1. 0 conjuntodosnmerosnaturais:N ............. 0 conjuntodosnmerosinleiros:2............... 0 conjuntodosnrnerosacionais:O............ 0 conjuntodosnneosirrcionas:|............ 0 conjuntodosnmerosreis:lR................... funodefindapornaisdeumasenlena... Z4 bac0s..................,,...,-.................................../5 14dLlodeLmnLmero................... .. r6 fr ro mooLld /8 TLroco-pol" /8 Funescompostascorna nodula..............79 tqra e'modL"r-s.. ...... .... .. I Inequaesm0duares....................................82 Po1nciadeexpoententura..........................86 Polnciadeexpoenleinleironegatvo...........87 Raizn-sima(ensirn)aitm1c................88 Polnca deexpoenleracional........................90 Funoexponencja1.........................................90 $4;!1$ri:r,i siiiiii i:ji,rr,rL,i, : 0unlca. . 94 Equaesexponenciais............................95 Inequaesexp0nencais................................98 :)-."" 10gari1mos............................"........................103 Sjslemsde ogai1mos....................................104 Propriedadesopertris. . 106 Matmtic outrascincies:0unic..108 [4udnadebase..............................................109 Cssiicodasflrnes 110 Funoinvesa..-...............................................112 Funologatmica........... .. . ... .. ......115 Mtemticae outrascincis:Geologia....120 Equacesexponencis...................................121 Equeslogar1mcas.....................................t2? nequaesexp0nenc1ais................................124 nequeslogatrnics..................................125 Mtmticae outrscincisFisica.......126 9 10 11 13 14 18 2A 22 23 ?6 27 30 38 38 4L 4? 44 45 t Deini0...........................................................54 Grfico...................................................... 55 ZeroseFauc"odo20gr................... 56 Ioordenadasdovrticedaprboa ..............59 lmgen............. 6l ConsvLrodparb01a...................................62 Si'al...............-...-...-................................. 6, Inequaes..........-.............................................65 4atemticse oiitrsein;s:Economia....69 Funodefindapornaisdeumasenlena

2. Seqnciasnurircas.... Progressesaritrntics. Pogressesgeomtrcas Sre geofitricconvergente....-........-......,.,.. Semelhana...-...-.............. Tringulossemelhantes.. Casosdesemehanadetfingulos..-............ Relaesmticasnotringuloretngulo..... Matemtice outrascincis: ASrcn0mr4......................,. Angulossuplementaes... Leidossenosouteoremadossenos........-.... Leldoscossenosouteoremdoscossenos... Tbelde rezestrigonomtrice9............ Senodeumnguo (oudeumarco)..........-...220 Cossrooelf ngulooudeLmd .o ....../24 Reesentfesenose c0ssen0s.,,,...,,...,......227 ldngen'edeL.n1guo oLdeumrcol.. ...228 0ulrasrzestrigonom1ricsna crcLnternrd...,.,,.........................,. 2'lt Relaesfundarnentais......................-............236 Rdesoeco-erre........................ ........218 A"dem.svoLrsrociclolrigoromr1o......24: Funesperidicas...........................................244 Funescircuares...........................................244 Frmulsdeadioe subtrao.-...................258 FrmLrlasdemultipllcao-.-.'.........-.........261 Frmulasdetransormaoemproduto...-...263 132 133 139 151 158 162 165 174 t?7 174 t7? 180 t Razestrigonom1ricas...................................185 Reloundamental.. ..............-..................188 0utrrazotrigonomtric4..............................189 Relaoundamental1 ....................................190 ngulosovei5...................................i9' 269 276 2?? 199 199 202 208 209 214 247 288 289 289 292 293 293 294 298 2S9 Representaode!ma matriz..,....-........-.,.,.., [4atrizesespeciais........... lguedededematrizes...,, Adioe subtrao.......... N4atriztransposl,...,,....,.. latizsimtrica l.4atrizanti-simtic........................................ Mullipicaodematrizes Iilatfizldentidade.............. I4atrizinvers,..,............... ArcosenBUlos................ 0 ciclogonomtrico...... 3. Deinioe regras.........-....-..............................303 Coat0r.,..,.........-.....................,....,...,,..,,..,,,.,,,,...305 eoremdeLaplace.-.......,...,,...,...,,...,,.,,,..,,,.,..305 Pfopieddesdosdeterrinntes...................302 Princrpo u ,od-e'tadaconrge-PTC).. 1,0 fdlo-iadeLm'Je-orurl.,..,,.,,,,.,,.J/5 AgJpmenlos.................................... . J16 Permutaes-...................................-...-......... Corb'aoes..............................................380 Permutaescomlementosrepetidos...-....384 Equaoliner............-..... SouodeLrmaequaoline...................... Sistemaiinef................... Sistemasesclonados,..., Sisternasequivelentese esclonamento...... Sistemashomogneos.... RegradeCra'ner......-........ DiscussodeLtmsistema Areedoretnguo............. Areadoqudrdo............. readoparaeogramo..... readotringulo.-............ eadotrapzio..-............ readolosango..........-..... redopolgonoregua . readocrculoe desuaspartes........-............ Areasdeiguressemelhn1es,.,.,................-... Metemtica outrscincias:Naturez. Noesprimilivase p0stu1ad0s...................... Determinoderetase p anos........-...''..-'' Posesreltivs.-.......-... Perpendiculaidade......-.... Projeesotogonaissobeumplno............ Distnciasgeorntrics.. 4n9ut0s..........._.......,,..,-.,- Experimentoaletrio...-.. Espaomoslr1............... Even10....,...,,..,,,.................. Pfobabilidadesemespaosemostris eqipr0vveis..........................._...._............394 Mtemtic outrescincies:Loreis...399 Probebiidadedauniodedoseventos.........400 ProbbiLiddec0nd1ci0ne1................................401 Probablidadededoiseventossirnultneos (ot sL essivos)................ . . 403 Experimeno(braomri5 .................................405 Mtenticae outras cincie9:Loterias...407 Coeicientesbinomiis.....................................413 1gLlodeosc14dgla .. .. .. .. ......... 414 Somatrio....................................................... Desenvovinentode(a+ b)'...........................4I? Terro geraldoolromio... . . a?0 0spoliedos.....................................................- RelodeEue................................................424 PoiedrosdePat0...........................................426 Poliedrosregulres...........................................427 Matmticae outrscincies:Filosofia.. 428 315 315 316 318 320 325 326 329 335 33s 336 338 342 342 343 344 347 348 391 391 392 355 355 358 363 365 366 4. mffiWffi, :lii.-,-{r,,iiirir',,',, Concelto...........-..................................................430 Elementos.,,...,,.....-.......-..........,.,..,,,..,,...,,....,....430 Cassifica0.........-.:.-....................................-...431 reas..................-....-...................................-....-..433 Volume..-..................-..............................-...........435 Conceito..............................................................442 emenlos..........................................................442 Classicaoe nmeodeaces.........l|........442 Prmideregular..........-..............................-....-.443 reas ......-...........................-....-...-.......................444 VoLIme:y............................................................444 Tetraedroregula.......-..............,.,.,,,..,,...,,...,,....446 roncodepimide...................................-.......449 ffiffiffi'ffi{i'i,lliiri.ili1l,,r'r,r''" 0 pnocar1esian0..................................-.........484 Distnciaentredoispontos..-..........................485 Pontomdiodeumsegmento........................487 Condiodealinhementodetrspontos......488 Aequogerldaeta....................................493 AeqLoeduTioo-eta.............:............495 qetasqLeps conjuntodosnmerosnaturaisnonulos: N*={r,2,3,a,...,n,...}ou N*=N-{0} conjuntodosnmerosnaturaispares: Np={0,2,4,5,8,...,2n,...},emquen N conjuntodosnmerosnaturismpares: Nr={1,3,5,Z9,...,2n+ 1,...},emquen N conjuntodosnmerosnatursprimos: N = {0,1,2,3,4,5,...} ,_/,. r __- ,-'' '/ |------- + 112345 P=12,3,5,Z1,1,13,...) dentesaosnmeros2, dadedemedida: OperaesemN Noconj!ntodosnmerosnaturaissodefinidas duasoperes:aadioeamLrltiplica0.0usquer quesjamosnatuiso e b,suasoma + b e se! produtoa bsonmefosnaturais. Jo mesmonoocorrecomesubtrao.EmN spossvelrealizarsubtraoa bquandoa> b. Assim,porexemplo,opera7- 3 resultaemum numerontu',,msroexister umeronaturlvtal quex = 3- Z Paquesejasemprepossvelrelizar subtres, necessriompliaro conjunoN, for' mandoo conjuntodosnmerosnteiros. ! 7. Dizemos,portanto,queomdulo(ouvlorabso- luto)de3 3 (distnciaenrre3 e 0) e indicamos 3i=3. Pelmesmareflex0,temosqueo mdulo (ouvalorabsoluto)de 3 3 (distncientre-3 e0)eindicamos-3 |= 3. PararepresentargometricmnteoconjuntoZ Deul modogeral,chmamosmdulo,ouvalor naTetnumerad,vmosutilizoselementosdeN, absoluto,deumnmerointeiroxdistncjaentrea crscentandoospontoscorrespondentes sus origemeopontoqLJerepTesento nmerox, 0p0st0s. ilconjuntodosnmeros interos:Z Esseconjunto formadoportodososelemen- losdeN eseusopostos(ousimicos). Assim,vejamos: z =...,-4,3,-2,-r,0,!,2,3,4,...1 Nomos,portr'to,que um subconjunro deZ: NCZ z=1.., 4,_3,-2,1,A,1,2,3,4,...1 ,,/r/,2/ / l'.//,/,///// + 4 -:3 1-1 0 1 2 3 4 0coniuntodos.mrosnteirostarbempossui lgunssubconjuntosnotveis: > conjurtodosnirrerosintiroqnaonulos: z* =1...,4,_3,_?,1,1,2,3,4,...)ou z*=z_{o} > conjuntodosnmerosinteirosnonegativos: z_=10,1,2,3,4,... Zn o prprioconjuntodosnmerosnaturaisl z.=N > conjuntodosnmerosinteirospositivos: z={r,2,3,4,...} > conjuntodosnmerosinteirosnopositivos: z_={_,_s,4,_3,_2,1,0 > conjuntodosnumeosinteirosnegativos: Za={...,s,-4,-3,z,-r} Mdulodeumnmerointeiro vamostomarcomoexemploo nmero3 e seu oposto-3. !-------.7-------vJ 3 unidades 3 unidads 0bservamosqueadistnciaentre3e03uni- dades. Poroutrolado,adstnc'eentre-3e0tambem 3 unidades. exerciosM@ t. Determine A B e U B, sendo A= {xe N lx< 7l eB= ix N I I amufirprcao:;q=;a NoconjuntoQ* definidaaoperaodedivisol p.r_P.s_ps o-. o |. qr . p r _^ | ^prquarsque -, < lL!com< - u. Nmerosracionaisnaforma decimaI 0seementosdeQ presentam-senormalmen- 11 ) rEte como"aces1f,, ,g . . etc.l:.nashoura formadefepresentarosnmerosconis,chama- dformadecim1. 3 27 ^ I1 -^-"veemosslracoes ; . ; e ;. rep'Pse-te- dasneformadeciml: 1 27 . '',. -ll= o.zzs4U Nmeroscomoesses,quecontmnarepresen- teodecimalmissimplesumnmerofinkodeal- garismos,sochamadosdecimeisexatos. .1 Parapassa',oorexemplo,a i'aco I paraafor-'4 medecimal,bastadlvidiro numerador3 pelodno- minador4: , a=[+pz,qezes+of 0useja, r {-r= t0,11,1 +r rl +--' - 2',- 30 20 0 lt 0,75 0peraesemGI NoconjuntoQ sodefr^dastresopercos: ,. - P r PS+rq - p r Ds-Tq Podemosconvertero froprocedendossim: decimexao0,75em -tnn4 1l 9. Agumasvezes,noentanto,aodividirmoso nu- meradorpelodenominadordeumfra0,noobte- mosrestozeToemnenhumetepdadivis0.Nes- sescasos,oquocienteddivisopresentumare- petioinflnitadealgarismospse vrgula.Esse tipodequocientechamadodzmaperidica. Afo mdec'rldt Lao11. poreenpro,e,6 umadzimaperidic.Vejamos: t IT 50 2A 20 20 2 1,8333... - riononb(eptlirr'o) Notamosqueoalgafismo3serepeteindefinida- 11 Tenr.Por!.0,+ 1,83?3...