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Disciplina de MECÂNICA E MODELAÇÃO COMPUTACIONAL Mestrado Integrado em ENGENHARIA BIOMÉDICA 3º Ano, 2º Semestre 2015/16 1 TRABALHO COMPUTACIONAL ANÁLISE DE UM MODELO 2D DO FÉMUR Alexandre Carreira 78569 [email protected] Luís Rita 78680 [email protected] Joana Moreira 79143 [email protected] Palavras-chave: Método de Elementos Finitos, ABAQUS, elasticidade plana, tensões, convergência, fémur. Resumo. O objetivo deste trabalho foi a resolução de um problema de elasticidade plana através de um software comercial - ABAQUS. Pretendeu-se determinar as tensões, as deformações a que um osso humano (fémur) estaria sujeito, quando aplicadas 2 forças pontuais na parte superior do modelo. De forma a determinar que tipo de malha utilizada se adequaria melhor ao problema em estudo, procedeu-se à análise anterior dividindo o osso de diversas formas, tendo-se depois analisado a convergência do método para cada uma delas. Finalmente, procedeu-se a uma análise numérica e qualitativa (biomecânica) dos resultados obtidos. Estes apresentaram-se semelhantes ao esperado, pelo que se conclui que o MEF é válido para a situação em estudo.

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Disciplina de MECÂNICA E MODELAÇÃO COMPUTACIONAL

Mestrado Integrado em ENGENHARIA BIOMÉDICA

3º Ano, 2º Semestre 2015/16

1

TRABALHO COMPUTACIONAL

ANÁLISE DE UM MODELO 2D DO FÉMUR

Alexandre Carreira 78569

[email protected]

Luís Rita 78680

[email protected]

Joana Moreira 79143

[email protected]

Palavras-chave: Método de Elementos Finitos, ABAQUS, elasticidade plana, tensões,

convergência, fémur.

Resumo. O objetivo deste trabalho foi a resolução de um problema de elasticidade plana

através de um software comercial - ABAQUS. Pretendeu-se determinar as tensões, as

deformações a que um osso humano (fémur) estaria sujeito, quando aplicadas 2 forças pontuais

na parte superior do modelo. De forma a determinar que tipo de malha utilizada se adequaria

melhor ao problema em estudo, procedeu-se à análise anterior dividindo o osso de diversas

formas, tendo-se depois analisado a convergência do método para cada uma delas.

Finalmente, procedeu-se a uma análise numérica e qualitativa (biomecânica) dos resultados

obtidos. Estes apresentaram-se semelhantes ao esperado, pelo que se conclui que o MEF é

válido para a situação em estudo.

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1. INTRODUÇÃO

Neste trabalho laboratorial pretender-se-á analisar a forma como um osso (fémur) reage

a dois estímulos (neste caso forças) distintos, através um método computacional. Mais

especificamente, recorrendo ao Método de Elementos Finitos, obter-se-á uma série de

resultados (numéricos e gráficos) que nos permitirão retirar algumas conclusões acerca da

resposta do osso a estas cargas concentradas.

Tal como é conhecido, estes métodos de análise in silico, têm-se tornado ferramentas

essenciais no projeção de inúmeros dispositivos médicos. Dispositivos estes que não se limitam,

de forma nenhuma, à área óssea. De facto, no contexto da medicina têm sido também utilizados

para estudar comportamentos de articulações, ligamentos….

O que torna este método realmente poderoso é o facto de permitir uma análise com um

grau de detalhe superior de tecidos, nomeadamente com contornos irregulares e de materiais

variáveis.

Assim, não é de estranhar que análises experimentais ou estudos na base da tentativa e

erro estejam a cair em desuso, não só pelos custos associados, mas especialmente pelo rigor e

comodismo (obviamente, de uma forma relativa) que proporciona ao doente.

Enquadrando um pouco este assunto com a Engenharia Biomédica, sabe-se que este tipo

de estudo e análise está intimamente relacionada com a vertente biomecânica, pelo que

abordagens mais precisas e pormenorizadas serão, certamente, desenvolvidas posteriormente.

Assim, encontrando-se este trabalho inserido numa disciplina de iniciação à biomecânica, não

será de esperar obter-se resultados com o rigor requerido para aplicação médica (ao representar-

se o nosso objeto de estudo bidimensionalmente, já se está à partida a realizar uma aproximação

considerável do caso em estudo). Não obstante, é importante reconhecer o grau de

familiarização com a ferramenta ABAQUS que se irá adquirir, bem como com o MEF.

Tal como referido anteriormente, utilizar-se-á o software ABAQUS durante toda a

simulação. Analogamente, poderiam ter sido utilizados outros programas como o ANSIS ou

mesmo o SIEMENS NX. Apesar de neste trabalho nos focarmos no modelo do osso, o software

(e consequentemente o MEF) também é capaz de solucionar problemas mais simples, tais como

vários estudos unidimensionais (esforços em barras).

Apresentar-se-á de seguida um estudo um pouco mais detalhado deste método, bem

como as tabelas com os dados relevantes a considerar no problema (Tabela I e II).

Tabela 1 - Componentes horizontais e verticais das forças aplicadas no osso

Fx (N) Fy (N)

FH -136 -1692

FA -166 957

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Tabela 2 - Propriedades dos materiais presentes no modelo.

E (GPA) 𝝂

OSSO COMPACTO 20 0.3

OSSO TRABECULAR 3 0.3

MEDULA ÓSSEA 0.05 0.3

Figura 1 - Problema computacional.

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2. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

O primeiro passo que este método adota, relativamente ao modelo em estudo, é dividi-

lo em vários subdomínios. Isto possibilita dividir o objeto (neste caso com configuração

irregular) em vários fragmentos com uma forma bem conhecida. Caso esta simplificação não

tivesse sido feita, ter-se-ia de obter uma função extremamente complexa que representasse a

variável em estudo em todos os pontos do domínio. Assim, torna-se possível obter um

polinómio de grau reduzido para cada fragmento e, posteriormente, juntá-los todos, num

processo designado assemblagem.

A assemblagem é um processo que deve ser encarado com alguma cautela. Isto porque

um dos requisitos que as funções interpoladoras de cada elemento infinito devem satisfazer é a

continuidade da própria função e da derivada.

2.1 Elementos finitos em elasticidade 2D

Antes de mais, importa definir alguma notação que se utilizará a partir de agora.

𝜕𝐴𝑖𝑗

𝜕𝑥𝑗= 𝐴𝑖𝑗,𝑗

𝜕𝐴𝑖𝑗

𝜕𝑥𝑖= 𝐴𝑖𝑗,𝑖

Ou seja, utilizar-se-á a Notação de Einstein. Neste caso, optou-se por exemplificar atrás

uma derivação em função das variáveis 𝑥𝑗 e 𝑥𝑖 para um tensor de 2ª ordem. Esta notação

generaliza-se, para um número arbitrário de derivações e para tensores de um grau tão elevado

quanto necessário.

No decorrer deste trabalho computacional, trabalhar-se-á de uma forma permanente com

sólidos de Hooke. Isto é, admitiremos em toda a análise que as tensões presentes no corpo serão

diretamente proporcionais ao seu grau de deformação.

