r:r:

r

r

r

rr

,(

RHYCARDO DE PAULA

MODELAGEM MATEMÁTICA UMA PRÁTICA NOCURSO DE ENGENHARIA CIVIL

Monografia apresentada como requisito parcialpara a obtenção do grau de Especialista emMatemática: dimensões teórico - metodológicasOrientadora: Prol" Ms. Marlene PerezUniversidade Estadual de Ponta Grossa.

PONTA GROSSA

2003

RHYCARDO DE PAULAr

MODELAGEM MATEMÁTICA UMA PRÁTICA NOCURSO DE ENGENHARIA CIVIL

Monografia apresentada como requisito parcialpara a obtenção do grau de Especialista emMatemática: dimensões teórico - metodológicasOrientadora: Prof' Ms. Marlene PerezUniversidade Estadual de Ponta Grossa.

r-r>

PONTA GROSSA

2003

"Modelar uma estátua e dar-lhe vida é belo.Modelar uma inteligência e dar-lhe verdade é sublime.

Só a sabedoria divina poderia substituir comvasta e igual clareza todas as vacilantes imaginaçõesda sabedoria. Pitágoras, Epicuro, Sócrates, Platão sãoraios de luz; Cristo é o dia.

A verdade é alimento como o trigo.Os velhos têm necessidade de afeto como o sol ".

VICTOR HUGO

li

AGRADECIMENTOS

r

Aos familiares pelo incentivo, compreensão e apoio em todos os momentos;

Ao chefe do Departamento de Engenharia Civil, professor Luis Antônio Krelling ecoordenador professor Lúcio Marcos de Geus pela disponibilidade de espaço, equipamentos emateriais complementares.

Em especial ao professor Vivente C. Campiteli pelo auxílio e conhecimento dedicado e ao--funcionário Paulo, do Laboratório de Materiais de Construção.

Aos acadêmicos do primeiro ano do curso de Engenharia Civil d universidade Estadual dePonta Grossa pela participação e enriquecimento dos trabalhos

A professora Marlene Perez, pela amizade, compreensão, empenho e serenidade na orientaçãorealizada.

\11

r-

r

SUMÁRIO

RESUMO v

INTRODUÇÃO 01

CAPÍTULO I - A ENGENHARIA E O ENSINO APRENDIZAGEM NO CURSO

SUPERIOR 04

1.1 BREVE HISTÓRICO DA ENGENHARIA. 06

1.2 BREVE HISTÓRICO DO CURSO DE ENGENHARIA NO BRASIL. 08

1.3 BREVE HISTÓRICO DO CURSO DE ENGENHARIA EM PONTA GROSSA. l O

CAPÍTULo fi - MODELAGEM MATEMÁTICA E SUAS UTILIDADES 15

2.1 APLICAÇÕES DA MODELAGEM COMO INSTRUMENTO NAS CIÊNCIAS 15

2.2 MODELO MATEMÁ TICO 17

2.3 MODELAGEM MATEMÁ TICA 22

CAPÍTULo m - APLICAÇÃO DA METODOLOGIA DA MODELAGEM

MATEMÁTICA 36

CONSIDERAÇÕES FINAIS 71

ANEXOS 73

REFERÊNCIAS BffiLIOGRÁFICAS 82

IV

RESUMO

Na condição ainda de acadêmico do curso de Engenharia Civil..fr:::versas com outros,possibilitaram constatar que o curso necessita de uma prática e até uma reformulaçãometodológica no ensino de matemática que possa contribuiy levando o acadêmico adesenvolver a capacidade de interpretar e analisar as situações que se deparará no decorrer dasua vida acadêmica e na futura vida profissional. A resolução de problemas em quase todos osníveis do ensino e até mesmo no ensino superior aborda as características do ensinotradicional, professor detentor de todo conhecimento conduz a aprendizagem dando maiorimportância à linguagem do simbolismo, o exagero de exercícios, considerando a repetição eresultados exatos essenciais, deixando para segundo plano as discussões. Considerando oconteúdo principal fator que determina o problema a ser estudado. As aulas de matemática setomam cansativas e desestimulant , deixando de lado a busca do conhecimento, o processo depesquisa e a verdade sobre a utilização dos conteúdos. A partir daí esta monografia vematravés de urna prática desenvolvida com os acadêmicos do primeiro ano do curso deEngenharia Civil da Universidade Estadual de Ponta Grossa com o propósito de aumentar ointeresse do acadêmico de Engenharia Civil pela matemática nos anos iniciais, utilizando aModelagem Matemática como alternativa metodológica. O Capítulo I é destinado a partehistórica Engenharia e reflexões sobre o ensino aprendizagem no curso superior. No CapítuloII direciona o estudo para o Modelo Matemático, Modelagem temática e também aimportância dos modelos desenvolvidos pelos computadores melhorando a qualidade de vida.Já no Capítulo Ill é o momento da prática, discussão e comparação dos dados e modeloselaborados pelos acadêmicos, após a modelagem.palavras- chave: modelagem matemática; modelo; ensino aprendizagem.

v

/ INTRODUÇÃO

r:

A incorporação do aluno à universidade lhe proporciona novas responsabilidades,

saindo da condição de adolescente para o de adulto. É um período delicado que merece

cuidado especial, pois muitas vezes o vestibulando é de algum modo influenciado pelos

familiares e não tem idéia dos conteúdos que estudará e ainda menos a sua aplicabilidade na

vida profissional. Essa falha vem do ensino médio, pois tem o papel de orientar os alunos,

mostrando as várias possibilidades e áreas de estudo e trabalho para o futuro.

Nesse período de ensino poder-se-ia estabelecer novas vias de acesso ao

conhecimento. Saindo do ensino formal, levando o aluno a situações práticas formalizando

conscientemente o conteúdo trabalhado. A partir daí as diferenças individuais de cada aluno

seriam avaliadas, proporcionando um direcionamento de suas tendências para áreas

especificas do ensino técnico ou superior. Infelizmente o jovem vem acostumado com as

fórmulas e definições decoradas e não compreendidos e acaba por ingressar na universidade.

A universidade é o local onde a pesquisa e compreensões dos conceitos devem ser

trabalhadas. A pesquisa de maneira geral, não apenas em nível de iniciação cientifica e pós-

graduação, mas sim a pesquisa diária, acadêmica, na busca do porque de cada conteúdo que

lhe é transmitido.

O momento é específico para o posicionamento e coordenação do professor

universitário buscando a melhora do processo ensino aprendizagem, colocando à frente toda a

sua visão e bom senso, pois sabe que as ementas são muito pesadas, principalmente com

relação a grande quantidade de conteúdo especifico que exigem do aluno, evitando

comentários do porque e para que destes conteúdos. Levando a desmotivação e desorientação

quanto a sua posição no esquema acadêmico e futuras disciplinas, além de atribuições futuras

como profissional.

Devido a isso, o presente estudo tem como tema central uma proposta metodológica

para o ensino da matemática, resgatando o interesse do acadêmico através de uma prática

valorizando a interdisciplinaridade no curso de Engenharia Civil da Universidade Estadual de

Ponta Grossa, apoiado na essência do método da Modelagem Matemática, analisando suas

origens nas aplicações de matemática .

...J

2

A pesquisa realizada é de cunho qualitativo com apoio em materiais bibliográficos e

um estudo de caso que tem por objetivos:

- orientar o acadêmico no esquema universitário quanto às futuras disciplinas e

atribuições como profissional na engenharia civil;

- dinamizar o estudo da matemática no curso de Engenharia Civil através da

Metodologia da Modelagem Matemática;

Com esta pesquisa, pretende-se um amadurecimento pedagógico, bem como a busca

de uma metodologia de ensino alternativa para o trabalho com a Matemática no Curso

Superior, que possa contribuir para a formação do acadêmico no Curso de Engenharia Civil.

Buscando possibilidades e reflexões sobre as condições do ensino universitário a nível local.

A partir de interrogações: Como está sendo trabalhada a matemática nos anos iniciais dos

cursos superiores? Precisa-se de uma inter ligação entre as disciplinas? O que deveria ser feito

para melhorar? A modelagem seria a metodologia mais indicada para essas situações?

Para tanto, procedeu-se a um levantamento e estudo de publicações existentes,

relacionadas com o tema, como: livros, revistas e artigos na internet. A pesquisa bibliográfica

fez-se necessária para a estruturação teórica e construção de modelos matemáticos.

Foram elaborados questionários com a finalidade de melhor conhecer os alunos do 10

ano do Curso de Engenharia Civil da UEPG a fim de aplicar a prática de Modelagem

Matemática, para posterior analise dos modelos elaborados.