- ,83,quee una dzimaperidic,nqLtao algarismo3 chmdo Pefiodo,que representadopor3. Vejamosesteoutroexempodedzimaperidica: 82 15 a2 7A 100 100 100 10 _82 perodo;6 Emcadacaso,efroquedorigemdzim charnadafraogetriz. Inversamente,a partirdeumadzimaperidica, possvelcalcularasuegeratriz-Vamosverifcaros exemp0sasegurt x=3,225.10x=32.25(Ae 1000x- 327s.7so Aoeieuemos6)-(2. teremos, 1000x-10x=3275,75-32,75 990x= 3243 = 5,4666...= 5,46 12A,? oon Asslm,i#e a 3,275. il exerclctCIsrc 4, Quaisdasproposioes ")+a b)+ 1e{) 5. Escrcvanaformadecimalcadaumadasraoes: "): d)+ . 375 -' 200 abaixosoverdadeiras? d) 0,333... Q r,tz o+ L')+ -,7 .' 30 50|@ 5,4666... f]x = ?,???... 'J.l: 10. 6 . Encontreafraogeratrizdecdadzimapen- .t1l .L" at-1 | 41 4 - 41 4 Peloexpostonotamosqueomdulodeumn' meroqLralquersemprepositivoounulo. .D u Dadoum 1-merocioralr, cor r r 0. o cn"ne-9eInves0dele0nume0 p . co0 0bserv- mospetosexemptos. , . 0 inversode 11 . i4. u Inverso0e-; e-,{. ^, _ I . u Invesode5e:. 5 Lpos-ivelver'icarqueop'ooutode- nunero oelosu_versoserpreigudld 1.VejTos: * *e*junrtr:dm*s:n"'r*r*s lfei$!'i5:ll Vimosqueeliste' infrrros,ume'o5cio nais,quepodemserescrtosnformaderaes comn!meradore denominadorinteiros.Aoserre- prsentdonaformadecirnal,umnmeroracionl podeseru dec'mlei(too- ura dizimperid- Existem,enletanto,nmeroscujarepresent- odecimlinfinita,masnoperldica Vejarnosagunsxemplos: . 0 nmero0,123456...(emqueascasasdecimais soos nmerosnaturesIustepostos)no dzimaperidca,poisosnnitosagrismosdi' reitadavirgulnoserepetemperiodicamente. . 0snmeros=1,4f+213S...,lE=l,ZSZOSOe..., e= 2,7782818...eE=3,141592...nosodzimas peridicas. Desgalorm,um nmerocLja-ep'eseraco decmalinnitano peridica chmadonmero iconl.lndicemosoconjuntodosnmerosircio- naisporL 13 dica: a) 0,- .) l,S b) 2,666... d) 7,2 e) 1,324 f) s,r245 -DlL Se o - , ' | .endopeqnumero'inieiro - 7ni positivosprimosentresi,cacuep + q. 8. Apresentena forma decimao resutadode / - i 4.13,2+0,2-J. 9. Determinena forma de fraoo resutadode 1,3:2,5. 0posto,mduloeinversode umnmeroracional Ddoonumerorecional! ,chara-seopostooee q onmero !. q Vejamososexemplosaseg!r: .0ooostode l . '11 rt .ooDostode Ie1. '44 Umnmerorecioneleseuopostopodemserre- presentadosporpontosdaretaqueesto mesm distnciado0,comomostraoexernplobaixo. r0 Dadoo nmeforaconlg.seumdulo dis- .q tncdo pontoqueo representto ponto0. Indica-se,lll. tql Exempliicndo,temos: .lLl=/ "l tl=( 111| 11 - | 111 11 I #='(+)(+)='' =' _11 11. **r'r;r,.*nt*Smsn*;fier*s ,ilS:lK Esseconjuntoformadoplosnmerosracronrs epelosnmerosrrecionaiserepresentdoporlR. assm,lemos: R=Qu0 Poroutrolado,seumnmerofeal rcional,ele noirraciona; eseumnmerorealirrcional,ele noraciona.Assirn: QN[=O R Jvimosque C / c @.Er co^0} conluntodosnmerosreaispositivos: R={xRlx>0} conluntodosnmerosreisnopositivosl l{ =(xe R x ..2023 c) C: --'""" - rt. toenlrEquecaoaum oo0 9. (U.E.Londdna-PR)seja(n) unafunodenida paratodo '1 iteiro talque: If(2)=2 [ (P+ q) = f(P) f(q) emquep e4 sointeiros.o valordef(0): ) f(2)< s(2) a) -l b)0 610 I E c)l e)2 d) tr 1498 10. {ur PtlNungo*ouairoesrorepresentdosossr fico,dr. lncoreJi'.derdridel,cJ. /e s. DecorrentedanLisedfigura,corretoafirmarque: a) f(x) s() > 0paratodo2 < x < 4. b) f(x) > s(x)paratodox < 3. c) f(x).g(x)< 0prtodox>3. d) f(r) +g(x)< 0paratodox 3. 11. tMact""zl" sP) considereassentenasa scsur, relaivas tunoy = f(x), .lefiDidno inrevio f . ttl | , ;;"*r.*."", tiF,ren'/er rgurd Nasltjma: ciflcaOlnqa.las, esseaumento ocorreu devido ao crescinento da participao de: d h.mer, e nJ ,e-e..ndme.rJ o-nporcjo. b) homens,pois de mulheresvem dininindo a cadaOLimpada. c) honens, pois a de muheespraticamenteno seaterou. dl muh.es, po a de honens vem dimnuindo a cndaOlinpada. e) mulhees,posa de homenspraticamenteno 13 . 1r,ru.*"';.-sr1 s"* neoseaisaesorarsque J tun.J",, =-: ^.1- re doTn:oR .te f (l) = -2, eDtaoa. b igula: --r-. lrmens -^- muhs 5 4 -t + o)+ .)i r9601964196819721973193019341933i9921996 2000 34 32. 14. ([nem MEC)os srficosaseguinostram, em mi thes de reais,o total do vao dsvendsque uma empresarealzouem cacams,nos anosde 2004e 2005, respectivanente. quandopedoninvaapopaomra,as u- lheresthhan em mdiatrslezesmenoslhos a dimuio relatmda populaoural coin- cide con o aumento do nmero de filhos por b) c) Como mostrao prjneiro grfico,duranteo aDode 2004,houve,em cadams,crescimentodasvends cn rcldroJorc.rn eno. Adireoriadevet ro-e .r.po en. cor'ideounurolenloo riro de. re i entonqeeano.Po isso,estabeeceuconrometa mensp.ra o ano de2005o crescimento dasvendas em rtno maisaceleradoqueo de2004.PelaanLise do segundogrfico,concui-sequea metapaa200s foi athgida en1: a) janeno,fevereioe outubro. b) fveriro,n1arocjunho. c) mo,maroengosio. d) bril, ngostoenovembro. e) jdho, setenbroe dezembro. 15. (Encn1-MEC)Ao ongo do sculoxx, ascara.te ticas dapopuaobrsieiamudaran muito.Os gcostnostram as alteresn distibuio da populaodcidadeedo campoenat.(adefecun didade(nmero de fihospo muhef) no perodo etre 940 c 2000. J FMAMJ J ASOND J FMAMJ J SOND 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 d) quntomaisaumentao nmerodepessoasmo rndo em cidades,maior passaa sera taa de l'. und drde. e) com intensificaaodo processode urbaniza o,o nmerode fihospor muheriendea ser lb. L'c n VFC) cpo.r iseliode 'ehid.'r c"^1.J.. o metabolismo do cool e sua presenano sy'ngre dependemdefatorescono pesocorpor1,codies e tempo apsa 'ngeo. O gr1comostra vriao d concentao de l- coono sdrsuede individuosde mesno pesoque bebenm trslatasde cer.ejacadaum, en dierees condies:elnjejum eapso jantar. Et 160 5o E 4s t 0,s 0,8 0,7 0,6 4,2 ! 100 60 40 123456 lempoapsngsto(h) Fonre:Fsqusfrpesp n.5/, ser.z!ou. Tendoen vist queaconcentraolirima delcoo no sanguepermitida pelalgislaobasileiapa motoistas 0,6g/1,o indiduo quebebeuapso :,-r"I e ^ ouel,ebeuem,erJn taNetuo li,ig, apa,. ) umahoa c un1rhora c meia,respectvamnte. b) trshorasemeiahora,respectivamente. . trp,horr equ,toho .. emero.re pe,rnr .F-re. d) seishorase trshoras,respectivamnte. e) seishoras,gualmente. (Enen MEC) O excessode pesopodeprejudi.ar o desempenhode um ideta proflssionalenr corridas de longa distnciacomo a maraona(42,2km), a meia maratona(2,1 km) ou uma prorlade 10kn. Parasaberuma aprorimaodo jntervalodetempo a maisperdido paracompetarunracorridadeyido o ecessode peso, muiros tetasutilizam os dados apresentadosnn tbcaeno grfico a seguir. Comparandoseosdadosdosgficos,podescon ) o aun1et1toreltivo d popuio ura acom panhadopelarecluo.ltaxde fecundidde. Populourbanae ruralno Blasil(%) rLrbana rural axa d fecundidadeno Brasi 1940 1950 1960 1970 1940 1990 2000 r5 L7. 33. (rodeowimre Bnke) r33 067 432 r pesoctma do dal(ks) Usndoessasinormacs,um atlcta de ossatu grnde,pesando63 kg c co turaigual 1,59m, quetenhacorrido uma mcia-mtona,pode esti n que,em condiesdc pcsoideI,teri. melho rado seuiempo na provacm: a) 0,32mirrro b) 0,67minuto c) 1,60minLrto d) 2,68mhutos e) 1,35mi11tos 18. tPtC RrAfuDcoiirr= !- l, 2+' 6 aJ sempreposiriv. b) podeassumnquaquervalo.reI. c) po 0). ' Afunodo19grauf(x)- ax r b decres- centequandoo coficientdex negetivo L :r,11,rr;:2r':1 25 : i3,'r,;ts:r,, { d) v=+* .2xl 3. seja/ uma fnao f(x) = ar 3.Se-2 vaordef(3)? rea definida pela lei raiz da tuno,qual o 4, sejar aretarepresenttivado grfico dafuno y = 2x- 2 eA e B ospontosemqueIintercepta o co. e/. rep0,oLtsej,se m>2. Vamosestudarosinaldafunog= 2x 1 Essaunopolinomlado19graLtapresenta a-2 'Oe t/ ^- I Aruncooec.escenee a I' retacortoeixo0xnooonroL I zL ',Yto ,rlrlirl:1.iiiiii q>o = ">4 Vmosestudarosinaldefunog=-2x + 5 Essaunodo199uapresentaa= 2 { 0 erizx=:. Afunodecrescenteefetacort ^5o ex0 ux no p0n0 . I ='.+ s1$i,j,.: i i i,.' itfl#.ffitr I r.r..rIq.e.r.r.rL,rLld.lt r..,i...9| rl.,.tn crescenrcou oecresce!: i),=3x-2 bl ,v= +.i -r ..- 5 2r e) v=(r+3)r (x+ )r l'.r . que"lnr'. r.ri. l, ,,,.r rj.,r^Jct'nid ' a) l(l =lL 2 crcscete? b) g(x) = (m + 3)x + I decresceDre? cl h(x)=( m L 2)x crescente? : ;.1!drosinldeumafunoqualquerg= f(x) .Jeterminarosvaloresdexpraosquaisg positi- !,0.oLrgzero,oug negativo. !, 2 -.+ ",+ .i.: 42. 1::i,1,:l-l::(1.,,=i#mffi,:".'ii'li'i,"ii":ii"tl:,ffiffi* Em cadacaso,estudeo sin1da funocpre- scntadto grfico: de cadautra ds lnes se- Vamosresolver inequo: 4(x+1) 5< 2(x+3) Essa LIminequaodo19guquepode .er re.olvidaqen o e 1 0bservemosque,aodividirambososmem bosporumnmeronegativo,devemosinverter osentidodadesiguldade. vamosresorver!z_lzx+.J< x+ 5 2x+30,devemosplicarostudo dosinaldaunoafim. FaamoSgt = 4 3xeestudemososinlde . 4- -9. lernosA=J 0 eraizx=. Ento: z .-. .:i:., ,e.dif..."a entreo dobro de um nmeo e sua neiade menor que 6. Quais os inteiros posit1'osque sosoucsdesseprobema? .i,:i, Como p.esented. aniversrio,Maurqo rece beu RS 190,00de sua v. A partir do ms seguinte,ele passoLLa etira! mensamente, R( .28.00d. Ine,ada.tLerecehediscu, p. i.. r fim defornur um p de-meia. a) Conroseexpressao valor (r) queMauricro terguardadopassadosr |esesd datxde scuani1.rsrio? b) Qulo tempomtuimo necessrioparaquc ovaloracumuadopor elcsupereR$500,00? ;..lr Em uma cidade,h:tduasempresasde taxr:a c B.A empresa cobraR$j4,00pelabandejradae utt adicionalde65 centar-ospor km rodado;a empesaB corraR$ 3,20a bandeiradae um dicionade 70centavospor kr rodado. .) Qual opomaiseconmcaparaquem fizeruntaviagemd6 km?E 30km? b q p. t. deqr.'r'ro. 0?". ResDos:1 0 d) e) i-*+*-x> 1 d) 3x ,, x+10eraizx=+ I 3 2 Vamostesolvere inequoquocente negativo,dependendodovalordex),nosbe- remosseosinaldadesigualdadedeverserman- !roooLinverr:do.Poisso.Jili7'eososegun te procedimento: tl n 1+2x Egoraplicamo.a me-maIec^cdv la exemplo12. a) -Il!= 0 b)++-l 2x 1 , 4r+l - ^D) -< -l c) - ; r, A pa do gifco seguinteresovaas ine- quaoes. a) f(x) g(x)> 0 ul -!9f R(x)(x < a00)- L(x) < 0 * prejulzo; . regioII: C(x)< R(x)(x > 400)-* L(x)> 0 * lucro. Imaginermmsemquesejarnprotuzidosevendidos00brigadeiros: . o custototamensaemreaisC = 360+ 0,3 600= 540; . areceitamensalobtidaemreaisR = 1,2 600= 720; . o luqo mensalcorrespondenteemreais720- 540= 180 (oul= 0,9.600-360= 540 360= 180). Por outro lado,seem um determi1adomsa doaraopeacom um prejuzode R$90,00,podemosdeiermiara quantidadede brigade;roscomerciizadosda seguinte ComoL(x)= 0,9x 360,fzemos: -90 = 0,9x- 360+ 0,9x= 270+ x = 300 Foramcomerciaizados300brigadeiros. 1. ) 0,15 c) 30,27 bl 20,12 d) 3i,40 #ilffiR*ffi*{iffide vestibularesffim (U|-ES)O bancoMltreta& Cambaachocobruma tarfaparmdlutenodeconta(TMC)da seguinte form: ua txade R$ 10,00mensaise masuma taxadeR$0,s por cliequeemitido.O bancoDakah Tor Mlah .ob .le TMC uDrataxad R$ 20,00 mer'J..en.i. r'J JddeRr 0.l2po rh.q ". ri tido. O s.Z Doular correnstrdosdoisbancos emite,menslmente,20chequcsdecadabanco. A somadasTMCS,enreais,pigasmcnstlncntepo i:,;.1 e) s0,27 48. , t nrcdp-Pl q tunJodefinidano conjunlodo reai.representdapelografco nafigurdabdixo.e: b) Y=t'+x+ I c) y=3x d) Y=x+ z e) v =2x+2 3 . (puc ttlc) pu.u," to'nar rentvel,umagrarja deve enarparo bter. frangospor dia,demodoqe sejstisfeitadesiguadadel,5x + 80< 2,5x- 20. Nessscondioes,pode-seafirmaqueomenoralor 7. (UE PA)NasfeirasdeartesanatodeBelmdoPar, e.omum.nopenodonaraLro.a ren dearvo-e. de natafetscom raiz de ptchoui.Um arteso paraen-e,oleuincremoLar'uap"oduaoirres- tindo R$300,00naconpr dematri-prmapara coneccionlasaopreodecustodeR$10,00uni- dade.Comaintenodercndercadarore aopre- o de R$ 25,00,quantasdevervendepaa obte ) Maisde8 emenosde12tuvores. b) Maisde12emenosde15vores.. c) Maisdels emenosd18rvores. d) Maisde18ernenosde20rvoes. e) Msde20lores. V. ' vune.p-SPrCarlo'abalhacomodnr iortevrDI ' e cobrama taxafixa deR$ 100,00,nais R$20,00 por hora,paraanimarumafesta.Daniel,namesm tuno,cobrum taxafixa de R$ 55,00,mais R$35,00porhora.Otempomximodeduraiode umafesta,paaquea contataodeDanielnofi quemaiscaraqueadeCaros,: b) s horas 9. (udfo-CE)A soma t c) 300 d) 400 4. {tp-SP,tm Iqcq.umdjndu.srfab'cou4000unj- dadesdeum determinadopoduto.A cadaano,po- Im,resentaduzentasecinqentaunidadssua poduo.Seesseritmo deGescimentofor manhdo, aproduaodaindt ranum anorqudlquer5eri: d) 4000 2sot e) 4000t+ 250 5.