Mecânica Clássica X Mecânica Quântica

Mecânica Clássica X Mecânica Quântica Maria Teresa Thomaz (IF/UFF)

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Apresentação

1. Mecânica Clássica X Mecânica Quântica

2. Dinâmicas: clássica X quântica

3. Equação de Schrödinger e suas consequências

3.1. Autoestados de energia

3.2. Tunelamento

1

Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt...

2


1. Mecânica Clássica X Mecânica Clássica

. Mecânica Clássica

O que significa na Mecânica Clássica descrever o estado de um objeto?

Dada a posição inicial : r(0) e a velocidade inicial: v(0), somos capazes de saber qual é a posição do objeto em

qualquer outro instante t : r(t).

O que significa velocidade?

3


Relembrando o significado geométrico: limite e derivada.

. Limite :

O limite de uma função f(x) é o valor para o qual ela se aproxima à medida que a variável x se aproxima de um valor estipulado, sem jamais ser igual a ele .

Ex. 1. f(x) = 2x2

{

8)(lim2

xfx


4

Ex. 2. g(x) = 2,10

2,2 2

x

xx{

8)(lim2

xgx

5


Relembrando algumas relações do triângulo retângulo :

B A

C

c a

b

catetos: b, c

hipotenusa : a

222 cba

a

b)cos(

a

csen )(

θ

)cos(

)()(

sentg

b

ctg )(

6


. Derivada : Consideramos um exemplo particular para entender o significado geométrico da derivada de uma função f(x) em relação a ponto pré-definido x.

Continuamos com : f(x) = 2x2 . A derivada de f(x) no ponto x=2 é definida como:

2x

)2(f)x(f|

dx

)x(dflim

2x2x

x f(x)

3 18

2,1 8.82

2.000001 8.000008

2x

)2(f)x(f

101

10

2.81.0

82.0

000002.800001.0

000008.0

23

)2(f)3(f)(tg

1

Coeficiente angular da reta tangente a curva f(x) em x=2 : 2x2x

|dx

)x(df

2x

)2(f)x(f)(tg


7

Outra maneira de escrever a derivada de uma função f(x) no ponto x=2:

.x

)2(f)x2(f

2x

)2(f)x(f|

dx

)x(dflimlim

0xx2x2x2x

Para f(x) = 2x2 :

x

42])x(x44[2

x

22)x2(2|

dx

)x(df 222

0x2x

8x28x

)x(2

x

x8

0x0x

2

0x

A derivada de uma função g(x) calculada num ponto x:

.x

)x(g)xx(glim

dx

)x(dg0x

2x|

dx

)x(df

,)(tg coeficiente angular da reta tangente .


8

Algumas propriedades das derivadas:

,0dx

)a(d.1

,dx

)x(dfa

dx

))x(fa(d.2

,dx

)x(dg

dx

)x(df

dx

))x(g)x(f(d.3

sendo que a é qualquer valor constante e f(x) e g(x) são

quaisquer funções .

Exercício: utilize a definição de derivada de uma função g(x) para mostrar as propriedades acima.

9


A velocidade v(t) é uma medida de quanto a posição do objeto durante um intervalo muito curto de tempo ∆t. Para um intervalo de tempo ∆t → 0,

A relação entre o momento linear p(t) de uma

partícula de massa m e a sua velocidade v(t) é:

p(t) = m . v(t) .

Para simplificar a apresentação, vamos discutir o movimento em 1 dimensão, por ex. ao longo da direção x .

Veja como é importante o conceito de limite no estudo do movimento.

.t

)t(x)tt(x

m

)t(p)t(v

0t

10


Em resumo:

O movimento de qualquer objeto está completamente determinado se damos sua trajetória : r(t) e v(t) em

cada instante t. Note que r(t) e v(t) são funções do tempo t .

. Cinemática da Mecânica Clássica :

r(t) e v(t) trajetória

11


. Mecânica Quântica

Vamos tratar sistemas quânticos em 1-dimensão, por exemplo

ao longo da direção x .

Princípio da Incerteza de Heisenberg :

∆ x : incerteza na posição da partícula

∆ p : incerteza no momento linear da partícula

h : constante de Planck, mas

sJxh

.1005,12

34

OBS: energia: [mv2] → J

momento: [mvr] → J. s angular

2.

px

12


Consequência do Princípio da Incerteza de Heisenberg:

para ∆t → 0 temos

e pelo princípio da incerteza de Heisenberg,

∆ x → 0 ħ = 1,05 x 10-34 Js

Conclusão: não podemos conhecer simultaneamente a posição x(t) e o momento linear p(t) de qualquer objeto

quântico objetos quânticos não seguem trajetórias.