Percorremos o seguinte caminho metodológico:

- levantamento do histórico da trajetória do Curso de Engenharia Civil, principalmente

como se constituiu o curso em Ponta Grossa e como se formou o quadro de

professores, que deu forma ao primeiro capítulo do trabalho.

estudo das publicações sobre Modelos e Modelagem Matemática que oportunizou

e deu sustentação teórica ao desenvolvimento do trabalho, o que constitui o

segundo capítulo.

realização de questionário no início para estabelecer um diálogo com os

acadêmicos(futuros engenheiros), sobre as áreas de atuação, expectativas futuras

quanto ao mercado de trabalho e no final do trabalho servindo como material

didático no encaminhamento das atividades.

r

3

Procurou-se, nesse contato, induzir a escolha do tema a ser trabalhado e para tanto nos

apoiamos em BURAK (1998, p.32) "o professor é apenas mediador, cuja principal finalidade

é despertar o conhecimento que o aluno possui".

O relato da experiência realizada encontra-se no terceiro capítulo.

r

CAPÍTULO I - A ENGENHARIA E O ENSINO APRENDIZAGEM NO CURSO

SUPERIOR~ ~~(r" ..- ---

O ensino superior é sem dúvida muito importante para o crescimento em nível pessoal

e principalmente no fortalecimento de um coletivo forte e participativo, na troca de

informações e idéias construtivas. O tempo do aluno passivo e do professor como o único

detentor de todo o conhecimento não pode mais existir. Não há mais espaço para

conhecimentos prontos e acabados e ao professor cabe o papel de mediador do processo de

ensino e aprendizagem. Assim, o ensino superior, está num processo lento de transformação

já que a maioria dos professores do ensino superior não possui uma formação pedagógica.

Mesmo na licenciatura os cursos possuem poucas disciplinas didático pedagógicas. Os

professores "muito preocupados com o domínio de conteúdo, nem sempre conseguem dar,.....r

conta dos aspectos pedagógicos de seu trabalho", diz BERB~2001, p.07). I ~ -J J 'v. /JMesmo os docentes que procuram o aperfeiçoamento através do curso de pós-

graduação, se não optam pela área da educação, não terão uma formação pedagógica.

---------.)O elevado índice de reprovação, principalmente na área de cálculo nas engenharias, se

dá por vários motivos, um dos quais é pela falta de visão dos professores sobre o processo de

ensino e aprendizagem. É fundamental que os professores do ensino superior, tenham uma

formação pedagógica, embora a grande maioria seja formada de engenheiros.

Outro motivo é a avaliação da aprendizagem que é um instante pedagógico "delicado",

pois não envolve apenas a avaliação do acadêmico, mas também o processo de consciência

individual e preparação do professor, que deve sempre buscar o crescimento humano e

profissional do acadêmico. Não deixando escapar a visão a médio e longo prazo, das

conseqüências avaliativas

... é o momento em que nós professores julgamos, é o momento em que podemos definir a

vida acadêmica do aluno. Com nossas atitudes, podemos ter um comportamento que revela

nosso respeito, nosso compromisso ético com a aprendizagem e o crescimento dos alunos, ou

ao contrário, podemos ler comportamentos que revelam arbitrariedades, abusos de poder, uso

de punições, injustiças, protecionismos, falta de consideração e de respeito, que resultam em

prejuízos dos alunos. VASCONCELLOS (2001, p.173). ("

No curso superior, ainda e o docente o soberano ae suas allVIUdUÇ~Ç avauayv...,~. '\J"

acadêmicos, na maioria das universidades não possuem o direito de ver seus erros e quando o

têm, o processo é demorado e na maioria das vezes não possui o acesso direto da avaliação

corrigida,apenas é mostrado em anotações os detalhes das questões que errou. A questão não

é criticar a competência e consciência dos professores, mas resgatar a interação, criatividade e

principalmente a busca das habilidades intelectuais dos acadêmicos. Para isso é necessário um

ensino e uma avaliação que não o prive do exercício de pensar, já que muitas vezes lhe é

cobrada apenas a memorização e isso acaba com uma das etapas do ensino que é o exercício e

o raciocínio.

Pensamos que uma proposta para o ensino e aprendizagem da matemática na

engenharia contribuiria para minimizar os problemas apontados.

A proposta da Modelagem Matemática vem sendo representada no cenário da

Educação Matemática por aproximadamente duas décadas, porém ainda não tem presença

significativa na sala de aula real. Os Educadores Matemáticos que participam de cursos

relativos a esta temática não utilizam esta proposta pedagógica em suas salas de aulas.

Mostram-se inseguros e podem mesmo evitar envolverem-se nas tarefas dos alunos, segundo

BURAK, (1992).

Para compreender parágrafo acima há de se entender a prática docente. A ação do

professor é, em grande parte formada por suas concepções de ~atemática e ensino de

matemática, que vão se construindo ao longo dos anos, mesmo naqueles anteriores à sua.......-CJZ... formação inicial. As concepções orientam o professor num determinado contexto escolar, com

) suas possibilidades e limitações (guias curriculares, livro didático, cultura escolar, pais,

alunos, etc). :A. partir das suas concepções, o professor reflete, e avalia seu trabalho. A

{ profundidade da reflexão dependerá, substancialmente, da história de vida e das experiências

~da professor.

Assim é possível conhecer o caminho percorrido e o ponto em que o ensino superior

se encontra, quanto às suas concepções de ensino e de avaliação matemática. Um dos maiores

"problemas" está quanto à formação de professores e a limitação dos programas de formação,

pois se trata de experiências pontuais das relações entre a concepção e o contexto escolar. Os

professores, por sua vez, podem ser desafiados em suas concepções, pois isto alteraria o

equilíbrio das relações acima apontadas. Entretanto, é possível notar que as concepções não

6

são influenciadas através do discurso, mas da prática matemática, a experiência. E é neste

contexto que se pode propor a Modelagem como desafiadora das concepções já consolidadas.

Com efeito, pode-se levantar algumas atividades possíveis na formação continuada e

colaborativa de professores em relação à Modelagem, segundo BARBOSA (1999): VJ) Desenvolvimento de tarefas de Modelagem pelos professores de modo a emergir os

aspectos importantes do método, como os pressupostos, a necessidade de fazer

aproximações, etc.

2) Estudo de modelos prontos, avaliando sua plausibilidade.

3) Estudo de casos de sala de aula nos quais Modelagem foi usada como abordagem

pedagógica, levando, assim, questões curriculares e colocando bases práticas para a

reflexão.

4) Desenvolvimento de intervenções em sala de aula, com apoio e reflexão de um grupo

colaborativo.

As experiências acima podem levar os professores a se sentirem mais seguros em

relação à modelagem. A modelagem não deve ser apenas vista em caráter científico

. (Matemática Aplicada), mas juntamente com o conhecimento prático na sala de aula. Assim o

professor de nível superior ou não, terá conhecimentos matemáticos e educacionais, aliados

para aplicar seguramente no ambiente escolar.

1.1 BREVE HISTÓRlCO DA ENGENHARlA.:»

A Engenharia é uma atividade tão antiga quanto à própria civilização, no entanto só há

dois séculos passou a ser levada em consideração, quando se verificou que tudo que o homem

construía, instintivamente, era regido por leis matemáticas e científicas.

Na história da engenharia, nos primórdios da civilização, o homem para atravessar

pequenos cursos d'água, pisava em galhos caídos de árvores. Quando houve a necessidade de

travessias maiores, ou seja, de transpor rios mais largos, o homem teve que utilizar árvores

inteiras. Para isso, lançou mão do fogo, súnbolo do começo da civilização, empregado para

aquecer, iluminar e cozinhar alimentos. O fogo foi, então, utilizado como ferramenta; ao

queimar as árvores em sua as fez tombar até a out mar em, surgindo assim a "primeira------------------~~ ------

7

ponte", que foi o passo inicial da aplicação da engenharia; daí em diante o homem chegou a

canoa rudimentar e mais tarde inventou a roda e eixo, descobriu a luz elétrica o rádio, a

televisão, o avião, o computador, etc. para tudo isso usou recursos da engenharia.

C? atual canal de Suez, aberto em 1869 para a ligação do Mediterrâneo ao Mar

Vermelho e que sem dúvida nenhuma é um grande marco da engenharia. Entretanto no tempo

de Seti, cerca de 1380 a.c., os egípcios já haviam construído obra semelhante, um canal

menos estreito e menos fundo, mas que permitia a passagem dos maiores navios da éPoca]

Merecem destaques as antigas obras de irrigação do vale do Nilo e também da Babilônia,

onde se encontram ruínas de represas, canais e aquedutos que terão sido executados por volta

do século VI a.c., ainda no Egito, o templo de Amon em Karnak, terminado em tomo de 980

a.c., ainda a pirâmide de Queóps século XXVII a.c. .