{ruc-nD} a"o- "ii-*. *'""a* "} eq',r " $ a"r* -*-. ",r-er". r"ailre a opoqueapre- sentaessenmero. Il -- ^ -xque.rri5fzemd 'enlenlr " u '-)t ,r-r : a) 100 b) 200 a) 2s0t b) 4000t c) 4000+ 250t d) 3horas detodososnmerosirteiros a). 0 b)r '33 o o'+ ")+ ) 13 b) 12 c) rr ) R$120,00 b) R$107,00 c) R$98,00 12anos l7 anos 20anos d) 10 e.) e d) 25 aos e) 30 aos b.(UF-AM)Atuno/.definiddporfxr'-J.,,,. estrpresentadaabao: LU. Unirio-Rl)o. comercidnte'do GrupoCoposuco compramcadaganaade600ml desucopoto ao preodeR$1,20erevendemseuquidousadoco- posde290mLcobrandoR$1100cadacopodesuco. Sabendoque,em um certodia,elesvendeim100 garafasdescoprontoequesomenteforamvend- doscoposcompletamentecheios,acueoucodos comeciantesnessedia. d) R$9o,oo e) R$86,00 II. lbme.-RJ)Pduioelo;o.loinro{:ornplodr idde deIoaoigualaoquntuplodaidadedePauo.sabe seque,h 10anos,a somadaidadedeloo como dobroddePauoeraigrala14anos.Daqus:os, o maisvelhodosdoisirmoster: ) I {/-r Ento,o elor de+: (ul a) -l c)I b)0 JI 49. r1 12. ,UF AN4' O dom,no d" tun.,oi , /j eo v75, (ucls-N,s)o grficoasesuirapesentaapodu- o de cmjsetas de um mi.roempesa, em milh- esdeunidades,de 1992at2003. 2003 Portanto,podemosafirmarqueaproduode1997 oi de: al 60000 b) 45000 c) 30000 d) rs0oo e) 10000 I. 'U. F. Londri-d PRI t m cdmpon'ddcu,-e -m moinho aopeo deR$860,00.Com opssardo tm po, ocorre um depreciatroLinearno preo desse equipamento.Consideeqe,em 6 anos,opreodo moinho sede R$ 500,00.Com basenessasinfor- maes,coreto afirmar: a) Em trs mos, o moio vaersOo/odo preo de bl Em noveanos,o preodo noinho serum ml tipo de nove. . t ne.F.rio un Inerine tn mdior que R$450,00paacomparesseequipamentoaps d) Seorecessriosl0 anosparaqueo valordesse equipamento sejnerior a R$ 200,00. e) o noinho ter valo de venda ainda que rena decorrido13nos. I. /Ut--4Ct m e.JdJLepiJreioutalerumdvidgem de frias e reservou uma certa quantia em dineiro para o pasamertodedrias.Eletem duasopesde hospedagern:aPousd,comdi,riadeR$25,00,e a PousadaB,com dia de R$ 30,00.Seescolhera Pousda]1emvezdaPousadaB,elepoderficarrrs dias maisdefris. Nessecaso,coeto alrmar que,para o pgamenio dedirias,esseestudantereservo: a) R$100,00 b) R$600,00 c) R$350,00 d) R$450,00 19, (ur er) o "u"to-""sa tot1dfabricaodeum certopoduto igu somade um valor fixo de R$700,00como cstodeproduodeR$0,60por unidadefabcadano ms.Cadaunidadevendda porR$1,00. Ded ordo,o J. inrormrde'dddr,aoatirc(fi- matvasabaixo. a) Ocustodeproduodelso unidadsR$90,00. b) EInl]m msenquefoamfabicadas200unida- des,o custototalmensalfoideR$820,00. a) l-, 7l c) t ,7l b) t-,7l d) ls,+-t e) l-1,+-t 13. (Enen1-MEC)Leiaestecassificado: t Na seleoparasvgasdesseanncio,feitapo teeono coreioeletrnico,propunha-seos cndidatosuma questoa seesovdana hora. D*eriam cacuaseusariono primeiroms,s vendessems00m deiecidocomargurade,40m, e no segundoms,sevendessemo dobo.form bn{ucedidos osjovensqueresponderdn,respec a) R$300,00eRSs00,00. b) R$550,00eR$8s0,00. c) R$6s0,00e R$I 000,00. d) R$s0,00eR$1300,00. e) R$9s0,00eR$ 900,00. I+. U.t. ondrird-PRO gerenredeumddgnciddc turismo promovepasseiosdebote pala desceca choeiras.Elepercebeuquequandoo preopedido paraessepasseioeR$2s,00,o nmeromdode psageirosporsenanaerades00.Quandoo peo ereduzidoparaR$20,00,o nneromdiodere guesesporsemanasofriaumacscimode100pas- saseos.Consdeandoqueessadenandasejainear, seo preofor reduzidoparaR$ 18,00,o nmeo mdiodepassaseirossperadoporsemaser: a) 360 d) 700 b) s40 e) 1360 c) 640 15. pt c-rp8 ho"i,ae(errodid.umr que.cJja capacidde de2000litros,estavacheiodegua; entetDto,um turo oabasedessetanquefez con quea guapo eeescoasseaumamzaoconstante. Ses14horasdessemesmodiao tanqueestvcom Jpero( 760 ilro'.enldoa igur en sr in e-iore reduziunetader: ) 21horasdomesmodia. b) 23horasdomesmodia. c) 4horasdo disesuinte. d) 8horsdo diaseguint. e) t horasdodiasegunte. 5 50. cl O grficoda tuno reais,em funodo custo mensatotal, em nnero r de unidades d) mu1nlsen qeforanfabdcadar2000uni dade's,o ucrofoideR$I s0'00. e) Emrumt paanoharPeiuzo,de'emser veDdidas,nomnimo,I 7s0unidades 20. (lvhckenzleSP)Nfiga,temososesboosdossr ficosdsfunes/e g. 21. (ESPM-SP)Docentodeumacidadeato aeropor to so40 kn po uma grandeve]1 a.Os tas qle saemdo aeropoocobramR$ 3,60peabandeinda e R$ 0,80 por quilmeiro rodado os que saen do ceno cobram l$ 2,00pelabandeirdae RS0,60 po qimetrorodado.Doisamigosseencontrtm 1umresturantequefic nessaavenida,sendoque umtomou o ti quesaido aeroportoe o outro to- mou o qucpartedo centroe,pafasuryresxdosdois' os scusgastosforan exatanentiguais.r distcir do rcurn1teaoaeroPortode: al 0(m c) 4on e) r8m b) 12km d) 6kfl 2 2 . (U.r.kos-Mc) sej, c3 ospontosdeie- seodosgrlcosdasfunesfG) = a + 2 e g(x) = ;x+ 2 como eixodos4especti',menie. Sbendo-sequeC o pontodeinterseodessesg- cos,a redo tringuloABC iguaa: ser(x)= {,ovalor aeae: ")++ u)+ ")+b)2 t ) I I a) 4 b) 12 c) 10 d) 16 e) r8 1. Duranteasfrias,umalocadoradeautomveis1aDopasegunteprohoopataadiiadoaiuguedeun cao:"Paradistnciasdeatr20km cobadaumaiaa fixaenaisp espor quilmetroodado'Qua quequimetroercedentete descoode20%sobrePi sabe"oquedoiscl;entesrodramemum dia,resPectivamente'80km e r80km equeo primeiro pcgou R$57,20amenosqueo segundo,delermine: a) oraordep; b) o vodatnxafi{a. 2. (UF-ES,adaptado)A tabeaabal{oapresentaapoPu.o 'undial eo consumomundidesua,emmr, porhabitanie,nosanosde1940e 1990: 1990 5,3x loe 800mr dmita queoconsumo mundial degua(emm3)tenncrescidoinearmentenessescinqentaanos Quntos metros cbicos de euaforam cosumidos no mundo' em 1950? Y,.t 51. Umtrnedefuteboifemininornontouumcempo de100mdecomprimentopor70mdelargurae,pof medidadesegurana,decidiucerc-lo,deixandoen- re0campoeacrcaumapistacorn3 m delargura. oualareadoterrenolimitadopelacerc? Aredaregiocercada: (100+ 2.3) (70+ 2.3) = m6 Z6=g 0s6m, 5ea largufadapistafossede4 m,areadare- giocercadaseria: (roa+2.a)(?o+z.4)= ro.?B=I4?4nz A(x)= (100+ zx) (20+ 2x) A(x)= 7000+200x+140x+4x'z A(x)=4x2+340x+7000 Esse umcasoparticulafdefunopolinomial do29grauoufunoqladfrica. Definio Cham.seunoqudrtica,oufunopolino- miado29grau,qualquerfuno/deR emR dad porumaleidaformaf(x)= ax2+ bx+c,emqued,be csonmerosrise + 0. Vejamosalgunsexemplosde unesqua- dfticas: . (x)= 2x'z+3x+5,sendoa= 2,b= 3 ec= 5 . f(x)= 3x'z-4x+l,sendoa= 3,b=-4e c = 1 . f(x)=x'z-l,sendoa= 1,b= 0 ec=-1 54 52. . f(x)= x2+2x,sendoa=1,b=2ec=0 . f(x)= -4x2,sendoa= 4,b=0ec=0 Srifi*m 0 grfcodeurnafunopolinomido29grau, ! = ax2+ bx+ c,coma + 0, umacurvchamda paraDora. Vamosconstruirogrficodefunodadapor Prmeroalribumosex al8unsvalores,de_ poiscalculamosovalorcorrespondentedegpra cadavalorde.xe,emseguida,ligamosospontos ssirnobtidos. Vamosconstruirogrficodafunog=-12a 1, Repetindoo procedimentousadonoexmplo 1,obtemosogrficoseguinte: 1,,.., "fl'"": O. grarrco.da' u coe' .eguinle5do oarc- boas.Classifrquecomo C parboaquetem concavidadevotadapara cimae -Ba parbola que tem concavidadevoltadaparabaixo: a) y=3n'? 5x+I b) Y=2-x'+:x cJ I=-x2 2x+l .{) Y=+*' c) Y= 4x+ 3xr f) y=(x,lF-(2n 1)' T5 '',' ll I ri: Aoconst_urrogrfcooe,maunoquad.tica U= x2+ bx+ c,notamossempreque: , sea > 0,aparbolatemaconcvidadevol_ tadaparacrmai ,'. sea< 0,apboLatemaconcviddevol tadaparabeixo. 53. Esboceo grfcode unesreais: b) v=zt' cadaumadasseguintes d) Y= 2,.' Vamoscalculrasrazesdafuno: (x)= 4x'z 4x+ 1 emosa=4,b=-4ec=1 Construao grficode cadauma dasseguintes tunes: a) Y=x2-zx b) Y=-*' +:x c) Y= x2-zx+ 4 :tqi,: .': ,ir'r,riiiFr,t,i t:.ie*;;;iii;l,1ii Zeroseequo doZ9grau Chmam-seze-osouraizesdafunopolinomia do29gru(I) - ax' r bx- c,a - 0,osnne'osreais xtaisquef(x)= 0. Enoasr.zesdafunotr'x)- x' bl c sao assoluesdaquaodo29grauaxz+ bx+ c = 0, as quaisso dadasplachamdafrmulade Bhaskral -ut'rruz-+ac 2a -n t lG'?- aac- 2e esrazesso Vamosclcularoszerosduno f(x)=2tz*3**o Temosa=2,b=3ec=4. Ento: * -r t rfz +ac- : t.,G :z 2a . _J_ZJ -^ 4 -" Portanto,essfunonotemzerosreais. , ,,, . ,r ,1,-iiii;, Detemineasrazes(zeros)reaisdc caoaurna dsfunessguintesi a) y= 2xl 3n+ I b) Y=4x-x2 c) y= xr+2x+5 ,l) y=9x,-t e) Y=-x']+or-s Reso1'aasseguintesquces: ) (3x 1)r+ (r 2),= 25 b) (r-1) (x+3)=s c) 11! = 3 d) (-x:+).(x2 3x+2)=0 e) (x- 1).(r-2)= (x- 1).(2+3) f) (x+5),=(2x 3), Ento: 41'16 16 I 1^1 ASSlm,tem0Sl f(x)=0=ax2+bx+c=0+x= Vmosobtefoszerosdfuno f(x)= Yz- 5" * 5 Temosa=1,b=5ec= 6. Ento: .. otrG:-qac 5+.Ds- 24 ^= za-= ? (+1 X= ': =x=3ex=2 esrazesso2e3. f) r) f., 54. f,i, Resovaasequaoesbiquadradas: 1.rt:i$ri I * i iji ': a) I 5xu+4=0 c) xr 6x']-27=0 b) xa+8x2-5=o ,i. (PUC-RI) Dada a funo f(x) = (x + 1) '(r2-x+ 1),deteminer a) f( 1) e f(0); b) ernR, assouesdaeqaof(x) = v. i*- A funaoseguirtemostro desempenhode1n euiante nossimuladosreaizadosno cursiro pr vestibularao longodo ano: r)=L 2-23 t+59 36 2 r) sendof(t) a nota obtid pelo estudateno s1 muadorealizdono mst (t = 2, 3,...,11). ) Qul a nota obtida peo estudantenos sinruladoseaizadosemfevereiro(primei ro) e em nor-enbro (ltimo), respectiv b) Em quels o estudanteobtevenota 2,0? 'i, Parao casmentodeVere Edu,um grupo de amigosescoheuumpresentecleR$300,00,va- or a serdividido entreees.Pom,depoisda compra,trsdelesdecidiramdar prcsentesse- pardos,Dessafoma,a despesatevequesedi- vjdjdaentreosdemais,resutndoemum gasto adicionadeR$5,00paracadaum.Quantaspes- soasem inicimente? rl; 'ttl P' Derer.rrreC R ral que (x2 r0or)'z (xz 101x+100)']=0. ir., Um rctnguotem asdimenses(em cm) e-.( presssPorx+3e3x-. a) Encontreaer'?ressoquedeflnesuareaem tunodet b) Paque valor de a reado rctnguo 77 cmt? :t;:1.(Fuvest-SP)Paraafabricaodebicicletas,uma empresaconprou unidadesdo poduto , pa- gndo R$ 96,00,e unidades do p(oduto B, pJgindoR$84.00.Sabendoqueo rolJ deun. dadescomprdasfoi de26equeo peunit- rio do produto A excedeem R$ 2,00o preo unitrio do produtoB,determineo nnero de undadesde compradas. A quantidadede razeseaisdeumafuno quadrticadependedovalorobtidoperorad- cando ^ = b2-4c,chamadodlscriminnte: .."quando ^ positivo,hduasrazesreeise distintas; ' qunoo^7ero.Lsdunardizel(ouLre raizdupla); ii. quando ^ negativo,nohraizreal. Vejamosquissoscondiessobrem na unog - 3x7 2x- (m- 1)afin deoue: J naoex,stamra7esre;5: b) hja.umaraizdupl; c) exismdusrizeseersedi.lints. Clcule.doodiscn'ninenrelAr.te-ros: A-{-2' 4 3 (m It-4 l2n+12 LE 12 0evemoster a) ^0-a 16-tZm-'0-+m 0, parbolatemconcavidadevol- tadaparaclmae um ponlode mnimoV;quando a .