Começa-se assim, por introduzir a equação de equilíbrio que regerá o nosso sólido.

Neste caso, admitindo forças interiores, tem-se:

𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = ∫𝑓 𝑑𝑉 + ∫𝜎 (�⃗� ) 𝑑𝑆

𝑆

=

𝑉

∫𝑓 + 𝜎 (𝑛𝑖⃗⃗⃗⃗ ),𝑖𝑑𝑉 = ∫𝑓 + 𝜎𝑖𝑗,𝑖𝑑𝑉

𝑉

= 0

𝑉

Teorema da Divergência ou de Gauss

∬(𝐹 ∙ �⃗� ) 𝑑𝑆𝑆

=∭𝑑𝑖𝑣(𝐹 ) 𝑑𝑉𝑉

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Como esta equação tem de ser válida para qualquer domínio do corpo, implica que:

𝑓𝑗 + 𝜎𝑖𝑗,𝑖 = 0 ⟺ 𝑓𝑗 + 𝑑𝑖𝑣(𝜎𝑖𝑗) = 0

Na verdade, estamos perante 3 equações que são:

{

𝑓1 + 𝜎11,1 + 𝜎21,2 + 𝜎31,3 = 0

𝑓2 + 𝜎12,1 + 𝜎22,2 + 𝜎32,2 = 0

𝑓3 + 𝜎13,1 + 𝜎23,2 + 𝜎33,3 = 0

Onde, [𝜎] = [

𝜎11 𝜎12 𝜎13𝜎21 𝜎22 𝜎23𝜎31 𝜎32 𝜎33

]

É também possível provar que [𝜎] se trata de uma matriz simétrica, logo apenas

necessitam de ser determinadas 6 componentes no local onde se pretende conhecer as tensões.

Ou seja, 𝜎𝑖𝑗 = 𝜎𝑗𝑖.

Tal como foi referido anteriormente, estaremos a trabalhar com sólidos de Hooke. Isto

é, admite-se que o limite de máxima proporcionalidade nunca é ultrapassado e,

consequentemente, o material nunca deforma permanentemente.

Que parâmetros serão utilizados para caraterizar o comportamento dos materiais em

função dos diferentes esforços? Para materiais elásticos a resposta é simples: módulo de Young

(E) e coeficiente de Poisson (𝜐). De facto, considerando a forma mais geral da Lei de Hooke,

estaremos perante vários valores para cada uma destas 2 propriedades anteriores:

𝜎𝑖𝑗 = 𝐸𝑖𝑗𝑘𝑙휀𝑘𝑙

De facto, o tensor das constantes materiais é um tensor de 4ª ordem. A 3D significa que

estaremos na presença de 81 constantes. Na verdade, existem uma série de simetrias que se

podem observar no tensor, pelo que este número diminui consideravelmente para 21 (num

sólido anisotrópico).

Para este trabalho em específico, não nos interessa considerar esta forma tão geral da

Lei de Hooke. Já que estamos a aproximar o osso em estudo a um material elástico e isotrópico.

Assim, apenas será necessário considerar 2 constantes (E e 𝜐) (Anexo 3).

Existe, no entanto, mais uma simplificação que se pode introduzir no problema. O facto

de estarmos a analisar o osso a 2D implica que possamos considerar um estado plano de tensão

Sólido Isotrópico

Propriedade que carateriza as substâncias que possuem as mesmas

propriedades físicas independentemente da direção considerada.

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ou de deformação. Assim, apresenta-se de seguida a lei de Hooke na forma matricial e indicial,

primeiro para estados planos de tensão e depois de deformação.

𝜎13 = 𝜎23 = 𝜎33 = 0

[

𝜎11𝜎22𝜎12

] =𝐸

1 − 𝜈2[1 𝜈 0𝜈 1 00 0 1 − 𝜈

] [

휀11휀22휀12]

Ou na sua forma inversa:

[

휀11휀22휀12] =

1

𝐸[1 −𝜈 0−𝜈 1 00 0 1 + 𝜈

] [

𝜎11𝜎22𝜎12

]

휀33 = −𝜈

𝐸(𝜎11 + 𝜎22) = −

𝜈

1 − 𝜈(휀11 + 휀22)

휀13 = 휀23 = 휀33 = 0

[

𝜎11𝜎22𝜎12

] =𝐸

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)[1 − 𝜈 𝜈 0𝜈 1 − 𝜈 00 0 1 − 2𝜈

] [

휀11휀22휀12]

Invertendo a igualdade:

[

휀11휀22휀12] =

1 + 𝜈

𝐸[1 − 𝜈 −𝜈 0−𝜈 1 − 𝜈 00 0 1

] [

𝜎11𝜎22𝜎12

]

𝜎33 =𝐸𝜈

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)(휀11 + 휀22) = 𝜈(𝜎11 + 𝜎22)

𝜎𝑖𝑗 =𝐸

1+𝜈휀𝑖𝑗 +

𝐸𝜈

(1+𝜈)(1−2𝜈)휀𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗→ Comum a ambas as situações

휀𝑖𝑗 =1+𝜈

𝐸𝜎𝑖𝑗 −

𝜈

𝐸𝜎𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗→ Comum a ambas, também.

A partir do que se encontra descrito atrás, nem sempre a um estado plano de tensão,

corresponde um estado de deformação plano (e vice versa). A aproximação de estado de tensão

plano é realizada, quando se considera que um dos lados do material é muito inferior aos outros

2.

Representou-se atrás 4 possíveis relações (matriciais) entre as deformações e as tensões

a atuarem no osso. Apresenta-se de seguida a equação que relaciona as derivadas dos

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deslocamentos com as deformações. Nota: esta relação apenas é válida para pequenos

deslocamentos (𝑢𝑖,𝑗 ≪ 1).

휀𝑖𝑗 =1

2(𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖)

Até este ponto exibiram-se todas as igualdades que derivam da formulação forte do

problema de métodos finitos. No entanto, é importante salientar que pode não ser possível

satisfazer todas as equações em todos os pontos do osso e ainda estar perante uma solução

válida do problema.

De facto, a partir da formulação forte pode não se obter igualdade em todos os pontos,

mas, em média, obtém-se essa igualdade, sendo possível escrever a seguinte formulação fraca:

∫(𝑓 + 𝜎𝑖𝑗,𝑖)𝑤𝑖𝑑𝑉V

= 0

Aplicando o teorema de Gauss e a lei de Hooke, obtém-se o Princípio dos Trabalhos

Virtuais (PTV), em que o trabalho virtual interno, à esquerda iguala o trabalho das forças

externas, à direita:

∫𝐸𝑖𝑗𝑘𝑙휀𝑘𝑙(𝑢)휀𝑖𝑗(𝑤)𝑑𝑉V

= ∫𝑓𝑖𝑤𝑖𝑑𝑉V

+∫𝑡𝑖𝑤𝑖𝑑ΓΓ

Onde, 𝑤𝑖 é a função-peso, 𝑓𝑖 são as forças internas do elemento e 𝑡𝑖 as forças na fronteira desse

elemento.