Outras obras famosas da engenharia: a Via Apia (312 a.Cc), construída por Claudius Caecus;)o-e RIo

aqueduto Cláudia, iniciado por Calícula ~36 a.C.) e terminado por Claudius (50a.C.), etc. (:/ di.--- I ""'f~Esses e muitos outros trabalhos importantes de engenharia do passado deixaram o ~

testemunho da habilidade e do conhecimento do homem em tão relevante setor de atividade.

A primeira escola dedicada a engenharia foi instalada em Paris em 1747 e

denominava-se, École des Ponts. Et Caussées. Em 1818 foi fundado em Londres o Instituto de

Engenheiros Civis, cuja finalidade era defender e prestigiar o significado da profissão. Dez?

anos mais tarde, o instituto pleiteou uma carta régia e tanto, precisou adotar uma definição de- --- -engenharia civil, recaindo a escolha a dos fundadores da associação, o famoso especialista em

estruturas de madeira, Thomas Tredgold, tendo o mesmo definido como; Engenharia Civil é a

arte de dirigir as grandes fontes de energia da natureza para uso e conveniência do homem,

pelo aperfeiçoamento dos meios de produção e de transporte, tanto para o comércio interno

quanto para o externo, aplicada às obras de estradas, pontes, aquedutos, canais, navegação

fluvial, docas e armazéns para facilidades de intercâmbio; às construções de portos, moldes,

quebra-mares e faróis; à navegação por meio de energia artificial para fins de comércio; à

construção e adaptação de maquinarias e a drenagem das cidades.

A engenharia civil ampliou seus horizontes a ponto mais abrangentes que àqueles Ja

bem definidos por Tredgold, através de um mundo de experiências e resultados posteriores, e

com o avanço e a modernização da civilização, e por existência do mercado tecnológico,

houve a necessidade da criação de especialistas dentro da área da engenharia civil; como

engenharia elétrica, engenharia mecânica, geologia, engenharia de minas, engenharia

8

cartográfica, engenharia agronômica, engenharia química, engenharia de produção,

engenharia mecatrônica, etc. Como se vê a engenharia está presente em todos os segmentos

da sociedade e tudo teve inicio com a engenharia civil.

Quem primeiro intitulou-se engenheiro civil foi o inglês John Smeaton (1724-1792)

que cedo se dedicou a estudos de mecânica e astronomia, depois foi fabricante de

instrumentos, muitos dos quais aperfeiçoou, e mais tarde tornou-se responsável pela abertura

de canais, trabalho de drenagens, execução de pontes e pela construção do Farol de

Eddystone, escrevendo em seguida monografias sobre alguns desses serviços.

O legado dos primeiros engenheiros chegou aos dias de hoje com os acréscimos, adaptações e

correções, e irá beneficiar o engenheiro de amanhã, que o aprimorará, para transmiti-lo às

gerações futuras.

1.2 BREVE HISTÓRICO DO CURSO DE ENGENHARIA NO BRASIL.

(

A primeira obra de vulto de engenharia no Brasil foi à cidade de Salvador iniciada em

1549 com a finalidade de tornar-se a sede do governo, trabalho confiado ao mestre português

Luis Dias, que os historiadores consideram o primeiro engenheiro nesta terra.

O ensino de engenharia no Brasil teve início em 1810, na Carta Régia em que D.João

VI, animado pelo ministro da Guerra, o Conde de Linhares, D.Rodrigo de Souza Coutinho,

criou a Academia Real Militar, no Rio de Janeiro. Somente quatro meses depois dessa carta,

já em 1811, a Academia Real Militar foi inaugurada solenemente com a sua primeira aula em

sala da chamada Casa do Trem, na ponta do Calabouço, mais tarde Arsenal de Guerra, onde

hoje funciona o Museu Histórico Nacional. Em 1822, Proclamada a Independência, a

academia passou a obedecer a um plano organizado de ensino, passando a chamar-se

Academia Imperial Militar e, depois, Escola Militar, permitindo o ingresso de civis, em fms

de 1823. Em 1839, alterou-se essa denominação para Escola Militar da Corte, ministrando

cursos para as três armas do exercito, para a engenharia militar e para o estado maior,

voltando a servir apenas aos militares. Entretanto, ante a premente necessidade da formação

de engenheiros civis, a Escola Militar sofreu uma série de reformas. Em 1858, foi baixado um

decreto dando nova organização às escolas militares e criando a Escola Central, destinada ao

ensino das matemáticas e ciências naturais e também ao das noutnnas propnas aa engeunaria

civil.

r

Depois de várias reformas, em 1874 o ensino militar ficou separado do ensino civil, ao

instituir-se a tradicional Escola Politécnica do Rio de Janeiro, no Largo de São Francisco de

Paula, depois Escola Nacional de Engenharia, sendo criado três cursos: de Engenheiros Civis,

de Minas e de Artes e Manufaturas.

A segunda escola de Engenharia do Brasil foi a Escola de Minas de Ouro Preto, criada

em 1876,com o curso de Engenharia de Minas e Metalurgia e, a partir de 1885, com o curso

de Engenheiros Civis. Em 1894 foi fundada a Escola Politécnica de São Paulo; em 1896, a

Escola de Engenharia Mackenzie (São Paulo) e em 1897, as escolas de Engenharia de

Salvador e de Porto Alegre. Logo depois vieram as escolas do Recife (1905), de Belo

Horizonte (1911) e de Itajubá (1973). Antes de 1940, foram ainda fundadas as escolas de

Belém, Juiz de Fora (MG), Curitiba e a Escola Técnica do Exercito [atual Instituto Militar de

Engenharia (RJ)].

Em meados do século XIX, começaram a surgir grandes engenheiros brasileiros, que

de um modo geral, iniciaram a vida profissional ou dela aplicarem bom tempo no setor

ferroviário, devido a expansão do país. Mariano Procópio, Marcelino Ramos, André

Rebouças, os irmãos Francisco e Honório Bicalho, Pereira Passos, Paulo de Frontin, Pandiá

Calógeras, Sampaio Correia, Carlos Sampaio, Vieira Souto, Gabriel Osório de Almeida e

outros.

Em outras especializações foram surgindo novos profissionais da engenharia

brasileira, alguns nomes de destaque como: Cristiano Ottoni (estrada de ferro), Alfredo

Lisboa (portos), Francisco de Brito (saneamento), Luis Felipe Gonzaga de Campos

(geologia), J.1. Queiras Jr. (metalurgia), Luis Augusto da Silva (obras contra as secas) e

Emílio Baurngart (concreto armado) e tanto outros que recentemente se destacam no cenário

nacional da engenharia.

r

r

r:

rr

10

1.3 BREVE HISTÓRICO DO CURSO DE ENGENHARIA EM PONTA GROSSA

*No ano de 1973, durante a gestão do Reitor de Assuntos Acadêmicos Prof. João---Lubczyk e com a Prof' Adelaide Chamma na Chefia do Setor de Ciências Exatas e Naturais,

discutiu-se a implantação de um curso da área de Engenharia na Universidade Estadual de

Ponta Grossa. A primeira opção era pela Engenharia Cartográfica, porém, no final do

processo, decidiu-se pelo curso de Engenharia Civil.

Criado através da Resolução N° 15, de 14 de dezembro de 1973, dentro do sistema semestral

de créditos então em vigor na Universidade Estadual de Ponta Grossa, o Curso de Engenharia

Civil teve seu primeiro vestibular em janeiro de 1974, com 60 vagas, sendo as aulas iniciadas

em março do mesmo ano.

Em 1975, com a oferta de disciplinas específicas, a serem ministradas por engenheiros

civis, o ingresso desses profissionais no corpo docente do curso deu origem ao grupo que

constituiria o Departamento de Engenharia, criado no ano seguinte, pela resolução R.SC/015,

de 31 de dezembro de 1975, vinculado ao Setor de Ciências Exatas e Naturais.

A formação do Departamento de Engenharia com engenheiros e arquitetos enfrentou

as dificuldades naturais do inicio, motivadas pelo pequeno número de profissionais

capacitados e disponíveis para ingressar na carreira do magistério superior. A maioria dos

docentes contratados na época era de engenheiros que trabalhavam em Ponta Grossa.

A fim de viabilizar o funcionamento de algumas disciplinas profissionais, em 1975

foram instalados no Laboratório Boa Vista - em caráter provisório - os laboratórios de

Matérias de Construção, Mecânica dos Solos e Pavimentação, Hidráulica e Mecânica dos

Fluidos.

