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For almost as long as there have been computers, people have tried out ways of creating origami—or at least, folded paper shapes—using computational techniques. Once they began developing computational tools for folding, there arose the supporting field of computational origami: the study of mathematical laws and data structures that apply to the intersection of computing and folding. Computational origami is a subset of the branch of computer science known as computational geometry; many of the algorithms of the former have broader applicability in the latter. We see, for example, the straight skeleton appearing in problems as diverse as the design of origami insects and the design of pitched roofs on buildings! The practical realization of computational origami theory and algorithms are tools—computer programs — that carry out origami design and computations (more informations in http://www.langorigami.com/science/computational/computational.php).
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Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Origami Matemático
Augusto Ícaro F. da Cunha
Universidade Federal de Alagoas, Campus A. C. SimõesTabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970
Professora: Anayara Gomes dos [email protected]
30 de Março 2012
Origami Matemático Projetos I
Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Sumário
MotivaçãoHistória doOrigamiConstruçõesMatemáticasProblema daTrissecção deÂngulos
Origami Matemático Projetos I
Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Sumário
MotivaçãoHistória doOrigamiConstruçõesMatemáticasProblema daTrissecção deÂngulos
Origami Matemático Projetos I
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Sumário
MotivaçãoHistória doOrigamiConstruçõesMatemáticasProblema daTrissecção deÂngulos
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Sumário
MotivaçãoHistória doOrigamiConstruçõesMatemáticasProblema daTrissecção deÂngulos
Origami Matemático Projetos I
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Motivação
Dar uma breve explanação sobre OrigamiMatemático para a turma de Projetos I
Mostrar uma das áreas de atuação na grandeárea da Matemática Aplicada
Origami Matemático Projetos I
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História da Origami
Origami é uma palavra composta das parcelas oru(dobrar) e kami (papel), consistindo na artejaponesa de dobrar papel, geralmente quadrado,sem recurso a cortes e com faces de cores diferentesNo decorrer dos séculos o origami foi se devidindoem oriental e ocidental, caracterizado por diferentesperfis de artistasEm 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origamiAtualmente Robert J. Lang emcabeça o origamicomputacional
Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)
Origami Matemático Projetos I
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História da Origami
Origami é uma palavra composta das parcelas oru(dobrar) e kami (papel), consistindo na artejaponesa de dobrar papel, geralmente quadrado,sem recurso a cortes e com faces de cores diferentesNo decorrer dos séculos o origami foi se devidindoem oriental e ocidental, caracterizado por diferentesperfis de artistasEm 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origamiAtualmente Robert J. Lang emcabeça o origamicomputacional
Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)
Origami Matemático Projetos I
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História da Origami
Origami é uma palavra composta das parcelas oru(dobrar) e kami (papel), consistindo na artejaponesa de dobrar papel, geralmente quadrado,sem recurso a cortes e com faces de cores diferentesNo decorrer dos séculos o origami foi se devidindoem oriental e ocidental, caracterizado por diferentesperfis de artistasEm 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origamiAtualmente Robert J. Lang emcabeça o origamicomputacional
Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)
Origami Matemático Projetos I
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História da Origami
Origami é uma palavra composta das parcelas oru(dobrar) e kami (papel), consistindo na artejaponesa de dobrar papel, geralmente quadrado,sem recurso a cortes e com faces de cores diferentesNo decorrer dos séculos o origami foi se devidindoem oriental e ocidental, caracterizado por diferentesperfis de artistasEm 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origamiAtualmente Robert J. Lang emcabeça o origamicomputacional
Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)
Origami Matemático Projetos I
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História da Origami
Origami é uma palavra composta das parcelas oru(dobrar) e kami (papel), consistindo na artejaponesa de dobrar papel, geralmente quadrado,sem recurso a cortes e com faces de cores diferentesNo decorrer dos séculos o origami foi se devidindoem oriental e ocidental, caracterizado por diferentesperfis de artistasEm 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origamiAtualmente Robert J. Lang emcabeça o origamicomputacional
Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)
Origami Matemático Projetos I
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História da Origami
Origami é uma palavra composta das parcelas oru(dobrar) e kami (papel), consistindo na artejaponesa de dobrar papel, geralmente quadrado,sem recurso a cortes e com faces de cores diferentesNo decorrer dos séculos o origami foi se devidindoem oriental e ocidental, caracterizado por diferentesperfis de artistasEm 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origamiAtualmente Robert J. Lang emcabeça o origamicomputacional
Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas
Mas qual a relação de origami com matemática?
