x

x x →

−

0 2

1 = lim ( cos )( cos )

.( cos ) x

x x x x →

− + + 0

2 1 1

1 =

lim x 0 →

− +

1 1

2

2 cos

. ( cos ) x

x x = lim

x 0 → + sen

. ( cos )

2

2 1 x

x x

lim sen . cos x

x x x →

+

0

2 1

1 = 1 1 2

1 2

. =

2) lim x

x

x →+∞ +

1 2

Solução:

lim x

x

x →+∞ +

1 2 = lim

x + → ∞ +

1 1

2

2

2

x

x

Seja x 2 = y. Então se x → +∞ , y → +∞ .

Logo: lim y

y

y e

→∞ +

= 1 1 2

2

3) Calcule y x x x x

= + + −

→∞ lim 2 1

Solução:

y x x x x x x

x x x x =

+ + −

+ + +

+ + + →∞ lim

2 2

2

1 1

1 y x x x

x x x x =

+ + −

+ + + →∞ lim

2 2

2

1

1 = lim

x

x

x x x →∞

+

+ + +

1

1 2

y x

x x x =

+ →∞ lim

2 = lim

x

x x →∞

= 2

1 2

DERIVADA

1 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO

Seja f: D ÕR uma função, onde D = (a, b) é um intervalo aberto de extremos a e b. Se x∈D, chamamos de derivada da função f em x e indicamos por f’(x), a:

f’(x) = lim ( ) ( )

h

f x h f x h →

+ − 0

desde que exista e seja finito esse limite. Quando isso acontece, dizemos que f é derivável ou diferenciável em x. Se f é derivável para todo x ∈D, diremos que f é derivável em D.

Se f for definida num intervalo fechado [a, b], diremos que f é derivável em [a, b] se f for derivável em todos os pontos do interior do intervalo e se forem finitos os limites a seguir:

f’ + (a) = lim (a ) (a)

h

f h f h → +

+ −

0 (derivada à direita) f’ (b) = lim (b ) (b)

h

f h f h → −

+ −

0 (derivada à esquerda)


5 2 Matemática M3

Observação 1:

Se x é um ponto do interior do intervalo, f’(x) existe, se existirem e forem iguais as derivadas à direita e à esquerda (derivadas laterais).

Observação 2:

Notações mais usadas para a derivada de uma função y = f(x).

f’(x) ; y’ ; dydx

Observação 3:

Se f é derivável em x, ela é contínua em x.

1) Seja f(x) = x 2 3. Calcule f’(5) e f’(x).

Solução:

f’(5) = lim (5 ) (5)

h

f h f h →

+ − 0

= lim (5 ) (5

h

h h →

+ − − − 0

2 2 3 3) ; f’(5) = lim lim ( )

h h

h h h

h h h → →

+ =

+ =

0

2

0

10 10 10

* f’(x) = lim ( ) ( )

h

f x h f x h →

+ − 0

= lim ( ) (

h

x h x h →

+ − − − 0

2 2 3 3) f’(x) = lim lim ( )

h h

xh h h

h x h h

x → →

+ =

+ =

0

2

0

2 2 2

2 SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA DERIVADA

Consideremos uma função y = f(x), definida e derivável num domínio D e cujo gráfico é dado a seguir.

Seja P(x, f(x)) um ponto do gráfico de f, e Q(x + h, f(x + h)) um outro ponto do gráfico de f. Esses pontos

determinam a reta secante PQ , cujo coeficiente angular é

m f x h f x h PQ =

+ − ( ) ( )

Fazendo Q se aproximar de P, o que corresponde a fazer hÕ 0, as retas secantes obtidas vão se aproximando da reta tangente e conseqüentemente os coeficientes angulares das retas secantes vão se aproximando do coeficiente angular da tangente, ou seja:

lim ( ) ( )

' ( ) h t

f x h f x h

f x m →

= + −

= = 0

Conclusão: A derivada da função f, no ponto x, dá o coeficiente angular da tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x.


5 3 Matemática M3

3 SIGNIFICADO CINEMÁTICO DA DERIVADA

Seja S = f(t) a equação horária do movimento de uma partícula sobre uma curva. Nesse caso, f t h f t h

( ) ( ) + −

representa a velocidade média da partícula entre t e t + h.

Se fizermos h Õ 0, estaremos calculando a velocidade média em intervalos cada vez menores. Por isso diremos que:

lim ( ) ( ) ' ( ) h

f t h f t h

f t →

+ − =

0 = v inst. , onde v inst. é:

a velocidade instantânea (velocidade do instante t).

