(m.d.c. e m.m.c.)

Máximo Divisor Comum – é o maior divisor comum entre dois ou mais números

Mínimo Múltiplo Comum – é o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números, e que não anula (ou seja, não pode ser o zero)

Para calcularmos tanto um máximo divisor comum como um mínimo múltiplo comum é necessário saber como decompor um números em fatores primos.

Para decompor um número em fatores primos, vamos ter que dividi-lo sempre pelo número mais pequeno

possível!

Exemplo: Queremos decompor em fatores primos o número 96.

96 2

48 2

24 2

12 2

6 2

3 3

1

96 é divisível por 2, dando 48

48 é divisível por 2, dando 24

24 é divisível por 2, dando 12

1 não é divisível por nenhum número de modo a dar um número inteiro que não seja ele mesmo

12 é divisível por 2, dando 6

6 é divisível por 2, dando 3

3 não é divisível por 2, mas é divisívelpor 3, dando 1

Então:96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 396 = 25 x 3

Agora que já sabemos decompor números em fatores comuns, mais facilmente aprenderemos como obter o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum

de dois ou mais números.

É o produto dos fatores comuns do maior expoente

Isto significa:

Perante dois números e a sua decomposição em fatores primos, juntamos todos os números da decomposição que são comuns a ambos os números, quando o número é igual colocamo-lo só uma vez, mas quando têm expoentes diferentes, colocamos o número comum com maior expoente– obtendo assim o máximo divisor comum.

Exemplo:

96= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 25 x 3

60 = 2 x 2 x 5 x 3 = 22 x 5 x 3

96 2 60 2

48 2 30 2

24 2 15 5

12 2 3 3

6 2 1

3 3

1

Conseguimos ver que entre 96 e 60, os números em comum na decomposição de fatores primos são o 2 e o 3. Logo, m.d.c. (96,60) = 2 x 3

Mas... Se olharmos com atenção, o número que temos tanto na decomposição de 96 como na de 60 não é 2 mas sim 25 ou 22.

Como não podemos colocar dois números iguais, embora tenham expoentes diferentes, colocamos só aquele que tem o maior expoente (neste caso, o 25).

Então, m.d.c. (96, 60) = 25 x 3 = 10 x 3 = 30

É o produto dos fatores comuns e não comuns do maior expoente

Isto significa:

Perante dois números e a sua decomposição em fatores primos, juntamos todos os números da decomposição. Quando o número é igual colocamo-lo só uma vez, mas quando têm expoentes diferentes, colocamos o número comum com maior expoente– obtendo assim o mínimo múltiplo comum.

Exemplo:

96= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 25 x 3

60 = 2 x 2 x 5 x 3 = 22 x 5 x 3

96 2 60 2

48 2 30 2

24 2 15 5

12 2 3 3

6 2 1

3 3

1

Conseguimos ver que entre 96 e 60, os números em comum na decomposição de fatores primos são o 2 e o 3 e os não comum são o 5. Logo, m.m.c. (96,60) = 2 x 3 x 5

Mas tendo com base o que já aprendemos antes sobre os expoentes (apenas colocamos o número comum com maior expoente), obtemos:

m.m.c. (96, 60) = 25 x 3 x 5 = 10 x 3 x 5 = 30 x 5 = 150