Voltando especificamente ao tema central deste trabalho, de uma forma geral o método

dos elementos finitos é aplicado seguindo fielmente este conjunto de passos:

1. Uma vez que o osso em estudo apresenta uma forma irregular e propriedades

heterogéneas, será mais simples obter funções aproximadoras se dividirmos o corpo

inicial num conjunto finito de elementos (daí a designação do método – Método de

Elementos Finitos) de forma conhecida (triângulos/quadriláteros). Poderá também

incluir-se no mesmo modelo, uma mistura destas estruturas. Sempre com o objetivo de

tornar a análise o mais precisa possível.

2. Derivação das funções aproximadoras em cada elemento; estas funções frequentemente

são polinómio interpoladores obtidos por processos de interpolação.

3. Assemblagem dos elementos. Para tal, será de capital importância garantir-se a

continuidade das diversas funções, já que posteriormente se pretende obter uma

reconstrução de todas elas e poder retirar conclusões acerca do modelo original.

Para além da divisão do modelo 2D em diversos elementos (configuração a detalhar no

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Abaqus), terá de se indicar o número de nós que se pretende introduzir em cada elemento.

Posteriormente, pretender-se-á determinar os deslocamentos de cada nó na horizontal (𝑢𝑖), na

vertical (𝑣𝑖) e a respetiva função de interpolação (𝜓𝑖), para o nó i.

𝜓𝑖(𝑥𝑗 , 𝑦𝑗) = 𝛿𝑖𝑗

De seguida, determinar-se-ão as funções de interpolação para elementos triangulares de 3 nós

e quadrados de 4 nós.

Elementos Triangulares de 3 Nós

Pretende-se obter uma função que retorne 1 quando se trata

do próprio nó e 0, para os outros 2. Assim, a solução terá de ser do

tipo: 𝜓𝑖(𝑥, 𝑦) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 (equação de um plano).

{

𝜓1(𝑥, 𝑦) =

1

2𝐴[(𝑥2𝑦3 − 𝑥3𝑦2) + (𝑦2 − 𝑦3)𝑥 + (𝑥3 − 𝑥2)𝑦]

𝜓2(𝑥, 𝑦) =1

2𝐴[(𝑥3𝑦1 − 𝑥1𝑦3) + (𝑦3 − 𝑦1)𝑥 + (𝑥1 − 𝑥3)𝑦]

𝜓3(𝑥, 𝑦) =1

2𝐴[(𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1) + (𝑦1 − 𝑦2)𝑥 + (𝑥2 − 𝑥1)𝑦]

Elementos Quadrangulares de 4 Nós

Ao contrário do que se verificou para o elemento

triangular, agora não se espera obter um plano interpolador,

mas sim uma figura geométrica com alguma curvatura. Assim,

a equação a determinar deverá ser do tipo:

𝜓𝑖(𝑥, 𝑦) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑𝑥𝑦

{

𝜓1(𝑥, 𝑦) = (1 −

𝑥

𝑎)(1 −

𝑦

𝑏)

𝜓2(𝑥, 𝑦) =𝑥

𝑎(1 −

𝑦

𝑏)

𝜓3(𝑥, 𝑦) =𝑥𝑦

𝑎𝑏

𝜓4(𝑥, 𝑦) = (1 −𝑥

𝑎)𝑦

𝑏

O último passo deste método será a assemblagem. Para tal, será necessário obter a matriz

Figura 2 - Elemento triangular.

Figura 3 - Elemento quadrangular.

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de rigidez K. Apresenta-se de seguida a equação a partir da qual se poderá extraí-la:

[𝐾𝑒] = ℎ𝑒∫ [𝐵𝑒]𝑇[𝐶𝑒][𝐵𝑒]𝑑𝑥𝑑𝑦Ω𝑒

Onde [C] corresponde à matriz das propriedades elástica

[𝜓] = [𝜓10

0

𝜓1

𝜓20

0

𝜓2

𝜓30

0

𝜓3] = [

𝜓10

0

𝜓1

𝜓20

0

𝜓2

𝜓30

0

𝜓3]

[𝑇] =

[ 𝜕

𝜕𝑥0

0𝜕

𝜕𝑦𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑥]

[𝐵𝑒] = [𝑇][𝜓] =

[ 𝜕

𝜕𝑥0

0𝜕

𝜕𝑦𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑥]

[𝜓10

0

𝜓1

𝜓20

0

𝜓2

𝜓30

0

𝜓3] =

[ 𝜕𝜓1𝜕𝑥

0𝜕𝜓2𝜕𝑥

0𝜕𝜓3𝜕𝑥

0

0𝜕𝜓1𝜕𝑦

0𝜕𝜓2𝜕𝑦

0𝜕𝜓3𝜕𝑦

𝜕𝜓1𝜕𝑦

𝜕𝜓1𝜕𝑥

𝜕𝜓2𝜕𝑦

𝜕𝜓2𝜕𝑥

𝜕𝜓3𝜕𝑦

𝜕𝜓3𝜕𝑥 ]

Por outro lado, a matriz dos coeficientes de elasticidade é dada por:

[𝐶𝑒] =

[

(1 − 𝜈)𝐸

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)

𝜈𝐸

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)0

𝜈𝐸

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)

(1 − 𝜈)𝐸

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)0

0 0(1 − 2𝜈)𝐸

2(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)]

Obtém-se este resultado considerando o osso em estudo um material isotrópico, linear e

elástico. Caso contrário, o resultado seria diferente.

Finalmente, tendo já apresentado todos os dados necessários para o cálculo do tensor de

rigidez, prossegue-se para a determinação dos deslocamentos do corpo.

Para tal deverá começar-se por introduzir a relação a partir da qual se poderá obter 𝑢:

[𝐾][𝑢] = [𝑓] + [𝑡] As matrizes [f] e [t] poderão obter-se resolvendo as 2 equações integrais que se

apresentam:

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[𝑓] = ℎ𝑒∫ [𝜓]𝑇 [𝑓𝑥𝑓𝑦] 𝑑𝑥𝑑𝑦

l𝑒

[𝑡] = ℎ𝑒∫ [𝜓]𝑇 [𝑡𝑥𝑡𝑦] 𝑑𝑥𝑑𝑦

Γ𝑒

Adicionalmente, considera-se [𝑢] definido da seguinte forma:

[𝑢] = [𝑢(𝑥, 𝑦)𝑣(𝑥, 𝑦)

] = [∑ 𝑢𝑖𝜓𝑖𝑁𝑖=1

∑ 𝑣𝑖𝜓𝑖𝑁𝑖=1

], N=3 ou N=4 (elementos triangulares ou quadrangulares,

respetivamente).

Tensão de von Mises

Esta grandeza permite prever a tensão a partir da qual os materiais (dúcteis) abandonam

o seu comportamento elástico linear e entram na zona de deformação plástica.