Observação:

Se v = v(t), v’(t) é a aceleração no instante t.

4 REGRAS DE DERIVAÇÃO

Usando a definição de derivada, provamse as regras a seguir, o que nos permite usar o conceito de derivada sem recorrer ao cálculo de limite, dado na definição.

a) f(x) = c, c∈ R Õ f’(x) = 0

b) f(x) = x Õ f’(x) = 1

c) f(x) = x n Õ f’(x) = nx n1

d) (c . f)’= c . f’ onde c∈ R e f é uma função.

e) (f + g)’= f’ + g’

f) (f . g)’ = f’. g + f . g’

g) f g

g f f g g

=

− ' . ' . '

2

h) (f n )’ = nf n1 . f’

Exemplo: Derive as funções:

a) f(x) = x 3 Õ f’(x) = 3x 2

b) f(x) = 2x 5 Õ f’(x) = 2 . 5x 4 = 10x 4

c) f(x) = 3x 2 5x 7 Õ f’(x) = 6x 5

d) f(x) = xx

3

2 3 1 + Õ f’(x) = 2 2

3 2 2

) 1 x 3 ( x 6 . x x 3 ). 1 x 3 (

+ − +

e) f(x) = x x 2 3 2 3 = = Õ f’(x) = 2

3 2

3

1 3

3 x

x

− =

f) f(x) = (x 2 5x + 1) 3 Õ f’(x) = 3(x 2 5x + 1) 2 . (2x 5)

1) Sendo f(x) = x 2 1, ache a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x = 2.

Solução:

Sendo P o ponto de abscissa x = 2, então y p = f(2) = 2 2 1 = 3. Logo P(2, 3). Além disso, o coeficiente angular

da reta tangente ao gráfico de f em P é f’(2). Mas f’(x) = 2x; logo f’(2) = 4. Basta, então, achar a equação da reta que passa por P e tem coeficiente angular m = 4.

y y 0 = m(x x 0 ); y 3 = 4(x 2); y = 4x 5


5 4 Matemática M3

5 DERIVADA DAS FUNÇÕES TRANSCENDENTES

a) f(x) = senx Õ f’(x) = cosx

b) f(x) = cosx Õ f’(x) = senx

c) f(x) = e x Õ f’(x) = e x

d) f(x) = a x Õ f’(x) = a x . ln a

e) f(x) = ln x Õ f’(x) = 1 x

1) Calcule a derivada de f(x) = tg x

Solução:

f(x) = tg x = sen x cos x

. Logo:

f’(x) = cos x . cos x sen x. (sen x)

cos x 2 = cos x + sen x

cos x

2 2

2

f’(x) = 1

cos x 2 = sec 2 x

2) se f(x) = log x 10 calcule f’(x).

Solução:

f(x) = log x 10 = ln x ln 10

1 ln 10

= . ln x. Logo:

f’(x) = 1

ln 10 . 1 x

Õ f’(x) = 1

x ln 10

3) Sendo f(x) = x 2 . e x calcule f’(x).

Solução:

f’(x) = 2x. e x + x 2 . e x

6 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA A REGRA DA CADEIA Algumas funções podem ser obtidas como a composição de duas ou mais funções. Por exemplo, se y = sen(x 2 + 1), podemos dizer que y = sen u e u = x 2 + 1. De modo geral, se y = f(u) e u = g(x), então y = f[g(x)] é composta de f e g. Provase nesse caso que:

y’= f’(g(x)) . g’(x) ou dydx

dydu

du dx

= .

Exemplos:

Derive as funções

a) f(x) = sen(x 2 + 1) Õ f’(x) = cos(x 2 + 1) . 2x

b) f(x) = ln (senx) Õ f’(x) = 1

sen x . cosx = cotgx


5 5 Matemática M3

7 DERIVADAS SUCESSIVAS

Seja f: DÕR uma função derivável em D. Se f’(x) é derivável em D 1 , onde D 1 ⊂ D, temos a função f”(x), que chamaremos de derivada segunda. De modo semelhante, podemos definir derivadas de ordem superior a 2.

Exemplo:

Seja f(x) = x 3 3x 2 + 4x + 1. Calcule todas as suas derivadas.

Solução:

f’(x) = 3x 2 6x + 4

f”(x) = 6x 6

f”’(x) = 6

f””(x) = 0, e a partir daí todas as derivadas são nulas.

