VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE

COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

METODOLOGIA DO ENSINODA MATEMÁTICA

Rio de Janeiro / 2008

Todos os direiTos reservados à

Universidade CasTelo BranCo

ConteudistaMonica Baeta Marques

UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO

Todos os direitos reservados à Universidade Castelo Branco - UCB

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Un3m Universidade Castelo Branco

Metodologia do Ensino da Matemática / Universidade Castelo Branco. – Rio de Janeiro: UCB, 2008. - 56 p.: il.

ISBN 978-85-7880-040-6

1. Ensino a Distância. 2. Título.

CDD – 371.39

Apresentação

Prezado(a) Aluno(a): É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de gradu-

ação, na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, consequentemente, propiciando oportunidade para melhoria de seu desempenho profissional. Nossos funcionários e nosso corpo docente es-peram retribuir a sua escolha, reafirmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua.

Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhe-cimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica.

Seja bem-vindo(a)!Paulo Alcantara Gomes

Reitor

Orientações para o Autoestudo

O presente instrucional está dividido em quatro unidades programáticas, cada uma com objetivos definidos e conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam atingidos com êxito.

Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades com-plementares.

As Unidades 1 e 2 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1.

Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das quatro unidades.

Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todo o conteúdo de todas as Unidades Programáticas.

A carga horária do material instrucional para o autoestudo que você está recebendo agora, juntamente com os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 30 horas-aula, que você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso.

Bons Estudos!

Dicas para o Autoestudo

1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo.

2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite interrupções.

3 - Não deixe para estudar na última hora.

4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor.

5 - Não pule etapas.

6 - Faça todas as tarefas propostas.

7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento da disciplina.

8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a autoavaliação.

9 - Não hesite em começar de novo.

SUMÁRIO

Quadro-síntese do conteúdo programático ................................................................................................. 09

Contextualização da disciplina .................................................................................................................... 11

UNIDADE I

ESTRUTURAS COGNITIVAS QUE OPERAM NA CONSTRUÇÃO DOS CONCEITOS MATEMÁTICOS

1.1 - Introdução ............................................................................................................................................ 131.2 - A criança de 0 a 6 anos: que conhecimentos podem e devem construir .............................................................. 18

UNIDADE II

CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA

2.1 - Construção da Aritmética ................................................................................................................... 222.2 - A noção de quantidade ......................................................................................................................... 252.3 - A noção de números perceptuais ......................................................................................................... 262.4 - As operações de classificação e seriação ............................................................................................. 272.5 - Grandezas e medidas ........................................................................................................................... 282.6 - Espaço e forma .................................................................................................................................... 29

UNIDADE III

ESTRATÉGIAS PEDAGÓGICAS QUE POSSIBILITAM A CONSTRUÇÃO DOS CONCEITOS FUNDA-MENTAIS DA MATEMÁTICA

3.1 - O problema como ponto de partida da atividade matemática ............................................................. 323.2 - O problema como estruturador de uma situação que deve ser resolvida ........................................... 333.3 - O saber matemático como um sistema conceitual que permite resolver as situações-problema ....... 373.4 - Algumas considerações complementares para a construção de conceitos matemáticos .................... 39

UNIDADE IV

APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO INFANTIL E NO ENSINO FUNDAMENTAL

4.1 - Na Informática .................................................................................................................................... 434.2 - No Tratamento da Informação – Estatística e Probabilidade .............................................................. 444.3 - Coleta, organização, comunicação e interpretação de dados ............................................................... 464.4 - Leitura de tabelas, gráficos e outras formas de representação de dados .............................................. 46

Glossário ...................................................................................................................................................... 51Gabarito ........................................................................................................................................................ 54Referências bibliográficas ............................................................................................................................ 55

�Quadro-síntese do conteúdo programático

UNIDADES DO PROGRAMA OBJETIVOS

I. ESTRUTURAS COGNITIVAS QUE OPERAM NA CONSTRUÇÃO DOS CONCEITOS MATE-MÁTICOS1.1. Introdução1.2. A criança de 0 a 6 anos: que conhecimentos po-dem e devem construir

• Analisar o desenvolvimento cognitivo do ser huma-no sob a ótica do construtivismo amparado por três teóricos: Piaget, Vygotsky e Wallon;• Reconhecer os conceitos matemáticos que crianças de 0 a 6 anos podem adquirir;• Analisar como a construção do conhecimento mate-mático é promovido.

II. CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MATE-MÁTICA2.1. Construção da Aritmética 2.2. A noção de quantidade 2.3. A noção de números perceptuais2.4. As operações de classificação e seriação2.5. Grandezas e medidas2.6. Espaço e forma

• Identificar conceitos fundamentais da Matemática e como devem ser desenvolvidos na Educação Infantil e no Ensino Fundamental;• Refletir sobre novas possibilidades do conhecimen-to matemático;• Refletir sobre novas teorias na Educação Matemá-tica.

III. ESTRATÉGIAS PEDAGÓGICAS QUE POS-SIBILITAM A CONSTRUÇÃO DOS CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA3.1. O problema como ponto de partida da atividade matemática 3.2. O problema como estruturador de uma situação que deve ser resolvida 3.3. O saber matemático como um sistemaconceitual que permite resolver as situações- proble-ma3.4. Algumas considerações complementares para a construção de conceitos matemáticos

• Refletir e analisar os princípios metodológicos que devem nortear a prática pedagógica em Matemática;• Refletir e analisar as novas possibilidades de cons-truir conceitos matemáticos;• Refletir e discutir princípios que favoreçam a apren-dizagem significativa de conceitos matemáticos;• Refletir sobre o papel do professor de Matemática no mundo contemporâneo.

IV. APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA NA EDU-CAÇÃO INFANTIL E NO ENSINO FUNDAMEN-TAL4.1. Na Informática4.2. No Tratamento da Informação – Estatística e Probabilidade4.3. Coleta, organização, comunicação e interpretação de dados 4.4. Leitura de tabelas, gráficos e outras formas de representação de dados

• Refletir, analisar e discutir as diversas possibilida-des de aplicações de conceitos matemáticos na Edu-cação Infantil e no Ensino Fundamental.

11Contextualização da Disciplina

Com origem nas civilizações gregas, a Matemática vem desempenhando um papel importante no sistema educacional. É uma ciência viva, dinâmica, em constante desenvolvimento e, apesar de apresentar uma carac-terística universal, desde os tempos mais remotos vem atuando como filtro social, trazendo como consequência o preconceito.

Entretanto, a Educação Matemática é útil como instrumentador para a vida e para o trabalho, é parte integran-te de nossas raízes culturais, ajuda a pensar com clareza e a raciocinar melhor, apresenta caráter universal e uma beleza intrínseca como construção lógica e formal.

Por conseguinte, a Educação Matemática vem passando por sérias avaliações, reflexões e críticas ao longo dos anos. Vários autores, diante da rapidez crescente dos avanços tecnológicos e científicos, estão preocupados com o rumo que o ensino da Matemática tem tomado, concordando que, para esse ensino, urge a necessidade de mudanças, descobertas de novos caminhos, novos paradigmas, novas concepções e novas práticas.

Educadores e pesquisadores compromissados com uma educação que forme alunos críticos e criativos devem estar sempre procurando refletir sobre a maneira habitual de proceder, discutir novas fontes teóricas, novas alternativas às práticas escolares, novos princípios metodológicos para não perpetuarem um ensino de mera transmissão de conteúdos, totalmente desprovido de significados. Consequentemente é preciso que utilizemos recursos metodológicos que, além de trabalharem com atividades concretas, envolvam o mesmo num processo reflexivo sobre a atividade.

Importa, portanto, analisar o ensino da Matemática na Educação Infantil e no Ensino Fundamental na cons-trução e aplicação de conceitos fundamentais da Matemática no cotidiano escolar, bem como estratégias me-todológicas educacionais pertencentes ao currículo, levando em conta as reais necessidades dos alunos. Acre-ditamos que ensinar Matemática através da resolução de problemas favorece um fazer pedagógico que melhor atenda às expectativas dos professores, contribuindo, de um lado, para análise de diferentes práticas pedagógi-cas e, de outro, para a elaboração crítica de outras representações da Educação Matemática.

13UNIDADE I

ESTRUTURAS COGNITIVAS qUE OPERAm NA CONS-TRUÇÃO DOS CONCEITOS mATEmáTICOS

1.1 - Introdução

Antes de considerarmos quais conhecimentos as crianças necessitam adquirir, é de suma importância que analisemos como o desenvolvimento cognitivo do ser humano se promove e, consequentemente, como as crianças constroem seus conhecimentos a partir de uma perspectiva construtivista, já que, de acordo com Miranda (2000:23-24), o construtivismo é defi-nido como “uma dimensão constitutiva e, portanto, um aspecto não-casual, não-acessório e não-secundá-rio, das reformas educacionais que se processam, na atualidade, em vários países do mundo”. Baseados na perspectiva descrita, que discute o conceito de cons-trutivismo fundamentando-se em teorias psicológi-cas da aprendizagem ou do desenvolvimento, é que discutimos a construção do conhecimento, uma vez que as respectivas teorias se orientam “pelo princípio de que o aluno, mediante sua ação e auxiliado pelo professor, deva ser o agente de seu próprio conheci-mento”.

Segundo Goulart (2002: 13), a origem e a evolução

do conhecimento podem ser explicadas, atualmente, por três vertentes diferentes. Alguns teóricos, como Konrad Lorenz e Noam Chomsky, defendem o inatis-mo e concordam que “o conhecimento é pré-formado, ou seja, já nascemos com as estruturas do conheci-mento”.

No empirismo, de forma inversa, acreditam que “o

conhecimento tem origem e evolui a partir da expe-riência que o sujeito vai acumulando” (Ibidem). Po-demos citar J. B. Watson e B. F. Skinner como seus adeptos mais famosos.

Um último modelo teórico e objetivo desta unida-de é o construtivismo, em que adeptos como Piaget, Wallon, Vygotsky, Leontiev e Luria admitem que “o conhecimento resulta da interação do sujeito com o ambiente” (Ibidem: 14).

Portanto vamos examinar alguns estudiosos cujas teorias psicológicas tratam do desenvolvimento do conhecimento humano: Piaget, que declarava que o conhecimento vem da interação do indivíduo com o meio; Vygotsky, que conferiu um imenso valor à interação social no processo de construção das fun-ções psicológicas humanas; e, enfatizando a impor-tância da emoção, nos deparamos com Wallon, cujas

ideias contribuíram para o pensamento interacionista que considerava vários aspectos do sujeito – afetivo, cognitivo e motor. Consequentemente conduzindo à autonomia moral e intelectual, possibilitando ao indi-víduo a real construção do conhecimento.

Sabemos que não existe uma única teoria que me-lhor responda a todos os aspectos dos processos de desenvolvimento e aprendizagem. Os teóricos aqui citados fornecem subsídios necessários para que compreendamos a complexidade do sujeito e a for-ma como ele aprende e se desenvolve, possibilitando para nós, educadores, uma atuação pedagógica com-prometida, integrada e contextualizada à sociedade em que vivemos.

Jean Piaget

De acordo com Goulart (2002), Piaget evidencia três aspectos distintos do desenvolvimento psíquico, analisados sob a ótica da relação que um sujeito es-tabelece com o outro, perpassando em um primeiro momento pela anomia (ausência de regras), depois pela heteronomia (regras imposta pelo outro) e, por último, chegando à autonomia. São eles:

• Funções do conhecimento – envolvendo o pensa-mento, as percepções e a construção de conceitos.

• Funções de representação da realidade – envol-vendo linguagem, jogo, imitação, desenho.

• Funções afetivas – mola propulsora do desenvol-vimento cognitivo.

A maior parte de seus estudos foi dedicada às fun-ções do conhecimento (desenvolvimento cognitivo), nos quais a visão piagetiana, até hoje, vem sendo usa-da e desenvolvida nos meios educacionais.

O desenvolvimento cognitivo, para Piaget, abrange quatro estágios: sensório-motor, pré-operatório, ope-ratório concreto e das operações formais. Em cada estágio, o conhecimento é inserido em uma estrutura. Identificam-se as funções constantes, “comum a todas as idades. Em todos os níveis, a ação supõe sempre um interesse que a desencadeia, podendo-se tratar de uma necessidade fisiológica, afetiva ou intelectual” (PIAGET, 1999: 14). Paralelas às funções constantes, percebe-se as estruturas variáveis – maneiras da ati-

14vidade mental se organizar – modos sucessivos para atingir o equilíbrio. Piaget descreve que cada estágio, composto pelas estruturas que o determinam, “pos-sui uma forma particular de equilíbrio, efetuando-se a evolução mental no sentido de uma equilibração1 sempre mais completa” (Ibidem: 15).

Ainda que a sequência dos estágios instituída por Piaget evolua de forma ampla e contínua, podem ocorrer pequenas alterações quanto à idade estipulada em cada um. Como ele mesmo afirma, “o desenvol-vimento mental é uma construção contínua, compará-vel à edificação de um grande prédio que, à medida que se acrescenta algo, ficará mais sólido”. (PALAN-GANA, 2001: 14) Portanto privar a criança/adoles-cente de desafios possibilita um atraso ou progresso das etapas de desenvolvimento. E por conseguinte, Piaget descreve como a criança e o adolescente evo-luem pelos quatro estados, que ele próprio chama de fases de transição (PIAGET, 1975).

No primeiro estágio, denominado sensório-motor (0 a 2 anos), a criança faz uso das percepções sensoriais (sucção) para explorar o mundo que a rodeia, ou seja, a criança explora o meio físico através de seus es-quemas motores, por exemplo: pegar, jogar, morder. Nessa fase, a criança vai desenvolvendo a noção do seu eu, conhecendo seu corpo e percebendo que faz parte do contexto. Também é marcado pela constru-ção prática das noções de objeto, espaço, causalidade e tempo (MACEDO, 1991).

O segundo estágio do desenvolvimento cognitivo é definido por Piaget como pré-operatório ou objeti-vo simbólico (2 a 6/7 anos). A criança já é capaz de manusear esquemas simbólicos – desenho, jogo, lin-guagem – só conseguindo ver o mundo a partir dela mesma, assim é também conhecido como o estágio da Inteligência Simbólica. Macedo (1991), ainda ressal-ta que a atividade sensório-motora não está esquecida ou abandonada, mas refinada e mais sofisticada. Se oferecermos duas massinhas iguais em formatos dife-rentes, por exemplo, uma em forma de bola e a outra em forma de salsicha, a criança negará que a quanti-dade de massas continue igual, já que os formatos são diferentes. Portanto a criança não estabelece relações entre as situações apresentadas.

Alguns aspectos da criança no referente estágio:• É egocêntrica, centrada em si mesma, e não conse-

gue se colocar, abstratamente, no lugar do outro. • Não aceita a ideia do acaso e tudo deve ter uma

explicação (é a fase dos “porquês”).

1Em Piaget, no mecanismo de equilibração, ocorre a passagem de uma situação de menor equilíbrio para uma de maior equilíbrio. Uma fonte de desequilíbrio acontece quando se espera que uma situação aconteça de determinada maneira, e não acontece. O desequilíbrio deve ser resolvido por meio de um processo de assimilação e acomodação de uma nova situação. Portanto o equilíbrio será restabelecido, para em seguida sofrer outro desequilíbrio, resultando em fases mais ou menos duradouras de desequilíbrio e de busca de um novo equilíbrio. O balanço entre assimilação e acomodação é chamado de adaptação. “Esta é a forma geral de equilíbrio psíquico. O desenvolvimento mental aparecerá, então, em sua organização progressiva como uma adaptação sempre mais precisa à realidade” (PIAGET, 1999: 17).

• Já pode agir por simulação, “como se”. • Possui percepção global sem discriminar deta-

lhes. • Deixa se levar pela aparência sem relacionar fa-

tos.

O estágio operatório concreto (6/7 até 11/12 anos) é o que vem logo a seguir. A criança já é capaz de executar operações concretas, conseguindo fazer re-lações e abstrair dados da realidade. Desenvolve tam-bém a capacidade de representar uma ação no sentido inverso de uma anterior, anulando a transformação observada (reversibilidade). Durante o desenvolvi-mento mental da criança, aparecem operações lógicas e operações infralógicas. “Umas são indispensáveis ao desenvolvimento das outras” (GOULART, 2002: 41). Nas operações lógicas surgem as operações de classificação, seriação e compensação simples. As operações infralógicas são resultantes da “construção de invariantes físicas (substância, peso, volume) e de invariantes espaciais (conservação da superfície do comprimento, do volume, estabelecimento de hori-zontais e verticais etc.)” (GOULART, 2002: 41).

O terceiro estágio é de suma importância para o de-senvolvimento mental da criança, pois marca o início da escolaridade. Novos modos de organização e cons-trução do pensamento vão aparecendo e complemen-tando os do período anterior. Segundo Piaget (1999: 42):

(...) a criança de sete anos começa a se liberar de seu egocentrismo social e intelectual, tornando-se, então, capaz de novas coordenações, que serão da maior importância, tanto para a inteligência quanto para a afetividade. Para a inteligência, trata-se do início da construção lógica, que constitui, precisamente, o sis-tema de relações que permite a coordenação dos pon-tos de vista entre si. Estes pontos de vista são tantos aqueles que correspondem a indivíduos diferentes, como aqueles correspondentes a percepções ou in-tuições sucessivas do mesmo indivíduo. Para a afe-tividade, o mesmo sistema de coordenações sociais e individuais produz uma moral de cooperação e de autonomia pessoal, em oposição à moral intuitiva de heteronomia característica das crianças.

O quarto e último estágio do desenvolvimento cog-nitivo é definido por Piaget como estágio das opera-ções formais (11/12 anos até a vida adulta). O adoles-cente desenvolve, agora, a capacidade de raciocinar sobre hipóteses e ideias abstratas, utilizando, portan-to, o pensamento hipotético-dedutivo “e, com ele, a

15constituição de uma lógica “formal”, quer dizer, apli-cável a qualquer conteúdo” (Ibidem: 107). Tem como fundamental particularidade a distinção entre o real e o possível.

Lev Semynovitch Vygotsky

A obra vygotskiana apresentou significativo amparo teórico dos filósofos Karl Marx e Friedrich Engels. “Como Marx e Engels, Vygotsky acredita que o ho-mem não é apenas um produto de seu meio, ele é também um sujeito ativo no movimento que cria este meio, esta realidade” (PALANGANA, 2001: 121). Para ele, o desenvolvimento da criança é produto de instituições sociais e sistemas educacionais, como a família, escola, igreja, que ajudam a construir o pró-prio pensamento e descobrir o significado da ação do outro e da própria ação.

Três aspectos básicos norteiam a teoria vygotskiana.

O primeiro se refere à origem dos processos psico-lógicos superiores do ser humano, fundamentada nas relações socioculturais do homem com o mundo exte-rior. Tem como base biológica de seu funcionamento psicológico o cérebro, entendido como “um sistema aberto, de grande plasticidade, cuja estrutura e modos de funcionamento são moldados ao longo da história da espécie e do desenvolvimento individual” (OLI-VEIRA, 1997: 24).

O segundo aspecto diz respeito à relação do homem com o mundo como uma relação mediada por sis-temas simbólicos – instrumentos e signos. As bases dessa mediação, que se fundamentam dentro de um contexto sócio-histórico, segundo Rego (2002: 43), são imprescindíveis, pois “é através dos instrumen-tos e signos que os processos de funcionamento psi-cológico são fornecidos pela cultura. É por isso que Vygotsky confere à linguagem um papel de destaque no processo de pensamentos”.

O terceiro aspecto “postula que a análise psicológi-ca deve ser capaz de conservar as características bá-sicas dos processos psicológicos, exclusivamente hu-manos” (Ibidem). A esse respeito, Palangana (2001: 96-97) escreve:

Uma vez definido o método, Vygotsky empreende uma série de pesquisas com o propósito de estudar os aspectos tipicamente humanos do comportamento e elaborar hipóteses sobre como essas característi-cas se formam ao longo da história dos homens e de como se desenvolvem durante a vida de um indiví-duo. A questão central para ele consiste em explicar como a maturação física e a aprendizagem sensório-motora interagem com o ambiente, que é histórico – e em essência social –, de forma a produzir as funções complexas do pensamento humano. (...) Os fatores

biológicos preponderam sobre os sociais apenas no início da vida. Aos poucos, o desenvolvimento do pensamento e o próprio comportamento da criança passam a ser orientados pelas interações que esta estabelece com pessoas mais experientes. (...) De acordo com Vygotsky, as abordagens maturacionais tendem a supervalorizar os processos intraindividu-ais, minimizando o impacto do ambiente social no desenvolvimento cognitivo.

Convém ressaltar que para ocorrer o desenvolvimen-to das funções psicológicas superiores, restritamente humanas, é preciso que o processo de mediação sim-bólica aconteça, pois é justamente no mesmo proces-so que Vygotsky identifica a linguagem como princi-pal mediador da relação entre ser humano e mundo e com os outros indivíduos. “A linguagem é um sistema de signos que possibilita o intercâmbio social entre indivíduos que compartilhem desse sistema de repre-sentação da realidade” (REGO, 2002: 54).

A relação entre pensamento e linguagem é outro ponto de destaque na obra de Vygotsky. Quando ele analisa as origens do pensamento e da linguagem, ou seja, suas “raízes genéticas”, propõe a existência de quatro estágios no curso do desenvolvimento das fun-ções psicológicas que abarcam o emprego de signos. “Sendo assim, a linguagem tanto expressa o pensa-mento da criança como age como organizadora desse pensamento” (Ibidem: 64).

Do mesmo modo e em conformidade com Palanga-na (2001: 104-105), descrevemos brevemente os qua-tro estágios traçados por Vygotsky:

• Estágio natural ou primitivo – corresponde à fala pré-intelectual e ao pensamento pré-verbal.

• Estágio das experiências psicológicas ingênuas – a criança domina a sintaxe da fala antes de dominar a sintaxe do pensamento.

• Estágio dos signos exteriores – corresponde à fala egocêntrica e o pensamento atua basicamente com operações externas, das quais a criança se apro-pria para resolver problemas internos.

• Estágio de crescimento interior – interiorização do pensamento e da linguagem.

É importante destacar que, para Vygotsky, esses es-tágios de desenvolvimento cognitivo não possuem caráter universal. Reconhecendo a imensa diversida-de nas condições histórico-sociais em que as crianças vivem, ele acredita que as oportunidades abertas para cada uma delas são muitas e variadas, enfatizando, mais uma vez, a relevância do social na formação do pensamento. Do ponto de vista vygotskyano, não se pode falar em uma sucessão rígida de estágios, mas sim em coexistência de fases a depender das condi-ções acima referidas (Ibidem: 105).