𝜎𝜈 = √(𝜎𝐼 − 𝜎𝐼𝐼)2 + (𝜎𝐼 − 𝜎𝐼𝐼𝐼)2 + (𝜎𝐼𝐼𝐼 − 𝜎𝐼𝐼)2

2

Esta equação pode também ser escrita da seguinte forma, para um estado plano de tensão:

𝜎𝜈 = √𝜎𝐼2 + 𝜎𝐼𝐼2 − 𝜎𝐼𝜎𝐼𝐼

𝜎𝐼𝐼𝐼 = 0

𝜎𝐼, 𝜎𝐼𝐼, 𝜎𝐼𝐼𝐼 – Tensões segundo as direções principais.

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4. METODOLOGIA

4.1 Criação do Modelo

O primeiro passo deste trabalho computacional consistiu na criação de um

modelo do osso em estudo, digitalmente. Para tal, reproduziu-se a imagem presente no

enunciado diretamente no Abaqus. Para além da geometria exterior, teve-se o cuidado de definir

cada uma das 3 zonas distintas presentes no osso. Isto é, Representaram-se também os contornos

que delimitam as 3 áreas seguintes: medula óssea, osso trabecular e osso cortical. Tendo

concluído com sucesso este passo, avançou-se para a criação de diferentes tipos de malhas sobre

esta estrutura.

Figura 4 - Modelo do fémur desenhado

no Abaqus.

Figura 5 - Modelo original do osso presente no

enunciado do projeto. É possível visualizar as 3

áreas distintas em que o modelo se encontra

dividido.

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4.2 Tipos de Malhas

De forma a averiguar que tipo de malha melhor se adequaria ao modelo em estudo,

determinaram-se todos os resultados pretendidos recorrendo a 20 elementos finitos com

conformações e tamanhos distintos. De facto a análise foi elaborada para malhas constituídas

por:

Triângulos

Com 3 e 6 nós. E para cada um destes utilizaram-se 5 tamanhos distintos. Totalizando,

10 modelos diferentes.

Tal como seria de esperar, não foi possível observar a partir do modelo da malha, o

número de nós associado a cada elemento.

Figura 6 - Malha de elementos

triangulares (Seeds de tamanho

5) com 4 nós.

Figura 6 - Malha de elementos

triangulares (Seeds de

tamanho 5) com 8 nós.

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Quadrados

Por outro lado, foram também determinadas a tensão de von Mises, 𝜎11, 𝜎22, 𝜎12 e os

deslocamentos 𝑈1 e 𝑈2 (tal como anteriormente), para malhas constituídas por elementos

quadrados. Mais uma vez, uti lizou-se um conjunto de 5 tamanhos distintos para dois tipos de

elementos: com 4 e 8 nós.

Figura 8 - Malha de elementos

quadrangulares (Seeds de

tamanho 5) com 4 nós.

Figura 9 - Malha de elementos

quadrangulares (Seeds de

tamanho 5) com 8 nós.

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4.3 Aplicação das Forças e das Condições Fronteira

Tendo já o modelo criado e inserido no software de análise de elementos finitos, Abaqus,

teve-se de indicar não só as forças a serem aplicadas no fémur, bem como as condições de

fronteira presentes.

Relativamente à aplicação de forças, estaremos a trabalhar com 2 forças (Fa e Fh), com

componentes verticais e horizontais (Tabela 1 e Figura 1). A primeira força é provocada pelo

músculo abdutor, enquanto a segunda será pela anca. Estas forças foram introduzidas

pontualmente no modelo. Isto significa que apenas 2 pontos à superfície do osso estão

diretamente a ser sujeitos a ambas.

Tal como é sugerido no enunciado do problema, considerou-se que a parte da diáfise do

osso se encontrava imóvel (encastrada). Ou seja, tal como se verificará adiante, os

deslocamentos nesta zona serão praticamente nulos. De certa forma, esta aproximação tornará

os valores obtidos para esta região pouco reais, pelo que não a deveremos considerar na análise.

Esta condição de fronteira é importatíssima, já que sem ela, o problema não teria solução.

4.4 Refinamento das Malhas

Tal como já foi referido, utilizaram-se 5 tamanhos distintos de elementos, quer para os

triangulares, quer para os quadrados. Assim, começou-se por atribuir o tamanho de 5 (tamanho

dos Seeds do Abaqus) e reduziu-se sucessivamente para 3, 2, 1 e, finalmente, 0.5.

Paralelamente, analisou-se a convergência de cada modelo no Excel (para 3 mesh points

distintos). Dito isto, não será de estranhar que o número de elementos na malha se tenha

apresentado progressivamente superior. Será precisamente em função deste número que se

averiguará a convergência das soluções.

5. RESULTADOS E DISCUSSÃO

5.1 Conformação deformada e deslocamentos

Nesta secção do trabalho apresentam-se imagens referentes à configuração deformada,

bem como aos deslocamentos sofridos pelo osso, segundo as direções x e y. Devido à enorme

semelhança nos resultados obtidos para os deslocamentos para os diferentes tamanhos de malha

e diferentes tipos de elemento, optou-se por representar as figuras relativas a um tamanho de 5

(tamanho dos Seeds do Abaqus), com elementos quadrados de 4 nós. As restantes malhas são

apresentadas em anexo.

Encastramento

Apoio estrutural que impede movimentos de rotação e

translação.

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Em primeiro lugar, relativamente à deformada, a análise das figuras apresentadas

permite concluir que as duas forças aplicadas, Fh e Fa, criam um momento sobre o fémur.

Em relação aos deslocamentos, há que referir que, tal como seria de esperar, observam-

se deslocamentos nulos na parte encastrada do modelo (base de diáfise) e máximos horizontais

e verticais na cabeça do fémur e trocânter maior.

Pela análise da figura (a) constata-se que houve deslocamento para a direita da cabeça

e trocânter maior, no sentido do positivo do eixo das abcissas (evidenciado pela coloração

vermelha dessas zonas). Verifica-se igualmente deslocamento no sentido positivo do eixo das

ordenadas, por observação da Figura 10 (b). Tal pode ser atribuído a Fa, que possui componente

positiva segundo o eixo YY. Já a força Fh é responsável pelo deslocamento negativo segundo

este mesmo eixo, como observável pela coloração azul da parte direita da cabeça do fémur.

Por último, há que referir que os deslocamentos diminuem à medida que nos afastamos

da zona onde as forças estão a ser aplicadas até à parte inferior do osso.

5.2 Distribuição das tensões

Relativamente à análise da distribuição de tensões, obtiveram-se resultados semelhantes

para os diferentes tipos de elementos (quadrados de 4 e 8 nós e triângulos de 3 e 6 nós). Além

disso, a evolução da distribuição das tensões com a variação do tamanho dos elementos da

malha foi também semelhante para os vários tamanhos, quer para a tensão de von Mises, quer

para as tensões segundo as direcções XX, YY e XY (correspondentes às tensões normais

segundo os eixos XX (𝜎11), YY (𝜎22) e a tensões tangenciais (𝜎12), respetivamente), pelo que,

Figura 10 – Deslocamentos segundo x (a) e y (b), com sobreposição da configuração

deformada, para uma malha quadrangular de 4 nós

(a) (b)

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para fins de visualização, são apenas apresentadas as distribuições da tensão de von Mises, XX,

YY e XY para a malha quadrangular de 4 nós, de tamanho 5. As restantes malhas são

apresentadas em anexo.