8 FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE

Seja y = f(x) uma função definida num intervalo aberto (a, b). Como f’(x) dá o coeficiente angular da tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x, os gráficos a seguir sugerem que:

Se f’(x) > 0, para todo x ∈ (a, b), f é crescente Se f’(x) < 0, para todo x ∈ (a, b), f é decrescente. Se f’(x) = 0, para todo x ∈ (a, b), f é constante.

1) Seja f(x) = ax 2 + bx + c. Determine os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.

Solução:

Observe que f’(x) = 2ax + b. Logo:

f é crescente se f’(x) > 0; 2ax + b > 0; x > − b 2a

f é decrescente se f’(x) < 0; 2ax + b < 0; x < − b 2a

9 MÁXIMOS E MÍNIMOS

Definição:

Seja f uma função de domínio D, e x 0 ∈ D.

a) f(x 0 ) é um máximo local de f, se existe um intervalo (a, b) contendo x 0 , tal que f(x) < f(x 0 ) para todo x em (a, b). Dizemos que x 0 é ponto de máximo local.

b) f(x 0 ) é um mínimo local de f, se existe um intervalo (a, b) contendo x 0 , tal que f(x) > f(x 0 ) para todo x em (a, b). Diremos que x 0 é ponto de mínimo local.


5 6 Matemática M3

Se f(x 0 ) > f(x) para todo x no domínio de f, diremos que f(x 0 ) é o máximo absoluto de f, e x 0 é ponto de máximo absoluto.

Se f(x 0 ) < f(x) para todo x no domínio de f, f(x 0 ) é o mínimo absoluto de f, e x 0 é ponto de mínimo absoluto.

10 O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA

Teorema: Seja f uma função contínua e derivável em (a, b) e c ∈ (a, b) tal que f’(c) = 0.

a) Se f’(x) > 0 para a < x < c e f’(x) < 0 para c < x < b, então f(c) é máximo local de f.

b) Se f’(x) < 0 para a < x < c e f’(x) > 0 para c < x < b, então f(c) é mínimo local de f.

c) Se f’(x) > 0 ou se f’(x) < 0 para todo x ∈ (a, b) exceto em c, então c é ponto de inflexão.

11 O TESTE DA DERIVADA SEGUNDA

Teorema: Seja f diferenciável num intervalo aberto contendo x 0 e f’(x 0 ) = 0

Se f”(x 0 ) < 0, f tem máximo local em x 0 .

Se f”(x 0 ) > 0, f tem mínimo local em x 0 .

Se f”(x 0 ) = 0, não podemos usar o teste da derivada segunda. Nesse caso, usamos o teste da derivada primeira.

Máximo local Mínimo local

x 0 x 0

1. Determine dois números reais, cuja diferença seja 40 e cujo produto seja mínimo.

Solução:

Sejam x e y os números procurados. Então x y = 40 e daí, y = x 40. Logo o produto deles será:

P(x) = x . (x 40) ou P(x) = x 2 40x.

Usando o teste da derivada segunda, obtemos: P’(x) = 2x 40, logo P’(x) = 0 se x = 20.

P”(x) = 2, e então a função tem mínimo em x = 20. Além disso, se x = 20, y = 20 40, ou seja, y = 20.

Resposta: 20 e 20.


57 Matemática M3

MATEMÁTICA I TRIGONOMETRIA

1) (Fund. João Pinheiro – MG) Uma pessoa situada em um ponto A, em uma das margens de um rio, observa uma árvore T diretamente à sua frente, na outra margem. Caminha, então, 150 metros para um outro ponto B, perpendicularmente à direção AT e mede o ângulo ABT, obtendo 30°. Assim sendo, a medida de AT é:

a) 50 m b) 75 m

c) 3 50

d) 3 100

e) 3 150

2) (CEFET-MG) Se o 63 = θ , então:

a) θ < θ < θ tg sen cos

b) θ < θ < θ tg cos sen

c) θ < θ < θ sen tg cos

d) θ < θ < θ cos tg sen

e) θ < θ < θ sen cos tg

3) (VUNESP) Se x é a medida de um ângulo em

radianos e 4 3 x

2 π

< < π

, então:

a) cos x > 0 b) cos 2x < 0 c) tg x > 0 d) sen x < 0 e) sen 2x > 0

4) (UFJF-MG) O maior e o menor valor da função

f : R ® R, definida por x sen 2 4

1 ) x ( f −

= são,

respectivamente:

a) 1/2 e 1/6 b) 1/3 e 1/6 c) 1 e –1 d) 1/2 e 1/4

5) (FEI-SP) A expressão

12 t 0 , t6

cos 2 2 ) t ( f ≤ ≤

π − = ,

representa a variação da profundidade do trabalho de uma ferramenta de corte em relação ao tempo de operação. Em que instante essa profundidade é máxima?