- 0, prbolaemconcvidadevoltadp-b- xoeumpontodemximoY. ouando>0 !," ouandoa 0 1_. lazes:zy., 5x+ z = u-r= oLty= z Vmosconstruiro grficod funo ! =x'- 2x+1. Caracterstisl . concavldadevoltdaparacima,polsa= 1> 0 rzes:x2-2x+ 1= 0 -x= t (raizdupa) vrrice,v=(- *, - {; =(1,o) nterseocomoexog:(0,c)= (0,t) a :12,1) Notequelm={g Rjg>0}. 5 jl1f 3! ,1 r,111:.1.1Ni...- '. I Vosconstrui-o g a'ico oa u'o Caractersticas: . concvidadevoltadprabaixo,poisa=-1< 0 . zeTos:-x2x 3=0=Txreal,pois^0,Vx !xratqueg?x'+1 Vamospessartodosostermosdinequao parum dosmembros,porexemploparao 19mernbro: x2+x 2x2 1>0 _x2+x !2A . tsudodesrnaldev = x'+ x emos: a = -1 + perbolaconconcavidadevoltad parbaixo A o -4ac l-4 -l-nohzerosreaic Concluindo,g0 4x2+4x+1>D . Estudodosinelde! = 4x2+ 4x+1 1 a=4 > 0,^= 0,riz: ; _1 2 Ar^equaopergJlla:Parquevalore5de temosV > 0?". Resposta:Parqualquerxreal:S= R. Re.ohr.enrR.a. ireqr;c. ,cBUi,.,e.. a) x'z lln 42) cJ x'+4x+5>0 d). 4xr + l2x 90 b) xr-8x+15ts d) x']+ 2x< 35 e) xr-4r.-3 0 c) (x+2).(xr a)>0 d) (3xr+ s). (-2x+ 4) 0,ogrficode/ devesero epresentedo lj, ..-t-:! 4, Pafquelssoocorra,devenostera : 0 e ^o a) [2,+-l b) l-, 2 c) tr,2l 7, (Fap'sP)Umaindstiaproduz,pordia,unidn- desde rm deterniDadoproduto,e podevender tudo o queproduzira um preodeR$ 100,00 uridade.Se:runidadessaoproduzidasacadadia, o custotota,e rcais,dapfoduodiriaiguala xr + 20x+ 700.Portanto,paraquea indsfuinte nha un lucrodiriodeR$ 900,00,o nmerode unidadesproduzidas(evendidas)pordia,deveser 12. lpuc uc) o ntervlono quaa funo f(x) = xr-6x + 5 crescente: iguala: a) a0 b) s0 c) 60 8. (U.l: iuzdelora MG) os locsde quesatisfa- .enrl in.ouicJo: 0 o(rlercenJ: , a) [ ,2) u t3,-) b) ( r,2lu (3, -) c) [r,31 d) t 3,2) e) | l, 2lu (2,-) 9. ruIR'R) A somad" doisnlmeros6,easomade seusqudados 68.O nduodadierenadess.s 13. (p"t " Sp)Na fisurabaixotem-seum trechodo grfcode urnfunodevariverealdadapor f(x)=a2+b+c. Usandosifomaesdo grfico,poss'edeter minoscoecentcsd,,r. Ovalorde : a souo do sisteDr d) I 2,01 e) [0,t] b) 13 d)3 I 10 , (U. L Viosa MG) u enpresaproduz evendeum deterninado proc{uto.A quantjdade que ela conse guevendervdia em funodo preosegundo re aoa un peo r econseguevencler/ unidades do pfoduto,de a.odo com a equaoy = r00 - 2x. Sabedo que a receita obtida (quDtdade vendida vezeso preodevend)foi deR$ 1250,00,aquanti- 14. (u.;ro. cn) se e/ sonmerosreaistaisque t, y ll.ot.'o-rrimod.z=rr tv:, d) r7,l e) r8,3 5, (p-p sp) u-".o-pnia estimaquepodeven de nensalmente4 nihres de unidades de seu produto aopreo dep reaispo unidade.A receira nensal dasvendasigualopoduto do preopeta quntidade vendida. Supondo p = 0,5q + 10, qantos milharesde unidadesdevevender men- salmentepara que a receitasejaa mxima pos- cll r0 )2 b)1 dde vcndda isul a: a) 30 b) 40 c) 20 bl -2 11. (puc r,c)u''" p"araatiradaparacimaesuaal tum ,emnetros,dadnpeanoh(t) = alr + 12t, em quet medidoenl scgundos.Seapedraatigiu n arramximno inante t = 2, pode-seafirmr 16. (r,npI,.a"ptuao)un agricutortemr40metros de cercaparconstruidoscurrais:um dees,qua drado, eo outro, retangu,mm comprimento iguai Jo rriDlodd lrrsur..F r .omado areo dn...urraj' deveserameror possve1,qul tueado curl qua- d) 240m' e) 245m' !,1 69. 17. llcv sr; o .u"ton'dio,c-, deprcduodet um- ddesdeumartigo,obridodiidin.loseocusroC peLaquantirladea,ou l C- =! -q Sendo C = 2q'z 3q + 20 o cusro,em mihes de reais,para a produode 4 milharesde unna- des de grrafasplstics,considees seguturs I. A funo custo mdio sef dada po C.-=2c-3+f9. q II. O custo iota par a produo de 5000 ga.faas plsticas R$55000,00. IIL Quao 10000gafsplsticassoproctuzi das,o custopor unidde Rg 19,00. Asociandoyou / d.ddJ.ninu,Jo..on.orrr.ej.l verdadeiraou falsa,tem-se: ) L(q)= -2q':+ sooq 3sooo b) L(q)= -2d + l oooq-3sooo c) L(q)= -2q':+I 2ooq-3sooo d) t1q1= 269n1 35666 e) L(q)= 200q-ls 000 30 llsa'seumasentenaououtradependendodoin. tervaloemqueovalordexseenquadr.ljmafuno dessetipochmadafunodefinldaporrniscleum senten. ConsideregoraLrmexemploemlinguagmma rema!tca. oualserovordcontadeguede dnciacujoconsumoem determinado 20m3?Eseforodobro? . Por20m3ousuriopagar,emreais: uTnaresr- msfo 20 0,9= 18 i, f+ 72. ffi #;i{#fl'f[ffiti$ffiffi t ,.,. ^ 2 r"" tat: N.- L{detuud.rpor t(xl = l ' t-l''e'2 ;t. sejf: R- R deinidapeaei: . 2x+l,re>0 l4x'r+5.sexO xi= x,sex omduodeumnmeroreanonegativoigual aoprprionmero; > o mdulodeumnmerorealfegatvo iglalao 0p0sodessenumer0i > o mdulodeumnmerorealqualquer sempre maoroutguazerol lxl>o,vx Comessdefini0,escrevemos,demodogerl: r[z= *. Dessemodo: r, I x.ouandooositivo ri'=l I i x,quandox negalv0 10,- 0,3 +'l f) gl hl r) t j) -'r+l 15, Cacdeovaordaserpressoes: a) =h?-[]l b) B= ln-31 c) C= 3 t d) D=l-+ 11tl e) E=16 A+h[o 6l . Se:umnmeroreaimaiorquezero,deteruri- neovaodaexpresso: - :x +lxl $.. sejaxe R.Atdbuaverdadeiro(v)ou faso(F) safilnaesseguintes,justificandoasfasas: a) lxP= x'? b) lx+3 =x+3,Vxe R c) l2x- 1l= 2x I,sex>0 d) l'l-xl=1 4'5gx>4 e) xr+1=x':+1,VnR i.S. p*" t e R,x > 2,calculeo valordecadex- pssosegunte: . lx 2l ,. - lx-21 D' J+:_: ffi ffixmrffir[ffiM [4. Calcule: ) -71 ,, 5 ola .r -!., 2 d) 0l e) -!z 12.(3)l lo,3- o,r ?7 .x1x2l!, -= ---------- 75. I I '' tc Chma-sefunornodularfuno/ deR emR 004pelale lY.l= x . LJ.ilandoo conLeirode''od.lodu .rero 'eal, fundonod-ia pod5e' a5s ctcte- nzada: . lN,sex>0 lxl = 1 I X,SeY< U 0ulseroresulladonlsetomrmosumxeal e a eleepllcarmossucesslvamentea eide/ ea ei deg? Teremos: **, g -(x+2)3 Grico Praconstruiro gricodfunomoduletpro. cedemosassiml 19Con5t. rr osog icodar._cot^ z. na-,o conslderamosapateemquex > 0 (fig-1),que bissetrizdo19quadanle. 29)Construmoso grficodafunof(x) soconsrderamosa parteemquex < quea bissetrizdo29quadrante. 39.)Reunlmososdoisgrflcosnterlores igura2 0 resultadofinlquex levadoa(x+ 2)3.Essa funohdeRemRqueevaxat(x+2)3charna- dd .o' po,ld d" Lon L rnd ca-s q gos "9bol"),talqueh(x)=(g " r)G)=e(r(")). Sef(x)= 2xe g(x)= 3x sofunesdeR R,ento compostadegcom/dadapela h(x)=g(r(x))=g(zx)=-3 (2x)=,5x eLr Se(x)= :1s g1t1- tz .ofunesdeR ern R,entoacompostadeg com/ dadpellei: h(x)= g(f(x))= g(3x)= (3x),= ex, ecompostade/ con9 ddepellei: p(x)=(g(x))=3. g(x)=3x'z Ponanro,e(f(x))+ f(e(x)). Se/ eg sounesdeR emR taisque g(x)=2x-5sg"(x)=4x-1,quala leiqle define/? s(f(x))=2 f(x) s=ax 1 Entao.f(x)=!I:]la =Zx+Z. / em ler: 0 (fc.2), (c.3). rmagem 0 conjuntolmagemdeunomodulrR,, isto ;.d .-o! - ) |suneso-rntevo erteai-no negativos. : VamospensarnafLrno/ deR emR definida pealerl/l ". 2.En1ao/lev.ad)'ealon."o y.+2. Emsegude,pensemosnafunog deR emR denidpelaeig(x)=x:l536"rorcueglevcdax relaonmerox3. 76. ffi tr;{#"fi[,t[#$ffim 1.,Sejam/e g tunoesdedomniorealdefinidas porf-4r Jegr-r Ll)elermineo vaorde: u) f(e(:)) b) s(f(:)) iJ*,s.;,- r, R - R ec : R* R definidasperas Ieis:f(x)= x2-5x- 3eg(x)=-2x+ 4.Qual o valorde: a) f(g(z)) b) fo s( 2) l)"i1,,Selam/egtunoesdenidasdeR emR,tladas porf(x) = :r - z eS(x)= -4x + 1.Determnea eiquedefine: a) f(s(x)) b) g(f(x)) il,-,,1.s.;u-y.gfr."0." definidasdeR emR,dadas porf(x)= 3x+ k eg(x)=-2x + s,sendofrum constanteal. DetermineovalordeI demodo quefog(x)=so(r). ilil, Sendofegtunoesde6nidasdeR en R,dadas porf(x)= 4x- 4eg(x)= -2xr + x- l, resovaas seguntescquaes: a). f(g(r)) = 8 b) f(x) = s(:) ijlt. Seja- /e g funesde R em R tais que {x)= lgt*2 e fog(x)= 30x 48.Qual aleiq9edefineg(x)? '1i'"ss;rt 1" 3 iunoe'Je R 2(fg.1). 2P)Construmosogrficodaf!no! = x2+ 4, ms s consideramosa parteem que 2 0,ouseje,x > 2. Supondox> -2, temos: fzx-: r-z-+x- t zx+3l=x+2+.] ou ' 12"*3=-"-2=x=-5 t3 Comox = -1 > -2, -1 solLro. Comox= - > -2, -; esotuo. s={r,*}t rl x =k=x-k ou X= k iRLi; ii",: ,r'r,'t::''j:',:+i:ii'ru 3x-11=2 jtr Resor,a,em a) xl =6 b)'.=+ R, asecrraes: d) xlz=s e) 2 x =4 Re' rd. e r R. d, equdoc' .cguinter: a) l3x- 2l = I b) lx+6 =a c) lxr- zx s =: d) ru 4 =5 e) 2x'sn+21=0 ',.r. Resova,emR,asequaesseguintes: JJ I Zx+51=x b) llx-11=x+2 c) lax-5|=-3x d) l:x +l=x'] e) x 2l=x 1 -llll,ttesoluu,.-Z, u".quaesseguintes: a) x'z-: lxl-to=o b) lx'zl-t0 lx +24=0 I lxl3=+.lxl d) lzx-:'? s.l2x 3 +4=O ,:. ,2 '-1::-I rl - l' 11 1 1 3 Vamosreqolve-equaco2r^ L - x 3. l/' I x'rrx-+ z" tl=,x+ 1,edavemx x+1. s qu-: lr 2x-1,sex--j Q) lr 2r+1,sex r'i2 e) 3.r 76 b) x 2x+3 47. Obtenhao domnio de cdauma dasfunes seguintes: I lxt / b) s(x)=Elr c) (x)={s-lxl d) i(x)={lr-xi a) lx+31>7 b) l2x 1l< 3 c) -x+ 11>i d) l5x-310 44. nesova,err R,asdesigualdades: a) lx' x al 6 c) lxz-xl>2 45, Noanopassado,Netoparticipoudeumcurso deInglsemque,todoms,foisubmeticloauma avaliao.ComoNeto fanticopor Matem- tica,propsumleipararepresentl,msms, seudesempenhonessasProvas, ^ lx 6 ".Nd eprero lr - J - ll retreerrll not obtid por Neto no exame rcalizado no t . atum mimo de20ingressos,o preouitr1o devendaseraRSr8,00j . nis de 20 uidades, cd gressoqueexcedesse os20 serivendidopor R$ 15,00. Ncssas.ondies, a epesso que permite cc, .n e.' ' " gJ ." de u nr pesor queLomprr r in- . 50tc+r),04 d) lxl>2e-2 3. 3. (PUCRS)Enumafbrica,o nmeoiotadepe! produzidasnsprimeirasrhorasdiiasdetrabalho o nmerodepeasproduzidasduranteaquintahora detrabho: 5..U ll .e,r 4 -R:-'2eN -R: ' 5 4 0.e" - 4 e.bL N.enLioo rdio' vodoprodutoa.b: n; 81. 8. (uF-M)sejntunotdefinidapor: lx.!ex!.! (xr={ r l-='sex!J L" Nessscondies,f( 1)+ f(+ 1): a) -+ b) D+ I c) - 9. (UFGo)A fno,denidaparatodonmeroreal ! cujogco : a) f. (0)= -2 b) f. (-2) = 2 c) f(2)+ f(4)= (0) 11. 1uu.t"u" sr,)u-a empresadetelefoniafaz,jun to a seusl:[entes,a seguinlepromoo:a cadadois mnutos deconversao,o minuto seguinte,na mes m hgao,gratuito.Seo cuo decdasegundode ligio R$ 0,01,o vaoacm reais,de uma ligao de I6 nnutos, duranteapronoo,: l 6,40 c) s,80 e) 6,00 b) 7,20 d) 6,60 12, u. . 1ro.,t,"ai, Mc.A.md dd otune, Fri daequaol, + 3 + 2l- l6x= 0,isuara: d) f(rT) e) 2.11+r d) f(4)+ f(-4) > f(o) e) f(2) f( 2) > 0 c)3 13. (rCv-sp)It"tt;pli.undoosvloresinteirosdeque stisazemsimultaneamenteas desigualdades lx 2 5,obt'mos: 14, (pucpn)seja-rG)=x, 2xeg(x)=x-16ou, fnesdcridasem R. Qua dosgrcosmeLhor IJ. rI r(. SP 5r rrn i nde, / e {. de R cn R. defnidas, respectvanente,po flr) = 2 - x e g(x) = 'z- 1.Con relao tunog " { definid por (g " f)(x) = s(f(x)), verdadeque: a) a somados quadradosde suasaes sual a 6. b) o eixo de snnetria de seugfico y = 2. c) o seuvalormnimo -1. d) o seu conjunto imagem est contido em [0'+-[' e) (sf)(x)< 0se,esomentese,0< x < 3. n)3 a) 2 b) 0 d) tem aseguintelei defonnao: a.- l+a,n) > (a b)n= an bn > (am)n=m'n . (;)"=grr,+or '(+)'i) -(-3f , (+)- ' . 2l s) -(-s)* a exercciosltn 1, Calcue: ) 7' b) (-s)r c) ( a)'? t 84. 2, Calculeo vaordecadaumadaserpressesse gumtes: ,t l.l .i I +l -l-l 4/tt b) -(-2),-2.f+ +/ (-rl+s ( 2)r ( 1) 16.l+' -r'l;J+1"c} 1 lJ crr /. 3 {*l :( z)z L, (2r)r. 2- . 2r "' (rI- l:-, t1ct:. 6 " (315 d) + (x y+0) . (x. v)6 (xr)r'v' ^.el - lx Y=ul r'n- 4, Escrevaem uma nicapotnci: a) a metadede250 b) o tripo de 345 c) o qudruplo de 2ro d) a misimpartede 0rr e) o quadradode530 f) a terapatede81s Vejamoslgunsxemplos: 181 16 16 81 h 1 25 Definio oadosumnmerorelo,nnulo,eumnmero n nturel,chama-sepotncidebseo e expoente Donmerod n,queoinversodeo". calculemosovalordeg = [3 1- (-3) 1f!. Temos: r r l-r r tl 'L3 r 13 3l ,2rr r 3 J ?i 2 2 3 Propriedades Comessadefnioparapotnciadeexpoent inlironegetivo,todases cincopropriedadesenun' ciadashepoucocontrrumvlidcpaquisquer expoentesm e'nnteiros(positvosounegativos). Supondoa + 0eb + 0,vamossmplficera expressoL-(-')'r (b') +Z{ab)'. Temos: L=e+02-2(o)'- r- :--- -L , b ra r2ab ra br' a'b' ab ' ." t7 Potsr#iadeexpr*mr*tm rrutm:"erregeqiv# 11 24 16 | 24 I 3 ) z L-.L"?24 85. ffi h3.H*,*r"#HfJt#ffi 1"cul."' a) 4' b) 3' - .2I $1.Calculeo seguintes: valor de cadauma a) 3.23+2 3: o),.