Um ponto importante a considerar na análise das imagens que se apresentam, é o sinal

(positivo/negativo) das tensões de interesse, assumindo-se que uma tensão positiva corresponde

a um esforço de tração e uma negativa de compressão. Dito isto, facilmente se relaciona cada

uma das situações com as direções e sentidos das forças aplicadas.

Analisando em primeiro lugar a distribuição da tensão de von Mises, observa-se que as

zonas de maior tensão correspondem a elementos adjacentes aos pontos onde são aplicadas as

forças. Além disso, a aplicação de Fa e Fh provocam compressão perto do segmento inicial da

diáfise do osso, na região de osso compacto (o que se percebe facilmente pela análise dos

deslocamentos efetuada na secção anterior). De facto, podemos observar que a grande maioria

da tensão é suportada pelo osso compacto, o que leva a concluir que não há dependência das

(a)

Figura 11 – Distribuição da tensão de von Mises (a) e tensões segundo XX (b), YY (c) e XY (d),

para uma malha quadrangular de 4 nós e tamanho 5.

(b) (a)

(c) (d)

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Alexandre Carreira, Luís Rita e Joana Moreira

17

regiões de medula e osso trabecular, i. e., poderíamos alterar as propriedades destes dois

materiais sem afetar a distribuição de tensões. De facto, experimentando com um material com

módulo de Young consideravelmente mais baixo que o do osso trabecular ou medula, constatar-

se-ia isto mesmo. O osso compacto acumula, portanto, as maiores tensões.

Relativamente à tensão segundo o eixo XX, verifica-se que assume valores positivos em

todo o osso (exceto no ponto de aplicação de Fh), com valores superiores entre a cabeça do

fémur e o trocânter, e na região de osso trabecular. Os valores negativos correspondem à

componente negativa de Fh segundo este eixo.

Para a tensão segundo YY, verifica-se que as regiões da medula e osso trabecular

apresentam os mesmos valores positivos de tensão, evidenciado pela cor verde em toda a região

interna do osso, sendo as variações de tensão mais evidentes no osso compacto. De facto, no

segmento do lado direito da figura, na região de osso compacto, observam-se valores negativos

de tensão, enquanto que no segmento “paralelo” do lado esquerdo os valores são positivos. Este

contraste e complementaridade são explicados pelos deslocamentos segundo o eixo YY: as

forças aplicadas provocam um deslocamento negativo segundo o eixo na região direita, no

segmento de osso compacto inferior à cabeça do fémur, o que se traduz numa tração neste

sentido (ou, por outras palavras, uma “compressão negativa”), ocorrendo o oposto no segmento

do lado esquerdo, inferior ao trocânter (ocorre compressão segundo o eixo, devido a um

deslocamento vertical positivo). Mais uma vez, a tensão é suportada pelo osso compacto.

Por fim, tem-se a análise da tensão segundo XY, a tensão de corte (tensão tangencial,

𝜎12). Esta corresponde à tensão de distorção do material, não estando associada a tração ou

compressão. De uma forma geral, a distorção é máxima na superfície abaixo da cabeça do

fémur.

6. ANÁLISE DA CONVERGÊNCIA

A fim de simplificar a análise da convergência deste caso, considerou-se a peça como um

elemento 2D, passando este a ser num problema de tensão plana. Procedeu-se assim a uma

análise bidimensional, em que foram avaliadas várias tensões, entre as quais a tensão de von

Mises e as tensões segundo as direções XX, YY e XY. Os valores destas tensões que se

apresentam nos seguintes gráficos foram obtidos por refinação sucessiva de diferentes tipos de

malhas: triangular de 3 nós (linear) – “Tri_L”, triangular de 6 nós (quadrática) – “Tri_Q”,

quadrangular de 4 nós (linear) – “Quad_L”, e quadrangular de 8 nós (quadrática) – “Quad_Q”,

para tamanhos de 5, 3, 2, 1 e 0,5 (tamanho dos Seeds do Abaqus). Esta análise foi ainda efetuada

para 3 pontos distintos do osso, cada um numa região com material diferente: o Ponto 1 situado

na zona de osso trabecular, o Ponto 2 na parte de osso compacto, na zona onde se observou que

a tensão de von Mises era mais intensa, e o Ponto 3 localizado perto da base do osso, onde se

encontra o encastramento e os valores de tensão têm uma intensidade bastante reduzida. Nesta

secção foram consideradas cargas concentradas, estando as forças Fh e Fa aplicadas cada uma

em seu ponto.

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18

6.1 Convergência para a tensão de von Mises

Em todos os pontos analisados é possível observar os gráficos a convergir para valores

muito próximos. Ao comparar os gráficos obtidos para os vários elementos estudados, é

possível concluir que os quadráticos, quer triangulares quer quadrados, permitem uma

convergência mais rápida, aproximando melhor à solução relativamente aos elementos lineares.

De facto, esperavam-se resultados deste tipo, já que os elementos quadráticos apresentam um

maior número de nós, o que possibilita convergência mais rápida para a solução (recorde-se

que um maior número de nós implica um maior grau do polinómio interpolador).

Uma outra observação prende-se com o facto de a convergência se dar para o mesmo

número de elementos (aproximadamente), para os cinco tamanhos, exceto para elementos

triangulares, quer quadráticos quer lineares, convergindo para um maior número de elementos

neste caso (o que seria de esperar, uma vez que permitem um maior número de elementos para

a mesma área).

Gráfico 1 – Tensão de von Mises em função do nº de

elementos em cada malha para o Ponto 1. Gráfico 2 – Tensão de von Mises em função do nº de

elementos em cada malha para o Ponto 2.

Gráfico 3 – Tensão de von Mises em função do nº de elementos em

cada malha para o Ponto 3.

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19

6.2 Convergência para as tensões segundo XX, YY e XY

Gráfico 5 – Tensão segundo YY em função do nº de

elementos em cada malha para o Ponto 1.

Gráfico 6 – Tensão segundo XY em função do nº de

elementos em cada malha para o Ponto 1.

Gráfico 7 – Tensão segundo XX em função do nº de

elementos em cada malha para o Ponto 2.

Gráfico 4 – Tensão segundo XX em função do nº de

elementos em cada malha para o Ponto 1.

Gráfico 8 – Tensão segundo YY em função do nº de

elementos em cada malha para o Ponto 2.

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20

Gráfico 9 – Tensão segundo XY em função do nº de

elementos em cada malha para o Ponto 2.

Gráfico 10 – Tensão segundo XX em função do nº

de elementos em cada malha para o Ponto 3.

Gráfico 12 – Tensão segundo XY em função do nº

de elementos em cada malha para o Ponto 3.

Gráfico 11 – Tensão segundo YY em função do nº

de elementos em cada malha para o Ponto 3.