a) t = 9 d) t = 3 b) t = 12 e) t = 2 c) t = 6

6) (ESPCEX) O número de arcos existentes entre 0° e 1560° cujo seno vale 2/7 é:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

7) (ESPCEX) Sendo k Î Z, o número de valores

distintos assumidos por 9 k sen

π é igual a:

a) 5 b) 8 c) 9 d) 10 e) 18

8) (Positivo-PR) Se tg x = 7 , então x cos 2 é igual a:

a) 2 7

b) 7 c) 7 1

d) 8 1

e) 1

Tecnologia I ITAPECURSOS

58 Matemática M3

9) (UNI-BH) Uma solução da equação

trigonométrica 2 sen 2x = 1 para 2

x 0 π

< < é:

a) 3 π

b) 4 π

c) 6 π

d) 12 π

10) (Fund. João Pinheiro – MG) Analise as alternativas abaixo. Quatro delas apresentam erros comumente cometidos na resolução de problemas matemáticos. Indique a única alternativa correta:

a) ( ) 1 30 cos 30 sen 2 = ° + °

b) ) 40 cos( 40 cos ° − − = °

c) 2 x 1 x

x 1 x

4 4

2

2 2 + + =

+ ; 0 x ≠

d) 1 cos 2 − = π

e) 2 x , 0 x , x 2 x 4 x 4 x 2

x 8 2 2

4

− ≠ ≠ + = +

11) (PUC-MG) O menor valor positivo de x para o

qual

π =

4 x 5 sen y é máximo, é igual a:

a) 3 1

b) 5 2

c) 5 3

d) 5 4

e) 1

12) (N. Paiva-MG) O valor da expressão 2

12 cos

12 sen

π +

π é:

a) 2 3 1+ b) 2 c)

2 2 1+ d) 3/2

13) (UFLA-MG) Se cos ( 2x ) = 1/2 e

π ∈

2 , 0 x , o

valor de sen x é:

a) 2 3

d) 2 1

b) 2 1

− e) 1

c) 2 2

14) (UFOP-MG) Sendo as funções f: R ® R e g: R ® R dadas por f(x) = x 2 e g(x) = cos x, podemos afirmar a respeito de seus gráficos, que:

a) não se interceptam. b) interceptam-se em um único ponto. c) interceptam-se em dois pontos. d) interceptam-se em três pontos. e) interceptam-se em uma infinidade de pontos.

15) (ESPCEX) Se sen x + cos x = 5 1

, com π ≤ ≤ x 0 ,

então o valor de sen 2x é:

a) 25 12

− d) 25 16

b) 25 24

− e) 25 24

c) 25 12

16) (UFJF-MG) Sendo ) x sen 1 ( ) x (sen ) x ( f 2 − =

) x cos 1 ( ) x cos ( 2 − + , então

π 8 5 f é igual a:

a) 0 d) 2 2

−

b) 1 e) 2 2

c) –1

17) (CEFET-MG) Se tg x = a , então sen 2x – cos 2x é igual a:

a) ( )

1 a 1 a

2

2

+

−

b) ( )

2

2

a 1 1 a

−

+

c) 2

2

a 1 1 a 2 a

+

− +

d) 1 a 2 a 2 − +

e) 1 a 2 a 2 + +


59 Matemática M3

18) (UFLA-MG) A expressão

α

α 2

cotg + 2

tg é

igual a:

a) ) 2 ( cos

1 α

d) 1

b) ) ( sen

2 α

e) 2

c) ) /2 ( sen

2 α

19) (UNI-BH) Sejam π ≤ ≤ π π

≤ ≤ 2 b 2 3 e

2 a 0 . Se

2 1 b sen e

2 1 a sen − = = , então o valor de

( ) ( ) b a sen b a cos + + + é:

a) 0 b) 1 c) 1,5 d) 2

20) (UFV-MG) Sabendo-se que sen 30° = 1/2 , o valor de sen 15° é:

a) 2

3 2 − d)