16Na concepção de Vygotsky, a aprendizagem impul-

siona, possibilita e movimenta o processo de desen-volvimento, sendo a escola considerada essencial na construção do ser psicológico e racional. Por conse-guinte, a escola, funcionando como uma instituição incentivadora de novas conquistas psicológicas, deve dirigir o ensino não para etapas intelectuais já alcan-çadas, mas sim para estágios de desenvolvimento, ainda não incorporados pelos alunos.

A escola, num primeiro momento, deveria partir do nível de desenvolvimento real da criança (em relação ao conteúdo) e chegar aos objetivos da aula, ou seja, chegar ao potencial da criança. É atribuído ao profes-sor o papel explícito de interferir na zona de desen-volvimento proximal (ZDP) dos alunos, provocando consequentemente, avanços que não ocorreriam es-pontaneamente.

Observemos que o nível de desenvolvimento real abordado na teoria vygotskyana refere-se ao nível atual, real e efetivo da criança, ou seja, à tarefa alcan-çada pela criança sem a ajuda do outro. No entanto, o nível de desenvolvimento potencial é definido pelo nível em que a criança alcança uma tarefa com a aju-da de outros mais experientes (pai, professor, colega). “A distância entre aquilo que ela é capaz de fazer de forma autônoma (nível de desenvolvimento real) e aquilo que ela realiza em colaboração com outros ele-mentos de seu grupo social (nível de desenvolvimento potencial) caracteriza o que Vygotsky denomina de zona de desenvolvimento proximal” (REGO, 2002: 73).

O que ocorre para Vygotsky é que o aprendizado progride mais rapidamente do que o desenvolvimen-to. Por isso, a proposta do termo zona de desenvol-vimento proximal (ZDP) em sua teoria é aquela em que a escola deve atuar. É no mesmo espaço que o professor, agente mediador (por meio da linguagem, material cultural), intervém e auxilia na construção e elaboração de estratégias pedagógicas para o desen-volvimento do aluno.

No entanto, devemos considerar que a “ZDP é uma propriedade estável e estática”, não existindo uma única ZDP por aluno, mas inúmeras. Do mesmo modo, temos que levar em conta que “o papel do pro-fessor ao oferecer ajuda ao aluno supõe criar diferen-tes e frequentes ZDP, permitindo que o pensamento do aluno vá progressivamente se modificando, em direção a tarefas progressivamente mais complexas” (ANTUNES, 2002: 30).

Henry Wallon

Wallon buscou nos princípios do materialismo dia-lético o referencial epistemológico para sua teoria,

“perspectiva filosófica especialmente capaz de captar a realidade em suas permanentes mudanças e trans-formações” (GALVÃO, 2002: 31).

No que diz respeito aos procedimentos metodológi-cos, escolheu a observação pura “como instrumento privilegiado da psicologia genética. (...) Só podemos entender as atitudes das crianças se entendemos a tra-ma do ambiente no qual está inserida” (Ibidem: 36).

O estudo realizado sobre o desenvolvimento huma-no é centrado na criança contextualizada e também, como em Piaget e Vygotsky, apresenta alguns está-gios. Uma das características das etapas elaboradas por Wallon é não seguir uma linearidade, são descon-tínuas, marcadas “por rupturas, retrocessos e revira-voltas”, provocando em cada fase profundas mudan-ças nas anteriores. “Para Wallon, a passagem de um a outro estágio não é uma simples ampliação, mas uma reformulação” (Ibidem: 41).

Em cada fase do desenvolvimento prevalece um tipo de atividade relacionada com o ambiente em que a criança está inserida, dependente dos recursos de que ela dispõe naquele momento. As fases propostas por Wallon se expressam nos cinco estágios descritos de forma sucinta abaixo.

• Estágio impulsivo-emocional: refere-se ao pri-meiro ano de vida da criança. A emoção é o ins-trumento dominante na interação da criança com o mundo. A “afetividade é impulsiva, emocional, que se nutre pelo olhar, pelo contato físico e se expressa em gestos, mímica e posturas” (Ibidem: 45).

• Estágio sensório-motor e projetivo: vai até os três anos. A criança adquire um certo domínio do mo-vimento, diversificando a afetividade sensório-moto-ra para exploração do mundo físico. O ato precede ao pensamento e o desenvolvimento das funções simbó-lica e da linguagem é também marcante.

• Estágio do personalismo: dos três ao seis anos. Caracteriza-se pela formação da personalidade. A conscientização da sua própria pessoa ocorre com a interação social. A criança passa pelo período do negativismo (“do NÃO, do EU e do MEU” (Ibidem: 119), da autoafirmação, da gratidão e da imitação. Pode participar da vida de diferentes grupos sociais como escola e clubes e nem sempre ocupa o mesmo papel, sendo importante o intercâmbio social.

• Estágio categorial: inicia-se aos seis anos e o interesse da criança volta-se para as coisas, para o conhecimento e para a conquista do mundo exterior. A interação com o meio tem supremacia cognitiva. A afetividade torna-se mais racionalizada e os sen-timentos, elaborados mentalmente, possibilitam aos jovens uma teorização sobre suas relações afetivas.

• Estágio da adolescência: com a puberdade “pode-mos dizer que, no plano afetivo, o EU volta a adquirir uma importância considerável; e no plano intelectual,

17a criança supera o mundo das coisas, para atingir o mundo das leis” (Ibidem: 122).

Durante o desenvolvimento humano, ocorrem pe-ríodos em que ora sobressaem as funções cognitivas (voltadas para a construção do real – classificação de objetos, operação matemática, definição de con-ceitos), ora as afetivas (voltadas para nós mesmos, elaboração do EU – nascimento de um filho, irmão, perda de um ente querido). A predominância ora afe-tiva ora cognitiva Wallon denominou predominância funcional.

Em todos os estágios do desenvolvimento da pessoa surgem ritmos descontínuos, marcados por contradi-ções e conflitos. “Nenhuma dessas etapas jamais é completamente superada e em certas afeições, assis-te-se à ressurgência de estágios mais antigos” (Ibi-dem: 122). Para Wallon, os estágios se interpõem e a criança tem orientada a sua interação mais para a afetividade ou para a cognição. Dessa forma, afetivi-dade e cognição se alternam, não se mantendo como funções exteriores uma à outra, cada uma incorpo-rando as conquistas realizadas pela outra, no estágio anterior, com as regulações necessárias.

Wallon, ao estudar o desenvolvimento humano, propõe a psicogênese da pessoa completa, distri-buindo a atividade infantil em vários campos funcio- nais – afetivo, motor e cognitivo. No decorrer do de-senvolvimento, vão aparecendo sucessivas diferencia-ções entre os campos funcionais e no interior de cada indivíduo. Considera o sujeito como geneticamente social, buscando em outras áreas do saber – neuro-logia, psicopatologia, antropologia, psicologia ani- mal – fundamentos mais sólidos para explicar os fato-res de desenvolvimento.

Ocupando lugar de destaque no estudo walloniano, a análise das emoções põe em evidência o caráter dia-lético de sua teoria psicogenética. Como a emoção tem um comportamento predominante nos primeiros anos de vida da criança, com certeza apresenta uma função específica, por isso que Wallon, “contrariando a visão das teorias clássicas, defende que as emoções são reações organizadas e que se exercem sob o co-mando do sistema nervoso central” (Ibidem: 59).

Conforme Dantas (1992: 85), a emoção é caracte-rizada por sua forma complexa e paradoxal. “Ela é simultaneamente social e biológica em sua natureza; realiza a transição entre o estado orgânico do ser e a sua etapa cognitiva, racional, que só pode ser atingida através da mediação cultural, isto é, social”.

Além da emoção, Wallon enfatiza a grande influência da linguagem como instrumento indispen-sável ao desenvolvimento do pensamento. “A aqui-

sição da linguagem representa, assim, uma mudan-ça radical na forma de a criança se relacionar com o mundo” (GALVÃO, 2002: 78).

O teórico em estudo traz importantes contribuições para a educação e, nos devidos termos, Galvão (Ibi-dem: 91) pontua vários artigos acerca desse tema, es-critos por Wallon, em que considera a escola como ambiente ideal para observar atentamente a persona-lidade da criança, uma vez que “é na interação e no confronto com o outro que se forma o indivíduo”.

Ao propor a psicogênese da pessoa completa, Wallon sugere uma prática de ensino que contemple os campos afetivo, cognitivo e motor, possibilitando assim o desenvolvimento da criança nos níveis cita-dos. A teoria atenta para os conteúdos de ensino tendo em vista “uma prática em que a dimensão estética da realidade é valorizada e a expressividade do sujeito ocupa lugar de destaque” (Ibidem: 99).

Também atribui grande mérito ao meio, “campo sobre o qual a criança aplica as condutas de que dis-põe, ao mesmo tempo, é dele que retira os recursos para sua ação” (Ibidem: 100), no desenvolvimento da criança, sobretudo na necessidade de se organizar um ambiente escolar composto por atividades individuais e coletivas.

Na concepção walloniana, a emoção atua como im-portante recurso na reflexão pedagógica. Dentro do contexto escolar, situações de conflitos entre profes-sor e aluno são muito comuns. Se o professor souber distinguir com clareza os fatores que geram conflitos, provavelmente poderá controlar as manifestações de suas reações emocionais e, consequentemente, desco-brirá meios de resolvê-los.

A perspectiva dialética que emprega no estudo dos fenômenos psíquicos instiga, no professor, uma ati-tude crítica e de permanente investigação sobre a prática cotidiana. Inspira um professor que, diante dos conflitos, não se contenta com respostas-padrão ou fórmulas estereotipadas e mecânicas, mas busca compreender-lhes o significado desvelando a com-plexa trama dos fatores que os condicionam (Ibidem: 114).

Wallon possibilita com sua teoria psicogenética que, nós, educadores/educadoras, façamos uma reflexão, uma avaliação acerca de suas ideias pedagógicas “para a construção de uma prática mais adequada às necessidades e possibilidades de cada etapa do desen-volvimento infantil” (Ibidem: 113).

Wallon atribui grande importância à construção da criatividade na criança, sem levar em conta o que nós adultos valorizamos, e como aponta Goulart (2002:

1823), “a valorização das relações sociais como base do desenvolvimento afetivo e intelectual é, prova-velmente, a maior contribuição de Wallon para uma proposta construtivista de educação. Graças a elas, evitamos formar indivíduos limitados e rotineiros”.

Almejamos uma educação que possibilite a intera-ção social entre as pessoas, que contribua de forma significativa para o desenvolvimento da criativida-de, da autonomia, da cooperação, da análise crítica, do conhecimento, da moral, como também permita trabalhar a emoção, a autoestima, a ansiedade e os limites do educando, concorrendo para uma formação plena capaz de fazê-lo enfrentar situações-problema em qualquer área. É importante observarmos que os

temas pontuados acima, em algum momento, mani-festam-se ao longo das obras dos três teóricos estu-dados, os quais reconhecem o ser humano como uma pessoa completa, não separando os aspectos: motor, cognitivo e emotivo.

Reflexões acerca das obras de Piaget, Wallon e Vygotsky possibilitam, para nós educadores, uma vi-são mais ampla e completa de como nossos educan-dos, ao longo do desenvolvimento cognitivo, produ-zem a aprendizagem. Portanto, faz-se necessário um novo olhar sobre uma prática pedagógica estanque, pronta, infalível que urge por mudanças e transfor-mações.

1.2 - A Criança de 0 a 6 Anos: que Conhecimentos Podem e Devem Construir

Para podermos iniciar o processo de desenvolvi-mento do senso matemático infantil, embasamo-nos em Lorenzato (2006), que defende aspectos conceitu-ais, tendo por objetivo enfatizar “o quê”, “por quê” e “para quê” ensinar noções pré-matemáticas.

No entanto, é preciso, inicialmente, observar que esse importante trabalho de exploração matemática a ser proposto às crianças sofre duas diferentes con-tribuições negativas, ambas externas a elas, mas que podem lhes afetar fortemente em seu desenvolvi-mento: a primeira vem dos próprios professores, que não incluem no processo de exploração matemática inúmeras atividades, por julgá-las muito simples e, portanto, desnecessárias ou inúteis à aprendizagem; a segunda vem dos pais, que cobram da pré-escola o ensino dos numerais e até mesmo de algumas “con-tinhas”. Atender a esse pedido é provavelmente dar à criança um péssimo começo para o longo caminho da aprendizagem do importante significado que a mate-

mática terá em sua vida; seria fazer como o pedreiro que se põe apressadamente a construir as paredes de uma casa sem ter preparado o alicerce (Ibidem: 23).

Dessa forma, o referido teórico apresenta uma pro-posta cuja questão essencial é começar por onde as crianças se encontram e não por onde os educadores gostariam que as mesmas estivessem. Logo, estabele-ce dois assuntos fundamentais: aproveitar os conheci-mentos e habilidades que as crianças são portadoras e explorar três campos matemáticos – espacial, numé-rico e das medidas (abordados com mais ênfase nas unidades subsequentes).

Para tanto, faz-se necessário começar o trabalho pelas noções apontadas no quadro 1.12 a seguir, que “devem ser introduzidas ou revisadas verbalmente e por meio de diferentes situações, materiais manipulá-veis, desenhos, histórias ou pessoas” (Ibidem: 24).

2Quadro adaptado de LORENZATO, Sérgio. Educação Infantil e percepção matemática. Campinas, SP: Autores Associados, 2006: 24. (Coleção Formação de Professores).

Quadro 1.1

1�

O professor deve se certificar que os conceitos apontados acima se relacionam diretamente com algum ou alguns dos conceitos físico-matemáticos traçados no quadro 1.23.

Quadro 1.2

3Quadro adaptado de LORENZATO, Sérgio. Educação Infantil e percepção matemática. Campinas, SP: Autores Associados, 2006: 25. (Coleção Formação de Professores).

São sete os processos mentais básicos que devem permear a prática do professor que deseja que a ex-ploração matemática seja realizada pela criança. Para Lorenzato (2006: 25) “se o professor não trabalhar com as crianças esses processos, elas terão grandes dificuldades para aprender número e contagem, entre outras noções”. E ainda enfatiza que sem o domínio dos processos apresentados, provavelmente a apren-dizagem ocorrerá sem significado algum ou compre-ensão para as crianças. Tais processos se referem tan-to a objetos, quanto a situações ou ideias. São eles:

1. Correspondência: é o ato de estabelecer a rela-ção “um a um”. Exemplos: um prato para cada pes-soa; cada pé com seu sapato; a cada aluno, uma car-teira. Mais tarde, a correspondência será exigida em situações do tipo: a cada quantidade; um número (car-dinal), a cada número, um numeral, a cada posição (numa sequência ordenada), um número cardinal.

2. Comparação: é o ato de estabelecer diferenças ou semelhanças. Exemplos: esta bola é maior que aquela; moro mais longe que ela; somos do mesmo tamanho? Mais tarde, virão: Quais destas figuras são retangulares?; Indique as frações equivalentes.

3. Classificação: é o ato de separar em categorias de acordo com semelhanças ou diferenças. Exemplos: na escola, a distribuição dos alunos por série; arrumação

de mochila ou gaveta; dadas várias peças triangulares e quadriculares, separá-las conforme o total de lados que possuem.

4. Sequenciação: é o ato de fazer suceder a cada elemento um outro sem considerar a ordem entre eles. Exemplos: chegada dos alunos à escola; entrada de jogadores de futebol em campo; compra em super-mercado; escolha ou apresentação dos números nos jogos, loto, sena e bingo.

5. Seriação: é o ato de ordenar uma sequência se-gundo um critério. Exemplos: fila de alunos, do mais baixo ao mais alto; lista de chamada de alunos; nume-ração das casas nas ruas; calendário; loteria federal (a ordem dos números sorteados para o primeiro ou quinto influi nos valores a serem pagos). O modo de escrever números (por exemplo, 123 significa uma centena de unidades, mais duas dezenas de unidades, mais três unidades e, portanto, é bem diferente de 321.

6. Inclusão: é o ato de fazer abranger um conjunto por outro. Exemplos: incluir as ideias de laranjas e bananas em frutas; meninos e meninas, em crianças; varredor, professor e porteiro, em trabalhadores na escola; losangos, retângulos e trapézios, em equilá-teros.

207. Conservação: é o ato de perceber que a quanti-

dade não depende da arrumação, forma ou posição. Exemplos: uma roda grande e outra pequena, am-bas formadas com a mesma quantidade de crianças; um copo largo e outro estreito, ambos com a mesma quantidade de água; uma caixa com todas as faces retangulares, ora apoiada sobre a face menor, ora so-bre outra face, conserva a quantidade de lados ou de cantos, as medidas e, portanto, seu perímetro, área e volume (Ibidem: 25-26).

Todos os processos mencionados4 podem e devem

interagir com qualquer outra situação do dia-a-dia. Em sala de aula, devem ser trabalhados de forma simples e a mais natural possível, não se esquecendo de mes-clá-los e integrá-los, uma vez que “é nessa integração que reside o verdadeiro favorecimento didático para o progresso educacional da criança” (Ibidem: 27).

O professor da Educação Infantil tem como respon-sabilidade criar e conservar o espaço da sala de aula, tanto nos aspectos físico, afetivo e social, que per-mita ou favoreça chegar aos objetivos pedagógicos traçados. Para tanto, é preciso levar em consideração alguns aspectos defendidos por Lorenzato (Ibidem: 20), tendo em vista que:

• Crianças gostam e necessitam de carinho, cuidado e atenção;

• É preciso gostar do que faz para ser bem sucedi-do;

• É preciso ter uma formação profissional adequa-da;

• É importante manter-se atualizado;• É importante refletir sobre sua própria prática, tro-

cando, sempre que possível, pontos de vista com seus pares;

• É fundamental conhecer os objetivos de forma-ção recomendados pela escola em que trabalha, bem como os objetivos de cada atividade a ser proposta; e mais, é preciso conhecer as especificidades dos as-suntos que as crianças devem aprender;

• É necessário, cada vez mais, diminuir a distância entre a Educação Infantil e o Ensino Fundamental, tanto em relação aos processos quanto em relação aos conhecimentos e técnicas;

• A experiência de vida pré-escolar caracteriza-se por uma forte e cotidiana interação da criança com a língua materna, a qual transcorre de forma natural, lenta e gradual. Assim deve-se dar também o desen-volvimento da percepção matemática, tal que a crian-ça só fale ou escreva aquilo que tiver significado para ela. Justamente por isso, é importante observar que a interação da criança com a Matemática, nessa etapa da vida, não costuma ser tão intensa quanto aquela tida com a língua materna.

Propor atividades que envolvam diversos materiais concretos, jogos (que sejam pedagogicamente pla-nejados) e resolução de problemas que favoreçam a elaboração de noções matemáticas de número, de medida e de geometria, com significado pela própria criança, é fundamental para desenvolver o pensamen-to matemático, uma vez que é a própria criança que realiza a aprendizagem, “pela reflexão que faz com o acompanhamento e a orientação do professor” (Ibi-dem: 54).

Algumas considerações sobre a construção dos conhecimentos matemáticos

O aluno vai construir conceitos matemáticos quando conseguir, através de alguma atividade, estabelecer relações entre uma nova informação e os conceitos já existentes na sua estrutura cognitiva, ocorrendo, portanto, uma interação entre a “nova informação ad-quirida e aquela já armazenada” (NOVAK apud RA-BELO e LORENZATO, 1994: 38).

Ou seja, é preciso que o aluno estabeleça correspon-dências de significados entre o novo conhecimento e o que já existe, ressignificando-os. Da mesma forma, Rabelo e Lorenzato (1994: 39) defendem que é preci-so proporcionar aos alunos atividades que permitam levar em consideração as “categorias conceituais que as crianças já têm sobre os objetos do conhecimento”, permitindo a interação e a “oportunidade de explica-rem fenômenos que entendem, assim como de expo-rem e reelaborarem conceitos que já possuem”.

De igual maneira, D´Ambrósio (2001: 49-50) de-fende que

(...) todo conhecimento é resultado de um longo pro-cesso cumulativo, onde se identificam estágios, na-turalmente não dicotômicos, entre si, quando se dão a geração, a organização intelectual, a organização social e a difusão do conhecimento. Esses estágios são, respectivamente, o objeto da teoria da cogni-ção, da epistemologia, da história e sociologia, e da educação e política. Como um todo, esse processo é extremamente dinâmico e jamais finalizado, e está, obviamente, sujeito a condições muito específicas de estímulo e de subordinação ao contexto natural, cul-tural e social. Assim é o ciclo da aquisição individual e social de conhecimento.

D´Ambrósio (Ibidem: 54) destaca quatro dimensões

do conhecimento. São elas: sensorial, intuitiva, emo-cional e racional. As dimensões intuitiva e emocional estão relacionadas ao conhecimento religioso. Já a dimensão racional favorece o conhecimento científi-co, enquanto a emocional predomina nas artes. Para ele, todas essas dimensões são complementares, não

4Para facilitar, Lorenzato (2006: 27) propõe os assuntos apontados em forma de itens: A) quem é a criança pré-escolar (características, conhecimentos e habilidades); B) que campos matemáticos devem ser explorados na educação infantil (geometria, medição e aritmética); C) que noções devem ser trabalhadas (alto/baixo, mais/menos...); D) que conceitos devem ser desenvolvidos (tempo, massa, distância...); quais são os processos mentais básicos para aprendizagem da matemática (correspondência, classificação...).

21sendo dicotomizadas nem hierarquizadas. “Do mes-mo modo que não há dicotomia entre o saber e o fazer, não há priorização entre um e outro, nem há prevalência nas várias dimensões do processo”. Para D´Ambrósio (Ibidem: 54-56), “tudo se complementa num todo que é o comportamento e que tem como resultado o conhecimento. (...) Assim, o comporta-mento é o elo entre a realidade, que informa, e a ação, que a modifica”.

Devemos ressaltar, de acordo com D´Ambrósio (Ibi-dem: 57-58), que “cada indivíduo gera conhecimen-to como ação a partir de informações da realidade”. Cada indivíduo processa as informações de forma distinta, resultando em ações também distintas. “O comportamento e o conhecimento são, consequente-mente, diferentes, muitas vezes conflitantes”. É a co-municação que leva ao entendimento comum entre os diferentes indivíduos.

Desse modo, é preciso favorecer ambientes em que seja possível o desenvolvimento de atividades em duplas ou em grupos, o que induz à comunicação. Consequentemente, é a comunicação “que permite que ambos tenham informações enriquecidas pela informação que lhe é comunicada pelo outro”, pos-sibilitando, a cada indivíduo, “captar e processar as informações em um mesmo instante e numa mesma realidade” (Ibidem).