(+)'.,.(-a)' , l(-+f.(;)'l' , +.(+)'(-+i' L Sendoa. b * O,simpifiqueasexpresses: i1"1Uf ua; qul ovalornum codereresso 35j .40 10, 5 roo,-- rt.la::r.5'25l *. Simpifique: , / I _', cr 3J h) 0,13 i) 0,008 , das expresses m*;* ^ *;*^rg{d" 1}-:t I t( /," I eneSlft'elArr:rs?t{C Defnio Dadosurnnmeorealnonegatvoo e urn nmeronaturlt, n > 1,chama-seraizenesrma aritmticdeo o nmeroreale nonegtivob tal quebn= a. 0 srnoolo a,cha.rdordic1,i,oic rt7 ensimaritmticaded.Nele,ochamdordicn- do,er, ndice. V=ucb>ob"=a Vejamosalgunsexemposl . ifu6=+,poisq,=ts. . ffi= 3,p61s3:=27 . ffi= 3,p6;56s=6 . ir15=2,poisZa=16 Propriedades Sendooetrreaisnonegtvos.minteiroen ep raturisnonulos,vaemesseguintespropriectdes: > VF= VanrP (f")'=.' > b=V; t f; r[ .d= ro*o (+r (+f ('+i' t 5 / 12 z, -Tl " ' ' "7 , 3/ c) i.[. sabendoquesz'= a,a> 0,clcue,emtuno dea,o valorde: a) 25n b) s' -, (ab)3.(a'?)2 " bt- ,. (a 3)3 (b5) 'zu/ G t .lE:t top+2 _ t0l r c) 625r d) 0,2{ 'fe - ,fig :. _ !, .t r1 z vt.J, =21i2+3!2=51i2 ! x V32U"x,comxeg reaispositivos 86. I ) ) ") 1[8 b) 1Gt c) !s+ 13. Ef"to", a) rEz+lso u) rE-:rDj+ rrz c) '{16+ X54 V2 d) 1[loo, zlqs+ 31D7 4. tf"to", , Gt Etu5 ,, VG*E+,, T l3* ,r -- -'r+!l-!s rn exercciosffi I . co1.o1", a) r|ls b)'1G12 .lE ?, Simpifiqueosradicaisseguintes: a) ''[aa d) {o2s e) o,rx f) rooooo ") iD4o 0 ./o,oor5 .) ("Df d)(vt), 5.1t"t".' a) 16.rD+ b) 1T.. rF c) !+e ' it d) tD.i/t . 16.127 ,t -T 6. Desenvolvaosseguintesprcdutos notveis: a) (5+ 1t t) (3 D)' c) (./5+ |-'z d) ({lr +.f. (1t11.f2) e) (: + r), f) (2+ 1fr3 lF" r.r"t".' a) tr!6-tr2.1trb+V2 b) 18+!1s.18-1ls c) 112+2 112 2 dl 12.tr!ro-./2 11ro+ v2 8. Racionalizeo denominadorde cadaumadas seguintesftaes: ! d) r2+l n ./T '' 'll-t 19.er.t"., 15- 16+l8 'l - 15 t- . r , : , r.to, ,2 'uo ., ,: .J/ .,F , .tt 12+l ^12 2 20" Racionalizeo denominadorde cadauma das seguintesies: -, I .12 ,. 25 1, Mo'rreque! l4 r4ll0 V14-4V10-4. E* 87. *"xp{]4inlffiF*t*rua r***m*{ ## Definio Dadosumnmeroreeo (positivo),umnmero nteirop e umnmeronaturalq (q > 1),chama-se potnciadebaseoeexpoentelaraizqsmaarit q mticadedP. t Definiospecil sendol> o,define-se0=o.q Vejamosalgunsexemplos: !- . 3r =13 Propriedades Ascincopropredades ciasdeexpoentenatural exp0entsracronrs. .(+)r=.,Gr= P5" luuc sg uaaptaao)o tempodecirculFodo sangue(emsegrLndos)deum mamifero (otempo mdio que todo o sanguelevaparacircular uma vezeotar ao.orao)proporcionaraizquata do "peso"do corpo do mamfero,isto : ! r(M) = k M1 Paraum eefantecujo "peso" 5tB4 quilos,o tempoloi estimadoem 150segundos. ) Determineo valordek.. b) Determineo tenpo aproximadopara um mamifrode 16 quilos e para outro de 64 quios. Chama-sefunoexponenciaquelquerfunoj deR en R daclaporumale dfor-na'xJ a , em queo umnmerorealddo,a > 0 ea + 1. 2. . 2.='lz'z I . 15 enunciadsparpotn- continuamvlidaspa ?3 Vmosclcularovlodeg 27' 164. Podemosresolverdecluasto-ma.: . Escrevemosspotnciasnformaderazes. q- x27- Vl6'- V/29- V1096 , o-a- r . Jsamosaspropedoesdasporencias. 23 9 t3) t?^Y- J'-7' I B-1 f,*n* r"]cp*ntrrc*$ Definio ffi exercci0sru 22. Calculeo vaorde: b) 256, c) 32' L d) 0,36, ?3, Calculeo valor 1,entooraproxima-sedezeroqundo x assumevl0resnegattvoscadavezmenores. Se0 { a < 1,entoor proxm-sede zero quandox assumevlorespositivoscadavez maiores.Tudoissopodeserresumidodizendo- sequeo conjuntoimagemdafunoexponen, cialg=3" 6 lm={gC R g>0}=R. t ffi 4r,,4i,."{.t}fi ffi #, Construaos gr1cos a) n) = a" b) f(x) HP.Nu fig".o esrrepresentadoo gr:ifico 0e + 1).lssoquerdizefqueo gricodfuno! =a'cortaoexodosgnopon- todeordenda1. Sea > 1,entoa funof(x)= 3'f 6pg56sn1g- Portanto,dadososeaisx1ex2,temosi . sinasiguais xrr - er /,lrr'- c/ . ir2 r'- ,6 - +x=12=S={12} ) b) c) VamosresoverasseguintosequesemR: 2"=16 ?' r-r, ,.1 ."-,1 -( .t,{ l+l =81 z"- t. 93. VamosresolverasseguintesequaesemIR: 3x-+x,3h_xz+x=6=, =x_+x tr=u=x= J oux= z h ?2!+1.,a1+1 o 1 22' +1 . t)ztN+ | _ t2tN I 22t +l, )6,r2 - ) 3 2s**3=23'3=Bx+3=3x 3+ t :-c I 1l 5 t )l VamosresolverasseguintesequaesemR: a) 3'.1 3' 3' r = 45 No possvelescrevero 19membrocomo umanicapotnciade3.Podemosazer: J Colocando3' emevidncia,vem: 3"13 1 ll=45 3Y+=45 =3x= 27=3r-x=3 =S={3} J ffi #x8rtrie*sffi 5b,Re,oha. em R. J 5cguinre,e!Lrroe5cpo- nenciais: a) 3=81 e) 5x+r=125 b) 2= 256 0 orx= tooooo /r l ,)7 7 s)ll' 5/ Qs / r . d) l+l =: hr l:l =2 z/ rz .zl J. Re'ld. em Lrt. " 5cguinle, equJoe5epo- nenciais: /1z 3r J) 8' h er l^l )2" / b) 27*-9 f) ll}tr 5.+,=1 c) 9^=+- cJ 49.'r ='tr7 t/ ' d) 0,r - |no,, hr r:5r Ll- rr: / S" Im rmaerperien,id.umrni.rlilrrdtrd 'oL, ele to de uma determinaddroga srbmetrclo examesdirios decontrole.A lei n(t) = -l . 2r 200 - inlornr.ra quantdaderr' I r, ddubrnrid.(m grams,encontradaem 00 m? de sangue,o exame reaizado no dia t, contdo a patr do ncio da experincia. a) Quafoi o acrscimonaquantidadedadro gaencontradano sanguedo animaldo in- cio dexpeinciato 59dia? b) Por quantosdiasdeveseradministnda drogaa m dequea quantiddeencontra da (por 100m desangue)seja10,24g? 5Y.Fm umr r(f,iaulilrnede.lao .er(l.n trudosedifciosresidenciais.Um bilogopre vque a quantdadedepssarosde certaesp- cieir diminuir segundoa lei: ! n(0 = n(o) 4 3 cn queno c J qu,inrdadee"tinrrdrdepa"r- ros antesdo inico dasconstuese n(t) a quatidade existentet anosdepois. Qua o tempo necessrioparaque a popula ode pssarosdessaespciesereduza: a) metadeda popuaono ncio dascons trues? b) oitavapate da populaono incio das construesi c) a 1,56250/0dapopulaono inciodascons- trues? L b) 4*-2x = 12 4x-2t= L2- (22),?= 1222'-2"= 12 Lnamanooz oeg,vem: !2 U=12+g'zg 12=0- =g-4oug--3 L0m0V=l,vem 2'-a-2 -Zt'-x 2l ou f -rs {zl 2'- -3 =7 x ) 16 94. 40, Re,ol'a,:''eguinte. equroeserpunenci;: a) 24{+r.8{+r = L c) a) Sabendoque a populao atual do municpio de 0 000 habitantes,determine: a) o valor de fr; b) a popuaodo municpiodquia 3 nos: 45. nesova,em R, asequaesseguintes: a) 25"-23 5"=50 b) 100x-1= 9. (10{+ 1) c) 4.*' 33.2.+8=0 d) 9r--5.3x+3r+'=27 4b. Vune'p 5PJ ( on.idere iunco ddda por f(x)=::"*t*t '.*ta7 Quandom - -4. derermireosralorerdex pala osquaisf(x) = 0. b) Determinetodososvaloresreaisde m para os quaisa equaof(x) =m+ 1notem souorear.. 4/. Ul RN' No programad( radioHorJ Ndcio na, o locutor informa: 'Ateno, senhores ouvintes.cabamosde receberuma notica o da DefesaCivi do Pasaertandopala a .hegadadeum tura.aodegrandespropore' nas prxmas 24 hors.Pedeseque mante- nham a calma,uma vezque os rgosdo go- verno j estotomando todasasProvidncias cabveis'l Paratenderssoicitaesqueseguem,supo- nhaqueo nmerodepessoasquetena cesso a essainformao,quandotranscorridasrho- rasaps divugaodanotlcia,sejadadopela expressol ','' P l+9 12rl sendot > 0 eP apopulodoPas. a) Calculeo percentualdapopuaoqueto- mou corecimentoda nociano instante desuadirrugao. b) Cacueemquantashoras90olodapopula otemacessonotcia,cosidemndoque, em I hora apsa notcia,500/0dapopula- odoparsjconheciddinformao. (0, 5.- '27 0,0 (+r (+r ({1)' 1000 t 4tr "Resolvaossistemasseguintes: l+t =8 , lt.,Ft'=+s' * l2Y.=1024 . iroo" rtor = 10c, l Lo,l' o,o1r:0,01 42" Resovaasseguintesequaes: a) 2x+) 3.2x r=20 b) 5x r-5x+, .5x=89 c) 4x+r+4{+2-4x L 4x 2=315 ,lr )*+ )'+r + )-+z r )rr r =-!! ) 43. Asleisseguintesrepresentamasestimativsde valores (em milhares de reais) de dois aprta- mentoseB (adquiridosnamesmadata),pas sadosfanos dadtdecompm: apartamento:v=2+ L+ 120 partamentoB: v=6.2t 2+248 a) Po quaisvaloresforam adquiidos osapar tamentosA e B, respectivamente? b) Passadosquatroanosdacompra,quadeles estarvlendo mais? c) Qual o temponecessrio(apati dadata deaquiso)paraqueambostenham iguais valores? 44. N"lein,rr- ls 000. r .sendouma..'n- 2/ tante (eal,estrepresentada populao (D(t)) que um pequenomunicpio te daqui anos, contado$a par dehoje. g7 95. !n*rrg:::tese *Hp*ft*rxfffiiB Umainequaoexponencilaquelaquepre- sentaa incgnitanoexpoenledepelomenosuma potncia. Saoexponenciis.poreenplo.esi.equaoe- 4-< 8,1+l >81e9" 3"5+5'>51+x>1 S={x Rlx< 2oux>1} R, f em a) Vamosresolveras seguintesinequees R: 2,>64 2'>64.>2x>26+x>6 S={xR x>6} l1' , 1 T/ - 22 l1( l l' ,l,l l+l 3} (2)--1 mabase.Praenfrentaresse outrospoblems, vamosestudaragoraoslogaritmos. Definio Sendodeb nunerobreaiseposivos,coma -L1. chama-selogritmodeb nbaseoo expoentex a0 qulsedeveelevarabseo demodoquepotncia o*sejaigualab. logab=x o abasedologaritmo; > b ologritmndo; > x ologaritmo. Vjmosalgunsexemplosdelogaritmos, . l0g2d - J! potsz-=d . togrv= z,potsJ- =Y ' bgr+=-z'Po"rz-'=f, . togs5= 1,pois51=5 .loga1=0,pois40=1 !- .log3tr3=j,pois3'z=tr3 /-3 .loqj 8= 3,poisl+!l =8 . logo,s0,25=2,pos(0,5)'z=0,25 ..tl 101. (ifs),=:= (/F)=: - iE=:+ b) log$0,25 Ioe 0.25= u 16. 0.25-rr2',q | --:?o -Z ---> 4 -4u=-2-u= -a I "'. .......,., ', Asrestriesparao (0 < a * 1) e parab ft , lo 0). cotocdd.n de'rnico.gd-dnre i . ^ :1e..ie a - iciddeoetop-o. . ..',:::,-':| Conseqncas Decorrerndadefniode ogaritmoasseguintes pr0prleoades: - 0 logailmode 1 emquaquerbaseo igual a0- --...--l I lop.1= 0 l,pois"= 1 ts 0logefitmodabase,qulquerquesejela,g!al a1. Lgq'e=11'Poisa'=a A potnciadebesed e expoentelogb igual ab poiso logritmodeb nabsed justamenteo expoentequesedevedar baseo parque ponciafiqueigualab. Varnosclcularovalordex talque: logs(2x+ 1)= logs(x+ 3) Devemoster2x+ 1=x+ 3,edax=2. Comoparax = 2 exsremtogs(2x+ 1) e logs(x+3),aresposrax= 2. '!^'".'a.-"'---r/.1-.'...'.. t { l a3,,&qr*s. l,rx.r; /tttd b 0conjuntoormdoportodososlogaritmosdos nmerosreispositivosemumabaseo (0{ a * 1) chamdoslstemade logaritmosde baseo. Por er plo.o co-trntofo. edoporlooosos Iog- r tmosdebase2 dosnmerosreaispositivos ci sistemdelogaritmosdebase2. F.iserdo.ssiqterd.oe ogritmo-qup'o 05 Vamosagoraclcular,etravsdadeno: a) log:-3 log3!e3= x Vamoscalcularovalorde8ocrs. temos: 8r"c,s= (2) "c?s= (2"n,s)3= 53= 125 > Sedoislogrit-rosen u-rdTesmbsesao iguais,entooslogaritrnndostembmsoiguais. logab=iogac+b=c d poislog.b= log.c - loe".= b - c = b rnas utilizadosemlaterntica: > 0 sislernade logritmosdeclmis,que o de bse10.Essesistemafodesenvolvldopelo matemticoinglsHenrgBriggs(1561-1630),o primeiroadestacrasvantgensdoslogaritmos dbasel0como^-trL,nenoa,x,iardosclc-- l0snumricos.Briggsfoitambmquempubtcolr aprimeirtbudoslogartmosde1a1000,to ocorridoem1612 > 0 sistemadelogaritmosneperianos,que o de basee-0norne"nepriano"derivadeJohnNapier l50-1617).TaLemacoescoces.-ordopr:met- rotrbalhopublicadosobreateoriadoslogrtmos. Indicremoscomlogrox,ousmplesmertelogx, o logartmodecimaldex, e representaremoso logaritmoneperianodexcomlog"x,ou{nx. J.i..:: 102. ffi exercrer$s*kwffi 1 . Usando a deniao,calculeo valor dos seguin teslogartnos: ) logr6 b) logr16 f) log,r64 c) 1og,81 g) og,32 d) ogo125 h) ogo2lr 2. Useadeniaopan calcular: I a) rogr - b) log.11- e) og100000 e) logl G f) log0,01 J" Calc1e: l d) o logrrrlmo cle4 na lrJse 8 b) o ogaritmoderE na base27 c) o ogarihodc0,125nabase) d) o logaritno naturade er e) o nmerocujoogarihnoenrbse3 valc-2 " a o,'. ra qr rl o lo"Jrlrnod< Jl. -l 4. Qua o valor 0,...,b"> 0, ento: loga(b1.b2.....bJ= lo&b1+logb2+...