2 2 3 −

b) 4 1

e) 2 1

c) 1

21) (UNA-MG) A quantidade de soluções da

equação 0 3 x sen 3 x cos 2 2 = − + contidas no

intervalo [ ] π , 0 é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

22) (UFC-CE) Considere a equação: cos 2 x - cosx - 2 = 0

Pode-se afirmar que a soma de suas soluções que pertencem ao intervalo [0, 4p] é:

a) 1 b) -1 c) 0 d) 4p e) 2p

23) (N.Paiva-MG) A expressão ( ) x cos x sen −

( ) 2 x sec cos x sec + − é equivalente a:

a) tg x – cotg x b) sec x + cossec x c) sec x . cossec x d) sen x + cos x

24) (N.Paiva–MG) Sabendo-se que:

2 a 0 que e 4 a g cot 3 a tg 2 2 π

< < = +

a soma dos valores possíveis de sen a será, aproximadamente:

a) 2,0 b) 1,0 c) 1,5 d) 0,5

25) (PUC-MG) Quando 2

0 π

< θ < e 3 1 sen = θ , a

igualdade 9 2 m 2 sen = θ é verdadeira. Nessas

condições, o valor de m é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

NÚMEROS COMPLEXOS

1) (UFLA-MG) Dado o polinômio P(x) = x 2 - 6x + 9, os valores de P(i) e P(i - 2) são, respectivamente:

a) 10 - 6i e 26 - 10i b) 9 - 6i e 18 - 10i c) 8 - 6i e 24 - 10i d) 9 - 5i e 24 - 9i e) 9 - 6i e 18 - 6i

2) (UNA-MG) Ao se dividir um número complexo z por (2 + 3i) um estudante cometeu um erro e obteve (4 + 2i) como resposta . Sabendo que a resposta correta é o conjugado da resposta obtida pelo aluno , podemos afirmar que o valor de z é:

a) 14 + 8i b) 2 + 16i c) 14 – 8i d) 2 – 16i


60 Matemática M3

3) (Fund. João Pinheiro-MG) O único valor de m que verifica a igualdade (3 – mi).(– 4 + 2i) = 30i é:

a) 6 b) 8 c) 12 d) 14 e) 18

4) (UNI-BH) Sendo a = 3 + 4i e b = 5 – 12i, então o módulo de a.b é:

a) 33 b) 49 c) 63 d) 65

5) (CEFET-MG) O valor de 18 15

8 3

i i i 2 i 3 i

−

− + é:

a) –2 + i d) –1 + 2i b) 2 – i e) 3 c) –1 – 2i

6) (PUCMG) Na soma S = 1 + i + i 2 + i 3 + i 4 + i 5 ,

onde i = 1 − , o valor de S é:

a) 2 – i d) 2 + i b) 1 – i e) 1 + i c) 0

7) (IH-MG) Sendo z 1 = -1 + 3i e z 2 = -2 (sen p + i

cos p) , o valor de 2 2 1 z . z é:

a) –16 – 12i d) 12 – 16i b) –12 – 20i e) 12 + 20i c) –12 + 16i

8) (FMTM-MG) No plano de Argand-Gauss, o

conjunto dos pontos z = x + yi , tais que 1 z = ,

com 0 y e 0 x ≥ ≥ , determina uma figura cuja área mede:

a) π b) 2 π

c) 4 π

d) 6 π

e) 1

9) (UFJF-MG) Seja z = a + bi um número complexo, onde a e b são reais e i é a unidade imaginária. Sabendo-se que graficamente z se encontra no primeiro quadrante e que denota o conjugado de z, então é INCORRETO afirmar que:

a) z está no quarto quadrante. b) iz está no segundo quadrante. c) – iz está no terceiro quadrante.

d) z − está no segundo quadrante.

10) (UFU-MG) As representações gráficas dos números complexos z 1 = cos 30° + i sen 30° e z 2 = cos 102° + i sen 102° no plano complexo correspondem a vértices consecutivos de um polígono regular inscrito em uma circunferência com centro na origem. O número de lados desse polígono é igual a:

a) 12 b) 6 c) 5 d) 10

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

1) (UFJF-MG) Marque a alternativa CORRETA:

a) Se a e b são raízes da equação algébrica p(x) = 0, então o grau de p(x) é exatamente 2. b) Toda equação algébrica de grau n ³ 1 com coeficientes reais admite n raízes reais. c) Se a, b e d são três raízes da equação algébrica p(x) = 0 de grau n, então n > 2. d) Se p(x) = 0 é uma equação algébrica de grau 3 cujas raízes são a , b e d, então p(x) = (x - a) (x - b)

(x - d).