Portanto construir conhecimento é organizar de forma estruturada a informação recebida, tomando consciência de si mesmo como ser integrante e parti-cipante do e no mundo. É permitir que o aluno rece-ba uma informação nova por meio de uma atividade (podendo ser lúdica e levando em conta o trabalho em grupo) e interaja com a que já possui na sua estru-tura cognitiva, resultando em uma outra informação elaborada por ele de forma autônoma, criativa e cons-ciente. Pensamos ser uma releitura diária do saber.

Sugestões de Atividades

1) Descreva quais os objetivos das atividades5 descritas a seguir, de acordo com o estudado nesta unidade.

Atividade 01Atividade: entregar para cada dupla de crianças uma mesma quantidade de palitos. Pedir para que elas for-

mem figuras quaisquer, usando sempre todos os palitos. Discutir com as crianças os resultados. Em seguida, elas devem formar somente contornos de figuras usando todos os palitos; os resultados devem ser comparados com o auxílio do professor.

Atividade 02Atividade: o professor coloca três ou mais objetos (dependendo do nível de desenvolvimento das crianças)

em lugar visível a todos, certificando-se de que as crianças sabem o nome de cada objeto. Em seguida avisa aos alunos que irá cobrir os objetos com um papel e que devem procurar lembrar os nomes dos objetos. Escolhe algumas crianças para dizer os nomes. Pode-se também retirar, acrescentar e mudar de posição os objetos avi-sando às crianças que mudanças ocorreram, pedindo, assim, para que identifiquem essas mudanças.

2) Elabore uma atividade cujo objetivo seja o de comparar (medir) sem usar unidade padronizada de medida e que favoreça a descoberta de que o tamanho do objeto independe da sua posição no espaço.

Leituras complementares

LORENZATO, Ségio (org.). O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção Formação de Professores).MACEDO, Lino de; PETTY, Ana Lúcia Sicoli; PASSOS, Norimar Christe. Aprender com jogos e situações-problema. Porto Alegre: Artmed, 2000.MARZANO, Robert; PICKERING, Debra J.; POLLOCK, Jane E. O ensino que funciona: estratégias baseadas em evidências para melhorar o desempenho dos alunos. Porto Alegre: Artmed, 2008.SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez; CÂNDIDO Patrícia. Jogos de matemática de 1º a 5º ano. Porto Alegre: Artmed, 2007. (Série Cadernos do Mathema – Ensino Fundamental).Edição especial da Revista Nova Escola – Educação Infantil – 90 sugestões de atividades para crianças de até 5 anos. Editora Abril. Número 9, 2006.

5Essas atividades foram adaptadas de Lorenzato (2006: 61-70).

22 UNIDADE II

CONCEITOS FUNDAmENTAIS DA mATEmáTICA

2.1 - Construção da Aritmética

Posto que as crianças devam vivenciar os conheci-mentos assinalados a seguir de forma integrada, ten-taremos traçar algumas especificidades de cada um de maneira fragmentada, não deixando de levar em consideração a interação e complementaridade exis-tente, a valorização da semelhança entre os diferen-tes nomes e a compreensão dos conceitos abordados,

uma vez que estes se inter-relacionam e procuram de alguma forma, “atender o currículo em espiral, que recomenda voltar ao mesmo assunto várias vezes, embora com diferentes enfoques. (...) Essa integração pode ser um apoio para a aprendizagem, pois facilita a percepção do significado de conceitos e símbolos” (LORENZATO, 2006: 70).

Se ensinar Matemática não é uma tarefa tão fá-cil, imagina aprendê-la! Amparados pelos Parâmetros Curriculares Nacionais e por educadores que consta-taram que o ensino tradicional, da pura transmissão dos conteúdos e da falta de significados não é mais eficaz, é que defendemos uma metodologia centra-da na construção do conhecimento e na produção da aprendizagem pelo aluno, em que o professor é o me-diador, orientador e colaborador nesse processo.

Dessa forma, buscamos em alguns autores a rein-venção da Aritmética por parte das crianças, já que o ensino atual não está funcionando com eficiência, as crianças que reinventam a Aritmética se tornam mais competentes6 e os processos que acabam inventando “estão enraizados de forma profunda em sua intuição e na sua maneira natural de pensar” (KAMII, 2001: 32).

Se encorajarmos as crianças a desenvolverem seus próprios meios de raciocínio em vez de obrigá-las a memorizar regras que não fazem sentido, elas terão melhores fundamentos cognitivos e maior confiança. Crianças confiantes, a longo prazo, aprenderão mais que aquelas que foram ensinadas de tal maneira que não confiam em seu próprio raciocínio. (...) Nas sé-ries iniciais, no entanto, acredito firmemente que elas devam construir um nível após outro por elas mes-mas para que possam ter fundamentos sólidos para posteriores aprendizados (Ibidem: 32-33).

O conceito de Aritmética nos ajuda a compreender

como se processa a construção numérica e nos auxilia a diagnosticar as dificuldades existentes dos alunos que apresentam tais dificuldades. O termo Aritmética7 vem do grego arithmós, referindo-se aos números, e o prefixo ar significa reunir. Isso expressa que é a ciên-cia que soma, subtrai, multiplica, divide números. Para Neto (2002), desenvolver a competência aritmé-tica é falar sobre a construção da noção de número.

Por conseguinte, trata da parte da Matemática que estuda as operações numéricas.

Há tempos os educadores acreditavam que a crian-ça aprendia Aritmética por meio de lições e descober-tas apenas recebendo informações do professor, pois o mesmo explicava, ditava, mostrava figuras enquanto a criança ouvia, copiava, decorava, devendo, assim, aprender. Quando não aprendia, a culpa, na maioria das vezes, era dela por ser desatenta e irresponsável, ou o professor não levava “jeito”. É possível que se instrua dessa maneira, mas o aluno terá uma compre-ensão quase mínima ou nenhuma daquilo que foi en-sinado.

Na verdade, Kamii e DeClark (2001) defendem que o aprendizado vai acontecer através de um pro-cesso de construção a partir de dentro de si mesmas, levando as crianças a reinventarem a Aritmética, fa-vorecendo, desse modo, um aprendizado com com-preensão.

Para explicar, entender ou compreender a concep-ção de número, Piaget (apud KAMII, 2001) estabele-ceu três tipos de conhecimentos: físico, lógico-mate-mático e social, sendo o elemento mais importante da Aritmética o conhecimento lógico-matemático.

O conhecimento físico é, portanto, um conhecimento empírico cuja origem reside parcialmente nos obje-tos. O conhecimento lógico-matemático, por outro lado, não é empírico, pois sua origem está na men-te de cada indivíduo. Relações precisam ser criadas por cada indivíduo porque ideias como “diferente”, “similar” ou “dois” não existem no mundo externo, observável. As crianças acabam elaborando seu co-nhecimento lógico-matemático coordenando as rela-ções simples que elas criaram entre os objetos. (...) A principal característica do conhecimento social é sua natureza geralmente arbitrária. O fato de uma árvore

6Fato este comprovado em KAMII, Constance. Aritmética: novas perspectivas - implicações na teoria de Piaget. Campinas, SP: Papirus, 2001. (verificar capítulo 10)7Fonte: http://www.hottopos.com/geral/isidorus.htm. Acesso em: 28/10/2008.

23ser chamada de “árvore” é um exemplo de arbitra-riedade do conhecimento social. Nas várias línguas, um mesmo objeto pode ser conhecido por diferentes nomes, desde que não haja uma relação física ou ló-gico-matemática entre o objeto e seu nome. Segue-se daí que, para a criança adquirir conhecimento social, sua convivência com pessoas é indispensável (KA-MII, 2001: 23)8.

Enquanto as crianças não tiverem construído a noção lógico-matemática de números em suas men-tes, tudo que elas conseguirão obter é conhecimento físico e empírico. Saber como as crianças constroem seus conhecimentos é fundamental para podermos proporcionar ambientes que facilitem a aprendiza-gem, já que ensinar Aritmética depende da concepção a respeito de como elas aprendem (Ibidem).

O conhecimento lógico-matemático tem suas fontes dentro de cada criança e é elaborado a partir da sua própria ação mental. (...) Não pode ser adquirido por interiorização daquilo que é do outro, mas pelo pen-samento autônomo de cada criança. Quando crianças se convencem de que a ideia do outro é mais sensata que a sua própria, elas mudam a sua forma de pensar, corrigindo-se de dentro para fora (Ibidem: 58).

Assim sendo, traçamos a seguir, de forma sucinta,

alguns pontos da pesquisa, fundamentada na teoria de Piaget, sugerida por Constance Kamii e Georgia DeClark (2001), de como trabalhar a construção da Aritmética com as crianças, uma vez que defendem uma aprendizagem que requer participação mental ativa e autônoma.

Três aspectos são fundamentais no trabalho9 das autoras, em que atividades e situações oferecidas po-dem favorecer que a criança construa o conhecimento lógico-matemático por si própria. São eles:

1. Número não é empírico por natureza. A criança o constrói através da abstração reflexiva pela sua pró-pria ação mental de colocar coisas em relação.

2. Os conceitos de número não podem ser ensina-dos. Isso pode ser uma péssima notícia para os educa-dores, mas é boa no sentido de que o número não tem que ser ensinado, uma vez que a criança o constrói

8Melhor esclarecendo: Conhecimento físico é o conhecimento dos objetos da realidade externa. A cor e o peso de uma ficha são exemplos de propriedades físicas que fazem parte dos objetos e podem ser notados pela observação. Saber que uma ficha cairá quando a jogamos no ar é também um exemplo de conhecimento físico. Conhecimento lógico-matemático consiste em relações feitas pelo indivíduo. Por exemplo, quando nos mostram uma ficha vermelha e uma azul e notamos que elas são diferentes, essa diferença é um exemplo do funda-mento do conhecimento lógico-matemático. Podemos observar as fichas, mas a diferença entre elas não. A diferença é uma relação criada mentalmente pelo indivíduo que faz o relacionamento entre os dois objetos. A diferença não está na ficha vermelha ou azul, e, se uma pessoa não puser os dois objetos dentro dessa relação, a diferença não existirá para ela. São exemplos de relação: semelhança, igualdade em peso e dois (podem-se observar as 2 fichas, mas não o “2”). Número é uma relação criada mentalmente pelo indivíduo (KAMII e DECLARK, 2001: 29)9A pesquisa mais importante para o ensino da aritmética no Ensino Fundamental Anos Iniciais pode ser encontrada nos volumes XI, XIII e XVII dos Ètudes dEpistemologie Génétique. Para aqueles que ainda não conseguiram se convencer que o conhecimento lógico-mate-mático é construído pela própria criança, recomendamos o livro de Sinclair, Stambak, Lézine, Rayna e Verba (1982), em que o capítulo cujo título é “Bebês e lógica” demonstra, com detalhes, como antes dos 2 anos a criança põe objetos espontaneamente numa relação lógica (Ibidem: 49).

de dentro de si mesma, pela sua capacidade natural de pensar.

3. Adição também não precisa ser ensinada. A pró-pria construção do número envolve a repetida adição de “1” (KAMII e DECLARK, 2001: 50).

Tal pesquisa permite que o professor compreen-da o motivo por que alguns alunos não conseguem apreender noções de Aritmética, mesmo que já tenha abordado o assunto diversas vezes e de diversas ma-neiras.

A Aritmética precisa ser construída pela abstração reflexiva, pois “se a criança não consegue construir uma relação, nenhuma explicação do mundo fará com que ela entenda as afirmações da professora” (Ibidem: 50).

Para a abstração de propriedades de objetos, Piaget usou o termo abstração empírica (ou simples). Para a abstração de número, ele usou o termo abstração reflexiva (abstraction réfléchissante). Na abstração empírica, tudo o que a criança faz é se concentrar numa certa propriedade do objeto e ignorar as ou-tras. Por exemplo, quando ela abstrai a cor de um objeto, simplesmente ignora as outras propriedades, tais como peso e material com que o objeto foi feito (plástico, madeira, metal). (...) Abstração reflexiva, ao contrário, envolve a construção de uma reflexão entre objetos. Relações, como já foi dito, não têm uma existência na realidade externa. A semelhança ou diferença entre uma ficha e outra não existe na ficha em si. Essa relação existe somente nas mentes das pessoas. (...) Na realidade psicológica da criança uma não existe sem a outra. A criança não consegue construir a relação “diferente” se ela não puder ob-servar propriedades diferentes nos objetos (Ibidem: 31).

Nos períodos sensório-motor e pré-operacional, as duas abstrações são dependentes. Estas só irão se manifestar independentemente uma da outra em uma idade mais avançada. Se a criança constrói o número pela abstração reflexiva, ela conseguirá operar com números e fará 5+5 e 5x2 através dessa, como tam-bém terá a capacidade de operar com números gran-des.

24A distinção entre os dois tipos de abstração pode parecer sem importância, enquanto a criança está aprendendo números pequenos, vamos dizer, até 10. Quando ela chega a 999 e 1000, contudo, fica claro que é impossível aprender todos os números intei-ros a partir de conjuntos de objetos ou fotografias. Números são aprendidos não por abstração empírica de conjuntos já feitos, mas por abstração reflexiva à medida que a criança constrói relações. É possível entender números tais como 1.000.002 mesmo sem tê-lo visto antes ou contado 1.000.002 objetos, dentro ou fora de um conjunto, porque essas relações são criadas pela mente (Ibidem: 32).

Tanto Piaget (apud KAMII, 2001) quanto Miranda e Gil-llario (apud SILVA, 2008), garantem que para o conceito de número ser elaborado pelas crianças é preciso que elas sejam capazes de conservar o núme-ro (terem certeza de que o todo está composto por um conjunto de partes que podem ser distribuídos de diversas maneiras sem que haja variedades), bem como terem noção de seriação (capacidade para or-denar elementos de uma série de funções de algum critério).

Deve-se compreender que cada número pode ser ordinal e cardinal; por exemplo, o número 5 é um símbolo de um conjunto que representa uma classe (princípio de cardinal idade), mas também pode re-presentar o quinto (5º) lugar em uma série. Quando se é capaz de utilizar ambos os sistemas, se possui uma compreensão adequada do número, a qual abre caminho para as operações matemáticas (SILVA, 2008: 02).

Além disso, os teóricos assinalados ressaltam que

para a criança se apropriar do conceito de número, é necessário que consiga estabelecer relações de ordem e inclusão hierárquica, essenciais para construir a se-quência numérica e sistematizar as principais opera-ções matemáticas, como a adição.

Para quantificar o conjunto de objetos, a criança tem que colocá-los numa relação de inclusão hierárquica. Essa relação significa que a criança inclui mental-mente “um” em “dois”, “dois” em “três”, “três” em “quatro” etc. (KAMII e DECLARK, 2001: 33).

Isso significa seriar e, além disso, incluir em cada nú-mero todos os anteriores. O dois inclui o um, o três inclui o um e o dois, portanto, inclui o um três vezes e assim por diante. Desse modo a contagem envolve esquemas de inclusão de classes, significando, nesse caso, que cada número é constituído da adição repeti-da de uns e nessa construção a adição já está incluída (NETO apud SILVA, 2008: 03).

Conferimos que não é fácil construir a estrutura hie-rárquica, portanto o exemplo dado a seguir verifica tal constatação.

São dados vários objetos às crianças, por exemplo, 6 cachorros miniaturas e 2 gatos do mesmo tamanho e pergunta-se: “O que você vê?” O pesquisador usa pa-lavras do vocabulário da criança. Depois pede-se que a criança mostre todos os animais, todos os cachorros e todos os gatos, ainda usando um mesmo tipo de vocabulário. Depois de se certificar de que a criança entendeu bem todas as palavras, o pesquisador per-gunta: “Há mais cachorros ou mais animais?” As crianças de 4 anos respondem logo: “Mais ca-chorros”, ao que o adulto pergunta: “Do que o quê?” “Do que gatos” é a resposta. Em outras palavras, a criança não escuta a pergunta como ela foi formulada e sim: “Há mais cachorros, ou mais gatos?” A criança escuta uma pergunta diferente da que foi feita porque uma vez que ela mentalmente cortou o todo (animais) em duas partes (cachorros e gatos), a única coisa que ela consegue pensar é na divisão do todo. Para ela, naquele momento, o todo não existe. Para comparar o todo com a parte, a criança tem que fazer duas ações mentais opostas ao mesmo tempo – cortar o todo em duas partes e colocar outra vez as partes no todo. De acordo com Piaget, é exatamente o que a criança de 4 anos não consegue fazer. (...) Aos 7-8 anos, entre-tanto, o raciocínio das crianças se torna móvel o su-ficiente para ser reversível. Reversibilidade refere-se à capacidade de fazer mental e simultaneamente duas ações opostas. (...) Por isso é tão importante, para as crianças, colocar todos os tipos de coisas (objetos, eventos, ações) em toda espécie de relações. Quando isso acontece, o raciocínio da criança torna-se mais móvel e um dos resultados dessa mobilidade é a es-trutura lógico-matemática do número (KAMII e DE-CLARK, 2001: 34-35).

Piaget ainda defende a importância da interação social para a construção do pensamento lógico-mate-mático e a autonomia como finalidade da educação, uma vez que desenvolve o pensamento crítico, o in-telectual e a ética.

Paremos para refletir o que a escola vem fazendo atualmente, uma vez que deveria criar ambientes ricos de significados em que as crianças pudessem contar, juntar, contar o total, repartir e contar quanto ganha cada um, quanto sobra, quanto falta, sem efetivamen-te trabalhar, no início, com simbolizações matemáti-cas, lembrando que a criança responde de acordo com suas estruturas mentais.

As crianças começam na escola com muita von-tade de aprender, e de se divertir. Lá pela 2ª série,

25depois de verem tantas coisas que não lhe fazem o menor sentido, as crianças passam a escrever coisas absurdas, sem mesmo pensar. W.W. Sawyer chamou isto de “a destruição da integridade intelectual da criança”. Ao invés de aprender aritmética, as crian-ças aprendem a brincar com um complexo “jogo de marcas no papel”, o qual não tem nenhuma relação com qualquer experiência no mundo real. (...) É im-portante avaliar a aritmética da 1ª série, observando o que acontece com a criança a longo prazo. Contando, simplesmente, o número de respostas corretas em um teste, os educadores estão fechando os olhos para um grande dano intelectual em grande escala, provenien-te do uso do lápis. A aritmética deve estar enraizada no pensamento genuíno da criança (Ibidem: 120).

Em busca de melhor qualidade de vida na esco-la e questionando as práticas tradicionais adotadas na maioria das escolas, bem como as barreiras que os profissionais da educação enfrentam em relação aos métodos conservadores, é que o trabalho abor-dado se faz relevante, imprescindível e importante para “aqueles que querem estudar o que vai dentro das cabeças das crianças, a fim de encontrarem novas e melhores maneiras de proporcionar oportunidades para as crianças construírem a matemática em todos os níveis de idade, e principalmente sobre como a criança pequena pode ser introduzida à Aritmética” (Ibidem: 13).

2.2 - A Noção de quantidade Ao enfrentar situações em que desejamos saber

quantidade, a primeira atitude que nos vem é contar. Verificamos que as crianças realizam a contagem de diferentes formas, já que os significados vão se mo-dificando dependendo do contexto e da compreensão que têm de números. Desta forma, Devlin (2006: 63) defende que:

Contar não é o mesmo que dizer quantos elementos há num conjunto. O número de elementos de um con-junto é apenas um fato sobre este conjunto. Contar aqueles elementos, por outro lado, é um processo que envolve ordenar o conjunto de algum modo, e, de-pois, aproveitando essa ordenação, contar todos os elementos, um por um. (vou ignorar variações, pelas quais o conjunto é contado de dois em dois ou de três em três. São apenas isso: variações.) Uma vez que contar nos informa, na realidade, o número de ele-mentos de um conjunto, nós frequentemente confun-dimos as duas coisas. Mas isso é uma consequência de familiaridade. Crianças muito novinhas encaram a contagem e o número como coisas bem dissociadas. Peça a uma criança de três anos para contar seus brin-quedos, e ela reagirá sem erro: “Um, dois, três, qua-tro, cinco, seis, sete.” É bem possível que ela aponte para cada brinquedo enquanto vai contando. Mas depois pergunte a ela quantos brinquedos tem, a pro-babilidade é que ela diga o primeiro número que lhe vier à cabeça – que talvez não seja sete. Nessa idade, as crianças simplesmente não associam o processo de contar com o de responder à pergunta: “Quantos?”

Para Devlin (Ibidem: 64), é a partir dos quatro anos que a criança vai perceber que o ato de contar lhes dá condições de encontrar quantos, uma vez que, nesse processo, a ordem que é utilizada na contagem não é importante. “Independentemente de qual objeto seja

o primeiro, segundo etc., o número ao qual você che-ga é sempre o mesmo”.

Deste modo, traçamos, de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) – Educação Infantil e Ensino Fundamental Anos Iniciais (1997) –, alguns pontos relevantes para a aprendizagem de Matemáti-ca no que concerne à noção de quantidade.

Crianças com idade entre zero e três anos começam a estabelecer as primeiras relações com o mundo e são as situações do dia-a-dia que permitem que ideias ma-temáticas vão florescendo e surgindo. Essas ocorrem através da exploração de objetos e obstáculos (cadei-ras, mesas, panos – em que engatinhando ou andando possam subir, descer, passar por dentro, por fora, por cima, por baixo); através de jogos e brincadeiras (blo-cos de madeira ou plástico na construção de torres e pistas para carrinhos); através da manipulação de brinquedos que contenham números (telefone, má-quinas de calcular, relógios); através de atividades envolvendo datas de aniversário, idade, calendário. O importante é que esse trabalho esteja inserido e inte-grado no cotidiano das crianças.

Da mesma forma, as crianças entre quatro e seis anos utilizam a contagem em situações do dia-a-dia que servem para identificar, memorizar, antecipar, contar, numerar, medir, operar. Nesta faixa etária, pode-se estabelecer tanto o valor cardinal de conjun-tos de objetos (cinco, seis, nove) quanto o valor ordi-nal de um número (quinto, sexto, nono). Através de recitação10 de sequências numéricas ou por meio de uma sucessão de palavras (prática em que a criança se engana, pára, recomeça e progride), os alunos apren-dem e avançam nas aprendizagens.

10Exemplos de recitação: jogos de esconder ou de pega, nos quais um dos participantes deve contar, enquanto espera os outros se posicio-narem. Brincadeiras e cantigas que incluem diferentes formas de contagem: “a galinha do vizinho bota ovo amarelinho; bota um, bota dois, bota três, bota quatro, bota cinco, bota seis, bota sete, bota oito, bota nove e bota dez”; um, dois, feijão com arroz; três, quatro, feijão no prato; cinco, seis, feijão inglês; sete, oito, comer biscoito; nove, dez, comer pastéis” (PCN, 1997 – Educação Infantil).