+ logbn Veja-rosalgunsxemplos: . log26= log,(2 3)=logz2+log23=1+log23 . loga30= loga(2.3 5)=loga2+loga3+loga5 . logz330= logz(2 . 3 5 11)= log72 + logz3 + + logi5+logz11 Logaritmodoquocente EmquaJquerbase,o logaritmodoquoctentede doisnmerosreaise positivos gual dierena entreo logaritmododividendoeo logaritmododivi- sor,isto,se00 e r R,ento: logbr=r. logb e logabr=g,temos: Vejamosalgunsexemplos: . logs23= 3 logs2 . logrol2 =loe,2, =:. loq,n2 z --- 1^ . logz! = log23, = 3 logr3 AspropriedadesdosloBaritmosapresentds acrma,quesovlidaspara0 < a + 1,b > 0 e c > 0,permitem-nosobtero logaritmodeumpro- duto,deumquocienteoudeumapotncasendo conhecidosapenasos logaritmosdostermosdo produto,oudostermosdoquocinte,oudabseda potncia. Expressesqueenvolvemapenasoperaesde multiplca0,divisoe potenciosochamads expresseslogrtmicagpoispodemsercalculads util;zandologritmos. :l ;f-a.==r e-z=x-s l = (ax)r=aft+ g = rx Deto,fazendologb= x lo.b=x-a'=b t..-, log"b'=g=av=U,J t |=r=".",c) e loguA= 2, :iilfi 104. VmosclcLrlarovalordelogo$, sabendo rg q-elogbx-2e og"V-3. utilzndosproprieddesoperetias,vem: og" *' - tog" "' - tog"Vg- nv =z.iogo"-*.rogov= -2 ( ?) a 3- -4-1- s SelogE=1+log+2 logb logc,vmos determnrE,ernfunodeo,b ec: emos: logL=log10-loga+logbr- logc logE= log(10ab'z) -logc rosE=roe(-4e) .^,^^ ., 10ab2 J--"--i-**:- SendoloB-e lop3- b.vmoscalcular toPz e toq1 lu emuno0ed eo. Temos: lop8--loe2 -a, )3 los2 a==lop2- ? e ffi exercrcrosru*ffi "0. Sejam:re1 positivose0 < b * l sabendoque ogbx= 2 eogLy =J, calculeo valordosse guinteslogaritmos: a) rosL(r. y)' b) loc"lll--v.r c) lo96(xr .yr) "tr. Sabendo,1uelog: - a funodeder: a) rogb b) log l,s c) og5 d) og30 el rog? 12, !m cadacaso,admitindo a existncide todos oslogadtmosmencionados,eripressex emirn odea,i, e.: a) logx=1oga +1ogb +logc b) logx=oga logb c) 1og.x : 3 og. a + 2 logzc + I iogrb d) 2logx = log ar + log ba og9c'z .ll, ) t.rog=roga+;rogb 13. quao valorde: a) logrs3+ logr55? b) log! 18 1og!6? c) 1og372 o$ 12 o$ 2? ,l d iS.8 2 og 2 og 5 og(qooo? .4. Sabendoquelogz = 0,3eog3 = 0,48,cLcule a) tog72 I Dr tog tS c) ogDt dr ,ogfiaa e) og0,06 f) oga8 g) tog125 d) 1ogr,{i ) .)'.*,(+i t f) losbl-fx.tl e log 3 = b, cacue.clr ) log72 g) og0,3 h) ogr,s ) og0,024 j) log0,75 .I rtogztog3't-1 {log2-2.loe3)- if+.'")-? -1.:,;j 105. x:. I I l U nd I'e'... c.... rJ'J do ogarito dcim.lde 450,Daso txh caculadora.Em ubusca alrternet,cncon- trou a tabeaabai-roe, atral'sdcla,pde cal clrcortanenleo quc peclsa!a, 2 0,30 3 0,48 7 0,85 t1 ,04 Deternineo ?o e[contrado. :o lJJ q re l',u" _ - ( r0 "' - .,..t( tp b) Deternine o valor de x R que satisfaza / Lr equ(ao lil =(IP),. 1i,4 SupondoquelogS= p eog9= q,obtenha,en tunodep c q: al rog b) log0,72 c) ogirr': d) og6,75 e) oe'r162 1jlij.s. r. r sonmerosreaispositivostnis que; + l = l, verdadequeog(x + y) = = 1og + ogy?{plique. :l* 5n6"tr6oqueogr2 = m, calcule,em funo a) logr6 b) log,l- iJll.Sabendoquea+ b = 9 ea, b2= 27,gualo valordeog.(a- b)? .l 1oS,l; 1Z 1r'"n".p Sl,)Sejano ep constanrcsreiis,con (r> 0ep> 0,taisqueogL0o=0,5elogI p=0,7. a) Calculeog0dP,ondcindico produto de(reJ. a) 1ogl7s b) logla c) og' 25 d) lo$ (25.3']0) ffi L ffi "{-",l .) .{."' .:. , i'i -, . .", i;"1':rri!.in-3;; O pll uma escalausdnenl Qumicnparaexpressaro graude acidezou basicidadede unasolloaquos.Os vaorsdo pH varimde0 a 14. Parao ccuodo pH usa-sea expesso: I pu roetHli sendo[H+] concerlrdodeonshidrognioem mo/{. F Quanclo0 < pH < 7,a souo cid.. > QundopH = 7,a souo neutra. F Qundo7< pH < l4,asoluobsica. Vejo pII d agrrrssoiues: . sucodeimo:2,3 . vidlo tinto: 3,fl . vinagre:2,4a 3,,1 . eite:6,4 6,8 . iiguddestiladx:7 . sangr.e:7,3 . bicarboatodesdio:8,4 . eitede n"gnsi.:10,5 . nonaco:2,0 : E : ! : agua sangue 106. Como sabemos,o estmagohumano apreseniaum meio muito cido,devido presen ae aodo cidoclordrico.O sucogstico,produzido no estmago, responsvepela digestode alimentose seupH osciaenlre 1,0e 3,0. Dessemodo,podemosencontrarosimitespraa cocentraodeonsH+: . pH=l=-loglH+l =+oglHfl = 1=10-1=[H+] . pH=3+-loglH+l =3+oglHfl = 3+0r=[H*J Assim,a concentrao,em mo/{, de onsridrognioencontmdano sucogstico aria de0,001r 0,L Do mesro modo, sea concentraohidrcgeninica em uma soluo de sco dstnco 4. lcrr mols/{, o pH da souo: pH=-toslHl= tos(4 10'z)= [os4+]ogl0,l = [2log2 2) Comolog2:0.3.lemor: pH = (2 .0,3 2) = 1,4 PIasbermaissobeesseassunto,vocpodepesquisrem: cdcc.sc.usp.br/ciencia/artigos/art1s/chuvaacida.html ciencioje.uo.com.br/contoPne/raleia/vied2467 f Paraeplicermosespropriedadesopealrias,os logaritmosdevemestartodosnamesmbse.Se- n0,precisoquealgunslogaritmosrnudemdebase. Ascalculadorascientfcasfornecem,emgeral, penaosvaloresdoslogaritmosdecimais(base10) e neperianosbasee).Sequisermo.determindro valordeumlogaritmoemlgumao-trabds,se- necessrioexpress-loembse10oubsee,corno verem0sa0tanIe. Frmulaperamudanadebase Pratrnsformarum logartmodebaseo pera basec,usaremosarelao: Substituindo@e@ em@,vem' (cz)x=cc.+zx=u+x= 1 Vejamosagunsexemplos: rn"-r=!8:1I !lZZ! = rsq " logjn2 0,3010 , o'n? I 0,84sr:. ,.,"61000' m Mudanadebase to^D rqc"D=;a Avel|dadedessapropriedadedadaaseguir. Faamos: . os.+=]!4=-- tog."I ' 1.3863-"." 1,0986 lr4 flo&b=x=a=bO llo&b=g=ca=b(a Uog.e=z+cz=a (3) Aplicaoimportante Dadosdeb reaispositvosediferentesde1,qul arelaoentrelo&belogba? Vamosexprssalogabnabaseb: ofb looD - I ou loq"blop^a 1 rogh 0na i-* 107. Vejamosalgunsexemplos: .log32 log23=1 29. (uEnN) os habrantesdemcerropasso apreciadoresdoslogaritmosembasespotn ciasde dois.Nessepas,o BancoZig oferece emprstimos com a taxa (mensal) de juros T = o& 225,enquantoo BancoZagtrabalh com a txa(mensa)S= og, 15. Com basenessasinfoimaes: a) estabeleauma relaoentrc Ie S; b) determineem quadosbancosum cidado dessepas,buscandoa menortaxadeju.os, deverfazeremprstimo.Justifique. tlassifiensl*;s fun**s Vmosobservarastrsunesaseguir > AL^o / deA {-1.0,'.>}ernB-{1,2,5}, dendapelaleif(x)= x'z+1. Partodoelementog deB existeurnelementox detlqLreg = x2+ 1 ParatodoelernentodeB convergepelomenosumaflecha. AB Afuno/deRemR', deindapelalei(x)=x'z. Paratodoelementog deR*existeumelemento x deR talqueg = x2,bastandotomarx = 1t[. PatodoelemeftodeR*,aparalelaaoeixodas ebscissasinterceptaogrficode I logrL/ = logzlI Vamoscalcularovalordelogroo72,sabendo quelog2=a e log3= b. Utlizemosafrmuladamudanadebse: log72 _ log(2r.32) 'v100'! log100 - 2 _ log23+log32_ 3.log2+2.log3 3a+2b I a) ogr2 b) ogs3 a) 1og.y b) og,:y'? c) lo$ 4 d) {n3 c) og,s d) og.100 l d) og,rx 24. s.jo- x el reaispositivos,diferentesdem.Se logtix = 2,cacule: ?5. Sabendoqueog,,s = a,calcule,emfunode a,o valordosseguinteslogaritmos: a) logs12 b) logrs12 26. calcueo vaorde: a) y=og.r3 o854 1(]g65 Dr )'= logTJ logr/ logr|5 logill ,! 4. D.doqueJ 4,ronreque4 12. 2 8. Nafiguraaolado,a- b * 1 ea+b+ 1-Mostreque: 1 rogx![c logr_rc c) ogs60 d) og, I n 4# exercrcros4ffi 2 2. Escrevaembase2 osseguinteslogadtmos: Funessobrejetoras a) og' 3 Z3.Subendoquelog 2 = 0,3,log 3 = 0,48e log5 = 0,7,cacueo vaorde: .; i.l 108. Afuno/deR* emR*,denidapelaleif(x)= 1. Prtodoelementog deLR*existeumelemerio r deR'tal queu - a. bastardotomar " - 1. ParatodoelementogdelR*,aparalelaaoeixodas abscssesintecepteogrficode Essstsfunssoexemplosdefunes s00reJeI0ras. Umefunof: A- Bsobrejetorquen- do,peratodog pertencentea 8,existeumx Pertencentetalquef(x)=I. 0undof : A - B sobrejtora,ocorre lm(f)= B. Funesinjetoras Vamosobservarstrsfunesaseguir > Aunao/deA {0,1.2.3}emB {r.3.5.29}, defnidapeleleif(x)= 2x+ 1. Dorselemenosdtsintosde,4tmcomoima- gemdoiselemntosdistintosdL Noxstm duasflechasconvergindoperaummesmoel' mentodeB. AB > Afuno/ deR emR,deinidapelaleif(x)= 3x. Ouaisquerquesejmx1ex2deR, sex1* x2 temos3xr+ 3x2,ouseja,f(x) + f(x). Prtodoeleertog deIR,a paralelaaoeixo dasoscisssnrerceptaogrcodelumau"i- cavez. !- AfunofdeR*emR,defnidapelaleif(x)=1. ouasquerquesejamxt e x2deR*,sext + x2 1s.n6,! a 1, qusqia,f(x,)+ f(x,). xr Xz PartodoelementogdeR,aparalelaaoeixodes bscsssInterceptaogrcode/Jmunicvez ounenhumvez, Essstrsfunessoexemplosdefuns InJt0rs. umfunof : A- Bjnjetorequndo, partodosx1e x2pertencentesa r4,se xs* x,,ento(x) * (xr). t 131 109. Funesbijetorasou inversveis Umauno:A- B bijetoraquandof I - sobrjetor.einjetor. _ _ | Soexemplosdefunesbijetoras: . f : R ' Rtalque(x)= 2x. . f:R-Rtalquef(x)=x3. _1 . f {".- tt{.ralquef(x)=i. l";rr,:;:* ;--:itllrea'* Vamosobservarafuno/ deA={1,2,3,4}em B= {1,3,5,7},definidpealeif(x)= 2x 1. Notemosque bijetora,pos injetoraetm- brnsobrejetor. Setambmaconteceque cadavalortibudo ag estssociadoumnicovalordex,dzemosque xtambmfunodeg.Essafunorecebeonome defunoinversade/e repesentadapo/ 1. ttll(s) | Nessecso,afuno/inversve. Praaconstruodegrficos importanteno tarmosquese/ inversveleumpar(a,b)estn tebelde entoo pr(b,a)estnarabeladel 1. Conseqentemente,cadaponto(b,a)dogrficode / 1 sirntricodeumponto(a,b) clogrficode emrelao bissetrizdo 19 e do39 quadrantes doplanocartesiano.E,portanto,o grficodel 1 simtrlcodo grficode/ em relo mesma bissetriz. lnversasdealgumasfunes ! ComotodoelernenlodBocorrspondentede --r j coelenenode.podemosrocatosconjLn- tosdeposioessociarcdelementodeI oseu correspondentede . Teremos,dessaforma, consr,idoumfunaodnomrndeLnoInver. de/erepresentadcomosmbolo/1.Nesseexem- . .,,. r+l plo,J lelq. e de'lne VerSel rrl- r-. Notemosque/rl tambmbijetora,D(f-1)= Be lm( 1)=A 0undoxegsovariveisqueseinter-relactonam demodoq!eacadvalortribudox estassociado lrn nicovordeg,dizemosquegfuno/dex. Vejamosgoracomoconstatarquea funo f:R- R dadepelafrmulaU=3x+4inversvel, conod1erm:1rainvesadel ecomoconstr!i osgrficosdembsasfunes. Serdof umfLnoafim,o seug.ficoe umari: Podemosnotarnessegrcoque, vaiordeg, exsteemcorrespondncia valordex (/ injto);almdisso, (/ sobrejtora).Assim,inversvel. paracada umuntco lm(f)= R 11r 110. Varnosconstruirogricode/-1 Essegrficosimtricoaogricode/, em relobisstrizdo19edo39qudrantes.0es' sorma,o grficodel a retaP'0:P'=(4,0) e0'=10,+). Agoravamosdeterminrafrm!aquedefine / r.Apaftidafrmulag= 3x+ 4,quedefine varnosexpresserxemfunodeg: u=3x+4=lx q 4-x=+ 3 Emgeral,quandosevairepresentarnopla- nocartesinoo grfjcodumafun0,avar_ vellndependente indicadno eixodasabs- cissase a dependente,noeixodasordenadas. Asslm,vamospermutrasvaiveisxegner mulaobtida. Temosu=l:4. queclefine-. '3 Acdag correspondeumnicovaof dex. Almdlsso,o conjuntoimagemconcidcomo contradomnio;portanto,f inversvel.Vamos egoaobterafrmulaquedefinefr: g=x3+ 1+x3=g 1+x= ifi e,perrnutandoxcomI, resulta: v=ifil 0 diagfamaabixomostraosgrficosdas dusfunes(simtricosemrelao bissetfiz dosquadrantesmpares). il I Vejamoscomoconstatarque a funo f: R * R dadapeafrmulag=x3+ 1inversvel, corooeen ,nainve-sddelecoaroconsr-i osgrcosdeambasasfLrnes. Afunog =x3+ 1 umafunocrscente emR e seugrficocontm,porexemplo,os p0nt0s: i"1 111. observao Vamosverificarseafuno: R* Rdadapela leig=x2inversv|. Essaunonoinversv|,pois,praU> 0, decorrex -= f,$ ouseja.precadag> 0exis- temdoisvalorescorrespondentesdex.Vja. m0s: etc. E,poroutroldo,paraU< 0 no correspondentex=ltflg. 