Precisamos de uma nova cinemática para os sistemas quânticos.

.)()()(

0 t

txttx

m

tpt

xp

.2

.

t

)t(x)tt(x~p


13

Relembrando o valor da cte de Planck: ħ = 1,05 x 10-34 Js

O valor de ħ nos informa quando a natureza quântica

é importante.

Ex. : chute em uma bola de futebol (momento angular de um sistema macroscópico (dia-a-dia))

O momento angular da bola em relação ao ponto O (o pé do goleiro):

os vetores e formam um ângulo de 90º,

m = 0,5kg, v = 20 m/s (~80km/h) e r = 2m

dia-a-dia: L >>> ħ.

Qdo olhamos a areia da praia ela parece contínua, mas quando cai um grãozinho no olho da gente ... Onde está o

grãozinho do mundo quântico?

vmrprL

mvrL .

!!!1009.12205.0 33 JsL

r

p


14

O princípio da Incerteza de Heisenberg tem alguma influência no movimento de um lápis apoiado sobre a sua ponta fina ?

O princípio da incerteza de Heisenberg aplicado ao centro de massa (CM) do lápis:

m lápis = 5g ∆xCM = 0,1mm

Para simplificar as contas: x

p

~

O lápis roda em torno da sua ponta qdo a linha vertical que passa pelo CM não passa por nenhuma parte deste ponto de apoio :

vmx

p

~~

∆v ~2 x 10-26 cm/s = vCM

Distância percorrida pelo CM antes de tombar: CMCM

tvx

x

2~

tCM ~10+25s ; tUniver ~1.5x 10+17s tCM ~108x tUniv !!

2.

px


15

2. Dinâmicas: clássica X quântica

O que a Física deseja em cada fenômeno ?

Conhecido o estado inicial do objeto sob estudo, ser capaz de determinar o seu estado após ter decorrido um intervalo de tempo qualquer t.

Vamos estudar a evolução no tempo (dinâmica) de sistemas conservativos (a energia total se conserva). Em sistemas conservativos não temos forças tipo força de atrito em que temos perda de energia do sistema. Sobre esses sistemas estudados agem apenas as forças conservativas.

Exemplo de forças conservativas :

força da gravidade força elástica/mola


16

. Dinâmica Clássica

i) condições iniciais : x(0) e v(0)

ii) 2ª lei de Newton : )()(2

2

tmatFdt

xdm

x(t), v(t)

} }

Ex. 1. Força de Hooke (força elástica da mola)

F (x) = - kx

x (t) = A sen (ωt + φ0) ,

onde

x(0) = A sen (φ0) , v(0) = ωA cos(φ0)

e

m

k


17

Ex. 2. Força da gravidade

zmgF ˆ

sendo g a aceleração da gravidade .

A 2ª lei de Newton, para a força da gravidade, nos dá para qualquer instante posterior t :

)0(2

1)(

0

2 ztvgttz

onde v0 é a velocidade com que o objeto passa na posição z(0).

Resumo : conhecida a força F(t) que age sobre o objeto e

a sua posição inicial x(0) e a sua velocidade inicial v(0), a 2ª lei de Newton nos determina exatamente a sua posição e velocidade em qualquer outro instante t

a dinâmica clássica é determinista.


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. Dinâmica Quântica

i) x(t) e p(t) não são as quantidades para descrever um sistema quântico : princípio da incerteza de Heisenberg.

ii) a lei de conservação de energia continua válida no mundo quântico.

),(2

2

xVm

pE

A lei de conservação da energia total para uma partícula de massa m que possui momento linear p sob a ação de uma força conservativa é:

lembrando que p2/2m é a energia cinética (movimento) e V(x) é a energia potencial (que pode se transformar em movimento). Qual a relação entre força conservativa e V(x)?

.dx

)x(dV

x

)]x(V)xx(V[)x(F

0x


19

Exemplos de forças conservativas/energias potenciais :

Ex. 1. Força de gravidade:

dz

zdVzF

)()(

Ex. 2. Força da mola/elástica

2

2

1)( kxxV

dx

xdVxF

)()(

F(x) = - kx.