2) (Positivo-PR) As raízes da equação polinomial x 3 – 8x 2 + 19x – 12 = 0 representam as medidas das dimensões de um paralelepípedo. Desta forma, é correto afirmar:

a) O volume do sólido é igual a 16 unidades cúbicas.

b) A diagonal do sólido é igual a 26 unidades de comprimento.

c) A área total do sólido é igual a 19 unidades de área. d) O volume do sólido é igual a 8 unidades cúbicas. e) A diagonal do sólido é igual a 19 unidades de comprimento.

3) (UFJF-MG) Se a é uma raiz da equação x 2 + x + n = 0 , onde n é um inteiro positivo, podemos afirmar

que a é igual a:

a) n 2 b) n c) n d) n 2 e) 0


61 Matemática M3

4) (FUVEST-SP) Se a equação 8x 3 + kx 2 - 18x + 9 = 0 tem raízes reais a e – a, então o valor de k é:

a) 4 9

b) 2 c) 8 9

d) –2 e) –4

5) (PUC-MG) O produto das raízes complexas de f(x) = x 3 + 4x é igual a:

a) –4 b) –2 c) 2 d) 4 e) 5

6) (ITA-SP) Sendo 1 e 1 + 2i raízes da equação x 3 + ax 2 + bx + c = 0 , em que a, b e c são números reais, então:

a) b + c = 4 d) b + c = 1 b) b + c = 3 e) b + c = 0 c) b + c = 2

7) (CEFET-MG) Um polinômio de grau 3 tem a soma de seus coeficientes igual a zero e a soma e o produto de suas raízes são iguais a 6 e 8, respectivamente. Pode-se afirmar que:

a) as três raízes são iguais. b) existem apenas duas raízes iguais. c) as raízes são todas reais e diferentes. d) existem raízes complexas. e) não existem raízes reais.

MATEMÁTICA II

ESTUDO DA RETA

1) (Itaúna-MG) Observe a figura. A soma das coordenadas a e b do ponto P, sendo a > b , é igual a 3. O ponto P’ , simétrico de P, em relação à origem, é:

a) (-2,-1) b) (-1,-2) c) (-1,2) d) (2,-1)

2) (UFMG) Observe a figura.

4) (FMTM-MG) A condição para que o ponto P(2;y) não esteja alinhado com os pontos: A(-4,6) e B(0,3) é

a) y ≠ 1,5 d) x ≠ 7,5 b) y = 3,5 e) y > 2,5 c) x < 2,5

5) (PUC-MG) A interseção da reta s com o eixo das ordenadas é o ponto M (0 , b) . A reta s passa pelos pontos A (6,3) e B (-2, 6). O valor de b é:

a) 5 14 b)

4 17 c)

5 19

d) 4 21

e) 5 23

6) (Itaúna-MG) Duas retas r e s concorrem no ponto P (1, 4). A reta r intercepta o eixo y em A e s intercepta o eixo x em B. Seus coeficientes angulares são , respectivamente, 1 e –1. A área do quadrilátero OAPB é, em cm 2 :

a) 8,5 b) 11,5 c) 12,5 d) 4,5

7) (PUC-MG) Na figura abaixo, o ângulo B é reto. A abscissa do ponto C é igual a:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

A área do quadrilátero ABCD dessa figura é:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

3) (M. Campos-MG) Um triângulo possui como vértices os pontos A (-1, 0), B (4, 0) e C (0, -4). A área desse triângulo será indicada pelo número:

a) –10 b) 10 c) –6 d) 6


62 Matemática M3

8) (Fund. João Pinheiro-MG) A equação da reta que passa por (-6, -7) e pelo ponto médio do segmento cujos extremos são (8, 1) e (2, -7) é:

a) 6x – 5y – 1 = 0 b) x + y + 13 = 0 c) 2x – 3y + 19 = 0 d) 4x + 10y + 94 = 0 e) 4x – 11y – 53 = 0

9) (UFMG) A reta r passa pelo ponto (16, 11) e não

intercepta a reta de equação 5 2 x y − = .

Considerando-se os seguintes pontos, o ÚNICO que pertence à reta r é:

a) (7,6) b) (7,13/2) c) (7,7) d) (7,15/2)

10) (UFMG) Observe a figura abaixo. Nesta figura, ABCD é um paralelogramo, as coordenadas do ponto C são ( 6 , 10 ) e os lados AB e AD estão contidos, respectivamente, nas

retas de equações 2 x 4 y e 14 2 x y − = + = .