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21

A análise da convergência apresentada acima teve como objetivo principal a determinação

da melhor malha para o estudo do comportamento do osso. Analisando em concreto os gráficos

obtidos podemos afirmar que, de um modo geral, verifica-se convergência para todas as tensões,

nos três pontos analisados, para todos os elementos. Além disso, os gráficos permitem uma

leitura concreta dos valores das tensões, confirmando a análise anterior da distribuição das

mesmas.

Em termos da convergência propriamente dita observa-se, à semelhança do sucedido para

von Mises, que a convergência é mais rápida para elementos quadráticos comparativamente a

elementos lineares, devido ao maior número de nós. Além disso, para elementos triangulares

existem mais elementos, já que é possível encaixar mais triângulos que quadrados numa mesma

área, para o mesmo tamanho considerado. Ainda dentro da comparação entre elementos

triangulares e quadrados, tem-se que os primeiros convergem mais lentamente, tanto no caso

linear como no caso quadrático.

Há ainda que referir que, embora se obtenham resultados semelhantes em última instância,

com malhas triangulares obtêm-se bastantes mais elementos, o que implica um maior custo em

termos computacionais. Assim sendo, concluímos que a malha de elementos quadrangulares

quadráticos permite obter bons resultados, sem a agravante do custo. Com base nisto, foi

escolhida uma malha deste tipo para análises posteriores.

6.3. Comparação entre carga distribuída e carga concentrada

Apesar de se ter optado por fazer a análise de convergência aplicando cargas concentradas

no osso, foi ainda feita uma análise para a melhor malha (quadrangular quadrática) com cargas

distribuídas em detrimento das concentradas.

Na figura 12 encontra-se a representação das Loads aplicadas no osso. À esquerda pode-se

observar que as forças Fa e Fh se encontram aplicadas num só ponto (cargas concentradas),

enquanto que à direita se observam as forças acima referidas aplicadas ao longo de uma

superfície (cargas distribuídas).

Assim, foram traçados os gráficos para cada um dos três pontos analisados que relacionam

Figura 12 - Cargas concentradas Fa e Fh no osso à esquerda e cargas distribuídas Fa e Fh à direita.

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22

a intensidade da tensão de von Mises com o número de elementos da malha usada.

Gráfico 13 – Tensão de von Mises em função do número de elementos no Ponto 1 para

cargas concentradas e para cargas distribuídas.

Gráfico 14 – Tensão de von Mises em função do número de elementos no Ponto 2 para

cargas concentradas e para cargas distribuídas.

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23

Da observação dos gráficos obtidos é possível verificar que os resultados são bastante

parecidos em termos de convergência. Nota-se porém uma pequena diferença nos valores para

os quais cada uma das tensões converge, sendo que nos pontos mais próximos da aplicação das

cargas (gráficos 13 e 14) a tensão de von Mises tem intensidades de valor mais elevado para o

caso das cargas distribuídas do que para o caso das cargas concentradas, enquanto que no ponto

mais afastado dessas mesmas cargas (gráfico x3) o que se verifica é o oposto. No entanto, como

esta diferença não é muito grande, conclui-se que optar por uma maneira de aplicar as forças

ou por outra não altera significativamente os resultados e portanto conclui-se que a análise de

convergência poderia ter sido feita com qualquer uma das duas opções, não sendo este um fator

que influencie os resultados.

7. CONCLUSÕES

Por tudo o que foi dito até agora, consideraram-se inúmeras aproximações que

inevitavelmente contribuíram para um certo afastamento dos valores que seriam de esperar num

caso real.

Por exemplo, o facto de se ter considerado que a diáfise se encontrava encastrada, de certa

forma, invalidou os resultados obtidos nessa região do osso.

Segundo, considerou-se o modelo dividido em apenas 3 zonas distintas: medula óssea, zona

trabecular e cortical. Anatomicamente, sabe-se que dentro de cada uma destas regiões, as

caraterísticas físicas dos materiais não são as mesmas (nomeadamente, módulo de Young e

coeficiente Poisson). Um dos fatores que mais contribui para isto, é o facto do osso não ser

Gráfico 15 – Tensão de von Mises em função do número de elementos no Ponto 3 para

cargas concentradas e para cargas distribuídas.

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exclusivamente constituído por células, nem por matéria inorgânica. Na verdade, existe um

balanço entre estes 2 constituintes que não é constante no tempo, pelo que se limita a validade

do modelo a um curto período temporal. Do ponto de vista médico, dependendo da idade do

doente, do estado de saúde (por exemplo, se padece de osteoporose) terá de existir um reajuste

nas constantes elásticas, de forma a englobar estas caraterísticas. A própria morfologia do osso,

onde se observa um alinhamento das fibras de colagénio ao longo do comprimento do mesmo,

contribui para esta variabilidade de estados (apesar de neste caso se poder considerá-lo

transversalmente isotrópico). Ou seja, na verdade, ao contrário do que foi aqui considerado, o

osso não se trata de um material isotrópico, mas anisotrópico. Pelo que seriam necessárias

bastantes mais do que 2 constantes elásticas para o definir.

A somar ao que foi descrito no parágrafo anterior, relembra-se que este é um modelo

bidimensional (e o osso é tridimensional). Esta aproximação foi possível introduzir uma vez

que a dimensão a desprezar é consideravelmente inferior às outras duas.

No entanto, existem também vários pontos positivos a retirar desta análise computacional.

Nomeadamente, dada a simplicidade do software de análise, foi possível realizar múltiplas

simulações, cada uma com diferentes tipos de elementos. Assim, para além de se ter obtido as

tensões e deformações pretendidas, também se ganhou alguma sensibilidade na utilização do

MEF (neste caso em concreto, nem todos os tipos de elementos eram favoráveis para a análise).

Assim, registaram-se resultados mais próximos do esperado para simulações que recorressem

a elementos quadrados, mais pequenos e com maior número de nós.

Um outro ponto positivo do programa prende-se à forma como apresenta os resultados. De

facto, o código de cores utilizado pelo mesmo (comprimento de onda proporcional à magnitude

da variável) permite-nos observar de uma forma bastante intuitiva e clara os diferentes valores

que a variável de interesse toma em todo o objeto.

Conclui-se que este software foi adequado à resolução do nosso problema, demonstrando

coerência nos resultados obtidos.

É importante destacar que a utilização deste software não se limita à área médica. Na

verdade, um variadíssimo leque de aplicações pode ser dado ao Abaqus e ao MEF (por exemplo,

construção civil, aviação, desportistas de alta-competição…). Apesar do modelo bastante

simplificado que se considerou neste trabalho, é possível realizar análises dinâmicas e bastante

mais complexas recorrendo ao mesmo programa. Pelo que não é de estranhar que este possua

um enorme potencial para aplicações futuras.

8. REFERÊNCIAS

[1] F. Beer, R. Johnston e J. DeWolf, Mecânica dos Materiais, 3ª edição, McGrawHill, 2003.

[2] J. N. Reddy, An Introduction to the Finite Element Method, 3ª edição, McGrawHill, 2006.

[3] P. R. Fernandes, J. Folgado e R. B. Ruben, Shape optimization of a cementless hip stem

for a minimum of interface stress and displacement, Computer Methods in Biomechanics

and Biomedical Engineering, 7, 51-61 (2004).

