Metodos numericos

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Text of Metodos numericos

  • 1. Mtodos numricos
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node1.html" 1. Introduccin
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node2.html" 2. Errores
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node3.html" 2.1 Definiciones
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node4.html" 2.2 Dgitos significativos
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node5.html" 2.3 Propagacin de errores
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node6.html" 2.4 Ejercicios adicionales
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node7.html" 3. Aritmtica de computadores
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node8.html" 3.1 Aritmtica de punto fijo
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node9.html" 3.2 Nmeros en punto flotante
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node10.html" 3.2.1 Notacin cientfica normalizada
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node11.html" 3.2.2 Representacin de los nmeros en punto flotante
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node12.html" 3.3 Aritmtica de punto flotante
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node13.html" 3.3.1 Nmeros de mquina aproximados
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node14.html" 3.3.2 Las operaciones bsicas
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node15.html" 3.4 Desbordamiento por exceso y desbordamiento por defecto
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node16.html" 3.5 Condicionamiento y estabilidad
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node17.html" 4. Clculo de races de ecuaciones
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node18.html" 4.1 Mtodo de la biseccin
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node19.html" 4.2 Mtodo de las aproximaciones sucesivas
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node20.html" 4.3 Mtodo de Newton
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node21.html" 4.4 Mtodo de la secante
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node22.html" 4.5 Mtodo de Steffensen
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node23.html" 4.6 Mtodo de la falsa posicin
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node24.html" 5. Puntos fijos e iteracin funcional
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node25.html" 6. Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node26.html" 6.1 Mtodos de resolucin exacta
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node27.html" 6.1.1 Sistemasfcilesde resolver
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node28.html" 6.1.2 La factorizacin LU
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node29.html" 6.1.3 Eliminacin gaussiana bsica
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node30.html" 6.1.4 Mtodo de Gauss-Jordan
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node31.html" 6.1.5 Pivoteo
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node32.html" 6.2 Mtodos iterativos
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node33.html" 6.2.1 Conceptos bsicos
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node34.html" 6.2.2 Mtodo de Richardson
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node35.html" 6.2.3 Mtodo de Jacobi
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node36.html" 6.2.4 Mtodo de Gauss-Seidel
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node37.html" 7. Interpolacin
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node38.html" 7.1 Polinomios de interpolacin de Lagrange
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node39.html" 7.2 Interpolacin de splines
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node40.html" 7.3 Splines cbicos
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node41.html" 8. Integracin numrica
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node42.html" 8.1 Integracin va interpolacin polinomial
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node43.html" 8.2 Regla del trapecio
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node44.html" 8.3 Regla de Simpson
    HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/node45.html" About this document ...
    Wladimiro Diaz Villanueva
    1. Introduccin
    La ciencia y la tecnologa describen los fenmenos reales mediante modelos matemticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento ms profundo del fenmeno, as como de su evolucin futura. La matemtica aplicada es la rama de las matemticas que se dedica a buscar y aplicar las herramientas ms adecuadas a los problemas basados en estos modelos. Desafortunadamente, no siempre es posible aplicar mtodos analticos clsicos por diferentes razones:
    No se adecan al modelo concreto.
    Su aplicacin resulta excesivamente compleja.
    La solucin formal es tan complicada que hace imposible cualquier interpretacin posterior.
    Simplemente no existen mtodos analticos capaces de proporcionar soluciones al problema.
    En estos casos son tiles las tcnicas numricas, que mediante una labor de clculo ms o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son siempre numrica. El importante esfuerzo de clculo que implica la mayora de estos mtodos hace que su uso est ntimamente ligado al empleo de computadores. De hecho, sin el desarrollo que se ha producido en el campo de la informtica resultara difcilmente imaginable el nivel actual de utilizacin de las tcnicas numricas en mbitos cada da ms diversos HYPERLINK "http://www.uv.es/diaz/mn/footnode.html" l "foot2981" 1.
    2. Errores
    El concepto de error es consustancial con el clculo numrico. En todos los problemas es fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el grado de aproximacin de la solucin que se obtiene.
    Los errores asociados a todo clculo numrico tienen su origen en dos grandes factores:
    Aquellos que son inherentes a la formulacin del problema.