Nesse caso, as coordenadas do ponto B são: a) ( 8 , 18 )

b) ( 10 , 19 )

c)

2 35 , 7

d)

2 37 , 9

11) (UFMG) Observe a figura.

12) (UFMG) Os pontos P e Q pertencentes à reta de equação y = mx, têm abscissas a e a+1 ,

respectivamente. A distância entre P e Q é 10 . A ordenada do ponto dessa reta que tem abscissa 5 é negativa. Nessas condições, o valor de m é:

a) –3

b) 10 −

c) 3

d) 10 10

e) 10

13) (UFMG) A reta s é paralela à reta de equação y = 3x – 4 e intercepta a parábola de equação y = 2x 2 – 3x + 5 no ponto de abscissa 1. A equação de s é:

a) x + y – 5 = 0 b) x – y + 3 = 0 c) 3x – y + 1 = 0 d) x + 3y – 11 = 0 e) 3x + y – 7 = 0

14) (FCMMG) Observe a figura.

Nessa figura, A = (2, 3) e 10 BC = . A equação da reta AB é:

a) x + 4y – 14 = 0 b) x – 4y + 14 = 0 c) 4x + y – 14 = 0 d) 4x – y + 14 = 0 e) x + 2y – 7 = 0

Nessa figura, as retas r e s têm por equação 4x – 5y – 28 = 0 e 4x + y – 4 = 0, respectivamente. A área do triângulo ABC é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 12

15) (FMTM-MG) São dados os pontos A = (-2, 1) e B = (0, -1). A mediatriz do segmento AB intercepta o eixo y no ponto de ordenada:

a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2


63 Matemática M3

1) (FMTM-MG) A reta de equação 2x – y – 4 =0 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. Esses pontos são os extremos de um diâmetro de uma circunferência. A equação correspondente dessa circunferência é:

a) x 2 + y 2 – 2x – 4y – 5 = 0 b) x 2 + y 2 – 2x + 4y = 0 c) x 2 + y 2 + 2x + 2y + 1 = 0 d) x 2 + y 2 + 6x + 3y – 4 = 0 e) 2x 2 + 2y 2 + 2x + 4y + 5 = 0

2) (UFJF-MG) A equação da circunferência que tangencia os eixos coordenados e cujo centro pertence à reta de equação 2x - y - 6 = 0 é:

a) x 2 + y 2 – 4x – 4y + 4 = 0 b) x 2 + y 2 – 4x + 4y + 6 = 0 c) x 2 + y 2 – 4x + 4y + 7 = 0 d) x 2 + y 2 – 4x + 4y + 4 = 0 e) x 2 + y 2 + 4x – 4y + 4 = 0

3) (Fund. João Pinheiro-MG) A equação do círculo de centro na origem e tangente à reta 4x + 3y = 12 é:

a) x 2 + y 2 – 9 = 0 d) x 2 + y 2 – 6,84 = 0 b) x 2 + y 2 – 4 = 0 e) x 2 + y 2 – 16 = 0 c) x 2 + y 2 – 5,76 = 0

4) (PUC-MG) Os pontos (1, 0), (0, 0) e (0, 1) pertencem à circunferência de equação:

a) 0 y x y x 2 2 = − − + c) 0 y x y x 2 2 = + − +

b) 0 y x y x 2 2 = − + + d) 0 x y x 2 2 = − +

5) (N. Paiva-MG) Dada a circunferência x 2 + y 2 - 4x - 9 = 0, a equação de uma das

ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA retas tangentes a ela e paralela à reta 3x + 2y = 0 é:

a) 3x + 2y – 7 = 0 c) 3x + 2y – 19 = 0 b) 3x + 2y – 15 = 0 d) 3x + 2y – 5 = 0

6) (Fund. João Pinheiro-MG) Uma circunferência tem centro no ponto (3, 4) e tangencia a reta de equação 3x + 4y – 50 = 0. Nesse caso, o raio dessa circunferência mede:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

7) (PUC-MG) A medida do raio da semicircun-ferência

de equação 2 x 4 9 2 1 y − = é igual a:

a) 2/3 b) 2 c) 3/2 d) 5/2 e) 3

8) (PUC-MG) O raio da circunferência de equação x 2

+ y 2 - x + y + c = 0 mede 3/2 unidades de comprimento. Nessas condições, o valor da constante c é igual a:

a) –7/4 b) –3/2 c) –1 d) 1/2 e) 1

9) (FUVEST-SP) Uma circunferência passa pelos pontos (2, 0), (2, 4) e (0, 4). Logo, a distância do centro dessa circunferência à origem é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