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)
Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)
Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros
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Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)
Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros
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Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)
Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros
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Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)
Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)
Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)
Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
MudularesPoliedros Convexos enão convexosConstrução feita pormodulosAbrange conceitos deTopologia, Grafos,Geometria e outrosA principal regra é aCaracterística de Euler(V − A + F = 2)
Não ModularesConstrução através deum quadradoConstruçõesEuclidianasGeometria Plana*Abrange conceitos deGrafos, EDO,Probabilidade,Geometria Diferenciale outros
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas - Axiomas
Dados 2 pontos P1 eP2, podemos dobraruma linha que os uneDados 2 pontos P1 eP2, podemos dobrarP1 em P2
Dadas 2 linhas l1 el2, podemos dobrar l1em l2
p1
p2lf
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Construções Matemáticas - Axiomas
Dados 2 pontos P1 eP2, podemos dobraruma linha que os uneDados 2 pontos P1 eP2, podemos dobrarP1 em P2
Dadas 2 linhas l1 el2, podemos dobrar l1em l2
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Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas - Axiomas
Dados 2 pontos P1 eP2, podemos dobraruma linha que os uneDados 2 pontos P1 eP2, podemos dobrarP1 em P2
Dadas 2 linhas l1 el2, podemos dobrar l1em l2
p1
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Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas - Axiomas
Dado um ponto P1 e umalinha l1, podemos dobraruma linha perpendicular a l1que passa por P1
Dados 2 pontos P1 e P2uma linha l1, podemosdobrar P1 em l1 de tal formaque a nova dobra passe porP2
Dados 2 pontos P1 e P2 e 2linhas l1 e l2, podemosachar a linha que projeta P1em l1 e projeta P2 em l2
lf
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p1p2
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Construções Matemáticas - Axiomas
Dado um ponto P1 e umalinha l1, podemos dobraruma linha perpendicular a l1que passa por P1
Dados 2 pontos P1 e P2uma linha l1, podemosdobrar P1 em l1 de tal formaque a nova dobra passe porP2
Dados 2 pontos P1 e P2 e 2linhas l1 e l2, podemosachar a linha que projeta P1em l1 e projeta P2 em l2
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Construções Matemáticas - Axiomas
Dado um ponto P1 e umalinha l1, podemos dobraruma linha perpendicular a l1que passa por P1
Dados 2 pontos P1 e P2uma linha l1, podemosdobrar P1 em l1 de tal formaque a nova dobra passe porP2
Dados 2 pontos P1 e P2 e 2linhas l1 e l2, podemosachar a linha que projeta P1em l1 e projeta P2 em l2
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Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas
Construção de retângulo numpedaço de papel qualquerConstrução de quadradoConstrução de TriânguloEquilátero
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas
Construção de retângulo numpedaço de papel qualquerConstrução de quadradoConstrução de TriânguloEquilátero
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas
Construção de retângulo numpedaço de papel qualquerConstrução de quadradoConstrução de TriânguloEquilátero
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Mas como contruir um triângulo equilátero a partir deum quadrado?