26O pensamento da criança evolui e passa por estágios

e em cada estágio ela tem uma maneira particular de compreender e explicar as coisas do mundo. Podemos exemplificar, na figura 1.111, tal afirmativa quando mostramos a uma criança duas bolachas iguais. Uma inteira e outra partida em quatro pedaços. A maioria das crianças por volta dos cinco anos de idade certa-mente irá dizer que as quantidades de bolachas não são iguais. Muitas delas acharão que há maior quan-tidade na bolacha em pedaços. Só quando estão mais velhas é que reconhecerão quantidades iguais. Tal situação nos revela que em certos estágios do pensa-mento as crianças acham que a disposição das partes altera a quantidade, uma vez que, para elas, nessa fai-xa etária, pode parecer que a quantidade de bolacha aumenta se for partida em pequenas porções.

11Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4l2.htm. Acesso em 11/11/2008.12A) número localizador pode ser encontrado designando endereço, latitude, distância. B) número identificador está nas datas, nos tele-fones, nas camisas dos jogadores. C) número ordenador indica o andar do apartamento, a posição obtida num campeonato. D) número quantificador indica velocidade, consumo, remuneração, altura. E) número com significado de quantidade total (numerosidade) em que é forte a cardinalidade (na sala estudam 43 crianças). F) número como final de contagem em que é forte a ordinalidade (ele é o 4º filho). G) número (cálculo) como resultado de operações. H) número (medida) como resultado de mensuração (LORENZATO, 2006: 29).

Alguns estudiosos cognitivistas declaram que o pensamento e o aprendizado da criança desenvol-vem-se ligados à observação e investigação do que está em seu entorno. Quanto mais a criança explora os aspectos do mundo ao seu redor, mais ela é capaz de relacionar fatos e ideias, tirar conclusões, pensar e compreender.

Assim sendo, os números são utilizados em diversas situações e também apresentam diferentes finalidades como contar, medir, ordenar e codificar. Em algum momento da História, o ser humano aprendeu a con-tar, e foi a contagem que produziu extraordinários efeitos na evolução dos conhecimentos científicos e não-científicos acumulados em sua história. Os nú-meros constituem ferramentas fundamentais nessa evolução.

2.3 - A Noção de Números Perceptuais

Podemos constatar que o número está presente em diversas situações do cotidiano e exerce inúmeras funções: número localizador; número identificador; número ordenador; número quantificador; número com significado de quantidade total; número como final de contagem; cálculo; medida (LORENZATO, 2006)12, e estão sempre acompanhados de noções ele-mentares como: “um depois do outro”, “este se rela-ciona com aquele”, “isto contém aquilo” entre outras (Ibidem: 29).

Pesquisas realizadas nas últimas décadas revelaram que o campo conceitual de número é constituído de inúmeras variáveis, tais como:

• Correspondência um a um;• Cardinalidade de um conjunto;• Ordinalidade na contagem;• Contagem seriada um a um;• Contagem por agrupamentos; • Composição e decomposição de quantidade;• Reconhecimento de símbolos numéricos;• Reconhecimento de símbolos operacionais;• Representação numérica;• Operacionalização numérica;• Percepção de semelhanças;• Percepção de diferenças;• Percepção de inclusão;• Percepção de invariância (Ibidem: 29-30).

Entender o conceito de número, portanto, é uma tarefa difícil, longa e complexa que não satisfaz mais o ensino de números em que reconhecer numerais era prerrogativa, uma vez que o contexto em que a crian-ça está inserida já concebe números das mais diferen-tes formas.

No início da escolaridade, a noção de quantidade é essencial para o desenvolvimento da construção do que é número. Entretanto a criança ainda não conse-gue associar quantidade à ideia de número. Ao com-pararem números, o fazem em um nível perceptual, não ultrapassando cinco elementos. Aí entra a noção de números perceptuais que Piaget denominou de pequenos números. Tais números são reconhecidos através da percepção, sem necessitar da estrutura ló-gico-matemática. São os chamados números até 4 ou 5. Para ele, números perceptuais e números apresen-tam diferenças.

Até alguns pássaros podem ser treinados para distin-guir entre “oo” e “ooo”. Contudo, a distinção entre “ooooooo” e “oooooooo” é impossível por percep-ção. Números pequenos, maiores que 4 ou 5, são cha-mados números elementares (KAMII e DECLARK, 2001: 29).

Para Devlin (2006: 60), o cérebro lida de forma dis-tinta com conjuntos que possuem elementos menores

Figura 1.1

27que três do que com conjuntos com mais elementos. Na verdade, nascemos com o senso numérico, pois reconhecemos a diferença de um grupo com dois ou três elementos, bem como quando dois elementos são mais que três.

Os números perceptuais podem se relacionar com a numerosidade, pois permite determinar certa quan-tidade com aproximadamente quatro elementos sem utilizar a contagem.

Quando as crianças indicarem, com segurança, que a quantidade de elementos de um conjunto não depen-de da disposição espacial, tipo, cor, forma e tama-nho, então será conveniente aumentar a quantidade até nove elementos e refazer as comparações já feitas com os conjuntos menores. (...) Considerando que muitas crianças, antes de iniciarem sua vida escolar, já conhecem o nome dos números, é importante que o professor não deixe esse conhecimento camuflar o ob-

jetivo das comparações entre quantidades, pois para compará-las não é necessário conhecer os numerais, nem seus nomes; e mais, o fato de a criança ordenar corretamente os numerais de um a nove não significa que ela esteja compreendendo o que é número. (...) lembrando que símbolo (numeral) é representação de ideia (número) (LORENZATO, 2006: 31).

Vale ressaltar que a ideia de quantidade perpassa por todas as atividades e situações em que a criança se depara, seja no ambiente escolar, seja no cotidiano. E essa ideia encontra-se no plano do observável e manipulável, enquanto número encontra-se no plano do abstrato e, “como tal, só o próprio aprendiz po-derá consegui-lo, realizá-lo, adquiri-lo, percebê-lo ou construí-lo, pois o número não está nos objetos (como cor, forma, dimensão, posição), mas na mente de quem percebe ou cria uma relação entre objetos, eventos, situações ou ações” (Ibidem: 33).

2.4 - As Operações de Classificação e Seriação

O conceito de número baseia-se na formação e siste-matização da mente em duas operações: classificação e seriação, constituindo-se estruturas cujas leis são definidas para o lógico e o matemático. Só o fato de observá-las não garante que as crianças as compre-endam, assim, cabe ao professor oferecer, a partir da Educação Infantil, diversas situações e trabalhar com elas a fim de que possibilitem a elaboração das ope-rações citadas.

Enquanto a classificação enfatiza as semelhanças entre os objetos, a seriação enfatiza as diferenças en-tre eles. São considerados processos mentais básicos na aprendizagem da Matemática e, enquanto a crian-ça não dominá-los, certamente encontrará enormes dificuldades em aprender números e contagens.

Vejamos o que significa cada uma dessas operações, que podem se referir a objetos, situações ou ideias.

Classificação é um processo de identificação de cri-térios e categorias, uma vez que “envolve organizar elementos em grupos baseados em suas semelhanças. Um dos elementos fundamentais da classificação é identificar as regras que governam o tipo ou a cate-goria dos membros” (MARZANO, PICKERING & POLLOCK, 2001: 22).

As operações de classificação são usadas em sepa-rações de cores, tamanhos, formas, espessuras. Como também podem ser utilizadas na escola em “distri-buição dos alunos por séries; arrumação de mochila ou gaveta; dadas várias peças triangulares e quadrilá-teras, separá-las conforme o total de lados que pos-suem” (LORENZATO, 2006: 26). Alguns materiais,

como sucata, brinquedos, objetos escolares, blocos lógicos entre tantos outros permitem a observação de atributos e o levantamento de semelhanças e diferen-ças.

Para classificar, utilizamos relações de pertinência, quando relacionamos cada elemento com a classe a qual pertence (um CD fica no monte de samba, o outro no de jazz) e inclusão de classes, quando rela-cionamos uma subclasse com a classe maior (CD de samba fica na pilha de música popular, o outro na de música erudita), estabelecendo, portanto, uma relação entre a parte e o todo.

O trabalho com classificação deve ser desenvolvido com o currículo em espiral, iniciando na Educação Infantil e continuando progressivamente de forma mais complexa no Ensino Fundamental, pois “além da integração, é preciso trabalhar o mesmo assunto apresentando-o e reapresentando-o diversas vezes, mas com variação do contexto” (MARZANO, PI-CKERING & POLLOCK, 2008: 28).

Seriação é o processo pelo qual se comparam os ob-jetos e se estabelecem as diferenças entre eles. Origi-na a gênese do número, a noção de quantificação e faz parte da gênese das estruturas lógicas elementares. “É o ato de ordenar uma sequência segundo um critério. Podem ser trabalhados no meio educacional em: fila de alunos, do mais baixo ao mais alto; lista de chama-da de alunos; numeração das casas nas ruas; calendá-rio; loteria federal” (LORENZATO, 2006: 26).

Desde o período sensório-motor, a seriação se en-contra presente, já que é “a partir do momento em que

28as diferenças passam a ser consideradas pelo bebê ao construir uma torre colocando cubos em ordem de ta-manho decrescente, ou mesmo mais tarde quando este faz seus primeiros encaixes” (MAÇADA, 1996).

A criança antes de intercalar elementos, por uma sé-rie constituída passa por fases intermediárias, onde primeiramente ela fracassa na seriação de dez ele-mentos, depois avança contrapondo pares ou série de três elementos coordenando-os. Assim a criança vai realizando a seriação, mas por tentativas empíricas conseguindo intercalar elementos intervalares após novas tentativas (podemos aproximar a ideia de en-saio e erro, até a solução do problema). Já na terceira fase a criança consegue intercalar elementos através do método sistemático; só este método que nos leva a considerá-la operatória na ação de seriar. No método sistemático, vemos a criança apresentar a reversibili-dade operacional e a capacidade de intercalar direta-mente, sem vacilações, os elementos suplementares.Uma vez atingido o método sistemático, este é susce-tível de ser generalizado (Ibidem).

A criança alinha objetos num processo evolutivo, que Maçada estabeleceu com as seguintes fases: IA – por volta dos quatro anos de idade, não há ensaio de ordenação dos elementos; IB – por volta dos cinco anos de idade, começa a realizar pequenas séries sem coordenação; II – por volta dos seis anos de idade, consegue êxito, através de tentativas, em intercalar elementos; III – por volta dos sete, oito anos de ida-de, consegue êxito através da utilização do método sistemático13.

Deparamo-nos com dois tipos de seriação feitos pe-las crianças: Seriação Visual e a Seriação Tátil. Na primeira, a criança, através da visualização do ob-jeto, estabelece diferenças entre os elementos. E na segunda, é através da percepção tátil dos elementos que a criança os intercala, explorando os objetos com os dedos, estabelecendo, assim, suas diferenças. O fracasso com a seriação ocorre em alguns momentos, por não possibilitarem às crianças ambientes com ati-

vidades que permitam a exploração sobre esses obje-tos, já que “as estruturas seriais são construídas por ações efetivas de uma organização progressiva das ações da criança, que também incluem as percepções e comparações sucessivas entre os elementos dados” (Ibidem).

Assinalamos a seguir algumas atividades que favo-recem o desenvolvimento das operações de classifica-ção e seriação, de acordo com Maçada (Ibidem).

• Organizar cinco, dois ou três grupos com as ca-deiras da sala.

• Comparar o grupo de meninos e meninas. • Distribuir merendas, observando como esta tarefa

é realizada, podendo desafiar as crianças a distribuir de forma igual certa quantidade de biscoitos, bolo, balas, pirulitos.

• Propor a ida a um supermercado em que cada criança terá a tarefa de comprar pirulitos ou balas para certa quantidade de pessoas. Deve-se observar como a criança a realiza e se usa a relação termo-a-termo para efetuar a compra.

• Construção de gráficos sobre as letras do nome; quantidade de pessoas da família; meio de transporte utilizado para ir à escola; mês de nascimento; idade; altura; cor dos olhos; cabelos em que os dados obti-dos são explorados e analisados com os alunos.

• Construir um álbum de nomes mostrando quais as diversas maneiras de mostrar quantas letras tem os nomes.

• Com crianças de dois a três anos é possível cons-truir uma chamadinha com um desenho duplicado de bicho de EVA, por exemplo, para cada criança (dois cachorros, dois macacos, dois tigres). A cada dia pode-se fazer a chamadinha de uma maneira: dese-nhos com a figura para baixo em que a criança precisa encontrar o seu (tipo memória), ou virados para cima bem misturados e solicitando que achem os bichos referentes ao seu nome. Ou ainda, enfileirar os dese-nhos, recolhendo um deles e solicitar que descubram qual está faltando.

13Método Sistemático consiste em identificar, primeiro, o elemento menor (ou maior) de todos, depois o menor dos que restaram e assim sucessivamente, pois testemunha que um elemento qualquer X é, ao mesmo tempo, maior do que os precedentes e menor do que os seguin-tes (numa ordem decrescente). É também um método antecipatório, pois o sujeito sabe que ao procurar o menor elemento dos elementos restantes constituíra uma série. Este é o caráter antecipatório do esquema de seriação (MAÇADA, 1996).

2.5 - Grandezas e medidasMedir é uma importante aplicação de número e

uma habilidade que permeia as atividades comuns da criança, além de estar na origem do pensamento ma-temático. Assim, medir grandezas tem por objetivo quantificar o mundo que nos rodeia.

Deparamo-nos o tempo todo com objetos, pessoas

e situações que possuem tamanhos, pesos, volumes, temperaturas, capacidades diferentes assinaladas como: comprido, curto, longe, perto, mais baixo, mais alto, mais velho, mais novo, grande, pequeno,

quente, frio, muito, pouco, pesa meio quilo, mede três metros, a velocidade é de 90 quilômetros por hora en-tre outros, possibilitando, deste modo, que as crianças de maneira informal, façam contato com essas gran-dezas, estabelecendo relações, fazendo comparações e construindo representações.

Ao comparar grandezas de mesma natureza, nasce a ideia de medida e o desenvolvimento de métodos para o uso adequado de instrumentos, como balança, fita métrica, relógio, recipientes de um litro, entre outros,

2�o que atribui acentuado caráter prático às grandezas e medidas.

É na convivência com situações informais e experi-ências intuitivas que a criança constrói representações mentais que permitem, por exemplo, terem noção que comprimentos como 10, 20, 30 centímetros são pos-síveis em uma régua; que um quilo é equivalente ao pacote pequeno de açúcar ou que dois litros corres-pondem a uma garrafa de refrigerante. Tais represen-tações mentais favorecem as estimativas e o cálculo, evitando erros e permitindo que as crianças estabe-leçam relações entre as unidades usuais, mesmo não tendo total compreensão dos sistemas de medidas.

Grandezas mensuráveis (tempo) como o dia, a noite, os dias da semana, os meses, o hoje, o amanhã, a hora do jantar, a hora do colégio, o antes, o agora, o de-pois, com as quais as crianças estão envolvidas desde muito cedo, exigem relações de outra natureza, assim como as medidas de massa, capacidade, temperatura entre outros, o que não garante a compreensão plena dos procedimentos de medida nessa faixa etária.

Para tanto, é importante que ao longo do trabalho o professor inicie práticas e situações diferentes que li-dem com grandezas físicas para as crianças poderem ampliar, aprofundar e construir novos sentidos para seus conhecimentos, por exemplo:

• Atividades de culinária (envolvendo um traba-lho com diferentes medidas – tempo de cozimento, quantidade dos ingredientes – litro, colher, xícara, pitada).

• Uso de calendários, observando regularidades, características (sete dias por semana, quantidade de dias em cada mês), marcando tempo para um evento, festas, aniversário.

• Manipulação do sistema monetário – dinheiro (que atende várias finalidades didáticas – fazer tro-cas, comparar valores, fazer operações, resolver problemas, características dos números naturais e decimais –, bem como incentiva a contagem, o cálcu-lo mental e estimativa).

O professor também pode criar situações para as

crianças pesquisarem outras formas de medir, pro-

porcionando oportunidades de buscarem, em casa, instrumentos diversificados. Porém é imprescindível utilizar uma unidade padronizada devido à necessida-de de comunicação entre as crianças, uma vez que o uso de diversas unidades de medida obterá diferentes medidas de um único objeto. Para efetuar uma me-dição, devemos escolher uma unidade de medida de mesma natureza da grandeza que queremos medir, pois somente grandezas de mesma natureza podem ser comparadas.

Com crianças do Ensino Fundamental, o conceito

de grandezas e medidas é ampliado, já que as habi-lidades para o uso de instrumentos apropriados para medir diversas grandezas vão-se refinando gradativa-mente. É necessário que construam a unidade-padrão, para perceberem que certos comprimentos, ou outros tipos de medidas não são mensuráveis com apenas uma única unidade, e que a partir de uma podemos criar outras. Assim, vão começar a perceber a ade-quação das unidades de medida às grandezas que se deseja medir e a descobrir as equivalências entre as unidades criadas em um mesmo sistema de medida. Para isso, é importante que se proponha situações que permitam às crianças estabelecer relações entre uni-dades de medidas e utilizar múltiplos e submúltiplos das unidades fundamentais, enfatizando apenas as unidades mais comuns no cotidiano das mesmas.

Por fim, devemos estabelecer uma relação entre a medida de uma dada grandeza e um número, uma vez que é através deste que a criança ampliará o conjunto numérico e compreenderá a necessidade de conhecer números fracionários, negativos e outros.

Como percebemos, as grandezas e as medidas se encontram presentes tanto na vida quanto na socie-dade em que vivemos. Assim sendo, o papel que de-sempenham no currículo é de extrema relevância, já que permitem que o aluno utilize este conhecimento no dia-a-dia. Percebemos também que atividades que utilizam e exploram as noções desses conceitos per-mitem melhor compreensão dos conceitos de espaço e forma, bem como a ideia de proporcionalidade, es-cala, abordagens históricas e significados de números e suas operações.

2.6 - Espaço e Forma

A criança da Educação Infantil percebe o espaço de modo fundamentalmente prático, pois as primeiras noções espaciais são construídas a partir dos sentidos e dos movimentos. Esse espaço perceptivo, em que o conhecimento dos objetos resulta de um contato direto com eles, possibilita a construção do espaço representativo que pode torná-los presentes em sua ausência.

Quando a criança, gradativamente, se conscientiza dos movimentos do próprio corpo e do seu desloca-mento, ela desenvolve a capacidade de deslocar-se mentalmente e de perceber o espaço sob diversos pontos de vista, que são condições necessárias à co-ordenação espacial, produzindo, dessa forma, origem às noções de direção, sentido, distância, ângulo e várias outras essenciais à construção do pensamento geométrico.

30Portanto a Geometria é, inicialmente, o conheci-

mento imediato da nossa relação com o espaço, co-meçando com a visão e caminhando em direção ao pensamento, indo do que pode ser percebido para o que pode ser concebido. Consequentemente, os pro-blemas instituídos por esse conhecimento nos levam à construção progressiva do saber geométrico.

O professor deve proporcionar, desse modo, ativida-des que desafiem as crianças, tais como construir, des-locar-se, desenhar, bem como as comunicações entre essas ações, que exploram o espaço ao seu redor. Essa exploração espacial deve acontecer com a contribui-ção do adulto e com a interação entre as crianças por meio de jogos e brincadeiras, por exemplo.

Por conseguinte, citamos algumas relações espaciais que são estabelecidas pelas crianças:

• Contato e manipulação dos objetos: a criança iden-tifica quantidade, tamanho e forma – (formas geomé-tricas) quando as crianças observam obras de arte, artesanato, construções de arquitetura, pisos, mosai-cos, vitrais de igreja, formas encontradas na natureza em flores, folhas, casas de abelha, teias de aranha, corpos geométricos como modelos de madeira, car-tolina, plástico e ainda suas planificações entre tantas outras.

• Noções de orientação como proximidade, interio-ridade e direcionalidade: a criança deve situar a posi-ção de objetos ou pessoas, paradas ou em movimento, favorecendo, assim, a percepção do espaço que está fora ou distante dela.

• Observação de pontos de referência adotados pela criança: por exemplo, através de jogos em que seja possível a criança se movimentar ou movimentar ob-jetos.

Para tanto, é necessário que sejam oferecidas ati-vidades que possibilitem o desenvolvimento de ha-bilidades, procedimentos e estratégias que permitam observar, descrever e representar informações, tais como:

• Desenhar objetos sob diversos ângulos: de cima, de baixo, de lado, de frente;

• Observação do espaço tridimensional e da elabo-ração dos meios de se comunicar a respeito desse es-paço: construções com blocos de madeira, maquetes, painéis. (podem ser usados inúmeros materiais: areia, massa de modelar, argila, pedras, folhas, troncos de árvores, caixas de papelão, embalagens, blocos geo-métricos de diferentes formas, espessuras, volumes e tamanhos, ou ainda com estruturas de encaixe entre tantos outros).

• Uso de fotos, figuras, mapas: realizar passeios den-tro da escola, próximo a ela ou a lugares específicos (praia, feira, praça, campo).

Como abordado anteriormente em grandezas e me-didas, no Ensino Fundamental, essas noções vão-se ampliando, evoluindo e expandindo. As crianças já são capazes de compreender termos como esquerda, direita, giro, distância, deslocamento, acima, abai-xo, ao lado, na frente, atrás, perto. Como também constroem itinerários a partir de instruções dadas; utilizam malhas, diagramas, tabelas e mapas; reco-nhecem algumas figuras geométricas através das for-mas e aparência física na sua totalidade; compõem e decompõem figuras, percebem simetrias; reconhe-cem figuras tridimensionais (cubos, paralelepípedos, esferas, cilindros, cones, pirâmides) e bidimensionais (quadrados, retângulos, círculos, triângulos, pentágo-nos), identificando suas propriedades; desenvolvem trabalhos com dobraduras, recortes, espelhos, empi-lhamentos, modelagem de formas em argila ou mas-sa; constroem maquetes e descrevem o que nelas está representado.

Desse modo, a integração e a aplicação da Geome-tria em outros campos do conhecimento permitem instigar ideias e propor aplicações práticas para as crianças poderem enfrentar problemas reais, que são, em sua maioria, de natureza interdisciplinar. O traba-lho feito a partir de exploração de objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, escultura e artesanato vai proporcionar aos alunos estabelece-rem conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento.

14Adaptados de Devlin (2006: 34,35, 296) – Observações no gabarito.

Desafios Intrigantes14

1) Não pense muito e responda o mais rápido que puder:1 – 1?4 – 1 ?8 – 7 ?15 – 12?

Agora escolha o primeiro número que vier a sua mente que esteja entre 12 e 5 e escreva-o.