O credenciamento do Curso pelo Ministério da Educação, por ocasião da Formatura da

primeira turma, ocorreu em 1978, com a vistoria de um perito, o professor engenheiro Dr.

Hernani Sávio Sobral, da Universidade Federal da Bahia. Nessa ocasião, além da exigência de

que as instalações, laboratórios e biblioteca fossem adequadas às necessidades do cursofs

professores deveriam apresentar currículos comprobatórios de experiências acadêmica e

profissional ou formação em nível de pós-graduação. Na época, alguns professores da

Universidade Federal do Paraná ministravam aulas no Curso da Universidade, como

convidados.

11

o Curso de Engenharia Civil foi reconhecido pelo Decreto N° 82.190, de 29 de agosto

de 1978 - Diário Oficial da União de 30 de agosto de 1978, assim os primeiros Engenheiros

Civis formados pelo Curso estavam credenciados a receber seu diploma e com ele obter seu

registro no CREA (Conselho Regional de Engenharia e Arquitetura), podendo assim ingressar

no exercício da profissão.

Com o reconhecimento do Curso pelo MEC (Ministério de Educação e Cultura), o

Departamento de Engenharia Civil da Universidade Estadual de Ponta Grossa passou a ter

assento no Conselho Regional de Engenharia, Agronomia e Arquitetura, participando dele

ininterruptamente.

Desde a sua criação em 1976, o Departamento, através de seus docentes, participa

ativamente da administração universitária, seja ocupando cargos seletivos, seja pela ocupação

de funções por convite.

Professores do Curso já ocuparam, desde então, cargos como Reitor da UEPG, Pró-

Reitor, Diretor do Setor, refeito do Campus, Chefe de Divisão, Membro dos Conselhos

Superiores, ocasião em que seus representantes têm demonstrado reconhecida competência.

Com o crescimento da Universidade Estadual de Ponta Grossa, o Campus Central,

situado na Praça Santos Andrade, mostrou-se insuficiente para alojar adequadamente os

cursos já existentes e para viabilizar a instalação de outros. A fim de solucionar o problema,

foi obtido junto a EMBRAPA (Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária), um amplo

terreno no Bairro de Uvaranas, para a construção de novo Campus.

Nessa ocasião, as aulas teóricas do Curso de Engenharia eram ministradas em salas

dos diversos blocos do Campus Central, o que trazia inúmeros inconvenientes a alunos e

professores, pelos repetidos deslocamentos de um a outro bloco. Em vista disso, o

Departamento de Engenharia Civil foi um dos primeiros a ser transferido para o Campus de

Uvaranas.

Os professores do Curso de Engenharia Civil, juntamente com os engenheiros da

Prefeitura do Campus, desenvolveram o projeto do Bloco de Engenharia em padrão

semelhantes ao do Bloco de Agronomia. O Bloco E, que abriga até hoje o Curso de

Engenharia Civil, foi construído em paredes monolíticas de solocimento, no Campus de

Uvaranas. Com essa construção, os laboratórios de Materiais de Construção, de Mecânica dos

Fluidos e Pavimentação, de Hidráulica e Mecânica dos Fluidos e o de Eletrotécnica passaram

a dispor de salas independentes, enquanto o departamento ganhou instalações mais amplas,

12

com salas de colegiado, sala de chefia, sala de reuniões, salas de professores, bem como um

anfiteatro e biblioteca própria. A transferência do Curso e do Departamento de Engenharia

Civil para o Campus efetivou-se em 1988, o que melhorou sensivelmente suas condições de

funcionamento.

Em 1999 e ainda hoje o Corpo Docente do Curso de Engenharia Civil é constituído,

em sua maioria, por engenheiros e arquitetos que ministram preferencialmente disciplinas de

sua área de atuação profissional. A qualificação desses docentes em nível de pós-graduação

teve seu início em 1978, com a realização, em convênio com a Universidade Federal do

Paraná, do Curso de Especialização em Estruturas, envolvendo vários professores do

Departamento.

Nos anos 80, muitos docentes iniciaram cursos em nível de Mestrad s e Doutoradj

esforço esse que vem se intensificando no sentido de qualificar todo o quadro. Atualmente o

Departamento conta com 04 doutores, 06 mestres, sendo 02 doutorandos, 06 mestrandos e 10

especialistas. Graças a isso, tem sido possível a oferta de cursos de pós-graduação em nível de

especialização, como é o caso do curso de Especialização em Gestão Ambiental, ofertado

desde 1998.

o Departamento participa ainda do curso de Mestrado em Saúde Pública, promovido

pela universidade, com disciplinas relativas à área de meio ambiente e saneamento básico,

bem como desenvolve ações no sentido de contribuir com a orientação de acadêmicos e oferta

de disciplinas num curso de Mestrado e Doutorado em Engenharia Civil, organizado pela

.Universidade Federal do Paraná, a partir do ano 2000. No âmbito institucional, foi decisiva a

.participação do Departamento de Engenharia Civil

~o do Curso de Engenharia de Materiais, desde a sua idealização até seu

reconhecimento pelo ME e igual importância tem sido a colaboração do Departamento no

recente processo de implantação do Curso de Engenharia de Alimentos.

A partir de 1990, o Curso de Engenharia Civil teve seu currículo alterado, passando do

regime de créditos para o regime seriado anual, conforme decisão dos Conselhos Superiores

da Universidade Estadual de Ponta Grossa. Dentro de novas sistemáticas, os acadêmicos

passaram a ter aulas em turnos alterados: a 1a, 3a e 5a séries predominantemente pela manhã,

e a 2a e 4a séries, à tarde. Essa alteração permitiu aos alunos períodos livres para

desenvolverem outras atividades, inclusive estágios em empresas de engenharia, o que tem

contribuído positivamente em sua formação profissional.

-

13

Também com o objetivo de aprimorar a qualidade dos alunos, o Colegiado de Curso

incluiu, no seu currículo da 1a série, a disciplina "Introdução à Engenharia Civil", através da

qual o acadêmico toma conhecimento de como deverá ser sua atuação nas disciplinas

profissionalizantes do Curso e, mais tarde como engenheiro, nas mais diversas áreas de

atuação profissional.

Outra melhoria curricular foi a criação, na última séries do curso, de uma atividade

denominada "Trabalho de Conclusão de Curso", em que o acadêmico desenvolve um trabalho

de caráter profissional sob orientação de um docente da área de sua escolha, visando dar ao

futuro engenheiro uma experiência da realidade da profissão.

Ainda nessa linha de formação profissional, é significativa a implantação do "Estágio em

tempo integral", quando o acadêmico, durante o último semestre do curso, engaja-se em uma

empresa de engenharia, previamente cadastrada pelo Colegiado, onde atuará

profissionalmente, apresentando relatórios periódicos ao coordenador de Estágio que o

orientará nessa atividade, preparando-o assim para o exercício profissional. Todas essas

iniciativas apresentam resultados e perspectivas positivas na aprendizagem profissional e na

criação de oportunidades de emprego e projetos empresariais.

Como forma de garantir o acesso dos acadêmicos aos avanços da tecnologia, ocorreu a

consolidação do Laboratório de Informática, o que possibilitou o uso intensivo de aplicativos

da área de Engenharia Civil nas atividades curriculares, bem como o desenvolvimento de

vários cursos de extensão, além do aperfeiçoamento de alunos e docentes da Universidade.

Um embrião do futuro Laboratório de Estrutura e de Construção Civil foi implantado,

permitindo que diversos produtos, maquetes e equipamentos sejam colocados à disposição

.dos alunos no desenvolvimento das disciplinas.

Os docentes pós-graduados vêm desenvolvendo pesquisas em áreas específicas como

Hidráulica e Saneamento, Construção Civil e Estruturas, com a participação de acadêmicos

em projetos de Iniciação Científica, tanto com bolsas de estudos pelo programa PIBIC/CNPq-

UEPG, como na condição de voluntários. Os resultados desses trabalhos têm sido

apresentados em diversos eventos e publicados em revista nacionais e estrangeiras, influindo

na melhoria da qualidade do Curso e na valorização dele.

Merecem destaques também as ações extensionistas do Departamento de Engenharia

Civil, como é o caso dos convênios com a Sanepar, para a preservação de mananciais e a

formação do Eco-Museu do Saneamento, além do projeto desenvolvido por acadêmicos no

14

Distrito de Itaiacoca, na zona rural de Ponta Grossa, através do qual se procura atender às

necessidades básicas de moradia e saúde da população local. Soma-se a essas atividades a

prestação de serviços à comunidade, particularmente pelo Laboratório de Materiais de

Construção, com ensaios e serviços de tecnologia de concretos e argamassas e pelo

Laboratório de Mecânica dos Solos e de Pavimentação, na realização de estudos geotécnicos

utilizados nos projetos de pavimentação.