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Alexandre Carreira, Luís Rita e Joana Moreira

25

9. ANEXOS

9.1 Anexo 1

Abaqus é um software comercial destinado à

análise de qualquer tipo de estrutura mecânica,

por elementos finitos. Foi desenvolvido pela HKS Inc.

de Rhode Island, Estados Unidos e agora

comercializado pela SIMULIA marca da Dassault

Systemes S.A.

O conjunto de produtos Abaqus consiste em três produtos principais: Abaqus / Standard,

Abaqus / Explicit e Abaqus / CAE. Neste trabalho utilizou-se o último da lista.

9.2 Anexo 2

Tal como se estudou em Mecânica dos Meios Contínuos, o osso é

considerado um material frágil. Isto porque, ao contrário de outros corpos,

dificilmente consegue absorver muita energia quando sujeito a tensões que

o estão a deformar. Assim, não será de estranhar que apresente um módulo

de Young relativamente elevado. Pelo menos, quando comparado com o

osso esponjoso e com a medula óssea, já que estes apresentam um

comportamento dúctil que não se deve desprezar. Aliás, os valores teóricos

presentes na tabela 3, sugerem isto mesmo.

Apesar do que foi dito atrás, não é de ignorar a zona de tensões onde

poderemos observar um comportamento elástico no osso, nomeadamente no

cortical. Tal como sugere a figura 13, é possível distinguir vários intervalos

vincadamente distintos, relativamente à forma como as tensões (no material)

reagem à deformação.

O-A

Zona linear elástica. O módulo de Young encontra-se definido como

sendo o declive desta reta (aproximadamente).

A-B

1 - Trocânter maior 2 - Cabeça do fémur 3 - Diáfise

2 1

3

Figura 13 - Fémur

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Zona elástica. Apesar do material ainda conseguir regressar à sua forma inicial, já não

existe uma proporcionalidade direta entre as deformações e as tensões.

Estas 2 zonas acabam por ser as mais importantes para o trabalho atual, já que estamos

a admitir a presença do osso entre O e A.

B-C

Pode-se ainda identificar mais uma zona na Figura 14. É possível verificar que este troço

se encontra praticamente na horizontal, o que sugere que apesar da tensão de manter constante

o material continua a deformar-se. Usualmente, designa-se esta zona por patamar de cedência

e o valor da tensão correspondente de tensão de cedência. Caso seja retirada a força que se

encontra a deformar o material, este não conseguirá retornar à sua conformação inicial. Por

outras palavras, a deformação tornou-se irreversível.

C-D

Nesta penúltima região, verifica-se um endurecimento do material. Já que para aumentar

a deformação do mesmo, torna-se necessário aumentar-se os níveis de tensão a que este é

sujeito. Habitualmente, a tensão máxima no ponto D é designada tensão de rutura, apesar da

rutura não acontecer neste ponto.

D-E

Este é o último troço do gráfico. Será no ponto E que o material entrará em rutura e,

consequentemente, fragmentará.

E (GPA) 𝝂

OSSO COMPACTO 20 0.3

OSSO TRABECULAR 3 0.3

MEDULA ÓSSEA 0.05 0.3

Tabela 3 - Propriedades dos materiais presentes no modelo.

Figura 14 - Curva que descreve o

comportamento de um material à tração. Figura 15 - Material frágil

vs dúctil.

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9.3 Anexo 3

Tensão de von Mises

Ponto 1

Triângulos

3 Nós 6 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa) Tamanho (Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 4010 66,5409 5 4010 66,8046

3 4236 66,66204 3 4236 66,8114

2 4606 66,6084 2 4606 66,8274

1 6937 66,6993 1 6937 66,7803

0,5 14654 66,772 0,5 14654 66,7734

Quadrados

4 Nós 8 Nós

Tamanho (Seeds) Nº elementos Tensão (MPa) Tamanho (Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 1751 66,7439 5 1751 66,7425

3 1994 66,5916 3 1994 66,7366

2 2392 66,8025 2 2392 66,7515

1 3482 66,8484 1 3482 66,7545

0,5 7861 66,7529 0,5 7861 66,7616

Ponto 2

Triângulos

3 Nós 6 Nós Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 4010 905,538 5 4010 894,716

3 4236 909,816 3 4236 889,43

2 4606 901,477 2 4606 885,144

1 6937 888,077 1 6937 892,105

0,5 14654 890,293 0,5 14654 888,555

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Quadrados

4 Nós 8 Nós Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa) Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 1751 898,961 5 1751 889,009

3 1994 905,036 3 1994 887,898

2 2392 906,003 2 2392 886,937

1 3482 897,462 1 3482 888,236

0,5 7861 890,885 0,5 7861 890,222

Ponto 3

Triângulos

3 Nós 6 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 4010 1,125475 5 4010 1,27334

3 4236 1,16068 3 4236 1,2738

2 4606 1,1629 2 4606 1,27403

1 6937 1,21782 1 6937 1,27348

0,5 14654 1,26031 0,5 14654 1,27504

Quadrados

4 Nós 8 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa) Tamanho (Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 1751 1,34086 5 1751 1,27303

3 1994 1,34277 3 1994 1,27315

2 2392 1,2336 2 2392 1,2732

1 3482 1,37573 1 3482 1,27321

0,5 7861 1,28395 0,5 7861 1,27466

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9.4 Anexo 4

Tensão S11

Ponto 1

Triângulos

3 Nós 6 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa) Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 4010 -12,0442 5 4010 -12,0292

3 4236 -12,0983 3 4236 -12,0205

2 4606 -12,2152 2 4606 -12,0137

1 6937 -12,1077 1 6937 -12,0124

0,5 14654 -12,0012 0,5 14654 -12,0101

Quadrados

4 Nós 8 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa) Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 1751 -11,9662 5 1751 -11,9696

3 1994 -11,8616 3 1994 -11,9756

2 2392 -12,0279 2 2392 -11,982

1 3482 -11,9909 1 3482 -11,9955

0,5 7861 -11,9993 0,5 7861 -12,0041

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Ponto 2

Triângulos

3 Nós 6 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa) Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 4010 4,02024 5 4010 -22,5789

3 4236 -1,58629 3 4236 -26,6754

2 4606 -5,02933 2 4606 -27,5412

1 6937 -17,8371 1 6937 -25,5628

0,5 14654 -28,3532 0,5 14654 -27,4518

Quadrados

4 Nós 8 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 1751 -30,7884 5 1751 -36,9415

3 1994 -32,2534 3 1994 -36,2781

2 2392 -32,1891 2 2392 -37,4486

1 3482 -27,4518 1 3482 -28,7474

0,5 7861 -26,8365 0,5 7861 -26,9952

Ponto 3

Triângulos

3 Nós 6 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 4010 -0,04206 5 4010 -0,03876

3 4236 -0,04066 3 4236 -0,03886

2 4606 -0,04055 2 4606 -0,03894

1 6937 -0,04113 1 6937 -0,03903

0,5 14654 -0,0398 0,5 14654 -0,03909

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31

Quadrados

4 Nós 8 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 1751 -0,0403 5 1751 -0,03905

3 1994 -0,04052 3 1994 -0,03906

2 2392 -0,03101 2 2392 -0,03905

1 3482 -0,03753 1 3482 -0,03907

0,5 7861 -0,03798 0,5 7861 -0,03907

9.5. Anexo 5

Tensão S22

Triângulos

3 Nós 6 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa) Tamanho

(Seeds)