A B
C
O
B' A'
C'
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Obtenha um pedaço depapel quadradoDobre uma reta de apoio nametade do quadradoLeve uma das pontas A ouB do quadrado para a linhade apoio de forma tal quese forme uma diagonal daquina oposta até a linha deapoioRepita o processo para aponta oposta A B
C
O
B' A'
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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Obtenha um pedaço depapel quadradoDobre uma reta de apoio nametade do quadradoLeve uma das pontas A ouB do quadrado para a linhade apoio de forma tal quese forme uma diagonal daquina oposta até a linha deapoioRepita o processo para aponta oposta A B
C
O
B' A'
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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Obtenha um pedaço depapel quadradoDobre uma reta de apoio nametade do quadradoLeve uma das pontas A ouB do quadrado para a linhade apoio de forma tal quese forme uma diagonal daquina oposta até a linha deapoioRepita o processo para aponta oposta A B
C
O
B' A'
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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Obtenha um pedaço depapel quadradoDobre uma reta de apoio nametade do quadradoLeve uma das pontas A ouB do quadrado para a linhade apoio de forma tal quese forme uma diagonal daquina oposta até a linha deapoioRepita o processo para aponta oposta A B
C
O
B' A'
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Marque o ponto da reta deapoio que liga os 2 lados,que chamaremos de CDobre uma reta de apoioentre AC e BCVemos que a projeção de Bem AC é B′ e a projeção deA em BC é C ′
Observe que o Triânguloformado por ABC e A′B′C ′
são equiláterosA B
C
O
B' A'
C'
Origami Matemático Projetos I
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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Marque o ponto da reta deapoio que liga os 2 lados,que chamaremos de CDobre uma reta de apoioentre AC e BCVemos que a projeção de Bem AC é B′ e a projeção deA em BC é C ′
Observe que o Triânguloformado por ABC e A′B′C ′
são equiláterosA B
C
O
B' A'
C'
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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Marque o ponto da reta deapoio que liga os 2 lados,que chamaremos de CDobre uma reta de apoioentre AC e BCVemos que a projeção de Bem AC é B′ e a projeção deA em BC é C ′
Observe que o Triânguloformado por ABC e A′B′C ′
são equiláterosA B
C
O
B' A'
C'
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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Marque o ponto da reta deapoio que liga os 2 lados,que chamaremos de CDobre uma reta de apoioentre AC e BCVemos que a projeção de Bem AC é B′ e a projeção deA em BC é C ′
Observe que o Triânguloformado por ABC e A′B′C ′
são equiláterosA B
C
O
B' A'
C'
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Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Mas como fazer a trissecção de um ângulo agudo noorigami?
Q
C
P
A'
BA
P'
Q'
ROrigami Matemático Projetos I
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Trissecção de Ãngulos
Marque o ângulo para atrissecção e este anguloserá o ]PCBDobre uma reta de apoioqualquer EF paralela a BCAgora dobre BC sobre EFformando a reta de apoioGHFaça uma dobra de formatal que o ponto B ∈ GH eE ∈ BP
D
A
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C
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G H
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Trissecção de Ãngulos
Marque o ângulo para atrissecção e este anguloserá o ]PCBDobre uma reta de apoioqualquer EF paralela a BCAgora dobre BC sobre EFformando a reta de apoioGHFaça uma dobra de formatal que o ponto B ∈ GH eE ∈ BP
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Origami Matemático Projetos I
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Trissecção de Ãngulos
Marque o ângulo para atrissecção e este anguloserá o ]PCBDobre uma reta de apoioqualquer EF paralela a BCAgora dobre BC sobre EFformando a reta de apoioGHFaça uma dobra de formatal que o ponto B ∈ GH eE ∈ BP
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Trissecção de Ãngulos
Marque o ângulo para atrissecção e este anguloserá o ]PCBDobre uma reta de apoioqualquer EF paralela a BCAgora dobre BC sobre EFformando a reta de apoioGHFaça uma dobra de formatal que o ponto B ∈ GH eE ∈ BP
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Origami Matemático Projetos I
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Trissecção de Ãngulos
Dobre ao longo da linhademarcada por G, criando oponto JDesdobreEstenda a dobra anterioraté a quina formando BJ edobre BC sobre BJPronto, agora observe queo ângulo foi trisectado
A
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C
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Trissecção de Ãngulos
Dobre ao longo da linhademarcada por G, criando oponto JDesdobreEstenda a dobra anterioraté a quina formando BJ edobre BC sobre BJPronto, agora observe queo ângulo foi trisectado
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Trissecção de Ãngulos
Dobre ao longo da linhademarcada por G, criando oponto JDesdobreEstenda a dobra anterioraté a quina formando BJ edobre BC sobre BJPronto, agora observe queo ângulo foi trisectado
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Trissecção de Ãngulos
Dobre ao longo da linhademarcada por G, criando oponto JDesdobreEstenda a dobra anterioraté a quina formando BJ edobre BC sobre BJPronto, agora observe queo ângulo foi trisectado
A
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Agradecimentos
Grato Pela Atenção!
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Contatos
Como me contactar?Augusto Ícaro - [email protected]
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