É também relevante a participação do Departamento no NUCLEAM - Núcleo de

Estudos em Meio Ambiente - atuando no desenvolvimento de estudos, projetos e pesquisas

em parcerias com outros departamentos da UEPG.

-Leis de Newton aplicadas aos movimentos da atmosfera. As equações aplicadas são chamadas

r

de modelos numérico~~

••--

/16

Os modelos devem conter variáveis representando os fenômenos que acontecem na

atmosfera, os processos de formação de nuvens, chuvas, ventos e também a diferenciação

de condições dos mares, continentes, solos e vegetações. O objetivo da modelagem é alcançar

previsões cada vez mais confiáveis e de rápido acesso para a população e assim auxiliar no

planejamento dos governos, alertando e evitando possíveis catástrofes.

Em entrevista, E ,comenta a respeito da saúde pública, e a importância

da modelagem e sua aplicação na epidemologia, sendo um dos seus ramos a área da vigilância

/ sanitária. Procurando responder perguntas como: qual a cobertura vacinal necessária para o

controle das doenças imunizáveis? em que grupos de risco devem concentrar nossos---esforços? qual a densidade de mosquitos necessários para viabilizar a transmissão da dengue?-quais são as combinações de fatores ambientais que predispõe ao aparecimento de quadros~

respiratórios? entre outras (2002, p.l). ~-- ~----A interação da biologia à matemática e a ciência da computação possibilita o melhor--- .-acompanhamento dos programas de controle de doenças infecciosas. Como exemplo tem-se a

malária, onde modelos tentam demonstrar que o uso de inseticidas, de vetores, e de vacinas

7 alisando aquele que seria o modo mais eficaz para o controle da doença.~

O professor Y AN , do Departamento de Matemática Aplicada do Instituto e~

matemática, Estatística e Computação Científica da UNICAMP, comenta que "devido as...•

o

capacidades preditiva e comparativa, os modelos matemáticos estão ocupando uma posição

muito importante na epidemologia contemporânea" (2002, p.4)..:»:

Analisando a utilidade da modelagem matemática na questão da produtividade,

TAU~ diz: "O uso da matemática em administração, economia, sociologia, engenharias e

ciências são reconhecidas como necessárias. Nem por isso os profissionais dessas áreas

deixam de se valerem da experiência e da intuição profissional para analisar seus problemas"

(2002, p.l).

A matemática é sem dúvida conhecimento fundamental para o desenvolvimento do

modelo, mas não se pode dizer que é o único. Ela é precedida de elementos importantes, como

o perfeito conhecimento do problema a ser trabalhado, a maneira de operar e os passos na

evolução dos trabalhos da empresa atuante. O conhecimento profissional é essencial para

analisar os problemas e saber assim utilizar e aplicar da melhor maneira os conhecimentos

utilizando corretamente os conceitos matemáticos.

17/

J

I

Outro ramo que vem utilizando a modelagem matemática é a pesca marítima. Segundo

PETREN§.. IR., para fazer modelagem matemática e manejar estoques pesqueiros afetados

pela sobrepesca são importantes considerar os dados de captura e esforço de pesca, ou seja

tudo o que é investido em termos de trabalho para capturar o peixe (número de barcos

operando na frota, quantidade de combustível) (1999,p.2).

As questões da captura infelizmente no Brasil têm graves problemas na coleta desses

dados, por se tratar de um sistema incerto e desorganizado de coleta. Pois quando no

desembarque é necessário tomar dados, como o comprimento e peso dos peixes capturados.

Com esses modelos alimentados pelos dados conseguidos por especialistas das várias áreas, é

possível realizar testes e melhorar cada vez mais os modelos, entendendo as interações entre

variáveis envolvidas no processo.

O modelo matemático é a essência de um trabalho, que não é criado de uma hora para

outra, existe todo um processo. Os educadores dizem que o Modelo de ensino atual não está

correto, e que é preciso melhorá-lol A partir desta frase é possível ter uma noção de Modelo.

Para chegar a este modelo educacional foi necessário um período anterior de construção que

se pode chamar de Modelagem.

2.2. MODELO MATEMÁTICO

É possível encontrar Modelos nos primeiros estudos matemáticos quando se referiam a

funções, números naturais, conjuntos e outros. Nos dias de hoje o termo Modelo Matemático

é amplamente utilizado no meio acadêmico. Do ponto de vista da pesquisa é muito importante

analisar a categoria a que pertence o modelo, entre a pesquisa qualitativa e a pesquisa

quantitativa.

----- SCHOBER, diz que o sucesso de um modelo matemático resulta da capacidade de--representar e manipular o conhecimento qualitativo e quantitativo das variáveis envolvidas e

as formas de interação entre elas. Por isso a modelagem é um método de resolução de

problemas multidisciplinar, que exige o trabalho conjunto de engenheiros, matemáticos,

economistas, biólogos e outros (2 2, p.3).

A análise de todas as variáveis seria ideal para testar a validade do modelo? No meio

científico ocorre que muitas variáveis são propositadamente ignoradas, como estabelece

18

PARAÍBA pesquisador da Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (Embrapa)/Meio

Ambiente. O importante é que sejam utilizados nos modelos os fatores que realmente

interessam. Com esses modelos, alimentados pelos dados conseguidos por especialistas das

várias áreas, é possível realizar testes (experimentos). Os modelos são observados para ver se

há uma correspondência com a realidade. Se houver, significa que o modelo está coerente. Se

não, ele deve ser corrigido. "O modelo é algo dinâmico, simples ou complexo, tem variáveis, •.•.....

que sempre são ignoradas", reforça ARAlBA (2002, p.2j !('dV COIJJ~a.Desconsiderando algumas variáveis não quer dizer que o modelo está incompleto. Na

formulação de um modelo matemático é importante a escolha de variáveis ou parâmetros

relevantes para o fenômeno em estudo, obedecendo sempre a mesma linha de raciocínio pelas

variáveis escolhidas. Infelizmente alguns modelos são tão complicados de resolver

manualmente que é necessário o uso de computadores. A importância na escolha das

primeiras hipóteses é fundamental pois se não forem pelo menos razoáveis, os computadores

poderão extrair dados ou informações erradas comprometendo o modelo. Confirma-se que o

computador nada acrescenta de novo, e os fenômenos e seus modelos são dinâmicos e devem

ser bem fundamentados.

Para diversas áreas do conhecimento a palavra modelo apresenta diferentes significados.

Daí vem a importância do pesquisador estar com os objetivos do modelo bem claros, evitando

se comprometer com modelagem quando o modelo não estiver apropriado, ou quando estiver

construindo uma classe errada de modelos SODRÉ (1998, p.6). Para evitar uso incorreto são

considerados dois tipos de modelos, em função do que se espera dele:

Modelos Mecanisticos

Modelos Empíricos

O modelador mecanistico parte das hipóteses, verificando se estas variáveis são

importantes no sistema, quais delas devem ser ignoradas e como elas devem se comportar.

Em seguida o modelo deve ser descrito matematicamente e as hipóteses devem aparecer nas

equações. O experimento testará as suas hipóteses e possivelmente definirá um mecanismo ao

invés de outro. Com a comparação das hipóteses com os dados experimentados é possível

testar a exatidão dos dados algébricos e numéricos desenvolvidos. Apenas com o passar do

tempo é possível verificar que as hipóteses iniciais não eram tão boas quanto se poderia

esperar, aSSllTIocorre uma relutância em mudá-Ia prevendo novamente todo o trabalho e

tempo a ser gasto.

19

o modelador empírico parte da verificação dos dados experimentais, fazendo uma análise

dos dados e tentando fazer alguma suposição inteligente na forma de equações, que poderão

ser utilizadas como modelo matemático. Este método é de abordagem tradicional dos

cientistas ao fazer deduções sobre mecanismos de dados experimentais. Se uma excelente

resposta for obtida usando dados experimentais através da abordagem empírica ela será

valorizada para um mecanismo ou modelo que levará a resposta desejada. Um modelo

empírico redescreve como são os dados e nada diz sobre o que não está nos dados.

Na verdade não existe um espaço bem definido entre os métodos mecanisticos e

empíricos e usualmente ocorre uma mistura entre os dois nos exercícios de modelagem.

Na área da educação matemática, a preparação de uma atividade de modelagem para o

ensino fundamenta1, médio ou universitário, o educador primeiramente no papel de

pesquisador deverá investigar e trabalhar para a construção e desenvolvimento do seu modelo.