37. Veriflque,em caducaso,seafunoreprescn- tadapelo g.flco sobrejetora.Em casoafrr- mativo,rifique seelatambmbijetora. a) f: R- R+ d) f: R- R- b) f:R*R e) f:R+.. c) f:R+*R+ f) t:R-R. ffi exercrclosrunt Classifiqueoserercciosde30 a 35 co-o: S,sea funofor somentesobrejetora;, seafunofor so- menteinietoraj3, sea funofo bijetora; O, sea funonofor irjetoranemsobrejetora. 30.r, {-2,-r, 0, r,2} * {0,1,4},definidapor f(x) = "2. 31. r ' 10,r, 2,31 - 1s,3,l, 7, definidapor f(x)=2x+I 3?. r, {-r,o,r,z}* {0,r,2,3,4,s},definidapor f(r) = x.' 1. 33.r,{-2,-r,o,r,z}* I-t,-t,0,r,2,3,4Lde, nidapor f(x) = x'j- 1. 34. r, N - N,d"nia"porf(x)= 3x+ 5. 35.t,Z-Z,d"^d^por f(x)= x- 5. 36.E- cadacaso,sejaf: R - R.Dosgficosa 5eguir,quai(osquerepresenlamfunoes I 38, Verique,emcadacaso,sef: A-. Binvesve, justificndosuarespost.Forne,quandoexis- tir,aeiquedefinef (x): a) A= {0,1,2,3ieB= {3,5,7,9;f(x)=zx+: b) A = {-1,0,1leB = {0,1};f(x)= 1, 39. S.juf, m--.rn a"noidaporf(x) = -2x + 1 a) Qualalei quedefine/ ? b) Repesente,no mesmopanocartesiano,os grfrcosde/e /-. 1 .' n=l r.{.+,-l leB-11,2,r,4t;fLx;- l | 2 t 4J I f 1 d) A = {-1,0,1,2}eB=l+,2,4,ll;(x)=2. tz ) e) A= {4;10,28}eB={1,3,2};(x)=log3(x 1) f) A = {-2,-r,0, l,2ie e = Z;f(x)= Ixl inietorsi 1,4 112. 40. s";"t, m*- pr aenidaporf(x)=x']. a) Quaaleiquedefinefr? b) Represente,nomesmoplanocaesiano,os grficosde/e fr. 41, S"juf, m - R o-" funode1egu daoapem eif(x) = 2x+ a,sendoaumaconstanterea.Qal ovaordef(3),sabendo-sequefr (9)= 7? 42.tn.ontt...-,ada caso.a leiquedenea in- a :|t(+1,{eIlx)= '-!- b) f:R-Ref(x)=xj c l:L{-i-Jl-L il'erLxr - ---------i 43. No grficos.guinteestorepresentadsasfun- es/e / ,definidasdeR emR. Qua a funes? Vamoschamardec ovalofinicaldepositadopor Cssio.oualserosaldonapoupenanomdo19ms daaplicao? Serc + 1%dec,ouseja: c+ac=c+0.01c=1.01c 100 oualserosaldoemcontanofnaldo29msde aplicao?Bem,no29msorndimentode1%ser calculadosooeosldoemcontnoimdo19,ouseja, sobre1,01c. 0,x 1>0ex-1+1 3 x>0+x0+x>1@ x-1* 1+x* 2 @ Fazendoainterseodosconjuntos@, @ e O,resulta1 0. lnicialmente,construmosumatabeladndo valoresaV,paradepoisclcularmosx. -? .::.-.:::-.'-,'....-.'..'_ i r::',;,:'i.1:i-,r-;. ::l 0 .- r'-::;:.'.:::i;!- :; :, : -r.-- r,-5-,1i:::-. z.- ,::,. ...;:: , i -..._-1: ' : :_-:. ",r1 ; 0 1 2 3 45678 0utromododeconstruiressegrficocon- ..toe-ro.e.e Ll_ log y -to. _ 2rr.l4+logo,t9 1,entoosnmerospositivosmenores que1 tm logartmosnegtivosnabseo e 0s nmerosmaioresque1tmlogaritmosPositivos nabaseo. Defto,sea > 1,temos: 0 < x< 1+ logax 1+ lo&x> log"1+logx > 0 Vejemosalgunsexemplos: .1otu0,80 . log2E>0 Se0 < a < 1,entoosnmerosPositivosme_ noresque1trlogaritmosPosiivosnbaseo eosnmerosmaiorsque1mlogaritmosne- gltvosnabaseo, Deto,se0< < l,temos: 0< x< 1= log"x> log1+ logx> 0 x> 1+ lo&x< loC"1+ logx< 0 Vejamosalgunsexemplos: .logo,20,5>0 . logo,30,81> 0 log?17< 0 logrtr5 ogL+ g) log,3 0 54. 1ur-ue) ,t nguraabaixoepresentao grfrco /1 datunof(x)=o& -:J. Mostre qre o valor da ea sombread -c . (log"2c'?)e expliquepor queessevaor um nmeropositivo. 119 117. {fi B,S C3 q! (5 f,-.} aTs LJ rn' - 5--- .{-r cs Osterremotosea escalaR.ichte.r Em 26 de dezembro de 2004 um terremoto de 9 graus na escalaRichter foi registrado na cosladailhadeSumaa.naIndoneia..8 h dr manha.O rerremoro0. Comoauxliodeumacalculadoa,vemosre- solversseguintesequees: a) 3"=s 3*=5=+x=log35 x=loe,s- l"-;1= uls=u =1,d65 '- l0gJ u,4((r b) 24x !=7 .4^ Za, r=2.,+L=?=24'=14= +16x=14+x=10g1614 . _, loq14_ 1.1461-^x roer614-ffi-: i'iffi =0es2 RetomandoaqustoproPostanoinciodes' te captulosobreemqnotmpoo valordo caminhosergualaR$20000,00,temosque resolveraequaoexponenclat: (0'e)-=0'2 Considerandolog2 = 0,3e log3 = 0,48, 1em0s: .2 '"5 10 lsto ,asondasdo terrcmoto que causoua devastaona sia so10000vezesais amplas que asdo terremoto em Ioo Cmara t x=roeo,qo,z=.19991= q -" 10 lop2- los10 = g r:tog 10 = Da,vem: n?n_t n7n x=:=:--+= :':: = 145 u,gb- I -u,u4 ou sej,o camnhovaler20 mlreisaps 17anosemeio. ,ffi#ruexercio$ffiiffiffi 5 5. Sabendoquelogz = 0,3elog3 = 0,48,resolva a.e8uinle'eqLraoe'ePonen'idi.comu{ lio dacalculadora: S5. nconomistasafirmam que a divid extrnade um determinado pais crescersegundoa le y = 40 1,2",sendo/ o vaorda dvida(embi lhes de dlarcs) e io nmero de anos trans corridos aps a di.Llgao dessapreviso.Em quanto tempo a dvid estarestimad em 90 bilhes de dlares?(Dados:og 2 = 0,3 e log 3 = 0,48.) log2 log10 2log3-log10 a) 3.=10 e) 2.=5 b) 4x=3 a 3a=2 / j +l tt 2.=21 c) i;l =i d) 10"=6 h) 2"=3 T?L 119. 57. FeipeapicouR$ 500,00em um tundo de n- vestimentoque ende I o/oao ms.Conforme aprenderenosem Matemtica Financera,o nortate (valorinicial+ juros recebidos)des- saapicao,daquia r meses,podeserexpresso por M(n) = 500 (1101)n, r Oudl e o montJntede,a apli.aaoaprj n1eioaro? b) Quaotempomnimo necessrioqueFeipe devemantero dinheroaplicadoaim deres gtarR$800,00?EparresgatarR$1000,00? (Uselog2= 0,3elog 1,01= 0,004.) 58. Dentro dei dcadas,contadasa partir dehoje, o vaor (emreais)deum imvesedadopor v = 80000. 0,9'. a) Qual o valor tualdesseimve? b) Qual a perda (em reais)no valor desse imvelduratea primeia dcada? c) Qul o tempo necessrio,em anos,par que o valor do imvel sejaR$ 60000,00? (Useog2= 0,30e log3 = 0,48.) 59,A expressaoseguinterecionao valor v, em reais,que um obl'etode ate te | anosapsa suaqu$lco: v(t) = 500 2r (k ' uma constantepositiva) a) Sabendoque o valor do objeto,apstrs anosdesuaaquisio, deR$2 000,00,de- termineo valor deft. b). Por qual valor esseobjeto de arte foj adquirido? c) Qua o tempo necesstiopara que o vaor do objeio seja de R$ 5 000,00? (Use1og2=0,3.) 60. populaao Equasredutves umaigualdadeentredois logantm0sdemesmbese logf(x)= log8(x) A s0luopode ser obtida mpondo-se f(x)=g(x)>0. Vamosresolveraequao: lo&(3-x) =log3(3x+7) Temos: 3-x=Jx+7>0 3 x=3x+7+4x=-4+x=-1 Subsituindqxpo 1ncondio3x- 7 > 0, vem3( 1)+ 7=-3 + Z) 0,queverdadeira. Fnro.S-{.t}. r LV_.2 120. > Equesredutveisa umigulddeentreum logritnoeumnmeroel log"f(x)= r Asouopodeserobtdampondo-sef(x)= a'. Vmosresolveraequaolog2(x'z+x4)=3. Temos: log.(x'z+x-4) = 3=+x2+x-4=23 -+ +x2 +x- 12= 0=+x=-4 oux = 3 ,._...5.111.11:1_1l ffiffiexerelcl0sffi 63. Resova,emR,asseguintesequaes: ) ogs(x + 4) = log57 b) og,(4x+ s) = og,(2x+ l) c) og3(5x'?-6x+ 16)= 1og3({d + 4x 5) d) log*(2x 3)=loC"( 4x+8) e) 1og1"r,1(x, 2x)=tog(,+r3 54, Resolva,emR,asseguintesequaes: a) loga(x+3)=2 b) 1og,(2x'z 3x+ 2) = 0 c) ogi'3x+1=-t d) og,(logrx)= I e) ogG[3+ 2. lo$ (x- 1)]=2 6 5 . Resolva,emR, asseguintesequaes: a) (og,x)2- 15= 21og,x (Sugesto:Faaog2x = y.) b) 21og'zx+logx1=0 c) (1o96,5x)3 3. (tog,.'x)'? 18. og0,5x = 0 66. rvune"p-rPrNumaplanraaode.errae.pe- ciede rvore,smedidasaproximadasda a- turaedodiinetrodotronco,desdeo insranre emqueasrvoressoplantadastcorpeta- rem 10anos,sodadasrespectivamentepes unes: H(t)= 1+ (0,8).oc,(t+ ) D(t)= (0,r) 2; .omH(r)eD(l)emmelroser emano:. Determine asmedidas aproximadas da al tula, em metrcs,e do dimetodo trcnco, em cendmetros,dasrvoesno momento em que sopantadas. altura deuma rvore 3,4m. Deiermine o dimetro aproximado do tronco dessa rvore, em cetmetros, t> Equaesqueenvolvemutilizaoclepropried- desoudemudndebase Vamosresolvera equo: 2 logx= log(2x- 3)+ log(x+ 2) Aequeopropostequivalea: logx'z= log[(2x- 3)(x+ 2)] eda,vem; logxT- log(2x2-x-6) -x'- 2x2- x 6 =+x2+X 6=0+x=-3oUX=2 . x = -3 nopodesereceito,poisnoexstem nesscasologx,log(2x 3)eog(x+2). . x = 2 soluo,possatisfazscondis dexistncidoslogaritmos. Ent0,S={2}. Vmosresolveraequaologax+ log,4= 2. Fazendolog4x= g,temos: -^ t0g4x u Assim,equaoddaficsendo: qr'- 2 >u/ 1=2u-u'-2u.I-0- +U=1+logax=1+x=4 . x-4 esojuo,poissatisfalscondioes dexistciadoslogaritmos. Ento,S={4} a) b) t "3 121. i# exercrcrosffiffi b. R'o1va, 0 ey > 0,cacueo vlordet, ondeI = . 71 -r r. KeFoLajm {j .l eqrLoe: a) og, r = log, 5 b) losae7x= og,7 c) 2o& (3x+,13)- log::(x+ 1)= 1+ ogu(x- 3) d) los, (x- l) + log, (x 2)=og,x 72.Au-.rrtu,rdo u- nrero r ile I unidaales,scu ogaritmoembase4 aumniademiaunidade. Qua o vordex? 23. (U. F. UbertndiaMG) A financeia Crdiro Nlort emprestadinhero a serscLjenlescorn a condiode que a dvida sejapagaen urna nica v2,de cordo com segui1teregra: pia um montante de I( reaisenprestados,o cliente, ao final de r meses,deverpagar a quanti de K . og0(t + 2) reis.Os conp dfe. n.ncio l b.+logar> logab Iogb(sea> 1) a> b log25+x > log25 32r+s< 7 32**s< 7=+log332,*s< log3z = =2x+5< togs7+x Inequaesred!tveisumadesguldadeentre logartmosdemesmabase logf(x)< log"B(x) Aquihdoiscsosconsideran . A base miorque1.Nessecaso, elo dedesigualdadeentref(x)e g(x)temo mes- mosentidoqueadesigualddeentreosloge- ritmos.Paraexistiremos logaltmos,deve- mosmportarbernque'x)egxseampo sitvos.Enl0, soluopodeserobtdaim- pondo-seque: log"f(x)< loe"g(x)+ 0 < (") < g(") . A baseestentre0 e 1,Nessecaso,a ea odedesigualdadeentre(x)eg(x)temsen- tidocontrroaodadesiguldadeentreos logaritmos.Paraexistiremoslogitmos,de vemosimportambmque(x)e g(x)sejam positivos-Ento,a soluopodeserobtida impondo-seque: loe"f(x)< loe"e(x)+ f(x)> g(x)> 0 Vamosresolveainquao: log,(2x 5)< log.x Condies:0+ (1) / 2x-50+x> 2 O x2>x+2=x2-x-2)0..+x Inequaesedutiveisaumadesiguadadeentre umlogarilmoeunnmeorel log"f(x)> r ou log,f(x)< r Pareresolveruminequaodessetpo,beste sLtbstjtuirI porlogaar;ssimjrecamosnuma inequodo19tipo. log"f(x)< | equivlealog"(x)< og,a' og"f(x)> equivalealog"f(x)> og"a' nequaolog,(2x 1)< 4. log2(2x- 1)< logr2a+ * . Vamosresolverai emos: logzl.zx- t) 0? t(+)' (' "F .fiJ g 1*- J .4- 0s sonse a aud.i.hnrnana Umapessoacomaudiooormalcapazdeour umagrandefaixadesonsdeintensidades ben rlcrentcr. Osompodeserclassficadocomofracoou fortequantoasuaintensdade,Querepresenta- dapor I No SI,SistemaInternaciona,I expressaemWm2 (watts/metroquadrado). L{isteumvaormnimodeintensidadedesom,abairodo qualimpossvelour algo.A essaintensidadedamosonome de lnnardc audblidade,quevale,emmdia,10 ']w/m'z. Combasenosvaloresdeintensidadedesom,podemosdefinir o dvel de.intelsidde(p) rnedidoemdecibels(dB): de refernciatomadocomolimiar de audio: I * ! ffi##exe!'flct0s ffi ?8. Resolva,emR,asseguintesinequaes: a) log,(x- l) < 1og23 b) log,x < log,2 c) og.(2x- 7) > log35 d) logo,.x 0,cadatermomaiorqueoanterio[ dizemos,ent0,queaPA.qrescenle(verexem- plosemquer= 3 e r=4). F- 0uando 0,cadatemo'renorqueonrer'on dlzemos,ento,quea PA. decrescente(ver exemlosemquer= -ier=-21.'Jt - Ouandor = 0,todosostermosdPA.soigLais; dzemos,ent0,queela sonstane(verexem' ploemquer= 0). Podemosobsevaraindaq!e,considerandotrs termosconsecuvosdseq-ncia(1,5,9, 13,17, 21,...),otermocenlaldadopelamdiiitntica entre0soulrosdorsterm0s: (a1,a2,a); 0 (1,s,9) - I +q -2 (ar,a.,ao); (a3,aa,a5) 00 (s,9,13) (e,13,17) Temos: (4,7,10,13,16,...),temosr = 3. fo,1,-3,-r,,".0.,=1rJtr (-5,-1,3,Z11,...),temosr=4. (2,7,Z,7,...),temosr=0. (1s,13,11,9,7,...),temosr=-2. .^ 9+17 --? i:"3 131. "i'*1r,"lil i;lt:lilI r.:...rir,r", vamosag0renc0ntrarumaexpressoq!e nos permitaobter!m termoquaquerdPA.,conhecen. doapenaso l9termoea raz0. lsso possvelgraes obedlncidosterrnos deumPA.a umaregraespecialdeormao. Sej(a1,a2,aj,...,an)umaPA.derezor.Temos: Determinemosx demodoque seqncE (x+ 5,4x- 1,x,- 1)sejaumapA. Uili/enoodpoprieodeoemdi-itmeiic (trstermosconsecutivos),podemosescrever: 'a) ,=T3 ar=.+i . 3 a2=r+ a3=2+ r+ . e4 Al=r=4=3+T+ Demodoger1,otermoon,queocupaa n-sima posionaseqncia, ddopor , a"=a,+(n-1) r l Essaexpresso,conhecidcomoiliir tl-'il,i lefi L,al,.: r?a'l , permte-nosconhecerqltaquer termodPA.emfunode01er.AssTn,porexern- plo,podemosescrever: z=41+6r rz=ar+11r aj2=t+31r Vamoscalcularo 209termodaPA.