2) Da mesma forma, sem parar para pensar, diga qual é o maior para cada par de números escritos a seguir:1 e 505 e 425 e 24

313) Observe a seguinte situação hipotética:

Um garoto usou uma nota de 200 reais para efetuar uma compra no valor total de 35 reais. Fez seus cálculos mentalmente e verbalizou seu pensamento da seguinte maneira:

Se fosse trinta, então o resultado seria setenta. Mas é trinta e cinco. Então, é sessenta e cinco. Cento e sessenta

e cinco.

Utilizando outros valores, escreva como você elabora o pensamento numérico para efetuar os cálculos em situações semelhantes ou verbalize para um colega. Lembrando que é preciso realizar o cálculo mental sem utilizar nenhum recurso como calculadora ou lápis e papel. Interessante se você comparar seus resultados com os dos colegas e até com crianças ou adolescentes.

Leituras complementares

CARDOSO, Virgínia Cardia. Materiais didáticos para as quatro operações. 3. ed. São Paulo: IME-USP, 1996.DEVLIN, Keith. O Gene da Matemática. 3. ed. Rio de Janeiro: Record, 2006. LORENZATO, Ségio. Educação Infantil e Percepção Matemátcia. Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção Formação de Professores).NASSER, Lilian. Geometria segundo a teoria de Van Hiele. 3.ed. Rio de Janeiro: Projeto Fundão – IM/UFRJ, 1998.OCHI, Fusako Hori; PAULO, Rosa Monteiro; YOKOYA, Joana Hissae; IKEGAMI, João Kazuwo. O uso de quadriculados no ensino da Geometria. 3.ed. São Paulo: IME-USP, 1996.SMOLE, Kátia C. Stocco; DINIZ, Maria Ignez. O conceito de ângulo e o ensino de Geometria. 2. ed. São Paulo: IME-USP, 1996.SOUZA, Eliane R.; DINIZ, Maria Ignez; PAULO, Rosa Monteiro; OCHI, Fusako Hori. A Matemática das sete peças do tangram. 2.ed. São Paulo: IME-USP, 1996.

SITES RECOMENDADOShttp://forum.swarthmore.edu/Informações e grupos de discussão com ênfase na Educação Matemática.

http://www.ime.usp.br/lemLaboratório de Ensino da Matemática – LEM/IME - USP.

http://matematicando.pro.brSites com jogos, oficinas, história e exercícios.

http://somatematica.com.brDiversos assuntos sobre Matemática.

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ESTRATéGIAS PEDAGóGICAS qUE POSSIbIlITAm A CONSTRUÇÃO DOS CONCEITOS FUNDAmENTAIS DA mATEmáTICA

UNIDADE III

De acordo com Echeverría (1998: 45), resolver pro-blemas faz parte da Matemática e do fazer matemáti-co, uma vez que “a complexidade do mundo atual faz com que esse tipo de conhecimento seja uma ferra-menta muito útil para analisar certas tarefas mais ou menos cotidianas”.

Uma das formas mais acessíveis para levar os alunos a aprender a aprender é a solução de problemas. Para Pozo (1998: 99), “é preciso tornar os alunos pessoas capazes de enfrentar situações e contextos variáveis, que exijam deles a aprendizagem de novos conheci-mentos e habilidades”. Ele define que:

A solução de problemas baseia-se na apresentação de situações abertas e sugestivas que exijam dos alunos o domínio de procedimentos, assim como a utiliza-ção dos conhecimentos disponíveis, para dar resposta a situações variáveis e diferentes. Assim, ensinar os alunos a resolver problemas supõe dotá-los da capa-cidade de aprender a aprender, no sentido de habituá--los a encontrar por si mesmos respostas às perguntas que os inquietam ou que precisam responder, ao in-vés de esperar uma resposta já elaborada por outros e transmitida pelo livro-texto ou pelo professor (Ibi-dem: 09).

A resolução de problemas já vem sendo analisada, discutida, e estudada há tempos, inclusive pelos edu-cadores matemáticos, daí seu imenso valor no meio educacional e no ensino de Matemática. Observemos, de acordo com Dante (1999: 7-8), o que alguns teóri-cos comentam:

A real justificativa para se ensinar Matemática é que ela é útil e, em particular, auxilia na solução de mui-tas espécies de problemas. (Begle)

A razão principal de se estudar Matemática é para aprender como se resolvem problemas. (Lester Jr.)

A resolução de problemas foi e é a coluna vertebral da instrução matemática desde o Papiro de “Rhind”. (Polya)

Aprender a resolver problemas matemáticos deve ser o maior objetivo da instrução matemática. Certamen-

3.1 - O Problema como Ponto de Partida da Atividade matemática

te outros objetivos da Matemática devem ser procu-rados, mesmo para atingir o objetivo da competência em resolução de problemas. Desenvolver conceitos matemáticos, princípios e algoritmos através de um conhecimento significativo e habilidoso é importante. Mas o significado principal de aprender tais conteú-dos matemáticos é ser capaz de usá-los na construção das soluções das situações-problema. (Hatfield)

O currículo de Matemática deve ser organizado em torno da resolução de problemas. (NCTM – Conse-lho Nacional de Professores de Matemática, EUA, 1980)

No mundo em que vivemos, resolver problemas não se restringe apenas em resolver exercícios ou problemas com soluções predeterminadas, mas “num processo dinâmico e participativo em que o indiví-duo necessita de todo o seu conhecimento já adqui-rido na vida, no trabalho” (GRANDO, 1995: 76). Dessa forma, a essência da resolução de problemas encontra-se “no processo de criação de estratégias e na análise, processada pelo sujeito, das várias possi-bilidades de resolução” (Ibidem). Consequentemen-te, a escola deve dar prioridade aos processos, no de-senvolvimento do sujeito, e não somente ao produto final – a solução, permitindo, de tal forma, um aluno “que atue, pense, questione, se arrisque, transforme e ouse propor soluções aos vários problemas que sur-gem, redimensionando sua forma de atuação na so-ciedade atual” (Ibidem).

A referida metodologia permite ainda, de acordo com Borin (1996: 09), o desenvolvimento de habili-dades envolvidas no processo ensino-aprendizagem como: ”tentar, observar, analisar, conjecturar, verifi-car”, compondo, igualmente, o raciocínio lógico “que é uma das metas prioritárias do ensino de Matemática e característica primordial do fazer ciência”.

Algumas maneiras de resolver problemas apare-cem naturalmente durante as atividades matemáticas. Quando o aluno se depara com a solução de um pro-blema, ele apresenta uma atitude ativa e um esforço na busca de respostas e na busca do próprio conhe-cimento. Verificamos também, segundo Pozo (1998: 22) que há uma série de “procedimentos e habilida-

33des que são comuns a todos os problemas e que todas as pessoas colocam em ação com maior ou menor competência”, pois para ele, na resolução de qual-quer problema, é preciso: prestar atenção, recordar e relacionar entre si certos elementos levando-se em consideração uma determinada ordem para podermos alcançar o objetivo proposto.

Segundo Dante (1999), para relacionar a importância dos objetivos da resolução de problemas no processo de construção de conceitos matemáticos deve-se:

• Fazer o aluno pensar produtivamente: Se apresen-tarmos situações-problema que envolvam, motivem e desafiem o aluno a querer resolvê-las, estaremos atin-gindo a meta desejada.

• Desenvolver o raciocínio do aluno: Quando o alu-no desenvolve a habilidade de elaborar um raciocínio lógico e usa com inteligência e eficácia os recursos disponíveis, ele pode propor boas soluções aos pro-blemas que surjam quer na vida escolar, quer no co-tidiano.

• Ensinar o aluno a enfrentar situações novas: Dian-te de tantos avanços tecnológicos, as crianças devem estar preparadas para lidar com situações inovadoras. Portanto é preciso desenvolver no aluno a iniciativa, o espírito explorador, a criatividade e a independên-cia.

• Dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações da Matemática: Logo de início, os alunos tendem a detestar ou se tornam indiferentes à disci-plina. Isso se deve ao exagero no treino de algoritmos e regras desvinculados de situações reais que pouco exigem um raciocínio ou um modo de pensar ma-temático para resolvê-los. Não basta que os alunos resolvam mecanicamente a operação, é preciso saber

como e quando usá-las convenientemente na resolu-ção de situações-problema.

• Tornar as aulas de Matemática mais interessantes e desafiadoras: O objetivo aqui é fazer com que os alunos trabalhem de modo ativo – individualmente ou em grupo. Eles devem ser incentivados e orientados pelo professor na aventura de buscar a solução de um problema que os desafie, em vez de ficar naquele es-quema de explicar e repetir. Um bom problema pode despertar a curiosidade do aluno e desencadear um comportamento de pesquisa, diminuindo sua passivi-dade e conformismo.

• Equipar o aluno com estratégias para resolver pro-blemas: Aqui precisamos desenvolver determinadas estratégias que, às vezes, se aplicam a um número grande de situações. Por conseguinte, auxiliará na análise e na solução de situações em que elementos desconhecidos são procurados.

• Dar uma boa base matemática às pessoas: O mer-cado de trabalho hoje requer pessoas que sabem tomar decisões rápidas e precisas, que têm iniciativa, criati-vidade, independência. Para isso é necessário formar cidadãos matematicamente alfabetizados que tenham autonomia de pensamento. E a resolução de proble-mas ajuda a desenvolver desde cedo a capacidade de enfrentar situações-problema em qualquer área.

A resolução de problemas requer domínio de técni-cas e estratégias adequadas, já que permite o “desen-volvimento de habilidades de raciocínio como orga-nização, atenção e concentração” (BORIN, 1996: 08), possuindo uma postura crítica diante de situações que demandam respostas e contribuindo para a constru-ção e organização do pensamento lógico-matemático. De uma perspectiva cognitivista, problemas servem para formar, enriquecer e reorganizar os conceitos matemáticos existentes.

3.2 - O Problema como Estruturador de uma Situação que Deve Ser Resolvida

Vamos analisar como devemos resolver problemas, quais estratégias e técnicas utilizar para podermos alcançar os objetivos propostos anteriormente. Não podemos deixar de levar em conta os vários conhe-cimentos, habilidades e competências que aparecem ao longo das atividades denominadas problemas, uma vez que alguns autores instituem alguns tipos e, por trás desses, Pozo (1998) especificamente afirma que diferentes

(...) problemas exigem o acionamento de uma série de capacidades de raciocínio e de habilidades co-muns que precisariam adaptar-se às características de cada tipo de problema. As diferenças individuais na maneira de resolver problemas não seriam devi-

do tanto a diferenças nas capacidades das pessoas, como a diferenças entre as tarefas e a diferenças na aprendizagem dos alunos que as resolvem. Nesse sentido, a aprendizagem contribuiria para que o alu-no se adaptasse cada vez melhor à estrutura da tarefa (POZO, 1998: 19).

O referido teórico ainda os classifica de várias ma-neiras, pois defende, por exemplo, que para diferen-ciar um problema do tipo indutivo de um dedutivo vai depender do raciocínio necessário na resolução do mesmo. Para ele,

(...) existem inúmeras classificações das possíveis estruturas dos problemas, tanto em função da área a

34qual pertence e do conteúdo dos mesmos, como do tipo de operações e processos necessários para resol-vê-los, ou de outras características. (...) Fazer a de-monstração de uma fórmula matemática poderia ser um exemplo de problema dedutivo, enquanto esta-belecer regularidades no comportamento dos objetos em função do seu peso seria um problema do tipo indutivo. (Ibidem, 1998: 20).

Por sua vez, Dante (1999)15 classifica os tipos de problemas em: exercícios de reconhecimento; exer-cícios de algoritmos; problemas-padrão (simples e compostos); problemas-processo ou heurísticos; pro-blemas de aplicação; problemas de quebra-cabeça.

Em contrapartida, vale ressaltar, segundo Pozo (1998) e Dante (1999), a distinção entre exercício – caracterizado por uma situação resolvida rapidamente utilizando-se, na maioria das vezes, de procedimentos automáticos –, e problema, que exige sempre um pro-cesso de reflexão, tomada de decisão.

De forma sintética, podemos dizer que a realização de exercícios se baseia no uso de habilidades ou téc-nicas sobreaprendidas (ou seja, transformadas em rotinas automatizadas como consequência de uma prática contínua). Limitamo-nos a exercitar uma téc-nica quando enfrentamos situações ou tarefas já co-nhecidas, que não representam nada de novo e que, portanto, podem ser resolvidas pelos caminhos ou meios habituais. Escrever estas linhas num computa-dor, usando o programa de editor de textos que usa-mos habitualmente – e que foi sobreaprendido – é um simples exercício. (...) Para tanto, deveríamos encon-trar-nos numa situação na qual, propondo-nos um ob-jetivo (por exemplo, inserir referências bibliográficas procedentes de um fichário em uma base de dados), desconhecêssemos a forma ou o caminho para alcan-çar esses objetivos e tivéssemos que buscá-lo a partir de procedimentos ou técnicas que conhecemos ou dominamos. Assim, um problema é de certa forma, uma situação nova ou diferente do que já foi aprendi-do, que requer a utilização estratégica de técnicas já conhecidas. O aluno que enfrenta pela primeira vez a tarefa de comparar duas sequências cronológicas ou calendários históricos diferentes pode encontrar-se

diante de um problema, mas, quando já o tiver resol-vido diversas vezes, o problema ficará reduzido a um exercício (POZO, 1998: 16).

Entretanto, tais técnicas nem sempre representam um recurso eficaz para chegarmos à solução de um problema, uma vez que essas exigem atitudes, con-ceitos específicos, estratégias que temos dificuldades em expressá-las ou descrevê-las, como nos explica Lester (1983)16. Faz-se necessário, desta forma, in-vestigar como as pessoas chegam a essa ou aquela resolução, para podermos, então, entender melhor e aprimorar os processos que estão envolvidos na solu-ção de problemas.

Para tanto, sugerimos como recursos as etapas que tanto Polya (1945) quanto outros autores constituíram como principais na resolução de problemas – quadro 1.1; técnicas que colaboram na compreensão de pro-blemas – quadro 1.2; e procedimentos ou estratégias que surgem na solução dos mesmos – quadro 1.3.

Dante (1999: 22) entende que tais etapas “não são rígidas, fixas ou infalíveis”, pois somos nós, educado-res, que devemos adaptá-las à prática utilizada no dia-a-dia de sala de aula de acordo com as especificidades de cada criança, cada grupo e cada região.

Além da compreensão do problema, o aluno precisa estar disponível para resolvê-lo, ou seja, “compreen-der um problema implica dar-se conta das dificulda-des e obstáculos apresentados por uma tarefa e ter vontade de tentar superá-las” (POZO, 1998: 22).

Percebemos em Charnay (1996: 40) que existem

estratégias de aprendizagem para estabelecer um es-quema sobre a utilização da resolução de problemas. Tais estratégias se resumem em três modelos de refe-rência: normativo (centrado no conteúdo), iniciativo (centrado no aluno) e aproximativo (centrado na cons-trução do saber pelo aluno). Segundo ele, um docente não “utiliza exclusivamente um dos modelos; que o ato pedagógico em toda a sua complexidade utiliza elementos de cada um deles (...), cada professor faz uma escolha, consciente ou não”. Descrevemos esses modelos logo após os quadros sugeridos acima.

15Exercício de reconhecimento: são exercícios para reconhecer, identificar ou lembrar um conceito, fato, definição, propriedade. Exercícios de algoritmos: podem ser resolvidos passo a passo e tem como objetivo treinar a habilidade em executar um algoritmo e reforçar conhe-cimentos anteriores. Problemas-padrão: objetiva recordar e fixar fatos básicos através dos algoritmos, além de reforçar o vínculo entre as operações e o emprego de situações do dia-a-dia. Problemas-processo ou heurísticos: são aqueles cuja solução envolve operações que não estão contidas no enunciado. Em geral, não podem ser traduzidos diretamente para a linguagem matemática, nem resolvidos pela aplicação automática de algoritmos, pois exigem do aluno um tempo para pensar e arquitetar um plano de ação, uma estratégia. Problemas de apli-cação: estes retratam situações do dia-a-dia e exigem o uso da Matemática para serem resolvidos. São chamados de situações-problema. Problemas de quebra-cabeça: estes constituem a chamada Matemática recreativa e sua solução depende, quase sempre, de um golpe de sorte ou de algum truque.16Procurar explicar o que fazemos para resolver um problema, o que deve ser feito, é como tentar explicar a um amigo que jamais andou de bicicleta quais são os movimentos e equilibrismos que realizamos normalmente para que a bicicleta não somente se man-tenha de pé, mas, além disso, nos transporte na direção que desejamos, na velocidade que nossas forças e o terreno permitam. No entanto, apesar da dificuldade para expressar nossas ações, nosso procedimentos, parece que muitas pessoas aprendem a andar de bicicleta e a maneira como andam pode ser diferente em função de como tenham aprendido a fazê-lo e de como lhes foi ensinado.

35

17Quadro adaptado de POZO, Juan Ignacio (org.). A Solução de Problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998: 23; e DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 12.ed. São Paulo: Editora Ática, 1999: 29.18Quadro adaptado de POZO, Juan Ignacio (org.). A Solução de Problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998: 25.19Quadro adaptado de POZO, Juan Ignacio (org.). A Solução de Problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998, p. 25.20Modelo adaptado de PARRA, C.; SAIZ, I. (orgs). Didática da Matemática: Reflexões Psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996: 41.

Quadro 1.1. Passos necessários para resolver um problema, segundo Poya17

Compreender o problema• O que se pede no problema? Quais são os dados?• Qual é a condição? A condição é suficiente? Re-

dundante? Contraditória?• É possível fazer uma figura, um esquema ou um

diagrama?• É possível estimar resposta?

Conceber um plano• Qual é o seu plano para resolver o problema?• Que estratégia você tentará desenvolver? • Já encontrou um problema semelhante? Ou já viu

o mesmo problema proposto de maneira um pouco diferente?

• Conhece um problema relacionado com este? • Este é um problema relacionado com o seu e que já

foi resolvido? Você poderia utilizá-lo? Poderia usar o seu resultado? Poderia empregar o seu método? Con-sidera que seria necessário introduzir algum elemento auxiliar para poder utilizá-lo?

• Poderia enunciar o problema de outra forma? Po-deria apresentá-lo de forma diferente novamente?

• Se não pode resolver o problema proposto, tente resolver primeiro algum problema semelhante. Pode-ria imaginar um problema análogo ou um pouco mais acessível? Um problema mais geral? Um problema mais específico? Pode resolver parte do problema?

• Empregou todos os dados? Empregou toda a con-dição? Considerou todas as noções essenciais concer-nentes ao problema?

• Tente organizar os dados em tabelas e gráficos.

Executar o plano• Execute o plano elaborado, verificando-o passo a

passo. Comprove cada um dos passos.• Pode ver claramente que o passo é correto? Pode

demonstrá-lo?• Efetue todos os cálculos indicados no plano.• Execute todas as estratégias pensadas, obtendo vá-

rias maneiras de resolver o mesmo problema.

Visão retrospectiva• Pode verificar o resultado? Pode verificar o racio-

cínio? Estão corretos?• Pode obter o resultado de forma diferente? Pode

vê-lo com apenas uma olhada? Você pode empregar o resultado ou o método em algum outro problema?

Quadro 1.2. Algumas técnicas que ajudam a com-preender melhor os problemas18

• Fazer perguntas do seguinte tipo: Existe alguma palavra, frase ou parte da proposição

que não entendo? Qual a dificuldade do problema? Qual a meta? Quais são os dados que estou usando como ponto

de partida? Conheço algum problema similar?

• Tornar a propor o problema usando seus pró-prios termos.

• Explicar aos colegas em que consiste o proble-ma.

• Modificar o formato da proposição do proble-ma.

• Quando for muito geral, concretizar o proble-ma usando exemplos.

• Quando for muito específico, tentar generalizar o problema.

Quadro 1.3. Alguns procedimentos heurísticos de solução de problemas19

• Realizar tentativas por meio de ensaio e erro.• Dividir o problema em subproblemas. • Estabelecer submetas.• Decompor o problema.• Procurar problemas análogos.• Partir do conhecido até o desconhecido.

Modelo 1 – O problema como critério de aprendi-zagem (modelo chamado “normativo”)20

• Conduz com frequência a estudar tipos de proble-mas em que o aluno se confronta com uma nova situ-ação, um novo problema e pergunta se já resolveu um do mesmo tipo.

• É o modelo de referência de numerosos manuais, tendo como ideia subjacente que é necessário partir do fácil, do simples, para ter acesso ao complexo,

Mecanismos

Sentidos

• lições (aquisições)• exercícios (exercitação)

• problemas (utilização dos conhecimentos pelo aluno, controle pelo professor.

36

21Modelo adaptado de PARRA, C.; SAIZ, I. (orgs). Didática da Matemática: Reflexões Psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996: 41.22Modelo adaptado de PARRA, C.; SAIZ, I. (orgs). Didática da Matemática: Reflexões Psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996: 42.

e que um conhecimento complexo pode ser, para a aprendizagem, decomposto em uma série de conheci-mentos fáceis de serem assimilados e que, finalmente, toda aprendizagem deve ir do concreto ao abstrato.

Modelo 2 – O problema como motor da aprendiza-gem (modelo chamado “iniciativo”)21

• Inicialmente, se deseja que o aluno seja um “pes-quisador ativo, ávido de conhecimentos funcional-mente úteis”.

• Porém as situações “naturais” são com frequên-cia demasiado complexas para permitir ao aluno construir por si mesmo as ferramentas e, sobretudo, demasiado dependentes do “ocasional” para que seja levada em conta a preocupação com a coerência dos conhecimentos.

• É principalmente através da resolução de uma série de problemas escolhidos pelo professor que o

aluno constrói seu saber, em interação com os outros alunos.

• A resolução de problemas (e não de simples exer-cícios) intervém assim desde o começo da aprendi-zagem.

O importante não é seguir regras, nem passos lite-ralmente. Precisamos nos apropriar delas para me-lhor adaptá-las ao nosso fazer pedagógico. Portanto é preciso levar em consideração que os conhecimen-tos que os alunos vão adquirindo não se empilham, não se acumulam, não se amontoam, eles passam por estágios de equilíbrio e desequilíbrios, para en-tão se organizarem, uma vez que “os novos saberes são integrados ao saber antigo, às vezes modificado” (CHARNAY, 1996: 43).

A aprendizagem só vai ocorrer no momento em que o aluno percebe que existe um problema para resolver, pois quando o aluno reconhece o novo conhecimen-to, esse “não é simplesmente empírico (constatações a respeito do meio) e nem pré-elaborado (estruturas inatas), mas o resultado de uma interação sujeito-meio” (Ibidem).

Quando o erro acontece, não podemos determinar que haja ausência do saber, pois o que os alunos produzem de-terminam o estágio em que o conhecimento se encontra.