Em seguida verá a necessidade ou não de aprimorar seus conhecimentos, no que diz respeito a

sua metodologia, conteúdo e a comunicação entre o aluno e os mecanismos matemáticos que

melhor se adaptam à sua realidade. Pois BIEMBENGUT (1997, p.20) diz que "na ciência, a

noção de modelo é fundamental". Quando BARBOSA (2000, p.53), comenta da relação e

extensão da Matemática Aplicada para a Modelagem Matemática citando os escritores Cross

& Moscardini e Edward & Harnson, fica nítida a sua evolução, tendo inicio pela Matemática

aplicada e científica, cuja metodologia está baseada na restrição das variáveis, visando a

simplificação das expressões matemáticas. Quando alguns elementos da situação real chegam

a ser representados através de objetos matemáticos (gráficos, equações) predizendo ou

representando uma situação, dizemos ser um modelo matemático. Mas, segundo citação de

BARBOSA (2000, p. 54), "o modelo nunca conduz a uma resposta correta, ele é mais geral e

especulativo", resolvendo sim, uma situação que aflige o meio, sem a finalidade obscura de

encontrar o resultado em si, mas sim de levar ao aluno a entender a ferramenta matemática e a

importância de resolver o problema, não apenas matemático, mas também da sua vida diária.

A seguir algumas definições encontradas na literatura consultada, para melhor

entender o conceito de Modelo, na Educação Matemática:

Para BIEMBENGUT, um conjunto de símbolos e relações matemáticas que procura

traduzir, de alguma forma, um fenômeno em questão ou problema de situação real, denomina-

se modelo matemático (1999, p.20).

r-

r0-

r

r

r

JiJr

r (J

r /r

r

r

20

MATOS coloca que:

"Com um modelo procura-se descrever os elementos considerados como fundamentais na

situação, ignorando-se deliberadamente os elementos tidos como secundários. No entanto, na

medida em que um modelo matemático tende a ser uma simplificação útil daquilo que

pretendo descrever, ele simplifica alguns aspectos da realidade de forma a classificar ou

tornar mais salientes outros aspectos. É típica dos bons modelos a tendência para não haver

demasiadas simplificações mas sim para tornar salientes aspectos fundamentais da situação.

(1995, p. 01).

Segundo ~=S~-~ZL,. modelo matemático de um fenômeno, é um conjunto de

símbolos e relações matemáticas que traduzem de alguma forma, o fenômeno em

questão.(,1997, p.65). /- I

Diz BURAK que o processo da modelagem pode ser dividido em cinco etapas, entre

elas tem-se a resolução does) problema(s), essa etapa "amplia o conceito de modelo que

também pode ser entendido como uma representação". (1998, p.32)

Afirma CARRAHER que os modelos matemáticos são instrumentos para encontrar

soluções de problemas onde o significado desempenha um papel fundamental. Os resultados

não são simplesmente números; são indicações de decisões a serem tomadas {... } (1991,

p.146).

Se forem analisados as definições e os pontos de vista sobre modelos estes, não

mudam na sua essência. Biembengut e Burak concordam que as fórmulas, tabelas, diagramas

e gráficos "podem se constituir num modelo", não de elementos matemáticos complexos, mas

sim de elementos próximos dos alunos. Quando Burak compara o modelo matemático à

"apenas uma representação" aí está a diferença entre os modeladores pedagógicos dos

modeladores profissionais. O importante não é apenas o modelo, mas todo o processo e

conteúdos matemáticos que são envolvidos na resolução do problema proposto. Na mesma

intenção BASSANEZI afirma que na tradução do fenômeno estudado as aproximações nem

sempre condizem com a realidade, pois não é o ponto principal do processo.

MAKI E THOMPSON, citados por ANASTÁCIO (1991, p.48), determinam que a

construção de modelos se dá através de várias interações entre os passos na construção do

modelo, através do aperfeiçoamento continuo até chegar a uma aceitável, com o esquema da

figura 01, em que a linha pontilhada indica a versão abreviada do processo que é:

Termos srmOUIlCUS.v rmnrenr+rear=nrrrra=se u ouero materna te

(quantidades reais e processos são substituídos por símbolos e operações

matemáticas);

4- O estudo do sistema matemático resultante pelo uso de técnicas e idéias

matemáticas;

22

5- Comparação dos resultados previstos com base no trabalho matemático e no

mundo real.

2.3 MODELAGEM MATEMÁTICA

A Modelagem Matemática tem se fixado como uma abordagem pedagógica nas

últimas décadas. No passado graças a pesquisadores com espíritos investigadores, que não se

contentavam apenas com hipóteses, utilizavam a matemática como ferramenta na exploração

e melhor compreensão do mundo. Na utilização de expressões numéricas, eliminando a

comodidade das pesquisas embasadas apenas em fatos, temos um dos primeiros defensores da

descrição quantitativa - e educativa- dos fenômenos naturais, o fisico e matemático italiano

Galileu (1564-1642). Considerado o Pai da Ciência Moderna, amparado em provas

experimentais foi capaz de quebrar antigos paradigmas. Após alguns anos se chega aos dias

de hoje, com a educação em um processo de mudanças, e amparados naqueles que com

coragem, observação e prática, mostraram a aplicação da matemática "não apenas em

números, mas sim avaliando a solução encontrada", afirma I arraher. -Sf ~ ~'

A busca de uma indústria com menos perdas, alternativas para a me lhoria da saúde

pública e previsões meteoro lógicas mais precisas, se chega aos Modelos Matemáticos a partir

do processo de construção chamada de Modelagem Matemática.

Para melhor esclarecer o conceito será apresentado a seguir algumas definições

encontradas na literatura consultada:

D' AMBRÓSIO (1986" p.31), define Modelagem Matemática através do seguinte

esquema:

23

Figura 02: esquema proposta por D' AMBRÓSIO.

)!

Informação

Individuo oEstratégia /

Realidade

ArtefatosMentefatos

I

o individuo é parte integrante e ao mesmo tempo, observador da realidade. Sendo que

ele recebe informações sobre determinada situação e busca através da reflexão, a

representação dessa situação em grau de complexidade. Para se chegar ao modelo é

necessário que o individuo faça uma análise global da realidade na qual tem sua ação, onde

define estratégias para criar o mesmo, sendo esse processo caracterizado pela modelagem.

r A opinião e definição de D' AMBRÓSIO "um dos maiores matemáticos do mundo"

(Revista Nova Escola, agosto-1993) sobre a modelagem matemática não poderia ser deixada

sem registro. Esse professor não é o único a defender o programa denominado

Etnomatemática, pois ela não é de sua criação, mas o nome foi criado por ele e apresentado no

Congresso Internacional de Matemática da Austrália, em 1984.

A Etnomatemática estuda o presente no cotidiano dos grupos culturais, visando o

desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos que possuem. A contextualização da

matemática através das raízes culturais, se faz pela modelagem matemática, buscando as

noções conceituais e as técnicas matemáticas na resolução dos problemas,7r_

,.!- -OREY (2001) comenta sobre a importância da relação e harmonia do programa

etnomatemática e da metodologia modelagem na educação matemática. A sua relação é um

fato, Q'AMB~ÓSI9 (2QO.o, .1-42), "todos estarão fazendo modelagem, cada grupo utilizando

os recursos intelectuais e materiais próprios, isto é, a sua própria etnomatemática". Os grupos

culturais utilizando a modelagem poderão compreender os sistemas matemáticos das práticas

matemáticas. Dependendo do meio cultural e principalmente na resolução de situações reais,

este sistema de resolução pode ser descrito como modelagem; as técnicas de modelagem

proporcionam a contextualização da matemática e a modelagem como uma metodologia é

24

essencial ao programa da etnomatemática , pois seus conceitos melhoram os valores da ética,

respeito e solidariedade que estão presentes nos grupos culturais.

Para BIEMBENGUT, modelagem matemática é o processo que envolve a obtenção de

um processo artístico, visto que, para se elaborar um modelo, além de conhecimento apurado

de matemática, o modelador deve ter uma dose significativa de intuição e criatividade para

interpretar o contexto, saber discernir o conteúdo lúdico para jogar com as variáveis

envolvidas.] A matemática e a realidade são dois conjuntos distintos e a modelagem é um meio

de fazê-Ias interagir. (1997, p.20).\

Figura 03: esquema proposto por Biembengut.

<MATE~ÁTICA

'W

> IMatemática II Situação Real I

MODELAGEM

II

modelo

,vi' •.