(26,31, 36,41,...). Sabemosquea,= 26 e r=31 26=5. UtiJizandoaexpressodotermogeral,pode- mosescreven a2a=ar+ tgt.) azl=26+ 19 5+20=121 Vamosdeterminra PA.quepossuiasse- gurntescarctersticas:o 109termovale16e a somado59como99termoigula2. Deacordocorno enuncido,tenos: la,"=16 i +9r=16 la5+q= Z l(a. + 4r)+(a,+Br)=2 f, + 9r= 16 I2ar+2t=2 Resolvendoosistem,seguer= 5ea1= 29. Assim,aPA.pdid( 29,-24,-19, 14,...). 8x- 2=x2+x+4+x2- 7x+6 = 0 ,Asrazesdessaequaosox = 1oux = 6. Podemosverificarque,parax = 1,a PA. (6,3,0)e,parax = 6,aPA.(11,23,35). Vamosinterpolaroitomeiosaritmticosen- rc2e47. r, ,,,,., ouinseriroitomeiosartmt,cus entre2 e 47 sgnificadeterminaroitonmeros rarsdemodoquesetenhunaPA.emque ar= 2 e an = 4? e osoitonmerossjma2, 43,*, a9,C0momostr0SqUemAbaixol (x+s)+(x'z1) 2 r-.1L:.1!i-?|r Da: oto lfmos 109lermo afi = ar+ 9(.+ 4?= 2+ 9r=+9r=45= r= 5 Assim,aseqnciprocda(?,?,12,17, 22,27,32, 37,42,4?). Vamosdescobrirquantosmltiplosd3exis, tementre100e 500. Aseqncidosmlriplosde3(0,3,6,9,...) eJmPA,de.a7o3,masoquenosinte.essae estudaressaseqnciaentre100e 500. Parsso,temos: . 0 primeiromltiplode 3 maiorque100 al= 102 ':, :l 132. . 0 ltimomltiplode 3 pertencenteaointer" vloddo498,quendicaremospordn,pors noconhecemossJposrceonaseqenci Assm,an= 498 flelon1do.queenosdeterTnt0numPr0 determos(n)deseqncia(102,105,...,498). PeotermogerldaPA.,temosl h=41+(n- 1) r 498=102+(n-1) 3+n=133 Portanto,h 133mhiposde 3 entre100 e 500. aiffi l::',,i,:i i..1,,..1.,:;:; ififfi&.Xffi4, " Quaisasseqnciasquerepresentamprogres- sesalitmticas? a) (21,25,29,33,37,...) b) (0,-7,7,-14,r4,...) c) ( 8,0,8,16,24,32,...) ,, /t I , a 5 ,- 3'l ' l'l'- / e) (-30,-36, 41, 45,...) t) (fe z.fe:, +rZ...t Dclcrminedrdlode..rdau rraJ.r'prugrc"or. itmticssegujntes,classificandoasenl crcs cente,clecrescenteou constante: a) 138,35,32,29,26,...) b) ( 40, 34, 28, 22, 16,...) , /r r-' 7',7',7'7',-l d) (90,80,70,60,s0,...) f I | (li 2,./5,1,1f3,5+r,...) . I-nr(laaodP.A..5'.44.tr,.28.....dercrrrine: a) seul8ltemo b) ale+ a- l!.-t.i.Em uma P.,o 7r teno vale-49 e o 1! tern'o vale-73. a) Qua a mzodessdP.? b) Qualo seu16!termo? c) Qualo seu19termo positivo? i, ", iscrevaa expressoilo termo geraldasseguin- tesprcgressesaritmticas: a) (0,5, 10,15,20,...) b) (-4,2, 8,14,20,...) .l (83,79,75,71,67,...) ' on'iderea 'equerciade numero.Inleiroe positivosque somtiposde3. a) Qual o termo geraldessaseqrcia? b) Qua o 60etermo dessaseqncia? Escrevaa PA. ernqr.reo 49termo vae24 e o 99 , Em un] PA. a3+ s= 14 e a; = 2ro+ 88. Dtenine: ) a razod PA. b) u, Esctevaosquatropimeirostermos asmeddasangularesapuradasentreumafigu- re outrsoinvariveis. Aindaa respeitodasfigurasapresentadas,po_ demosdizerquea pdmerafiguracomportaquatro vezesasegunda.0ualquersuperfcieencontradana fgura2 "cabe"exatamentequatrovezesnasuper_ fciecorrespondentedafigura1;veie,porexemplo, osqudriLterosB'LRX eBLRX,queformsuperpos- tosnafigura3. igura3 0emodogeral,quandocomparamosfigurese observamososftospresentados,dizemosqueelas sosemelhantes. Nocasodasigus1e 2,definimosa razode semelhanak como2 (daprimeiraparaasegund) 9u! 1665squndapdr plne raJ.A.emdrsso. 2" seldok 2,ara7odeserelhenaentleasea dasfiguras k2= 4. Vemosestudaremdetalheasemelhanaentre tringulos,devido suaimporlnciaemlvltm_ tice. lF;F r t.'^."F - "l'* -u )! lel l6'J{Lc"} ;"",''E'. "' Definio Doistringulossosemelhentesquandopos' suemosnguloscorrespondentesconguenteseos ladoshornlogosproporconais. Lembre-sedequeadoshomlogossoldosque ocupama mesmaposonasfig!ras. !yg: 'mesmo'"lugal Asflaesexpressasnoexemplol conrmm a oefinoi-rcra: pdq.e do5 t ingulos5em semelhantes,necessrioqueosng!osdeumse' jamcongruentesaosngulosdooutroe queos a_ doshomlogossejampoporcionis. Noentanto,veremosop0rtunamenteque,seuma dessascondiessatisfeita,aoutratmbmseve_ 'iciousej,sedoislringu'ospo--uemo' ^gu_ b :.v1" 169. 16 CclsoAA:"Doistringuos sosemelhantes quandopossuemdoisngulosrespectiva- menteconguentes." o'F ]* oor,- oo", =l =': Cosolll: "Sedoistringulospossuemoslados proporcioneis,elessosemelhantes." c' A o ' ", *F=#= F*oABc-aA'B'c j"? '+ 172. B" Observea frgura a seguir.Co$iderandoquc ^MNR - ^PNQ, o quesepodeatuarsobrea posio reltiva entre osdosPQ e MR? lusti fique. 0, Determinea medida Hringulosetangulosqueaptesentaruman. gu0 agudode300(conseqenternente,o outro nguloagudomede600).Procurremoscalcular osvaloresdsrazestrigonomtricasde300e 600.Pratanto,construiremosumtringuloeqi- lteroABCdeladoI, rranoosuahuraAH.d medid/. Temos: I BH=CH=1 2 BH=cH=30. PeloteoremadePitgoras,aplicadonoAAHC,ob- tem0s: Podmos,assirn,determinarasrazespocuradas: ( . sen10"=1+ sen30o=cos600=! (7 . 6653[" = ]+cos 30"= + cos30o=sen60= ? iE . rs600=I= L=rs60"=16 -((' zz tr ,nz=7' 1( 12.-n-l'[5 2/ 2 /./E L- ( " -f; -ta 13 ril - J 1H-!- 22 1*t . 1g300= tg60" 189. llmconseqncilrnportnte: "SeumtringLrloretngulopossulum de30',a hipotenusamedeo dobrodo oposloaessengu0." 0bserve,porexemplo,o vor desen45.Nessa ./. lbelapa.e'eovalot " !, er1ente oT.es0. .- z mero qLe.oost n ldbela' ornple'a5e1 450 = 0,?4711). A aitfreqnclcomqueos nguos notves aperen usfc aoresentdaodatbe a ' ro Comela,osccuosficamfciitados. 0bsefvndoafigurbaixo,podemoscalcu- iarsmedidasdossegmentosBDeCD. ngulo catet0 * Htringulosretngulosqueapresentmosdois ng.lor led ndo.crdun.4,0.VejTosoti^ gulorrnguloi- SejaotringuloABC,cutngulo, relativaaoJadoA 1" 2 Assm: cos(180" x)=cost:S"=-lE rtne ennc rr teoremdssssnCIs Emtodotrngulo,osladossoproporcio- naisaossenosdosngulosopostosaeles. t-ei .," 2. (180"-x)= sen(180' 45o)= sen135= :*s r', i_, c, .,.,' t | ' --: i Parao casoparticularde sn90o= 1ecos900=0. x = 900.temos 5en e CHa hura 197. ^cAH. sen=![ =+cg=osen ] .q t- ACBH.senB= fl1= CU= asenB ] + bsen= asen+ --!- = !-- senA senB Procedendodemodoan5lono. !- = -9-- - senB senC Podemosescfver,ento: senA senB senC Sejao tringuloABC,obtusnguloem,e CHa alturrelatvaaoldofB. c SejaotringuloABC,retngulo.Temos: c senB=!- a= !-l a senBI b . cnR sencsenL=:= a =-----:- senc l Poroutrolado,temos:sen = sen900= 1 e eb_ebc T- *"8 -- *"4 =sen= *"c Comopudemospercebefnostrscasos,emqual- quertringuloABCtemos: abc senA senB senC NotringuloABCdafiguraabaixo,vamosde- terminarasmedidasdeACeE. e=reo.-1:s"*+og=ros" I sene=sen1050=sen75o=0,96593 Pelaleidossenos,podemosescreve: AC BC AB sen400 sen35o sen105o AC BC 10 _^ n;;zq = n .o - .------:n o;or - 10352 l---"-'"-"""'"'-"" At= 10,3520,64279=6,65cme BC=10,3520,57358= 5,94cm ACAH:sen(180"0 = f,= '"n + 6ggH..unf,=Ita 6H=6sgrg a =bsen=asen=+ 9-= sena Procedendodemodoa-aloso:--i- = c - snA senC Podemosescrever,ento: "^= b-= "-senA senB senC b senB fifi 198. I I i AsmeddasdosldosABe BCdo1rineulo abixopodemsrexpressasemfunodame- diddoterceiroledo. bABBC sen600 sen459 sen75o ----l::. 49 , sen4!l r 6 -. gg= 1!9lZlr.6 senbu",, senbu"' 1,115 3. Dttermine a medida.rem cad.rcaso. a) 4. Det.-rminer medjdacloangutox. t c 0,816 tffiexerctctosmffi l.. Nur rrilnguoABC.JodddoB -o0o.C-45o e AB _I Lm.Determineo .omprimenlode A(-. 5, No ttiarrg.,toenC dafigura,dteinineasme- didasdeABe BC. 6. Encontreosnguos.e deumtringdoABC, emqueA 5",'enB- l e'ent - r.lnr seguida,determinea medidadeAB, sendo AC=5cm. 2 . Bmcailacaso, SejaotringuloABC,acutngulo,eCH= h a me- didadaakurrelativaaoladoAB. BCHIa2= h2+ (c m)'z AACH:h2= b2 m2 I +a2=b2-m2+c2-2cm+m2+ =+a2=b2+c2-2cm Masm=bcos. ssim,a2= b2+ c2 2bccos. Anelogamente,podemosescrever: b2= a2+ c2- 2accos e c2= a2+ b2 2abcosi' SejaotrnguloABC,obtusnBuloem,eCH=h a medidadakurarelativaoladoAB. 8CH:a'?=h2+ (c+ m)'zI ACH:h2= b2 m2 ) =a2=b2 m2+c2+2cm+m2+ =a2 = b2+c2+2cm Masm= bcos(1800-)= b(-cos)= ocos. Assim,a2= b2+ c2 2bccos. { t 200. Analogamente,podemosescreven b2= a2+ c2- 2accos e c?=a2+b2 Zabcos > NocasodeotringuoABCserretngulo(em, porxemplo),comocos900= 0,verica-se igualdadea2=b2+c22bccosg0o,quesereduz expressodoteoremadePitgoras.Paracada umdosdoisngulosagudosdotringulo(be6) cberiaumadernonstraoanloga pimer. Comopudemospercebernostrscasos,emqual- quertringuloABCternos: Umtringulopossuiumngulode600com- prndidoentreladosde5cmeI cm. Podemosdeterminar medidado ladoAC usandoa leidoscossenos: b2=52+82 2.5.g.cos60o b?-25 t64.2.5.8 I -49-b-/ ? Assim,oterceiroladodolringulomede7cm. Valerelembrrduasimpo(antespropriedades acercadoslringulos: t Emtodotringulo,asomadasmedidasdedois ladossupera rneddadooutrolado(desgual- ddetriangular). BC< AB+AC AC, t't rDIli .) rf,2+ 2b'- Sendod a nedida da hipotenusr, e c smedidas doscatetos,dinciaentrePeQguala: d) lE lF O [t+ 3F Utze s ifomnes dadas para anaisar as ak- maesseguntes. a) AB = lGcm b) O senodeum dosnguosagudosno trinsulo 113 ABDjsuala-. c) BC=3rEcm d) O penetodo qadriteroABCD isuala (o16+ +rI- cm. e) AC= 113+ {6cm 11. (Unifo-CE)Nguraabaxoten-seumoctgono eguarinscritoem una circunfernciade raio 2 cm. rguala: a) 16r[ b) 32 c) 321r-12 d) l6!2 - 2 el 1614- r2 octiono,em centimetros, 1?. LlarecsPr Lm um pdr4rc.oqrdmnABr D. )5han. ABe qD medenr.re.pc:riv!1lenre.' 2!m er(m e e o nguloagudoforndo por essesados.Seadj gonal mor mede 2x cr, entoo ngo 0 ta quel . - vt4 r cosv= 4 .5 b) sene=; .^5cl cosu =-- .^l or senu =-' e) tge =.,q 13. tur prl Num triguoetnguloum doscatetos medeacmebissetizdonsuloretomedecn. Classifiquecomoverdadeira(v) ou flsa(F) cada umndassentenasabixo: ^.fma) Amedrd.rdahp"ttru bl medidadooutroctdoA cm.'a c) O tringuoisscetes. d .omad,' meddJ'do.cdrero.e . 8. (MackenzeSP)Trsihas,A,3c C,aparecemum apaenesc141:10000,comonafiguraabao: B t A 12cm C Dasalternativas,a que meho apronn a distncia entreasilhs e.8: d) i,9 km c) 2,1knib) ,4km c) 2,3l(m 9. (IEI-SP)EnumtinguloABCosladosopostosaos JrtsJu. A e s .ro.rt'.pc.r.umenle.,c b.rdnqrrr a= 2b. A "{ JbPcd" que o Jn6 u mede u' e cnF .fa sen60"=+1, assinalealternativacorret: 10. (Uf-sE) No quadriteroABCD da figura abaxo, . nguloBD reto; . BD =:l cm e CD = 6 ct; . BDC = 60"; . a tangentede eln t o dobro da tangentede ABD, ) =os"e=s" d) =4s"e=75" bl =30.e=eo" c) =75'"=a5' c) =eo.ei=30. :r16 204. 14. 1c"r"t-ucyNn retnguloem a) :[ ,, 3.i' ,2 6guraabaixo,o trinsuLoBC eM ebnsenizdoJnguJo,4. . !!l -'5 ,. S+F "l ,' menino, fartado 6m d parederral,mirando em A, v o ponro B n abbada. F --To _ Consdeando-seosolhos do menino a 1m do chao edesprezando-sea espessuradasparedesparao c - ctrlo, ltura do ponto B ao cho : f eA( rJeAr4 r2,JmrdidJdr,ripotelL.dBCe: .. 2I ,i ) ). n' IJ. rU. h lz de Iora Mrr,lmd re.q,ri po$r!iLrJ abbada semi esfricade a m de aio, cujo ceto dista7m do choe5 m dspredeslaterais.Agrua abaio representaum cote em perfil, em {rue ux ul tt;f. e) sm t.rll ^ ---'---'l I a ...- ^, ,. I r.. (lMt RJ) Um quadrto convexoABCD estinscritoen um semcjrculode dimetrod. Sabe_seqe j AB=BC=4AD=deCD=b,cond,rednonuos.Demonsrrequedr=bd+2a,. l ;r 205. l 2 3 5 6 8 I t0 11 17 13 l5 t6 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27' 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 39 40 42 43 45 Sh 0,41745 0,03490 0,05234 0,06976 0,08716 0,10453 0,12147 o,13917 0,15643 0,17365 0,19047 0,20791 o,22495 o,24192 o,25AA2 o,27564 0,29237 0,30902 0,34202 0,35837 4,37461 0,39073 4,40674 0,42262 0,43837 0,45399 0,46947 0,48461 0,50000 0,51504 0,5