MÁXIMO DIVISOR COMUM (mdc) – 5ª SÉRIE

É o maior dos divisores comuns entre dois ou mais números.Exemplo: Vamos considerar todos os divisores dos números 24 e 30.Divisores de 24:

D(24) ={ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24 }

Divisores de 30:

D(30) = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30 }

Podemos notar que: os divisores comuns são 1, 2, 3 e 6; o maior desses divisores comuns é o 6.

Dizemos, então, que 6 é o máximo divisor comum entre 24 e 30, e escrevemos: mdc(24, 30) = 6

DETERMINAÇÃO DO mdc ENTRE NÚMEROS NATURAIS

1º MÉTODO: Através da decomposição em fatores primos

Multiplicamos os fatores primos comuns de menores expoentes.

Exemplo: mdc (60, 168)

60 2 168 2 30 2 84 2 15 3 42 2 5 5 21 3 1 7 7 1

60 = 22 . 3 . 5168 = 23 . 3 . 7

Fatores comuns de menores expoentes: 22 e 3Mdc (60, 168) = 22 . 3 = 4 . 3 = 12

EXERCÍCIOS

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1) Determine o mdc nos seguintes casos: (faça no caderno)a) mdc (12, 18) h) mdc ( 20, 4, 8)

b) mdc (20, 25) i) mdc (8, 15)

c) mdc (48, 40) j) mdc (40, 25)

d) mdc (70, 112) l) mdc (14, 49, 70)

e) mdc (8, 24, 28) m) mdc (120, 84)

f) mdc (6, 8, 10) n) mdc (216, 288)

g) mdc (7, 14, 21) o) mdc (200, 1000, 1600)

2º MÉTODO: Através de divisões sucessivas.

Dividimos o maior dos números dados pelo menor e, em seguida, continuamos a efetuar divisões utilizando os restos como divisores, até chegarmos a uma divisão exata. O último divisor será o mdc entre os números dados.

Exemplo: mdc (36, 60)

1 quociente 60 36

1º passo: 60 36 24 1

24

1 quociente 36 24

2º passo: 36 24 12 1

12

2 quociente 24 12

3º passo: 24 12 mdc 0 2

0

Os diversos passos podem ser reunidos num único processo:

2

1 1 2

60 36 24 12 divisores

24 12 0

restos

EXERCÍCIOS

1) Determine o mdc pelo método das divisões sucessivas:

a) mdc (25, 60) i) mdc (40, 25)

b) mdc (28, 35) j) mdc (120, 84)

c) mdc (60, 90) l) mdc (64, 96)

d) mdc (16, 40) m) mdc (180, 450, 90)

e) mdc (32, 120) n) mdc (120, 300, 540)

f) mdc (8, 10) o) mdc (240, 180, 72)

g) mdc (9, 12) p) mdc (75, 60, 150)

h) mdc (60, 15)

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando o maior divisor comum entre eles é o número 1.

Exemplos:

1) 2 e 3 são primos entre si, porque mdc (2, 3) = 1

2) 7, 8 e 15 são primos entre si, porque mdc (7, 8, 15) = 1

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