-~igo, diz que o processo de modelação usualmente se dá

esquema lC ente na forma de um ciclo, que pode se repetir com o objetivo de melhor se

ajustar à situação que se pretende modelar. A metodologia varia de autor para autor. O autor

citado opta por trabalhar com o esquema proposto por *Kerr e Maki levando em consideração

o cenário pedagógico, desenvolvendo os processos de construção e manipulação de modelos,

procurando tornar o trabalho de modelagem adequado para a sala de aula de maneira que os

alunos utilizem algumas das idéias e dos instrumentais matemático. Kerr e Maki acrescentam

um passo intermediário entre o Modelo Real e o Modelo Matemático, representado no

esquema por Modelo para a Sala de Aula.

No caso do esquema comentado, o ciclo de modelagem consiste nos seguintes passos:

1- identificação de um problema do mundo real.

* livro de. KeIT. D. e Maki, D. Mathematical Models to Provide Applications in the Classroom. Em: ShatTOI1. s. eRcys, R. Applications in School Mathematics. National Council ofTeachcrs of Mathcmatics, 1979

25

2- O problema é muitas vezes modificado e simplificado com vistas a ser descrito em

termos razoavelmente precisos e sucintos. Essa descrição do problema constitui o

chamado modelo real. Trata-se de um modelo tendo em vista que uma idealização, ou

simplificação foi feita, isto é, nem todos os aspectos da construção real são

incorporados na descrição.

3- Com o objetivo de produzir um ambiente para a Aplicação da matemática na sala de

Aula, acrescenta-se uma outra etapa, "que pode ser decisiva do ponto de vista

pedagógico".

4- O modelo real é ainda mais simplificado e apresentado num contexto que seja

interessante e compreensível para os alunos, tornando viável a aplicação de alguns

conceitos e idéias matemáticas presentes na situação-problema. Chegando ao chamado

Modelo para a Sala de Aula e a sua presença relaciona-se com o fato do modelo

matemático ser construído com fins didáticos.

5- Conversão de aspectos e conceitos do mundo real em símbolos e representações

matemáticas.

6- Uso de instrumentos e técnicas matemáticas para se obter conclusões baseada na

utilização do modelo construído.

7- A validade de um modelo pode ser verificada através do confronto das conclusões

obtidas a partir do modelo com a realidade. No entanto, durante todo processo de

construção de um modelo, testes podem ser feitos para~erir a validade ou não do

modelo proposto. Identificada alguma insuficiência relevante no modelo, ou seja sua

inadequação para fornecer informações úteis acerca da realidade, o processo deve ser

retomado.

ANASTÁCIO (1991, p.35-55), descreve alguns estudos desenvolvidos por

matemáticos e educadores de outros países como: Mogen Niss (1987), McLone (1976),

Medley, Andrews e McLone, Tim O'Shea e John Berry (1982), Pinker (1981), Rubin (1982),

Oke e Bajpai (1982). Devido a sua importância será comentado algo sobre, nos parágrafos a

seguir:

MOGEN NISS citado por ANASTÁCIO (1991, p. 36) apresenta um estudo sobre a

modelagem matemática tomando como parâmetro à visão histórica. Diz que no período

anterior a 2a Guerra Mundial desenvolveu-se a técnica de resolução de problemas,

preocupando os educadores da época, temendo a baixa compreensão do conteúdo matemático.

26

Depois da 2a Guerra começa o movimento da Matemática Moderna, sendo essa matemática

inconsistente para resolver questões do dia-a-dia proporcionando assim a diminuição da

capacidade de encontrar resultados rápidos e precisos nas questões aritméticas, no nível

secundário, levando a juventude a exigir a melhora do conteúdo e a forma de Educação

Matemática. Os graduados e pós-graduados em matemática estavam sendo direcionados a

empregos em matemática aplicada ou ensino de matemática, a partir daí foi dado maior

importância no conteúdo e forma começando a ser entendida e exigida como aplicabilidade.

Esse autor ressalta três fases na escola elementar, não sendo cronológica mais sim de

cunho estrutural:

1a fase acaba a necessidade do aluno decorar mecanicamente. Agora é exigida a compreensão-dos conceitos matemáticos. -r C X /J / /J2a fase se preocupa em não apenas na resolução dos proplemas, mas sim a preocupação com

atividades e estratégias para resolvê-los, No final da 2arase(!illasticicjcita Niss, "nasce o

desafio com a humanização da instrução matemática", que acaba por originar a 3a fase que

pretende encontrar a matemática na vida real dos alunos e o entendimento das respostas

matemáticas encontradas (p.37).

Os currículos do nível superior, citados pelo autor como pós-elementar, são divididas

em quatro fases. A 1a fase foi antecedida pela maior atenção à matemática aplicada, não

apenas a matemática postulada, mas sim aplicada. Com questões bem defirúdas nos

exercícios, surgindo nessa fase o termo "modelo" com o objetivo de evitar a confusão entre

modelo e a realidade. Aparecem cursos separados de "Modelos Matemáticos" e de

"Aplicações Matemáticas".

Na 2a fase, os alunos deveriam ser capazes de manipular a ferramenta matemática em

situações do dia-a-dia, construir modelos matemáticos relativos com aquelas situações,

investigar suas propriedades e interpretá-Ias como propriedades dos objetos e relações que

pertenciam à área modelada. As situações problema são "abertas" e os alunos já não

necessitam ser apresentados aos problemas arrumados da primeira fase, mas chegar a eles

como resultado de próprios esforços. Isso tudo implicou numa mudança nos papéis

convencionais:o professor passa de conferencistas a guia; os alunos trabalham em grupos

pequenos; as aulas deixam de ser sessões fechadas e estanques e passam a existir longas

seqüências de trabalho.

27

Nessa fase, os cursos de aplicações e modelos prontos começam a apresentar

característica de serem cursos mais voltados para o processo de aplicação da matemática e de

modelagem, enfatizando o processo de construção de modelos. Os modelos resultantes da

matematização dos alunos, que de início eram conhecidos pelos professores, começam a ser

"abertos" também para os professores.

Finalmente uma fase em que há uma reversão da ordem do que vem primeiro, a

matemática ou situações de aplicação e suas necessidades - o campo de aplicação do modelo

e o problema associado vem primeiro e subseqüentemente é que a matemática é introduzida

no contexto da construção do modelo.

lOque há de novo nesta fase é a independência da matemática, que não visa apenas ser

um objeto que serve aos interesses de outras disciplinas. São feitos, nesta perspectiva, vários

experimentos que vão desde instâncias em que a abordagem foi usada dentro dos limites do

currículo tradicional até a organização de um programa inteiro de matemática construído

sobre estas bases.

Como essas fases não são cronológicas, a situação atual apresenta, nos diferentes

países, características de todas as fases, havendo um denominador comum que é a distância

entre a frente de debates e o desenvolvimento da modelagem matemática,por um lado, e o

fluxo principal do ensino por outro lado.

McLONE citado por ANAST ÁCIO define a Modelagem Matemática como, "a

representação em termos matemáticos do nosso assim chamado 'mundo real' de modo a que

se possa ganhar um entendimento mais preciso de suas propriedades significativas,

permitindo alguma forma de predição de eventos futuros" (1991, p.42). Em seguida apresenta

um diagrama sintetizando os passos de seus estudos com relação à modelagem.

28

Figura 04: csqucma proposto por McLonc.

rl SITUAÇÃO

Modelo 1P==~i Prediçã~REAL

Consistência li

em si mesmo

J/:.>:

o estudo e análise dos detalhes principais, buscando as características que levem à

identificação do problema a ser trabalhado matematicamente. Depois de encontradas as

principais características, em seguida é fundamental transcrevê-Ias em linguagem matemática

documentando as relações encontradas. INa construção do modelo é necessário que seja

descrito matematicamente utilizando a experiência pessoal e conhecimentos matemáticos para

melhor representar a situação inicial. Na finalização do modelo é importante que os elementos

(variáveis) matemáticos estejam correta e claramente relacionados à situação proposta'

MEDLEY coloca em evidência a necessidade de diferenciar o processo Modelagem

Matemática, da etapa que se chama Modelo Matemático. Diz que "Modelagem consiste de

muitos passos, começando por uma confluência de idéias de diferentes tipos, terminando com

testes rigorosos, e apresentando as conclusões - seja sob forma de previsão ou de tomada de

decisão - de um modo conveniente para o uso" (1991, p.43).

Para melhor explicar a diferença entre Modelo e Modelagem, cita o diagrama de

Burghes e Botrie (1981), apresentando a modelagem num conjunto de 7 passos e o modelo

em apenas 2.passos (3 e 4, da figura 05).

29

Figura OS: eSquema proposto por Medley, de Burgbes e Botrie.