Nº elementos Tensão (MPa)

5 4010 43,0227 5 4010 41,9835

3 4236 42,348 3 4236 42,0107

2 4606 42,2807 2 4606 42,0182

1 6937 42,0648 1 6937 42,017

0,5 14654 41,9352 0,5 14654 42,0195

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Ponto 1

Quadrados

4 Nós 8 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa) Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 1751 41,8242 5 1751 42,0445

3 1994 42,1057 3 1994 42,0376

2 2392 42,2698 2 2392 42,0311

1 3482 42,1845 1 3482 42,0238

0,5 7861 42,0992 0,5 7861 42,023

Ponto 2

Triângulos

3 Nós 6 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa) Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 4010 -905,997 5 4010 -904,011

3 4236 -915,904 3 4236 -900,819

2 4606 -895,211 2 4606 -897,198

1 6937 -894,521 1 6937 -901,66

0,5 14654 -902,115 0,5 14654 -900,725

Quadrados

4 Nós 8 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 1751 -903,57 5 1751 -905,736

3 1994 -909,175 3 1994 -904,235

2 2392 -912,802 2 2392 -903,323

1 3482 -899,995 1 3482 -902,276

0,5 7861 -901,112 0,5 7861 -899,905

Page 33: Método Elementos Finitos - Modelo Fémur [Abaqus]

Alexandre Carreira, Luís Rita e Joana Moreira

33

Ponto 3

Triângulos

3 Nós 6 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa) Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 4010 -0,13528 5 4010 -0,12788

3 4236 -0,13033 3 4236 -0,12068

2 4606 -0,12995 2 4606 -0,12815

1 6937 -0,13266 1 6937 -0,12828

0,5 14654 -0,1303 0,5 14654 -0,12843

Quadrados

4 Nós 8 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa) Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 1751 -0,11887 5 1751 -0,12847

3 1994 -0,11888 3 1994 -0,12845

2 2392 -0,10842 2 2392 -0,12833

1 3482 -0,1359 1 3482 -0,12842

0,5 7861 -0,1273 0,5 7861 -0,12838

Page 34: Método Elementos Finitos - Modelo Fémur [Abaqus]

Alexandre Carreira, Luís Rita e Joana Moreira

34

9.6. Anexo 6

Tensão S12

Ponto 1

Triângulos

3 Nós 6 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº Elementos Tensão (MPa) Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 4010 25,2027 5 4010 26,1435

3 4236 25,8418 3 4236 26,1365

2 4606 25,8192 2 4606 26,1485

1 6937 26,2007 1 6937 26,1097

0,5 14654 26,032 0,5 14654 26,1033

Quadrados

4 Nós 8 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº Elementos Tensão (MPa)

Tamanho

(Seeds)

Nº Elementos Tensão (MPa)

5 1751 26,1392 5 1751 26,0787

3 1994 26,0275 3 1994 26,0753

2 2392 26,0579 2 2392 26,0893

1 3482 26,1504 1 3482 26,0907

0,5 7861 26,1431 0,5 7861 26,0936

Page 35: Método Elementos Finitos - Modelo Fémur [Abaqus]

Alexandre Carreira, Luís Rita e Joana Moreira

35

Ponto 2

Triângulos

3 Nós 6 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa) Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 4010 -53,866 5 4010 -55,9317

3 4236 -44,6136 3 4236 -54,9623

2 4606 -47,8312 2 4606 -53,456

1 6937 -50,501 1 6937 -55,0696

0,5 14654 -52,8533 0,5 14654 -50,0688

Quadrados

4 Nós 8 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa) Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 1751 -47,0395 5 1751 -57,26

3 1994 -53,4085 3 1994 -55,3115

2 2392 -38,2692 2 2392 -58,139

1 3482 -50,4469 1 3482 -53,9955

0,5 7861 -52,2542 0,5 7861 -50,6055

Ponto 3

Triângulos

3 Nós 6 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa) Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 4010 -0,61099 5 4010 -0,73223

3 4236 -0,63187 3 4236 -0,73249

2 4606 -0,63904 2 4606 -0,73262

1 6937 -0,66562 1 6937 -0,7323

0,5 14654 -0,72036 0,5 14654 -0,7332

Page 36: Método Elementos Finitos - Modelo Fémur [Abaqus]

Alexandre Carreira, Luís Rita e Joana Moreira

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Quadrados

4 Nós 8 Nós

Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa) Tamanho

(Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)

5 1751 -0,7738 5 1751 -0,73203

3 1994 -0,77485 3 1994 -0,7321

2 2392 -0,73669 2 2392 -0,73213

1 3482 -0,76552 1 3482 -0,73213

0,5 7861 -0,74243 0,5 7861 -0,73298

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Alexandre Carreira, Luís Rita e Joana Moreira

37

10. Anexo 10

Tensões e descolamentos para elementos triangulares de 3 nós. Esquema de ordenação constante para as páginas seguintes (ver Tabela à direita)

0.5 (Tamanho dos Seeds)

1 - von Mises 2 - S11

3 - S12 4 - S22

5 - U1 6 - U2

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1 (Tamanho dos Seeds)

Page 39: Método Elementos Finitos - Modelo Fémur [Abaqus]

Alexandre Carreira, Luís Rita e Joana Moreira

39

2 (Tamanho dos Seeds)

Page 40: Método Elementos Finitos - Modelo Fémur [Abaqus]

Alexandre Carreira, Luís Rita e Joana Moreira

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3 (Tamanho dos Seeds)

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Tensões e descolamentos para elementos triangulares de 6 nós.

0.5 (Tamanho dos Seeds)

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Alexandre Carreira, Luís Rita e Joana Moreira

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1 (Tamanho dos Seeds)

Page 43: Método Elementos Finitos - Modelo Fémur [Abaqus]

Alexandre Carreira, Luís Rita e Joana Moreira

43

2 (Tamanho dos Seeds)

Page 44: Método Elementos Finitos - Modelo Fémur [Abaqus]

Alexandre Carreira, Luís Rita e Joana Moreira

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3 (Tamanho dos Seeds)

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Alexandre Carreira, Luís Rita e Joana Moreira

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7.7 ANEXO 8

Tensões e descolamentos para elementos quadrangulares de 4 nós.

0,5 (Tamanho dos Seeds)

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1 (Tamanho dos Seeds)

Page 47: Método Elementos Finitos - Modelo Fémur [Abaqus]

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2 (Tamanho dos Seeds)

Page 48: Método Elementos Finitos - Modelo Fémur [Abaqus]

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3 (Tamanho dos Seeds)

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Tensões e descolamentos para elementos quadrangulares de 8 nós.

0,5 (Tamanho dos Seeds)

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1 (Tamanho dos Seeds)

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2 (Tamanho dos Seeds)

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3 (Tamanho dos Seeds)