Outro ponto importante e necessário são os conceitos ma-temáticos que nunca estão isolados, eles se entrelaçam e se consolidam mutuamente: “daí a ideia de propor aos alunos campos de problemas que permitam a construção destas redes de conceitos” (Ibidem: 44).

Devemos considerar ainda a interação social, pois como elemento imprescindível no processo ensino-aprendizagem em que utilizamos a resolução de problemas trata “tanto da relação professor-aluno como das relações aluno-aluno, co-locadas em ação nas atividades de formulação (dizer, des-

crever, expressar), de prova (convencer, questionar) ou de conflito cognitivo” (Ibidem).

Problemas aparecem tanto no meio educacional quanto no nosso cotidiano, este último não é separado em áreas do conhecimento, portanto é preciso que os alunos tenham a possibilidade de lidar com estes longe dos olhos do profes-sor, por serem situações abertas. “E para que esse uso seja eficaz deverão aprender não somente quando devem usar uma estratégia, mas também a discriminar quando não de-vem usá-la” (CLAXTON apud POZO & ANGON, 1998: 165).

Ressignificação

Modelo 3 – O problema como recurso de aprendizagem (modelo chamado “apropriativo”)22

ressignificação

A resolução deproblemas comofonte, local ecritério daelaboração do saber

373.3 - O Saber matemático como um Sistema Conceitual que Permite Resolver as Situações-problema

Tanto o saber matemático quanto a resolução de problemas envolvem determinadas capacidades inte-lectuais, pois, de acordo com Echeverría (1998: 44), “uma pessoa que tem sucesso no campo da Matemá-tica é uma pessoa que sabe raciocinar e pensar de maneira adequada. E, no sentido inverso, uma pessoa que sabe raciocinar aprenderá facilmente o conheci-mento matemático”. Pensar de maneira adequada sig-nifica levar em consideração a estrutura cognitiva e os processos mentais comentados na Unidade I.

A Matemática é o idioma das ciências e da tecno-logia. Nesse sentido, aprender a resolver problemas matemáticos e a analisar como os especialistas e os não-especialistas resolvem este tipo de tarefas pode contribuir para um aumento do conhecimento cien-tífico e tecnológico de maneira geral. Ao mesmo tempo, a Matemática constitui um poderoso auxiliar para a solução de problemas de caráter científico. Da mesma forma, a complexidade do mundo atual faz com que esse tipo de conhecimento seja uma ferra-menta muito útil para analisar certas tarefas mais ou menos cotidianas, por exemplo, pedir um emprésti-mo, analisar os resultados eleitorais, jogar na Loteria Esportiva ou tomar decisões no âmbito do consumo diário (Ibidem: 45).

É preciso compreender os processos matemáticos que os alunos utilizam diante de situações problema, uma vez que trabalhar os conceitos matemáticos de-manda que coloquemos em ação certas capacidades de inferência e de raciocínio geral. Desse modo, al-gumas relações e instruções estabelecidas nos pro-blemas matemáticos vão influenciar na capacidade de raciocínio e de solução dos mesmos.

Dante (1999) defende que os problemas devem ser propostos de forma adequada. Assim, como ponto de partida devemos reconhecer e distinguir o que é exer-cício matemático e o que é problema. Já assinalamos, em outro momento, tais diferenças, mas faz-se neces-sário ressaltar especificidades na própria disciplina de Matemática, já que os dois tipos “têm consequências muito diferentes para a aprendizagem e respondem a diferentes tipos de objetivos escolares” (POZO, 1998: 48).

Assim, os exercícios servem para consolidar e auto-matizar certas técnicas, habilidades e procedimentos

necessários para a posterior solução de problemas, mas dificilmente podem trazer alguma ajuda para que estas técnicas sejam usadas em contextos diferentes daqueles onde foram aprendidas ou exercitadas, ou dificilmente podem servir para a aprendizagem e compreensão de conceitos. (...) Podemos distinguir dois tipos: (...) repetição de uma determinada técnica, previamente exposta pelo professor (...); o segundo tipo de exercícios não pretende somente que sejam automatizadas uma série de técnicas, mas também que sejam aprendidos alguns procedimentos nos quais se inserem essas técnicas (Ibidem: 49)23.

Já o problema, apesar de alguns autores defenderem que não deveria ser utilizado nas primeiras etapas de escolaridade tal sua complexidade, outros recomen-dam sua apresentação nas séries iniciais, já que “é possível considerar a existência de um problema em função do grau de novidade que a tarefa represente para um determinado aluno” (Ibidem). Para ser carac-terizado como problema, deve haver obstáculos entre a proposição e a meta.

Tanto nos primeiros anos de escolaridade como mais adiante, a aprendizagem de conceitos e de procedi-mentos matemáticos pode ser adquirida através da observação da “conduta” dos objetos e da manipu-lação dos mesmos. Assim, a classificação, seriação e ordenação de objetos, a utilização de diferentes tipos de medidas, a análise de regularidades entre deter-minados fatos, etc. podem constituir problemas com objetivos tão diversos como traduzir as experiências cotidianas para uma linguagem matemática, esta-belecer conjecturas e hipóteses, explorar e modelar as estratégias de resolução de tarefas adquiridas em contextos informais ou adquirir uma série de atitu-des em relação à Matemática. (...) Embora a Ciência Matemática seja uma disciplina formal cujos proce-dimentos se baseiam fundamentalmente em métodos dedutivos, também é verdade que, como está colo-cado no currículo tanto da Educação Primária como da Educação Secundária, os conhecimentos mate-máticos são uma construção do próprio aluno que se enraíza na atividade indutiva que tem lugar na vida cotidiana (Ibidem: 50)24.

Importante destacar que propor adequadamente um problema requer que reconheçamos algumas de suas características. Para Dante (1999), devemos levar em

23Se ao invés de pedir a um aluno que indique qual é o resultado de 7+5 propusermos que nos diga quantos animais há numa granja com sete pintinhos e cinco galinhas, estaremos propondo um exercício desse segundo tipo. A diferença entre um e outro exercício reside em que na segunda tarefa o aluno é obrigado a realizar uma tradução da linguagem falada para a linguagem matemática e obriga-o a planejar a ordem em que a tarefa deve ser resolvida (POZO, 1998: 49). 24Pode-se, por exemplo, observar, analisar, estabelecer regularidades, fazer conjecturas e comprovações sobre a “conduta” de um dado ou sobre o giro de uma roleta, ou observar como caem as gotas de chuva sobre uma laje do piso, para trabalhar o conceito de acaso e proba-bilidade. Da mesma maneira, podem ser analisados diferentes conceitos e procedimentos geométricos ou imaginar tarefas nas quais sejam comparadas as estratégias informais (ou procedimentos heurísticos de julgamentos) usadas cotidianamente para confrontar a complexidade ambiental com os métodos matemáticos mais idôneos (POZO, 1998: 50).

38conta que o mesmo deve: ser desafiador para o aluno; ser real para o aluno; ser interessante para o aluno; ser o elemento desconhecido de um problema realmente desconhecido; não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais operações aritméticas; ter um nível adequado de dificuldade.

Por conseguinte, faz-se necessário identificar alguns fatores que dificultam a interpretação de um proble-ma, como linguagem utilizada na redação de um pro-blema; tamanho e estrutura das frases; vocabulário matemático; complexidade dos números; ordem em que as informações são dadas; número de condições a serem satisfeitas e sua complexidade; número e com-plexidade de operações e estratégias envolvidas.

Mesmo assim, a solução de um problema não é tão fácil e devem ser utilizadas algumas etapas em sua resolução. Dessa forma, buscamos em Mayer (apud ECHEVERRíA, 1998), um processo de solução de problemas matemáticos descrito no esquema 1.1 a se-guir, pois para ele

25Quadro adaptado de POZO, Juan Ignacio (org). A Solução de Problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998: 52.26Quadro adaptado de POZO, Juan Ignacio (org.). A Solução de Problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998: 53.

(...) o processo de solução de problemas exige, em primeiro lugar, que uma pessoa compreenda o pro-blema e traduza para uma série de expressões e sím-bolos matemáticos. A partir daí, deve programar uma série de estratégias que estabeleçam as diferentes submetas que pretende alcançar para chegar à solu-ção final e as técnicas que permitam atingir cada uma dessas submetas. Finalmente, essa pessoa deve inter-pretar os resultados obtidos e traduzi-los como uma solução plausível. Nestes dois processos, pode-se es-tabelecer uma correspondência com os três grandes eixos procedimentais estabelecidos nos currículos de Matemática: utilização de diferentes linguagens, utilização de algoritmos e utilização de habilidades. Assim, a tradução do problema incide, justamente, na utilização de uma linguagem matemática que permi-ta interpretar a realidade circundante, enquanto o se-gundo passo, a solução de problemas, faz referência à utilização estratégica de fatos, técnicas e habilidades dentro de um contexto matemático (ECHEVERRíA, 1998: 51-52).

Esquema1.1. Processo de resolução de um problema matemático, segundo Mayer25

Não é suficiente saber seguir os passos assinalados na referida unidade e nem traduzir as palavras ou for-matos de como o problema é apresentado para que tenhamos a compreensão do mesmo e saibamos re-solvê-lo. Precisamos levar em conta tanto o conheci-mento linguístico (compreender as expressões escri-tas) e semântico (compreender o contexto no qual se inserem os fatos e dar sentido a eles) quanto o conhe-cimento esquemático (classificar o problema, decidir quais dados são úteis ou não e determinar o procedi-mento) para podermos chegar a uma representação do

mesmo que nos permita dar uma resposta à pergunta final. Entretanto tais conhecimentos podem se tornar um empecilho na resolução de problemas. Vejamos alguns fatores que podem influenciar essas barreiras no quadro 1.1 disposto a seguir, bem como algumas técnicas – quadro 1.2 – que possibilitam melhor en-tendimento na solução de problemas matemáticos.

Quadro 1.1. Alguns fatores não-matemáticos que influenciam na dificuldade de tradução de proble-mas matemáticos26.

3�• Diferenças no significado de uma mesma ex-

pressão na linguagem cotidiana (ambígua e con-textual) e na linguagem matemática (mais preci-sa).

• Diferentes significados matemáticos de uma mesma expressão ou palavra.

• Ordem e forma de apresentação dos dados.• Presença de dados relevantes para a solução de

problemas.• Caráter hipotético dos problemas matemáticos

(dados matemáticos diferentes de dados reais).• Diferença entre as teorias pessoais e as teorias

matemáticas.

Quadro 1.2. Algumas técnicas que ajudam a com-preender melhor os problemas matemáticos27

• Expressar o problema com outras palavras.• Explicar aos colegas em que consiste o proble-

ma.• Representar o problema com outro formato

(gráficos, diagramas, desenhos, objetos).• Indicar qual é a meta do problema.• Apontar onde reside a dificuldade da tarefa.

27Quadro adaptado de POZO, Juan Ignacio (org.). A Solução de Problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998: 59.

• Separar os dados relevantes dos não-relevan-tes.

• Indicar os dados com os quais contamos para resolver a tarefa.

• Indicar quais os dados que não estão presentes, mas que são necessários para resolver a tarefa.

• Procurar um problema semelhante que já te-nhamos resolvido.

• Analisar inicialmente situações (cenários, con-textos, tarefas) nas quais esse problema possa ter lugar.

Podemos perceber que as técnicas apontadas se complementam, se repetem, e se consolidam com as já traçadas anteriormente. No entanto, qual caminho seguir, como refletir, quais procedimentos ou estraté-gias utilizar, vai variar de acordo com as característi-cas das próprias crianças. Portanto, quanto menor a idade do aluno, mais necessidade do auxílio do pro-fessor na realização das tarefas, embora não devamos esquecer que gradativamente essa ajuda deverá ir di-minuindo e deixando o controle para os próprios alu-nos, uma vez que verbalizar, comentar e trocar com os colegas contribui para uma maior reflexão e “para um maior controle e programação dos problemas” (POZO, 1998: 60).

3.4 – Algumas Considerações Complementares para a Construção de Conceitos matemáticos

Amparando-nos em Lorenzato (2006: 01), apresen-tamos alguns princípios que permitem que a Matemá-tica possa ser trabalhada de maneira mais aprazível, mais simples e com um nível de compreensão mais acessível aos nossos alunos, uma vez que “o papel que o professor desempenha é fundamental na apren-dizagem dessa disciplina, e a metodologia de ensino por ele empregada é determinante para o comporta-mento dos alunos”.

• Ensinar com conhecimentoEnsinar aquilo que não dominamos traz inseguran-

ça, incerteza e garante que ninguém aprende com quem dá aulas sobre o que não conhece. É preciso que o professor conheça o que ensina e qual método didático deve utilizar, já que “por razões éticas e de responsabilidade, independentemente de sua remune-ração, todo professor tem o dever de conhecer o que vai ensinar” (Ibidem: 04).

• Valorizar a experiência do magistério“Aqui está um paradoxo do qual nenhum professor

escapa e que pode ser assim resumido: ao tentar en-sinar, inevitavelmente ele aprende com seus alunos”. (Ibidem: 09). Por melhores que sejam os cursos de formação, a experiência de sala de aula é imprescin-

dível para uma atuação de qualidade, compromissada com uma aprendizagem significativa.

• Investir na formaçãoAspectos positivos: atualização profissional; melhor

remuneração; aperfeiçoamento e aprimoramento da prática; aquisição de novas informações entre outros. Aspectos negativos: falta de tempo; desestímulo dos colegas; secretarias de educação que não investem nos professores nem estimulam os mesmos a se atua-lizarem. Independente de todos os aspectos apontados “cabe a cada um preencher as lacunas herdadas de sua formação inicial (no curso superior), bem como pro-videnciar a continuada” (Ibidem: 12).

• Auscultar o alunoPara os professores poderem auscultar seus alunos

“não basta escutá-los ou observá-los, é preciso aus-cultá-los; mais do que responder a eles, é preciso falar com eles; mais do que corrigir as tarefas, sentir quem as fez e como elas foram feitas; mais do que aceitar o silêncio de alguns alunos, captar seus significados. Enfim, auscultar significa analisar e interpretar os di-ferentes tipos de manifestações dos alunos. O objeti-vo é saber quem são, como estão, o que querem e o que podem eles” (Ibidem: 16).

40• Aproveitar a vivência do alunoAs pessoas experimentam situações no dia-a-dia

em que aparecem conceitos matemáticos (números, contagem, operações como: contar, medir, tirar, dis-tribuir, repartir, entre outros) e vêm para a escola com saberes diferentes dos ensinados nela. Já sabemos que os alunos se apropriam do conhecimento quando adaptam os novos aos já adquiridos. “Convém ainda observar que vivência não deve ser confundida com realidade, uma vez que alguns fatos, situações ou ob-jetos podem não ser do convívio dos alunos e são re-alidades, por exemplo, neve, guerra, cereja, cupuaçu, terremoto, vulcão” (Ibidem: 24).

• Partir de onde o aluno está“Tanto os pré-requisitos matemáticos, como os está-

gios de construção do pensamento, propostos por Pia-get (pré-operatório, operatório concreto, operatório formal), como também os níveis de pensamento geo-métrico de Van Hiele apontam para a existência de etapas ordenadas de desenvolvimento do pensamento humano. Tais ordenações devem ser respeitadas pelos professores que desejarem obter uma aprendizagem com compreensão e, se acreditarem na importância disso, convém que reflitam sobre qual seria a ordem natural ou didática para as seguintes duplas opera-tivas: análise / síntese, simples / complexo, concei- to / definição, compreensão / memorização, verbali-zação / escrita, experimentação / formalização, dese-jo de aprender / aprender, intuição / dedução. Porém, respeitar ordenação de etapas significa não saltar eta-pas no ensino, e isto nem sempre é fácil na prática pedagógica” (Ibidem: 28).

• Respeitar a individualidade do alunoSabemos que os alunos possuem diversas caracte-

rísticas, comportamentos, habilidades, competências, preferências, linguagens entre tantos outros aspectos. Respeitá-las é imprescindível para uma aprendiza-gem que leve em consideração a individualidade de cada um. “Como reconhecimento de que os alunos possuem diferentes características, cabe ao professor favorecer o desenvolvimento das potencialidades de-les por meio da utilização de diferentes recursos didá-ticos” (Ibidem: 35).

• Atentar para a linguagem matemáticaJuntamente com as dificuldades que a linguagem

matemática nos apresenta, encontramos as inerentes à própria língua materna (tanto no léxico, quanto no

semântico)28. “Quanto menor for a idade das crianças, maior deverá ser o cuidado com a linguagem empre-gada em sala de aula: assim, se o objetivo for pro-piciar aos alunos a percepção da diferença entre as noções de perímetro e de área, devemos realçar, para perímetro, as ideias de percorrer, linha, adição, medi-da em m, e, para área, as ideias de varrer, superfície, multiplicação e medida em m2” (Ibidem: 46). Cons-truir em conjunto com os alunos um glossário ajuda no entendimento de conceitos, linguagens, símbolos e termos matemáticos.

• Explorar as aplicações da MatemáticaOs professores de Matemática ouvem com bastante

frequência: “Onde vou usar isso?” “Por que preciso aprender isso?” “A Matemática está presente em to-dos os campos de conhecimento e se faz necessária em qualquer atividade humana e, consequentemente, oferece à escola inúmeros exemplos de aplicação. (...) Assim, se o professor orientar seus alunos para que observem situações práticas, esses poderão concluir que as aplicações revelam como a Matemática está forte e cotidianamente relacionada com o nosso vi-ver” (Ibidem: 53-56)29.

• Ensinar de forma integral Aritmética, Geome-tria e Álgebra

“Cinco cegos costumavam pedir diariamente esmo-las no portal de entrada da cidade e nenhum deles, até então, havia conhecido um elefante. Por isso, ao saberem que logo chegaria um elefante à cidade, de-cidiram pedir ao dono que parasse o animal diante do portal para que eles pudessem “ver com as mãos” o tal de elefante. E assim aconteceu: o primeiro cego apalpou a lateral do elefante e disse: ele parece um muro; o segundo apalpou uma orelha do elefante e disse: ele é como uma grande ventarola; o terceiro apalpou uma das pernas do elefante e disse: é como as colunas do templo; o quarto, depois de apalpar uma das presas de marfim, concluiu: é igual a uma lança; o quinto apalpou a tromba e disse: é uma grande cobra. Então o elefante prosseguiu em sua viagem, enquanto os cegos, em meio a grande falatório, não consegui-ram concordar sobre o que seria o elefante, uma vez que cada um teve uma percepção parcial do animal” (Ibidem: 60).

Ter consciência de que o ensino da Matemática e de que os conteúdos presentes no currículo devem ser trabalhados de forma integrada é fundamental para o

28Um professor explicou três vezes como calcular o menor múltiplo comum de dois números, mas os alunos se mostraram em dúvida, até que um deles disse: “Entendi que pego os múltiplos e separo o menor deles, mas o que quer dizer comum?”. Outro exemplo é o do menino que passeava com o pai no zoológico e pediu-lhe que comprasse um dos bichos para ser levado para casa; a fim de justificar a impossibilidade de atendimento do pedido, o pai lembrou ao filho que aquele animal exigia uma especial alimentação; isto foi suficiente para a criança, com pureza e simplicidade, dizer: “então vamos levar esta”, apontando para uma jaula na qual se lia “não dê comida ao animal” (LORENZATO, 2006: 46).29Será que o que ensinamos de Matemática para nossos alunos, bem como o que propõem os programas de formação de professores de Matemática, do Ensino Fundamental ao Superior, observam a aplicabilidade do conhecimento? Caso não, a seguinte história aplica-se a nós: em um país foi divulgada a notícia de que dragões estavam dizimando populações e, então, decidiram criar um curso de alto nível para formar caçadores de dragões. Assim que os alunos concluíram o curso, lançaram-se na nova profissão vasculhando países e mares; mas não encontraram um só dragão e voltaram aos países de origem. Devido à experiência acumulada, os exímios caçadores fundaram um curso de pós-graduação sobre a arte de caçar dragões (LORENZATO, 2006: 56).

41professor que almeja desenvolver habilidades men-tais de operar com as partes sem perder de vista o todo. Para tanto é preciso respeitar as características de símbolos, regras, definições e identificar conexões entre elas.

• Desmitificar a MatemáticaAprendizagem desprovida de significado nos remete

a memorização e, portanto, ao esquecimento logo de-pois e, desta forma, algumas crenças equivocadas em relação à Matemática vão surgindo. Podemos verifi-car algumas delas, de acordo com Lorenzato (2006: 116-117):

1- Matemática é: (em relação à concepção de ma-temática)

• Fazer cálculos com números;• Exata;• Completa (pronta, acabada);• Abstração;• Lógica, dedutiva;• Conjunto de conhecimentos específicos, ora estan-

ques, ora sequenciados;• É aritmética.

2- Em relação à aprendizagem da Matemática:• A capacidade para aprender Matemática é inata a

algumas pessoas;• Resolver problemas é achar a solução correta;• Aprender Matemática é difícil;• Quem aprende Matemática é inteligente;• Aquele que aprende Matemática é superior aos

outros;• Meninos aprendem Matemática mais facilmente

que meninas.

3- Em relação ao ensino de Matemática• Quem sabe Matemática, sabe ensiná-la;• O importante é dar a resposta correta ao proble-

ma;• Calcular é sinônimo de fazer comparações;• Cada assunto apóia a compreensão do seguinte.

4- Em relação a alguns conteúdos de Matemática elementar:

• Fração é qualquer parte do inteiro;• Zero vale nada;• 3,14 é menor que 3,13857;• O produto é sempre maior que cada fator;• O quociente é sempre menor que o dividendo;• Toda fração é menor que a unidade;• Multiplicar é um modo de aumentar;• Quando divide, diminui;• Quadrados não são retângulos.

Outras crendices• Quem não gosta de Matemática deve escolher uma

profissão que não a utiliza;• Saber Matemática é privilégio para poucos.

Os professores precisam ter cautela para não blo-quearem as crianças, proporcionando um trabalho em que seja primordial a construção de uma aprendi-zagem significativa.

• Assumir melhor postura profissional“Considerando que cada professor é o principal

protagonista de seu desenvolvimento profissional, a questão se resume em verificar se você deseja ser pro-tagonista da ação educativa necessária (quase sem-pre possível), ou se prefere ser objeto de inevitáveis transformações que causam sensações de desequilí-brio. Alguns preferem ver a banda passar, mas quem sabe, não espera acontecer” (Ibidem: 129).

Tais princípios estabelecidos por Lorenzato (Ibi-dem: 119) se integram, se complementam, se asso-ciam e não seguem uma hierarquia, pois eles servem para “facilitar a construção de uma aprendizagem matemática com significado” com o objetivo de aca-bar com crendices, mitos e preconceitos em relação ao ensino de Matemática e à própria Matemática. Cabe a nós, professores, adaptá-los às nossas práticas, metodologias e necessidades e ajustá-los com o con-texto em que nos encontramos. “A matemática não é algo que diz respeito a números, mas sim à vida. Ela é algo que nasce do mundo em que vivemos. Lida com ideias. E, longe de ser aborrecida e estéril, como muitas vezes é retratada, ela é cheia de criatividade” (DEVLIN, 2006: 98)30.