10) (FAFEOD-MG) A reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes do sistema cartesiano Oxy divide a região limitada pela circunferência x 2 + y 2 – 2x = 0 em duas partes. A área da menor dessas partes é igual a:

a) 4 2 − π

b) 4 2 3 + π

c) 4 4 − π

d) 2 1 − π

LIMITE

1) (PUC-MG) O valor do 2 1 x x 1 x 1 lim

−

− →

é:

a) 0 b) 1 c) 1/2 d) 1/4 e) ∞

2) (IH-MG) O valor do 4 x 2 x lim

2 2 x −

− →

é:

a) 0 b) 8 2

c) 16 2

d) 8 1

e) + ∞

3) (PUC-MG) O valor do limite 4 n

n 3 2 1 lim 2 n −

+ + + + ∞ →

L é:

a) 0 b) 1/2 c) 1 d) 2 e) 3

4) (PUC-MG) Sendo f(x) = log 2 (1 + x + x 2 + x 3 + ...),

o valor de ) x ( f lim 1 M 3 1 x→

+ = é:

a) 9 / 1 log 2 b) 3 / 1 log 2 c) 3 log 2

d) 6 log 2 e) 8 log 2


64 Matemática M3

5) (PUC-MG) Se 2 x 2 bx x lim

2

0 x =

− →

, o valor de b é:

a) –4 b) –2 c) 0 d) 2 e) 4

6) (PUC-MG) O valor do

−

− − → 2 x

1 8 x

12 lim 3 2 x

é:

a) –1 c) 0 e) 1 b) –1/2 d) 1/2

7) (PUC-MG) O valor do

−

+

+ − →

3 1 x 1 x lim

3 1 x é igual a:

a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

8) (UFU-MG) A função 1 x 1 x ) x ( f

3

2

−

− = não está

definida para x = 1. Para que a função f seja contínua no ponto x = 1, devemos completá-la com f(1) =:

a) -∞ b) 2/3 c) 1/3 d) +∞ e) 0

1) (PUC-MG) Sendo x 1 2 ) x ( f − = , o valor da derivada de f no ponto (-3,4) é:

a) –3,0 b) –1,5 c) –0,5 d) 2.5 e) 4,0

2) (PUC-MG) A derivada da função

2 x 6 2 x

3 x ) x ( f

2 3

+ − − = é negativa para x

pertencente ao intervalo:

a) ] –4,6 [ c) ] -2,3 [ e) ] 3, ¥[ b) [ -1,2 [ d) ] - ¥,-2 [

3) (PUC-MG) O coeficiente angular da tangente ao gráfico da curva y = x 3 + mx 2 +3x - 1 no ponto de

DERIVADA abscissa x = 2, é igual a 7. O valor de m é:

a) –3 b) –2 c) –1 d) 2 e) 3

4) (PUC-MG) Se ( ) 3 x 2 3 ) x ( f − = , então f’(1) é igual a:

a) –1 b) –3 c) –6 d) 3 e) 1

5) (MACK-SP) Se x 2 x ) x ( f −

= , então f’(x) é igual a:

a) 1 c) x - 2 e) 2 x 2 1−

b) 2 x 2

d) x 1

MATEMÁTICA I

Trigonometria

1) c 2) a 3) b 4) a 5) c 6) d 7) c 8) d 9) d 10) c 11) b 12) d 13) d 14) b 15) b 16) a 17) c 18) b 19) b 20) a 21) d 22) d 23) c 24) c 25) d

Números Complexos

1) c 2) a 3) a 4) d 5) e 6) e 7) d 8) a 9) c 10) c

Equações Algébricas

1) c 2) b 3) c 4) e 5) d 6) c 7) d

MATEMÁTICA II

Estudo da Reta 1) a 2) a 3) b 4) a 5) d 6) b 7) c 8) e 9) b 10) a 11) a 12) a 13) c 14) d 15) c

Estudo da Circunferência 1) b 2) d 3) c 4) a 5) c 6) c 7) c 8) a 9) d 10) a

Limite 1) d 2) c 3) b 4) c 5) a 6) b 7) b 8) b

Derivada 1) c 2) c 3) b 4) c 5) b

Education

Matemática - Módulo 03