    Los que son consecuencia del mtodo empleado para encontrar la solucin del problema.
    Dentro del grupo de los primeros, se incluyen aquellos en los que la definicin matemtica del problema es slo una aproximacin a la situacin fsica real. Estos errores son normalmente despreciables; por ejemplo, el que se comete al obviar los efectos relativistas en la solucin de un problema de mecnica clsica. En aquellos casos en que estos errores no son realmente despreciables, nuestra solucin ser poco precisa independientemente de la precisin empleada para encontrar las soluciones numricas.
    Otra fuente de este tipo de errores tiene su origen en la imprecisin de los datos fsicos: constantes fsicas y datos empricos. En el caso de errores en la medida de los datos empricos y teniendo en cuenta su carcter generalmente aleatorio, su tratamiento analtico es especialmente complejo pero imprescindible para contrastar el resultado obtenido computacional-mente.
    En lo que se refiere al segundo tipo de error (error computacional), tres son sus fuentes principales:
    1.
    Equivocaciones en la realizacin de las operaciones (errores de bulto). Esta fuente de error es bien conocida por cualquiera que haya realizado clculos manualmente o empleando una calculadora. El empleo de computadores ha reducido enormemente la probabilidad de que este tipo de errores se produzcan. Sin embargo, no es despreciable la probabilidad de que el programador cometa uno de estos errores (calculando correctamente el resultado errneo). Ms an, la presencia debugsno detectados en el compilador o en el software del sistema no es inusual. Cuando no resulta posible verificar que la solucin calculada es razonablemente correcta, la probabilidad de que se haya cometido un error de bulto no puede ser ignorada. Sin embargo, no es esta la fuente de error que ms nos va a preocupar.
    2.
    El error causado por resolver el problema no como se ha formulado, sino mediante algn tipo de aproximacin. Generalmente est causado por la sustitucin de uninfinito(sumatorio o integracin) o uninfinitesimal(diferenciacin) por una aproximacin finita. Algunos ejemplos son:
    El clculo de una funcin elemental (por ejemplo, Senox) empleando slontrminos de los infinitos que constituyen la expansin en serie de Taylor.
    Aproximacin de la integral de una funcin por una suma finita de los valores de la funcin, como la empleada en la regla del trapezoide.
    Resolucin de una ecuacin diferencial reemplazando las derivadas por una aproximacin (diferencias finitas).
    Solucin de la ecuacinf(x) = 0 por el mtodo de Newton-Raphson: proceso iterativo que, en general, converge slo cuando el nmero de iteraciones tiende a infinito.
    Denominaremos a este error, en todas sus formas, comoerror por truncamiento, ya que resulta de truncar un proceso infinito para obtener un proceso finito. Obviamente, estamos interesados en estimar, o al menos acotar, este error en cualquier procedimiento numrico.
    3.
    Por ltimo, la otra fuente de error de importancia es aquella que tiene su origen en el hecho de que los clculos aritmticos no pueden realizarse con precisin ilimitada. Muchos nmeros requieren infinitos decimales para ser representados correctamente, sin embargo, para operar con ellos es necesario redondearlos. Incluso en el caso en que un nmero pueda representarse exactamente, algunas operaciones aritmticas pueden dar lugar a la aparicin de errores (las divisiones pueden producir nmeros que deben ser redondeados y las multiplicaciones dar lugar a ms dgitos de los que se pueden almacenar). El error que se introduce al redondear un nmero se denominaerror de redondeo.
    2.1 Definiciones
    Ahora que disponemos de una idea correcta de qu es el error y de cual es su origen, podemos formalizar el concepto de error. Generalmente, no conocemos el valor de una cierta magnitudy hemos de conformarnos con un valor aproximadox. Para estimar la magnitud de este error necesitamos dos definiciones bsicas:
    Error absoluto
    dex:
    (1)
    Error relativo
    dex:
    (2)
    En la prctica, se emplea la expresin:
    (3)
    En general, no conocemos el valor de este error, ya que no es habitual disponer del valor exacto de la magnitud, sino slo de una acotacin de su valor, esto es, un nmero, tal que:
    (4)
    o bien:
    (5)
    De acuerdo con este formalismo, tenemos que un numero se representar del siguiente modo:
    =(6)=(7)
    2.2 Dgi