30Na realidade, a primeira coisa a chamar a atenção de alguém que abre um livro de Matemática é que ele é cheio de símbolos – página após página do que parece ser uma língua estrangeira, escrita num estranho alfabeto. De fato, isso é exatamente o que ela é. Os matemáticos expressam suas ideias na linguagem da Matemática. Se a Matemática trata da vida e do mundo em que vivemos, por que os matemáticos usam uma linguagem que afasta muitas pessoas do assunto antes de elas terminarem o curso de ensino médio? Não é pelo fato de os ma-temáticos serem criaturas perversas, que gostam de passar os dias nadando num mar algébrico de símbolos sem sentido. A razão para que eles se apoiem em símbolos abstratos é que os padrões estudados pelos matemáticos são padrões abstratos. Você pode pensar nos padrões abstratos matemáticos como “esqueletos” de coisas do mundo. O matemático pega um aspecto do mundo, digamos, uma flor ou um jogo de pôquer, separa determinado aspecto da coisa escolhida, e depois descarta todas as características particulares, deixando apenas um esqueleto abstrato. No caso da flor, esse esqueleto abstrato pode ser sua simetria. Quanto ao jogo de pôquer, pode ser a distribuição das cartas, ou o padrão de apostas. Para estudar padrões abstratos, o matemático tem que usar uma notação abstrata. Quando um matemático olha para uma página de símbolos matemáticos, ele não “vê” os símbolos, como um músico experiente também não “vê” as notas musicais na partitura. Os olhos do músico treinado leem diretamente “através” dos símbolos musicais, alcançando os sons que estes representam. Da mesma forma, o matemático treinado lê “através” dos símbolos matemáticos, alcançando os padrões que eles representam.

42Sugestões de Atividades

1. Para cada objetivo traçado em 3.1, elaborar um problema que possa ser aplicado na Educação Infantil ou Ensino Fundamental, levando em conta pelo menos uma das características especificadas. Procure pesquisar em sites e livros.

2. Escolha um dos problemas que você criou na atividade 1 e procure resolvê-lo seguindo as etapas, estraté-gias e procedimentos sugeridos nesta unidade. Faça uma análise do que você observou.

Leituras complementares

BORIN, Júlia. Jogos e Resolução de Problemas: Uma estratégia para as aulas de matemática. 2.ed. São Paulo: IME-USP, 1996.SMOLE, Kátia C. Stocco; ROCHA, Glauce H. R.; CÂNDIDO, Patrícia T.; STANCANELLI, Renata. Era uma vez na Matemática: uma conexão com a Literatura Infantil. 3.ed. São Paulo: IME-USP, 1996.

43

APlICAÇõES DA mATEmáTICA NA EDUCAÇÃO INFANTIl E NO ENSINO FUNDAmENTAl

UNIDADE IV

Mais uma vez percebemos que os conceitos assina-lados se complementam e se integram. Dessa forma, nas aplicações dispostas a seguir, os temas aparecem espontaneamente em quase todos os assuntos cita-dos. Cada professor deve adaptá-los, reorganizá-los e ajustá-los de acordo com a prática, o contexto em que os alunos se encontram e com a especificidade de cada região em que vivem.

Entretanto faz-se necessário ressaltar que nem sem-pre encontramos aplicação para tudo que ensinamos nas aulas de Matemática e também não devemos nos preocupar em somente ensinar aquilo em que encon-tramos aplicação, uma vez que “para nós, professores, a aplicação deve ser concebida como uma alternativa metodológica ou estratégia de ensino e não como uma panaceia que deve estar presente em todas as aulas” (LORENZATO, 2006: 55).

4.1 - Na Informática

Atualmente, um dos termos mais utilizados para fa-lar de Informática31 na Educação se denomina: Tec-nologias da Informação e Comunicação – TIC. Por-tanto, nos utilizaremos dessa terminologia no lugar de Informática, uma vez que novas formas de comunicar, conhecer e informar surgem no cenário educacional com o advento da tecnologia.

As crianças do mundo contemporâneo convivem com inúmeros recursos digitais cotidianamente, o que permite que estabeleçam o tempo todo novas relações com o conhecimento, uma vez que utilizam a internet com facilidade, criam blogs e comunidades virtuais, baixam músicas e vídeos, comunicam-se através de redes de relacionamento como MSN, Orkut entre tan-tas outras ações mediadas pelas diversas mídias.

Em vista disso, propor que utilizem tais recursos na aplicação de conceitos matemáticos vai permitir que capacidades cognitivas como: memória, percep-ção, imaginação entre outras sejam potencializadas pelas TIC oferecendo-nos novas perspectivas na construção do conhecimento matemático, já que seu caráter lógico-matemático pode se tornar um grande aliado no desenvolvimento de habilidades, permitin-do, assim, que os alunos aprendam com os erros, com os colegas, troquem e comparem suas produções.

É fundamental que o professor se aproprie das tec-nologias e seus recursos para aplicá-los à Educação e à sua prática educacional, levando em conta quais objetivos e intencionalidades pedagógicas almeja. Vale ressaltar que as Tecnologias da Informação e Comunicação a todo o momento se aprimoram, se atualizam, se transformam, e as crianças se adaptam com a maior facilidade, porém cabe a nós, educa-dores, buscarmos uma formação contínua, uma vez

31A palavra Informática é derivada de duas outras palavras associadas a ela: informação e automática (Fonte: Wikipedia).

que “qualquer mudança necessária a ser realizada no processo ensino-aprendizagem da Matemática estará sempre vinculada à ação transformadora do profes-sor” (GRANDO, 1995: 23).

Para Papert (1985), empregar o computador na sala de aula requer certas ações que vão desde a forma como promovemos a construção do conhecimento até sua aceitação pela escola no momento em que permi-te que seu uso faça parte do desenvolvimento coeren-te da escola e gere novas possibilidades de trabalho (KAMPFF, MACHADO & CAVEDINI, 2004).

O computador não exclui o professor, muito ao con-trário, atribui-lhe novas situações-problema, novos desafios, novas responsabilidades. Papert (1980) po-siciona o computador como algo que viabiliza a cria-ção de situações mais propícias, ricas e específicas para a construção de conhecimento. (...) O professor precisa estar atento para não utilizar as TIC como fuga ou distração, no sentido de tentar inovar sua prática pedagógica erroneamente, só para dizer que utiliza informática em suas aulas. Ele precisa promo-ver ambientes de aprendizagem para que os alunos possam sentir-se à vontade para discutirem sobre suas ideias com os demais colegas de classe e com o professor, o que pode não ocorrer com frequencia nas salas de aula atualmente, onde somente o professor fala (Ibidem).

Uma das dez competências fundamentais dos pro-fessores que Perrenoud (2000: 139) realça é a de to-mar conhecimento das possibilidades e dominar os recursos computacionais existentes. Para ele “o ofício do professor redefine-se: mais do que ensinar, trata-se de fazer aprender”. Ao professor cabe

44(...) atualizar-se constantemente, buscando novas práticas educativas que possam contribuir para um processo educacional qualificado. Nesse contexto, o professor torna-se indispensável, tornando-se orien-tador do processo de aprendizagem, podendo dispor dos meios computacionais para atender aos alunos de forma diversificada, de acordo com suas necessida-des (Ibidem).

Para tanto traçamos algumas sugestões com possí-veis aplicações da Matemática nas Tecnologias da In-formação e Comunicação, promovendo, assim, uma Matemática que, além de construir conceitos, cons-trua juntamente uma significação aos mesmos.

Uma possibilidade é a linguagem de programação

LOGO, proposta por Papert no Massachusetts Insi-tute of Technology (MIT) por volta dos anos 60-70, em que é possível trabalhar com a Geometria e com medidas buscando identificar regularidades, construir figuras geométricas32.

Bossuet [apud PAPERT, 1985] coloca que Logo de-signa ao mesmo tempo uma teoria de aprendizagem, uma linguagem de comunicação e um conjunto de unidades materiais que permite demonstrar os pro-cessos mentais empregados por um indivíduo para resolver um problema, num contexto de ação sobre o mundo exterior. Acrescenta ainda que “a teoria do conhecimento adotada por Logo faz uma síntese en-tre a concepção de Piaget sobre o desenvolvimento da criança e o estudo, em inteligência artificial, do problema do pensamento. A criança não é mais um objeto a ser modelado, educado. Ela torna-se su-jeito”. Propõe-se, então, propiciar às crianças a in-teração com essa linguagem, para que elas também possam pensar mais concretamente a respeito dos processos mentais, pois a habilidade de articular os processos do pensamento dá a chance de melhorá-los (KAMPFF, MACHADO & CAVEDINI, 2004).

Ressaltamos ainda o uso de programas como Word (editor de textos); Excel (planilhas eletrônicas) para construção de tabelas, gráficos, fluxogramas, bem como uma gama de jogos e desafios3 com o intuito de desenvolver o raciocínio lógico, presentes na inter-net, que permite aplicar atividades pedagógicas em um ambiente web. Cabe ao professor nortear, consi-derar e avaliar a importância e momentos apropriados para oferecê-los como propostas educacionais.

A construção de um blog (recurso de simples utiliza-ção que requer poucos conhecimentos técnicos) com os alunos também é um recurso rico no meio multimí-dia, uma vez que proporciona o debate, a comparação e a correção de respostas e permite que se trabalhe com crianças pequenas. Criar normas, regras de res-peito e convivência, estabelecer limites de visita à pá-gina, favorecer as pesquisas são aspectos do blog que contribuem para o desenvolvimento pleno da criança. Destacamos também as possibilidades de ensinar às crianças a manipulação de inúmeras ferramentas tais como: hiperlink; buscadores; navegação por outros blogs; criação de e-mails. E mais: utilização da escri-ta matemática e da sistematização do cálculo mental; desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático na resolução de problemas; argumentação matemática; cooperação mútua e participação de todos na busca de uma resposta aceitável.

Portanto é imprescindível que os professores, ampa-rados por novas perspectivas de trabalho, percebam que mudanças acontecerão e, a partir da implemen-tação de ambientes informatizados, permitam que re-cursos, técnicas e ferramentas de multimídia colabo-rem com um aprendizado significativo dos conceitos matemáticos e quem sabe com a própria Matemática. A possibilidade de unir a Tecnologia com a Matemá-tica de forma coerente e contextualizada dever-nos-ia parecer irresistível.

32Em Kampff, Machado e Cavedini (2004) podemos verificar uma proposta de trabalho com Logo, desenvolvida com uma turma do 6º ano (antiga 5ª série), em que os alunos tinham total liberdade para desenhar uma cidade com ruas, casas, edifícios, uma vez que o objetivo era trabalhar com retas, linhas, polígonos regulares e irregulares. Vale a pena conferir.33Você pode acessar a página http://math.exeter.edu/rparris/winarc.html e http://www.plastelina.net para conferir e aproveitar.

4.2 - No Tratamento da Informação – Estatística e Probabilidade

A importância no Tratamento da Informação é re-conhecida, atualmente, nos mais diversos campos das pesquisas científicas e sociais no mundo dos ne-gócios, constituindo, assim, ferramenta para outras disciplinas. Torna-se mais frequente a necessidade de compreender as informações veiculadas pelos meios de comunicação, como tomar decisões e fazer previ-sões que influenciarão tanto a vida pessoal quanto a toda a sociedade.

Esse tema permite aos professores trazer para a sala de aula o cotidiano presente nos diferentes meios de

comunicação, tais como jornais, revistas, livros, tele-visão, e na vida de seus alunos e de sua escola.

O Tratamento da Informação envolve noções de estatística, combinatória, possibilidades e chances, como elementos do estudo de probabilidade, além de problemas de contagem que englobam o princípio multiplicativo, podendo ser desenvolvidos desde a Educação Infantil.

A Estatística é o campo da Matemática que estu-da processos de obtenção, organização e análise de

45dados e métodos de tirar conclusões e até de fazer previsões sobre um fenômeno em estudo. Através da utilização de gráficos e tabelas, cujos assuntos abordados são veiculados pelos meios de comuni-cação e fazem parte do cotidiano, o aluno é capaz de desenvolver a habilidade de distinguir os dados importantes e necessários daqueles que não são úteis para a resolução de uma situação-problema.

Relacionar atividades com assuntos que interessem à criança é imprescindível para uma aprendizagem com significados. O trabalho com datas de aniversá-rio é um exemplo. As crianças devem organizar uma lista com informações em que se estabeleçam alguns critérios na sua organização (ordem alfabética, me-ninas, meninos). A seguir analisam e avaliam se as informações são facilmente compreendidas, propon-do, então, diversas maneiras de comunicar quem faz aniversário e em que mês, utilizando, se possível, a construção de um gráfico. Dados dos mais diversos, tendo como referência as próprias crianças, podem ser trabalhados e apresentados graficamente, tais como peso, altura, nacionalidade dos avôs, número de irmãos, músicas preferidas, times de futebol entre tantos outros.

“Com relação à probabilidade, a principal finalida-de é a de que o aluno compreenda que grande parte dos acontecimentos do cotidiano são de natureza aleatória e é possível identificar prováveis resulta-dos desses acontecimentos” (PCN, 1998: 40). Cons-truir tabelas que mostram o comportamento do tem-po (dias com sol, dias com chuvas, dias nublados); acompanhar as previsões do tempo pelos meios de comunicação permitem que as crianças façam algu-mas previsões somente observando os acontecimen-tos.

Para poderem construir gráficos, é preciso que o professor averigue se as crianças conseguem com-preendê-lo, a partir da leitura e interpretação das in-formações representadas, podendo até solicitar que elaborem questões as quais eles tenham capacidade para respondê-las.

Problemas que envolvem possibilidades como o clássico problema dos apertos de mãos34, possibili-tam que se explorem as chances de quantificar as possibilidades. Noções elementares de Probabili-dade (lançamento de dados, moedas) são desenvol-vidas, como também o pensamento probabilístico, inserido nas aulas de Matemática como elemento auxiliar tanto na aprendizagem de Matemática quan-to na interpretação dos fatos divulgados pelos meios de comunicação.

As crianças gostam de fazer apostas, desejando ga-nhar o tempo todo, por isso podemos sugerir ativi-dades que propiciem o levantamento do número de ocorrências de um evento acontecer, e o que ocorre mais vezes tem mais chance de realizar. Um exem-plo que ilustra a noção de probabilidade na Educa-ção Infantil, de acordo com Lopes (1997: 1-2) é: “se durante uma viagem rodoviária as crianças fo-rem levadas a contar os automóveis que passam no sentido horário, classificando-os pela marca ou pela cor, apostar na marca ou na cor que aparece com maior frequência é ter uma chance maior de ganhar a aposta”.

Perguntar a alunos que conhecem a área do círcu-lo, num jogo de tiro ao alvo, onde existe a maior chance de acertar: no círculo maior ou no círculo menor? O que dizer, então, para acertar na mosca? Uma discussão interessante é supor que os alunos sejam os donos do jogo e pedir que atribuam valores para o preço dos tiros e o pagamento dos acertos nos diferentes círculos. É claro que o dono do jogo deve ter sempre um lucro e para tal deve “medir a sorte” (Ibidem).

Ressaltamos, ainda, amparados pelos PCN (1998), outras propostas de aplicação Matemática no Trata-mento da Informação para o Ensino Fundamental ou para a Educação Infantil35, como ler e interpretar in-formações apresentadas em imagens, figuras, dese-nhos, fotos; criar registros pessoais para informar os dados coletados; explorar a função de número como código de organização das informações (linhas de ônibus, telefones, placas de carro, registros de iden-tidade, calçados); interpretar e elaborar listas, tabe-las simples, de dupla entrada, gráficos de barra, de linha, setor; produzir textos que tenham como base a interpretação dos dados das tabelas e dos gráficos; construir gráficos a partir das informações contidas em jornais, revistas, textos científicos; interpretar e calcular média aritmética e ponderada; explorar algumas ideias de probabilidade em situações-pro-blema.

Constatamos que os mais diversos assuntos abor-dados pelo tema Tratamento da Informação possi-bilitam também discussões acerca dos temas trans-versais, propostos pelos Parâmetros Curriculares Nacionais, como Saúde, que pode permear outras áreas do conhecimento. Todas as atividades comen-tadas e sugeridas aqui perpassam pela construção de conceitos matemáticos já vistos nas unidades ante-riores tanto para a Educação Infantil quanto para o Ensino Fundamental. Cabe ao professor adaptá-las, como já mencionado.

34Existem várias formas de elaborar tal problema. Uma delas é: “Numa sala, havia certo número de pessoas para uma reunião. Todos os presentes se cumprimentaram apertando as mãos. Se foram 66 apertos de mão no total, quantas pessoas havia na sala?” Ou podia informar o número de pessoas e perguntar a quantidade de apertos de mãos.35Novamente cabe ao professor discernir quais atividades seus alunos estão maduros suficientes ou quais atividades podem ser desenvol-vidas pela faixa etária das crianças. Adaptá-las e(re)criá-las faz parte do ser professor.

464.3 - Coleta, Organização, Comunicação e Interpretação de Dados

As formas utilizadas no Tratamento da Informa-ção, tais como coleta, organização, comunicação e interpretação de dados, favorecem a compreensão de argumentos estatísticos pelos quais somos bom-bardeados36, bem como nos ajudam a entender que a Matemática não se reduz ao verdadeiro e falso de suas proposições, nem que existem só o possível e o impossível, podendo ser construídas, através de ob-servações, entrevistas, histórias de vida, pesquisa bi-bliográfica, questionários, observação empírica entre outros, existindo uma gama de procedimentos utiliza-dos para esse fim.

A coleta de dados pode ser direta (coletados pela própria criança) ou indireta (feita por elementos conhecidos), podendo facilitar a comparação entre quantidades. Após a coleta, os dados são distribuídos de forma ordenada mediante critérios de classificação, favorecendo uma melhor interpretação. A análise dos dados pode ser feita através de inferências (dedução por meio de raciocínio) para chegar a conclusões ou previsões, e a apresentação dos dados é realizada pela comunicação (descrição/narração/exposição) dos da-dos que devem ser exibidos de forma adequada e com clareza por meio de gráficos, tabelas entre outros.

Ao propor atividades para coletar dados, as crian-ças, dependendo do assunto a ser trabalhado, viven-

ciam situações das mais diversas com aplicabilidade matemática, como algumas que dispomos a seguir:

• O trabalho com altura ou peso favorece as crian-ças medirem e pesarem cada uma delas, procurando maneiras de representar os dados: aproximações en-tre medidas e transformações de unidades; conceitos de maior/menor, alto/baixo, pesado/leve, conceito de média.

• Pesquisa em mercados ou padarias acerca dos pre-ços de vários produtos em diferentes datas permite trabalhar o conceito de unidades monetárias, unida-des de medida e suas possíveis transformações (ope-rações de adição, subtração, números decimais), bem como explorar o local de compra em relação à escola (confecção de plantas, mapas – explorando o conceito de escala); discutir o percurso feito e o tempo gasto para percorrê-lo.

Para tanto, é preciso que o professor organize as ati-vidades propostas levando em consideração o ritmo de cada criança e cada grupo, “pois elas não apren-dem linearmente, isto é, primeiro correspondem, de-pois comparam, em seguida classificam e assim por diante”. Em vista disso, “não existe uma ordem ideal para a realização das atividades em sala de aula a ser recomendada a todos os professores”, já que cada um vivencia um contexto e uma realidade distinta (LO-RENZATO, 2006: 89).

36É preciso ser capaz de questionar: Como foram obtidos esses dados? Traduzem a realidade? Como foram tiradas as conclusões enuncia-das e que técnicas foram utilizadas? Os dados enunciados correspondem à realidade que se quer estudar? (LOPES, 1997: 2).37Todas as ilustrações apresentadas foram retiradas de pesquisas na internet, cujos endereços estão disponíveis nas referências bibliográ-ficas.

4.4 - leitura de Tabelas, Gráficos e Outras Formas de Representação de Dados

Existem diversas formas de representar os dados coletados para uma pesquisa ou trabalho escolar que permitem o desenvolvimento de habilidades e com-petências, como identificar, classificar, analisar, men-surar, bem como o desenvolvimento dos processos mentais estabelecidos por Lorenzato (2006) na Uni-dade I. A representação dos dados pode ser feita de duas maneiras: 1ª) tabela – representação numérica dos dados em linhas e colunas, como um quadro, dis-tribuídas de modo ordenado; 2ª) gráficos – represen-tação geométrica dos dados numéricos que permite uma visão rápida e clara do evento que se pretenda analisar, apresentando diversas formas.

Os gráficos37 podem ser classificados em diagramas, pictogramas e cartogramas. Fluxogramas (tipo de diagrama) e árvores das possibilidades são outras for-mas de representação de dados. Todos eles favorecem o desenvolvimento de atividades que possibilitam trabalhar o conceito de número, quantidade, opera-ções, compreensão do princípio multiplicativo entre outros. Temos ainda os diagramas, gráficos dispostos em duas dimensões que são os mais usados (barras ou colunas, linhas, setores).

47

Representação estruturada e simplificada de conceitos ou objetos.

1 2 3 4

5

6

7

8

Representação simbólica de objetos ou conceitos por meio de desenhos ou figuras.

Representação de fenômenos por meio de mapas cujas áreas podem ser modificadas.

Representação gráfica que envolve problemas de análise combinatória.

48

No que se refere às crianças pequenas, constata-mos que possuem ou adquirem diversas maneiras de representação que são inventadas por elas e, embora elementares e imprecisas, fazem sentido para quem as adota. Lopes (1997) apresentou uma atividade de-senvolvida com crianças entre 5 e 9 anos de idade que corrobora tal fato.

Esta atividade foi aplicada em uma classe de alfabe-tização com 20 alunos. (...) Foram distribuídos re-tângulos de cartolina para a turma, onde cada aluno escreveu seu nome e colocou no painel feito pelo professor, representando os meses do ano. Depois dos dados coletados e representados, foram feitas perguntas para a leitura do gráfico, como sugeri-do no desenvolvimento. Logo após, foi solicitado que desenhassem o gráfico do cartaz em um papel quadriculado. Para identificar a fase de alfabetiza-ção em que cada aluno se encontrava, foi solicitado que escrevessem um pequeno texto sobre o tema: A

VACA, escolhido pela professora e depois foi feita uma entrevista com os alunos para saber o que eles haviam escrito, pois muitas vezes era indecifrável. Ao examinarmos os trabalhos desses alunos, conse-guimos mostrar a relação existente entre a fase da língua escrita, segundo Emília Ferreiro, e as classi-ficações das representações gráficas, segundo Hu-ghes.