F(z) = -mg


20

Cinemática da Mecânica Quântica:

Postulamos que as grandezas cinemáticas posição, momento e energia deixam de ser funções para serem operadores :

= x , =- x

i

e =

ti

A lei de conservação de energia clássica,

passa a ser no nível quântico escrita em termos dos operadores anteriores:

),x(Vm2

pE

2

t

txitxxV

x

tx

m

),(),()(

),(

2 2

22

Equação de Schrödinger


21

A equação de Schrödinger:

t

)t,x(i)t,x()x(V

x

)t,x(

m2 2

22

é uma equação de ondas .

Ψ(x,t) : função de onda. Toda a informação que podemos ter

sobre a partícula.

As funções de onda não são quantidades que podemos

medir experimentalmente. Em geral são funções complexas.

Como relacionar o que calculamos na Mecânica Quântica, ψ(x,t), e o que medimos nos laboratórios?

A Mecânica Quântica descreve um sistema probabilístico:

|ψ(x,t)|2 : probabilidade da partícula ser encontrada na posição x no instante t.


22

O que é uma probabilidade ?

Da Estatística temos:

Suponhamos que fazemos uma medida de uma certa quan - tidade cujo o resultado nem sempre é o mesmo .

Para fixarmos um exemplo podemos pensar num dado que jogamos sobre uma mesa. O lado do dado que fica para cima pode ser: {1,2,...,6} . Temos 6 saídas possíveis em cada jogada .

Seja um conjunto cujos resultados tem várias saídas possíveis: { A, B, C,...} .

P(A) : probabilidade de sair o resultado A dentre todas as saídas possíveis.

Para um número MUITO GRANDE de tentativas :

tentativastotalºn

Aresultadocomºn)A(P

Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt... 23

O que caracteriza uma equação de onda ?

O princípio da superposição . O que é esse princípio?

Suponhamos que ψ1(x,t) é solução da eq. de Schrödinger :

t

)t,x(i)t,x()x(V

x

)t,x(

m21

121

22

e ψ2(x,t) também é solução desta equação :

t

)t,x(i)t,x()x(V

x

)t,x(

m22

22

2

22

ψ(x,t) = a1 ψ1(x,t) + a2 ψ2(x,t)

também é solução da equação de Schrödinger.

Em que tipo de fenômeno temos o princípio de superposição?


24

Qual a diferença entre Mecânica Clássica e Mecânica Quântica?

Mecânica Clássica : jogamos pedras através de dois buracos.

P1: probabilidade da pedra passar pelo buraco 1 com o buraco 2 fechado.

P2: probabilidade da pedra passar pelo buraco 2 com o buraco 1 fechado. P12: probabilidade da pedra passar pelo buraco 1 ou

pelo buraco 2. Os 2 buracos estão abertos .

2112PPP


25

Mecânica Quântica: : um feixe de elétrons incidindo sobre uma parede com dois furos.

A função de onda para pontos após passar pelo anteparo é a soma coerente de funções de onda que atravessam os furos 1 e 2:

),(),(),(2211

txatxatx

A probabilidade de encontrar um elétron na posição x e no instante t é:

)],(),(Re[2

|),(||||),(||||),(|

2

*

12

*

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

txtxaa

txatxatx

termo de interferência


26

Temos algum efeito análogo a este na Física ?

Eletromagnetismo : interferência de feixes de luz coerente. .

),(),(),(21

txEtxEtxEP

),(1

txE

: campo elétrico em P devido ao furo 1.

),(2

txE

: campo elétrico em P devido ao furo 2.

O que medimos ? A intensidade da luz em cada ponto P: 2

21

2 |),(),(||),(~|),( txEtxEtxEtxIPP

)cos(|),(||),(|2

|),(||),(|~),(

21

2

2

2

1

txEtxE

txEtxEtxIP

termo de interferência P


27

Qual a consequência do termo de interferência na intensidade da luz que vemos sobre uma superfície?

)cos(|),(||),(|2

|),(||),(|~),(

21

2

2

2

1

txEtxE

txEtxEtxIP

Relembrando:

termo de interferência


28

3. Equação de Schrödinger e suas consequências Relembrando a eq. de Schrödinger :

t

txitxxV

x

tx

m

),(),()(

),(

2 2

22

Como tiramos informações desta equação ?

3.1. Autoestados de energia

Funções de onda com energia total definida :

iEt

extx

)(),( ),(),( txEtxt

i

A eq. de Schrödinger para estados com energia definida :

.),(),()(),(

2 2

22

txEtxxVx

tx

m


29

A eq. de Schrödinger para estados com energia definida :

),(),()(),(

2 2

22

txEtxxVx

tx

m

Para cada sistema quântico calculamos os valores possíveis

da energia E . Para estados ligados do sistema os valores

possíveis de energia E são discretos : 1ª Quantização .