1. Representação Ideossincrática: a criança ao trans-por o gráfico para o papel faz uso de rabiscos, sem sentido algum – corresponde à fase Pré-Silábica;2. Representação Pictográfica: a criança represen-ta a quantidade pela numerosidade, desenhando os blocos colocados sobre a mesa, sem nenhuma asso-ciação com a escala – corresponde à fase Silábica;3. Representação Icônica: a criança representa a quantidade apenas pela numerosidade, associando a cada retângulo, um rabisco, por exemplo – corres-ponde à fase Silábica-Alfabética;

4�4. Representação Simbólica: representa através dos símbolos convencionais, utilizando-se dos eixos e relacionando a escala com a quantidade de blocos – corresponde à fase Alfabética (Ibidem: 06-07).

A seguir, são apresentadas algumas sugestões le-vando em conta os campos matemáticos, tais como número, geometria e medidas, que deverão ser explo-rados tanto na Educação Infantil, quanto no Ensino Fundamental. Vale ressaltar que “a atividade em si não garante a aprendizagem significativa. Por isso é fundamental que, após cada atividade, o professor fa-cilite a conversa entre as crianças sobre o que fizeram e o que descobriram” (LORENZATO, 2006: 90).

• Ler e interpretar gráficos com dados do tipo: per-centual de crianças com obesidade nos últimos cinco anos, permitindo explorar o conceito de porcentagem através de comparações;

• Comparar dois ou mais gráficos estabelecendo di-ferenças e semelhanças; identificar dados numéricos com suas respectivas representações (um gráfico com dados em decimais e outro com porcentagem ou com números muito grandes escritos de forma simplifica-da);

• Explorar situações descritas em uma tabela, como a quantidade de medalhas ganhas pelos primeiros dez países em alguma Olimpíada. Nessa situação, pode-mos explorar a posição geográfica, regimes políticos e outras classificações quanto ao número de meda-lhas, por exemplo; identificar os tipos de números e as funções que exercem; reconhecer ordinalidade na contagem, contagem por agrupamento; e, com crian-ças mais velhas, explorar o conceito de frações e as porcentagens correspondentes.

• Em relação ao levantamento do dia, mês ou ano do aniversário das crianças é possível trabalhar a cons-trução do conceito de número; classificação; seria-ção; ordenação; relações temporais; identificação dos períodos do ano, como mês, bimestre, trimestre, se-mestre e frações correspondentes; estações do ano; concentrações de nascimentos em determinados me-ses.

Enfim, cabe ao professor eleger atividades “que me-lhor se adaptem aos seus alunos, levando em consi-deração o que indicam as pesquisas em educação e a experiência de magistério, isto é, iniciar o processo de ensino-aprendizagem pelo concreto com vistas ao abstrato” (Ibidem: 89).

Sugestões de Atividades

1. Elabore um pictograma que tenha aplicabilidade com algum conceito matemático, descrevendo qual ativi-dade deverá desenvolvida por alunos da Educação Infantil.

2. Escolha um dos temas Transversais sugerido pelos Parâmetros Curriculares Nacionais – Ensino Funda-mental –, colete dados referentes ao assunto escolhido, e construa uma tabela, especificando quais conceitos matemáticos podem ser desenvolvidos pelos alunos.

Leituras complementares

JONASSEN, David H. Computers as Mindtools for Schools: engaging critical thinking. 2.ed. Ohio: Prentice Hall, 1996.VALENTE, José Armando. O uso inteligente do computador na educação. In: Revista Pátio, ano I, n. 1, p. 19-21, Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 1997.––––––. Informática na educação: uma questão técnica ou pedagógica?. In: Revista Pátio, ano 3, n. 9, p. 21-23, Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 1999.

Sites Recomendados

http://www. mathema.com.brFormação e pesquisa

http://www.ime.unicamp.br/ex.htmlLaboratório de Ensino da Matemática (LEM)

50

Se você:

1) concluiu o estudo deste guia;2) participou dos encontros;3) fez contato com seu tutor;4) realizou as atividades previstas;

Então, você está preparado para as avaliações.

Parabéns!

51Glossário

Abstração – separação mental de uma das partes de um todo.

Abstrair – fazer abstração; separar mentalmente qualidades ou propriedades dos seres; considerar isolada-mente.

Abstrato – que se encontra existente só no domínio das ideias e sem base material.

Afeição – sentimento de ternura e amizade; afeto; dedicação.

Aleatória – dependente de circunstâncias casuais ou fortuitas.

Ambíguo – de duplo sentido; equívoco; incerto; duvidoso.

Análogo – que se baseia na analogia; idêntico.

Analogia – relação de semelhanças entre coisas diferentes.

Aprazível – que causa prazer; ameno; encantador.

Autonomia – liberdade moral ou intelectual.

Circundante – que circunda; que rodeia; envolvente.

Cognitivo – relativo a cognição.

Cognição – ação de adquirir um conhecimento.

Configuração Serial – fase intermediária ao processo de seriação operatória, trata-se do aspecto figural e per-ceptível do objeto, a forma do conjunto.

Conjecturas – presumir, prever, antever.

Dialética – arte de raciocinar; arte de argumentar ou discutir; argumentação dialogada; método de ascensão do sensível para o inteligível e método de dedução racional das Formas (Platão); uma forma não demonstrativa de conhecimento (Aristóteles); lei do pensamento (da Ideia) e do real, que se desenvolve através de três estágios, tese, antítese e síntese (Hegel); método de compreensão da realidade, seja ela histórica e social (materialismo histórico), seja ela natural (materialismo dialético) (Marx e Engels); todo o pensamento que tem em conta o dinamismo dos fenômenos ou da história e que se mostra sensível às contradições que estes apresentam (séc. XX).

Dialético – relativo à dialética.

Dicotomia – divisão em dois ramos;

Egocêntrico – indivíduo cuja visão do mundo parte sempre da sua própria personalidade.

Empírico – se fundamenta apenas na experiência.

Especificidade – caráter do que é específico.

Esquema (Piaget) – modelo de atividade que o organismo utiliza para incorporar o meio; palavra que Piaget usou para ações, ideias e estratégias às quais as novas experiências são assimiladas e que se modificam (aco-modam-se) em função das novas experiências.

Estática – em equilíbrio.

52Gênese – origem; nascimento; geração; criação.

Heurístico – processo pedagógico que leva o aluno a descobrir a verdade por si próprio.

Hierárquica – relativo a hierarquia.

Hierarquia – distribuição ordenada (poderes);

Hipótese – suposição admissível; condição; circunstância; eventualidade.

Hipotético – relativo à hipótese; duvidoso; arbitrariamente suposto.

Indutivo – que procede por indução; diz-se do raciocínio que parte dos fatos para as leis gerais ou dos efeitos para as causas.

Indução – ato ou efeito de induzir; raciocínio que, de fatos particulares, tira uma conclusão genérica.

Induzir – instigar à prática de alguma coisa; incutir.

Inferência – ato ou efeito de inferir; dedução; consequência.

Inferir – deduzir por meio do raciocínio; tirar por conclusão.

Inato – que nasceu com.

Interacionismo – teoria psicológica que sustenta que o desenvolvimento do comportamento humano é uma construção resultante da relação do organismo com o meio em que está inserido. Esta teoria valoriza igualmen-te o organismo e o meio.

Mediação – é a ação que o sujeito, por meio de instrumentos, modifica a natureza e, ao fazê-lo, acaba por modificar a si mesmo.

Método Sistemático – consiste em identificar, primeiro, o elemento menor (ou maior) de todos, depois o menor dos que restaram e assim sucessivamente, pois testemunha que um elemento qualquer X é, ao mesmo tempo, maior do que os precedentes e menor do que os seguintes (numa ordem decrescente). É também um método antecipatório, pois o sujeito sabe que ao procurar o menor elemento dos elementos restantes constituíra uma série. Este é o caráter antecipatório do esquema de seriação.

Paradoxal – que encerra em paradoxo.

Paradoxo – Relacionado com a antítese, o paradoxo é uma figura de pensamento que consiste na exposição contraditória de ideias. As expressões assim formuladas tornam-se proposições falsas, à luz do senso comum, mas que podem encerrar verdades do ponto de vista psicológico; contradição ou contrassenso; declaração ou proposição que parece se autocontradizer, mas que na realidade expressa uma verdade possível; proposição falsa ou autocontraditória; opinião ou declaração contrária à opinião geralmente aceita.

Percepção – ato ou efeito de perceber; intuição; representação intelectual.

Plausível – que merece aprovação; aceitável.

Proposição – proposta; teorema; ato ou efeito de propor.

Psicogênese – é a parte da Psicologia que se ocupa em estudar a origem e o desenvolvimento dos processos mentais, das funções psíquicas, das causas psíquicas que podem causar uma alteração no comportamento.

Psicologia genética – é a psicologia que estuda os problemas psicológicos do ponto de vista do conhecimen-to.

Psíquico – relativo às faculdades morais e intelectuais.

53Regulações – sujeitar a regras; regulamentar; acertar; moderar; ato ou efeito de regulamentar.

Regulamentar – regular; sujeitar a um regulamento.

Regularidade – qualidade do que é regular; conformidade com as regras; harmonia.

Ressurgência – ressurgimento; reaparecimento.

Reversibilidade (Piaget) – Quando a operação deixa de ter um sentido unidirecional. A reversibilidade seria a capacidade de voltar, de retorno ao ponto de partida. Aparece, portanto como uma propriedade das ações do sujeito, possível de se exercerem em pensamento ou interiormente. Lembramos que as operações nunca têm um sentido unidirecional; são reversíveis.

Senso numérico – expressão introduzida por Tobias Dantzig (apud DEVLIN, 2006: 36) em seu livro de 1954, Number: The Language of Science. O homem, mesmo nos estágios mais inferiores de desenvolvimento, possui uma faculdade que, à falta de melhor nome, chamarei de senso numérico. Essa faculdade lhe permite reconhe-cer que algo mudou em uma pequena coleção quando, sem seu conhecimento direto, um objeto foi retirado ou acrescentado ao conjunto.

Sensorial – relativo ao cérebro ou ao sensório.

Sensório – relativo a todo aparelho sensitivo do organismo; cérebro ou parte dele que é considerada como centro ou sede das sensações.

Sintaxe – arranjo, disposição; parte da estrutura gramatical de uma língua que contém as regras relativas à combinação das palavras em unidades maiores (como as orações), e as relações existentes entre as palavras dentro dessas unidades.

Sucinta – em poucas palavras; breve; resumida.

Supremacia – superioridade; vantagem.

Teoria – conhecimento especulativo puramente racional; hipóteses; suposições; opiniões sistematizadas; prin-cípios fundamentais de uma arte ou ciência.

Teorização – ato ou efeito de teorizar.

Teorizar – expor teorias.

Veiculado – propagado; difundido.

54Gabarito

Unidade I

1. atividade 01 – facilitar a percepção de que diferentes contornos (figuras) podem ser formados com iguais quantidades de palitos.

atividade 02 – desenvolver a observação, a memória visual e a verbalização.2. Resposta pessoal, devendo levar em consideração os objetivos pedidos.

Unidade II

Desafios Intrigantes1. Na maioria das vezes a resposta é 7, pois seguimos o nosso senso numérico. Psicólogos cognitivos escla-

recem que num primeiro momento foi preciso que entrássemos no “modo subtração”, o que requer um esforço mental maior. A seguir, a última operação utilizou os números 12 e 5 (12 – 5 = 7, cuja resposta é fácil), fazendo com o que o número 7 ficasse destacado em nossa mente. Caso não tenha respondido 7, provavelmente deve ter escolhido um número próximo a ele como o 6 ou 8. Para Devlin (2006: 35) a nossa escolha não é racional quando o desafio nos é apresentado pela primeira vez, pois o número que espontaneamente desponta na nossa mente equivale a distância entre 5 e 12.

2. Se fosse marcado um tempo de resposta para cada comparação, provavelmente você teria demorado mais tempo para responder a segunda e a terceira. Novamente seguimos nosso senso numérico, que é inato. Os nú-meros pequenos têm realmente significado para nós. Na primeira comparação, visualmente os números estão bem distanciados. Mas, de acordo com Devlin (2006: 36), a questão inicial foi quem era maior e não qual distância havia entre eles. Nos outros exemplos temos pares de números sucessivos em que o maior está em primeiro lugar. Acabam se tornando comparações iguais, pois temos a tendência de ignorar o primeiro alga-rismo do terceiro exemplo por ser o mesmo. “E, contudo, já foi mostrado em muitas ocasiões que todo mundo leva consideravelmente mais tempo para decidir entre 25 e 24 do que entre 5 e 4. A diferença de 1 é, de alguma forma, mais facilmente reconhecida para pares de números pequenos do que de grandes”.

3. Essa atividade foi realizada por um grupo de psicólogos para testar a capacidade aritmética de crianças entre 7 e 10 anos. As crianças tinham aprendido as operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão. Aplicaram um teste convencional de aritmética com operações de subtração envolvendo números com no máximo três algarismos. O percentual de sucesso foi extremamente baixo: 14%. Entretanto, as mesmas crianças participaram de uma feira livre em que operações similares foram realizadas utilizando cálculo men-tal, sendo verbalizadas para os colegas e pesquisadores. E qual foi o espanto – sucesso – as crianças tiveram um excelente desempenho.

Vamos acompanhar o raciocínio do menino. Primeiro, ele partiu os 200 em 100 + 100. (Ele não verbalizou, mas é claro que foi isso que fez.) Ele pôs um 100 de lado e foi calcular: 100 – 35. Para fazer isso, ele primeiro diminui 35 para 30, e calcula 100 – 30. Isso ele pode fazer facilmente: a resposta é 70. Depois ele corrige nova-mente o 30 para 35, subtraindo o 5 que ele ignorou: 70 – 5 = 65. Finalmente, ele acrescenta os 100 que pusera de lado no começo: 65 + 100 = 165. Ele não apenas obtém a resposta certa rapidamente – na sua cabeça numa feira livre barulhenta – como emprega elegantes manipulações matemáticas para fazê-lo. De fato, um mate-mático diria que a solução do menino usa um pensamento matemático mais sofisticado do que simplesmente aplicar o algoritmo padrão da subtração ensinado nas escolas. (...) Como disseram os pesquisadores, as crianças eram ruins na matemática de escola, mas extraordinárias na matemática das ruas. Qual a diferença entre as duas? Não é a matemática propriamente dita: 2 + 2 = 4 das ruas a mesma que a da sala de aula? A diferença era que, quando estavam trabalhando na feira, elas tinham uma forte motivação para fazer os cálculos, e os números tinham um significado para elas (DEVLIN, 2006: 296).

Unidade III

1. Resposta pessoal.2. Resposta pessoal em que o você deve observar dificuldades e facilidades encontradas na resolução de situ-

ações-problema criadas por você.

Unidade IV

1. Resposta pessoal.

55Referências Bibliográficas

ANTUNES, Celso. Vygotsky, quem diria?! Em minha sala de aula. 2. ed. Petrópolis: Vozes, 2002.BORIN, Júlia. Jogos e Resolução de Problemas: uma estratégia para as aulas de matemática. 2.ed. São Paulo: IME-USP, 1996.CHARNAY, Roland. “Aprendendo (com) a resolução de problemas”. In: PARRA, Cecilia & SAIZ, Irma (orgs.). Didática da Matemática: reflexões Psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 1996: 36-48.D´AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática: da teoria à prática. 9.ed. Campinas: Papirus Editora, 2001. (Coleção: Perspectivas em Educação Matemática)DANTAS, Heloysa. “A afetividade e a construção do sujeito na psicogenética de Wallon”. In: LA TAILLE, Y.; OLIVEIRA, M. K.; DANTAS, H. Teorias psicogenéticas em discussão. 16. ed. São Paulo: Summus, 1992: 85-98.DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 12. ed. São Paulo: Editora Ática, 1999.DEVLIN, Keith. O Gene da Matemática. 3. ed. Rio de Janeiro: Record, 2006. ECHEVERRíA, María del Puy Pérez. “A solução de problemas em Matemática”. In: POZO, Juan Ignacio (org.). A Solução de Problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998: 43-63.GALVÃO, Izabel. Henri Wallon: uma concepção dialética do desenvolvimento infantil. 11.ed. Petrópolis: Vo-zes, 2002.GOULART, íris Barbosa. Piaget: experiências básicas para utilização pelo professor. 19. ed. Petrópolis: Vozes, 2002.GRANDO, Regina Célia. O Jogo e suas Possibilidades Metodológicas no Processo Ensino-Aprendizagem da Matemática. 1995. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade Estadual de Campinas, Campinas.KAMII, C. Aritmética: Novas perspectivas – Implicações da teoria de Piaget. Trad: Marcelo Cestari T. Lellis. Marta Rabioglio e Jorge José de Oliveira. 7.ed. Campinas: Papirus, 2001.––––––.; DECLARK, Geórgia. Reinventando a aritmética: implicações da teoria de Piaget. 16.ed. Campinas: Papirus, 2001.KAMPFF, A. J. C.; MACHADO, J. C.; CAVEDINI, P. Novas Tecnologias e Educação Matemática. Bahia: XXIII Congresso da Sociedade Brasileira de Computação, 2004. (Artigo apresentado no X Workshop de Infor-mática na Escola) Disponível em: http://www.cinted.ufrgs.br/renote/nov2004/artigos/a12_tecnologias_mate-matica.pdf. Acesso em 25/11/2008.LESTER, F. K. “Trends and issues in mathematical problem solving research”. In: LESH, R.; LANDAU, M. (Eds.). Acquision of mathematical concepts and processes. New York: Academic Press, 1983.LOPES, Maria Laura M. L. Tratamento da Informação: explorando dados estatísticos e noções de probabilida-de. Rio de Janeiro: Projeto Fundão – IM/UFRJ, 1997.LORENZATO, Sérgio. Educação Infantil e percepção matemática. Campinas, SP: Autores Associados, 2006: 24. (Coleção Formação de Professores).MAÇADA, Débora Laurino. As etapas da Seriação. Disponível em: penta2.ufrgs.br/edu/debora/plano.htm. Acesso em 28/10/2008.MACEDO, Lino. Ensaios Construtivistas. 3.ed. São Paulo: Casa do Psicólogo, 1991. MARZANO, Robert; PICKERING, Debra J.; POLLOCK, Jane E. O ensino que funciona: estratégias baseadas em evidências para melhorar o desempenho dos alunos. Porto Alegre: Artmed, 2008.MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Cur-riculares Nacionais. Brasília, 1998. (1º, 2º, 3º e 4º Ciclos – Matemática).MIRANDA, Marília Gouvea. “Pedagogias Psicológicas e Reforma Educacional”. In: DUARTE, Newton (org.) Sobre o construtivismo: contribuições a uma análise crítica. Campinas: Autores Associados, 2000. (Coleção: Polêmicas do nosso tempo).NETO, E. R. Didática da Matemática. São Paulo: Ática, 2002.RABELO, E. H.; LORENZATO, S. A. Ensino de Matemática: reflexões para uma aprendizagem significativa. Revista Zetetiké, Campinas, ano 2, n.2, 1994: 37-46.OLIVEIRA, Marta Kohl de. Aprendizado e Desenvolvimento: um processo sócio-histórico. São Paulo: Editora Scipione, 1997: 18-24.PALANGANA, Isilda Campaner. Desenvolvimento e aprendizagem em Piaget e Vygotsky: a relevância do social. 3.ed. São Paulo, Summus, 2001.PAPERT, S. Mindstorms: children, computers and powerful ideas. New York: Basic Books, 1980. Traduzido para o Português como Logo: computadores e educação. São Paulo: Editora Brasiliense, 1985. PARRA, C.; SAIZ, I. (orgs). Didática da Matemática: Reflexões Psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Mé-dicas, 1996: 41.

56PERRENOUD, Philippe. Dez novas competências para ensinar. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 2000.PIAGET, Jean. Seis Estudos de Psicologia. 24. ed. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1999.––––––. A equilibração das estruturas cognitivas. Rio de Janeiro Zahar, 1975.POLYA, J. How to solve it. Pricenton: Pricentos University Press, 1945. 2.ed., 1973. (Trad. cast. da segunda edição: Cómo plantear y resolver problemas. México: Trillas, 1981)POZO, Juan Ignacio (org.). A Solução de Problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Ale-gre: Artmed, 1998.––––––. & ANGÓN, Yolanda Postigo. “A solução de problemas como conteúdo procedimental da Educação Básica”. In: POZO, Juan Ignacio (org.). A Solução de Problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998: 139-175.REGO, Tereza Cristina. Vygotsky: uma perspectiva histórico-cultural da educação. 14.ed. Petrópolis: Vozes, 2002.SILVA, Marcelo Carlos. O desenvolvimento da competência aritmética. Disponível em: http://www.psicolo-gia.com.pt. Acesso: 11/11/2008.

Sites pesquisados em 2�/11/2008 referentes às figuras da unidade IV - tópico 4.4

1 - http://i105.photobucket.com/albums/m223/phil_mws/diagrama.jpg2 - http://i105.photobucket.com/albums/m223/phil_mws/diagrama.jpg3 - http://www.inca.gov.br/inca/relatorios/rel_2000/diagrama_competencias.gif4 - www.zats.com.br/industrias.php5 - www.grafikas.es/ejemplos/pictogramas.htm6 - http://www.cidadedoslogos.com/images/news/pictogramas_beijing.jpg7 - http://shw.nandapozza.fotopages.com/12381256/Minha-vida-em-pictogramas-by-Will.html8 - http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Zeichen_350.svg9 - http://www.saude.ba.gov.br/rbsp/volume29-n2/imagens/Cartograma_02.tif0.JPG10 - http://www.aids.gov.br/c-geral/ong/item023.jpg11 - http://www.geografia.fflch.usp.br/inferior/mapas_mapoteca.htm12 - http://4pilares.zi-yu.com/wp-content/uploads/2008/05/diagrama-de-arvore_espessura-2.png13 - http://educar.sc.usp.br/matematica/m3p1t3.htm14 – http://educar.sc.usp.br/matematica/m3p1t3.htm15 - http://stat2.med.up.pt/cursop/glossario/gbarras1.gif16 - http://www.criarweb.com/artigos/images/exemplo_grafico.gif17 - http://img0.gmodules.com/ig/modules/line-chart.png18 - http://gchartjava.googlecode.com/svn/trunk/img/LineChartTest.test0.png19 - http://www.faap.br/revista_faap/rel_internacionais/images/image011.gif20 http://www.fiepr.org.br/fiepr/energia/eficientizacao/componentelivre2657.shtml?webpContentPid=265821 - http://www.lugli.org/2008/02/22/grafico-de-setores-pizza/