Vejamos alguns sistemas quânticos simples (mola, átomo de hidrogênio) e seus respectivos espectros de energia.


30

Exemplos de sistemas quânticos com estados ligados :

1. Oscilador harmônico (mola/elástico)

Clássico

22

2

1

2kx

m

pE

))((2 xVEmp

x< -A e x>A : região clássica proibida

Quântico

,)2

1( nEn n= 0, 1, 2, ...

m

k

Energia de ponto zero:

20

E principio da

incerteza de Heisenberg


31

Temos regiões proibidas em sistemas quânticos ?

Na região classicamente proibida :

2)(...~)( a

x

ex


32

2. Átomo de hidrogênio

Energia potencial sentida pelo elétron pela presença do próton.:

r

erV

2

)(

|e| : módulo da carga elétrica do elétron.

r : distância do elétron ao próton

. Átomo de hidrogênio clássico

Suponha que o elétron possua momento angular l, ele vai sentir a energia potencial efetiva :

2

22

2)(

mr

l

r

erV

ef

Estado ligado: Mm rrr

,0 EEm a energia varia continuamente .


33

. Átomo de hidrogênio quântico

.)(2

r

erV

Para estados ligados, E<0, os níveis de energia permitidos :

...,3,2,1,6.132

nn

eVEn

Estado fundamental : E0 = -13.6 eV

(1eV = 1.6 x 10-19 J)

A comparação das escalas da energia atômica e das energias envolvidas no que ocorre no nosso dia-a-dia :

m = 1g, v= 2m/s JmvE c72 102

2

1

Logo :

12

7

190

10~102

106.1||

Jx

Jx

E

E

c

.000.000.000.000.1

|~|0

cEE


34

Os orbitais do átomo de hidrogênio nos dão a densidade de probabilidade de localizar o elétron dentro do átomo de hidrogênio :

.|),,r(| 2

nlm


35

Mostramos que as energias atômicas são da ordem de um trilhonésimo das energias do nosso dia-a-dia.

Será que temos como verificar experimentalmente se a Mecânica Quântica descreve o mundo dentro do átomo? A Mecânica Clássica ou a Mecânica Quântica descreve corretamente o átomo

de hidrogênio ?

Espectros do átomo de hidrogênio obtidos experimentalmente:

As frequências emitidas e absorvidas pelo hidrogênio

Pela Física Clássica a frequência de emissão /radiação do átomo de hidrogênio deveria variar continuamente : ERRADA !!!


36

Como calcular a partir da Mecânica Quântica a frequência da luz absorvida/emitida por átomos de hidrogênio ?

O espectro de emissão/absorção de cada elemento é a sua “impressão digital”.

níveis eletrônicos do hidrogênio

Energia do fóton/luz : , E

,.2 f f é a frequência da luz.

Conservação da energia do sistema “átomo + fóton” :

EEE el

f

el

i

22

6.136.13

fin

eV

n

eV

Finalmente : .)

11(

6.1322

ifnn

eV


37

3.2. Tunelamento

barreira de potencial :

E>0 .

i) partícula clássica :

Conservação de energia total : )(2

2

xVm

pE

0)(2

2

xVEm

p

Movimento clássico

ax ax

OU


38

ii) partícula quântica :

Conservação de energia do sistema quântico:

),(),()(),(

2 2

22

txEtxxVx

tx

m

O movimento de uma partícula quântica sob a ação de uma energia potencial tipo barreira :

efeito de tunelamento


39

É possível medir experimentalmente o “efeito de tunelamento” ?

Emissão de partícula α (núcleo do átomo de Hélio 4H2) por núcleos atômicos:


40

Temos em alguma outra área da Física um fenômeno análogo ao tunelamento na Mecânica Quântica?

No Eletromagnetismo: ondas evanescentes .

Temos reflexão total quando

ninc > nrefr

para ângulos de incidência θ maiores que o ângulo crítico θcr ,

θ> θcr , sendo .)(inc

refr

crn

nsen

ondas evanescente : aparecem quando tratamos a luz como uma onda eletromagnética .


41

Agradecimento

Prof. Dr. Paulo Acioly M. dos Santos

Instituto de Física, UFF Mec. Cláss X Mec. Quânt... 42

Obrigada pela sua atenção !!!


43

As transparências deste seminário estão no blog:

http://mttdivulgacao.blogspot.com

na secção

“Atividades já realizadas junto a professores”

Education

Mecânica Clássica X Mecânica Quântica