!1-Formule o II=~~I 2-Hipóteses para o ~~~=+ll 3 - Formule o problema

modelo real. I .~Imodelo. I matemático.

a.. •••6 -Validação do 5 -Interprete a 4 -Resolva o problema

modelo. solução. matemático.II

7 -Use o modelo matemático paraexplicar, predizer, decidir, definir.

No esquema a, o item 1 -necessita incluir:

- geração de idéias- seleção de idéias- desenvolvimento de idéias ondeelas necessitam estar.- áreas de interesse na situação.- variáveis.- relações entre as variáveis.

b

Esse autor preocupa-se com os problemas abertos para os quais é necessário passar

pelo processo de construção de um modelo, analisando detalhadamente as características que

a situação apresenta (passos 1 e 3 do esquema da figo05). A importância de que esta etapa do

processo e as relações iniciais entre as suas variáveis sejam bem definidas, visando à

resolução do problema de maneira menos complicada.

O importante não é apenas desenvolver o processo e chegar ao modelo, mas sim é de

fundamental importância a passagem por todos os caminhos ou etapas, encontrando no final

não apenas uma solução. Desenvolvendo o espírito critico ao encontrar as várias

possibilidades de resultados, conhecendo e sabendo manipular e discutir matematicamente.

ANDREWS e McLONE citados por ANASTÁCIO (1991, p.44) alertam da

necessidade, para aqueles que possuem a intenção de usar um modelo, de estar consciente e

preparado para manipular a ferramenta matemática, de "lá pra cá" entre o mundo em que se

vive e o mundo matemático.

O'SHEA e J.BERRY citados por ANASTÁCIO (1991, p.44) apresentam o esquema

na figura 06, propondo a modelagem como o processo de escolher características que

descrevem adequadamente um problema de origem não matemática, para chegar numa

linguagem matemática. Essa linguagem deve permitir encontrar uma (ou mais) que deve(m)

ser trazida(s) de volta para o mundo real, onde o proplema original foi proposto.

30

Figura 06: esquema proposto por O'Shea e .loho Bcrry.

REAL MATEMÁTICOMUNDO MUNDO

Comentam o diagrama proposto por McLone (figura 04), além do diagrama acima,

reforçando a idéia de que a Modelagem Matemática é um processo interativo em que o

estágio de validação freqüentemente leva a diferenças entre as predições baseadas no modelo

e a realidade. Desta maneira, o modelo é revisto para chegar a ser uma representação mais

próxima da realidade.

Antes de resumir o processo de modelagem em três estágios principais, Tim O'Shea e

John Berry citam ainda o "diagrama das Sete Caixas" (figura 07), divulgado pelo Curso da

Universidade Aberta em que é proposto aos alunos "preencher" cada etapa, auxiliando-os a

decidir qual o próximo passo a ser dado na construção de um modelo e sua resolução.

31

Figura 07: "diagrama Sete Caixas" proposto pela Universidade Aberta.

Especifique o proble - Construa um f--- Formule o proble -ma real. modelo. ma matemático.

ICompare com a rea- Interprete. Solução.

lidade. - -

I

Escreva um relatório.

Propõe três etapas que constituem o processo de Modelagem Matemática, como pode

ser observado através do exame da tabela dada, abaixo:

Figura 08: Tabela: três etapas que constituem o processo de modelagemr:

ESTÁGIO O que acontece

fORMULAÇÃO ( 1 ) Selecione os fatores importantes que descrevemo problema.

( 2 ) Faça hipóteses que simplifiquem.

( 3 ) Escolha variáveis para representar as característicasa serem contidas no plano.

( 4 ) Relacione as variáveis através de equações, inequaçõesou gráficos; através de uma estrutura matemática

SOLUÇÃO Resolva o problema matemático proposto pelo modelo.Pode ser uma equação diferencial, ou um conjunto deeq uações lineares.

ANASTAcro (1991, p.47) cita PINKER, definindo o processo de Modelagem

segundo as etapas:

32

1- -fonnule o problema;

2- -construa um modelo matemático que represente o sistema a ser estudado;

3- -encontre uma solução para o modelo;

4- -este o modelo e a solução obtida.

Ru~partindo da premissa de que um problema de modelagem é constituído a partir

de três componentes: "informação (sobre algum fenômeno), questões (sobre propriedades dos

fenômenos) e critérios de avaliação (para determinar a aceitabilidade das propostas às

questões)", define os seguintes estágios do processo de modelagem matemática:

1- formulação do problema;

2- representação matemática;

3- solução;

4- verificação.

Reforçando que a formulação de um modelo matemático é apenas uma parte do

complicado processo interativo de modelagem", processo esse que difere da simulação porque

esta última é apenas um processo descritivo, não orientado por um objetivo.

No período da graduação em Licenciatura em Matemática aconteceu o primeiro

contato com modelagem matemática. O grupo em que participávamos optou pelo estudo de- ---uma quadra poliesportiva. A construção do modelo matemático (Matemática Aplicada) não

ocorreu, mas sim a construção de um modelo (maquete) utilizando modelos matemáticos

prontos na sua elaboração.

) Quando cursando Engenharia Civil presenciei nos dois primeiros anos que a maior

parte do tempo foi ocupado com disciplinas matemáticas. Percebe-se que os acadêmicos que

não estão convictos da importância do estudo da matemática para os próximos anos, acabam

por reprovar algumas vezes e desestimulados desistem de estudar e trancam o curso. Aqueles

que estudam com dedicação ou que têm mais facilidade para aprendizagem desse

conhecimento, normalmente são aprovados nas disciplinas matemáticas. Mesmo para esses, e

principalmente para aqueles, as negativas quanto à matemática são constantes. Para que serve

"esta" matemática? Estou cursando engenharia e não matemática! Mas para a "alegria" da

maioria, no terceiro ano as disciplinas práticas da engenharia começam a serem estudadas

(Materiais de construção, Hidráulica, Mecânica dos solos, Transportes e outras) e os

33

acadêmicos (nem todos) começam a perceber a importância dos conteúdos matemáticos dos

anos iniciais. A partir do terceiro ano são desenvolvidos e aplicados muitos modelos

matemáticos nas disciplinas práticas. O convívio com os modelos matemáticos aplicados e a

necessidade pessoal, de responder para os acadêmicos recém aprovados no vestibular as

mesmas perguntas que nbs fizemos, e apaziguar algumas exclamações, foram responsáveis----pelo meu ingresso para a pós-graduação em educação com idéia voltada para uma prática

envolvendo a modelagem matemática.

A lembrança da prática sobre a modelagem no curso de licenciatura e as práticas da

modelagem na engenharia, geraram um certo conflito interior.

Que caminho seguir? A prática na licenciatura seria a única forma de modelagem ou a

modelagem vivenciada na engenharia seria a forma correta de modelagem?

x Para responder a essas questões levantaram-se algumas possibilidades sobre a

modelagem:

a) O objetivo principal da prática é convidar o aluno a explorar matematicamente

situações não-matemáticas, tendo por fim sua formação matemática. Se este processo não

resultar num modelo matemático, as atividades são também reconhecidas como modelagem

segundo Biembengut e Monteiro, citados por BARBOSA (2000, p.56). Aqui se tem a

afirmação da não necessidade do modelo matemático, para contatar a aplicação da

modelagem, sendo que quando os educadores falam de modelagem matemática, falam

também em modelo matemático.

b) Mas, se a prática se limitar em apenas conduzir os alunos até o local e solicitar

que identifiquem as figuras geométricas "Isso não é Modelagem" afirma BIEMBENGUT

(1999, p.42), pois o professor está apenas procurando afirmar conceitos geométricos.

c) BARBOSA (2000), apresenta dois exemplos que reforçam o papel da

modelagem:

- Exemplo 1 - Um grupo de alunas acompanhou o crescimento da planta"sansão do

campo" em contato com três substratos diferentes(A, B e A+B), chegando num

gráfico que representava o crescimento das mudas em função do tempo. De fato, as

alunas construíram um modelo: uma descrição do fenômeno de crescimento da planta.

Exemplo 2 - Biembengut, trabalhando com os alunos o crescimento populacional de

uma colméia, chegou numa descrição do fenômeno:PCt) = 1OOOO.e-O,02532.l

-

34

Nos dois exemplos acima, se obtém um modelo, a representação ideal para traduzir o

fenômeno do crescimento da planta, e do crescimento populacional das abelhas.

Ficou clara a necessidade de um modelo, gráfico ou tabela visando uma "tornada de

decisão" BURAK (1998, p.33) desenvolvendo o "senso critico, a argumentação, a lógica e ar----.::--'adequação da solução à realidade vivida' BURAK (1998, p.61).

~

As possibilidades levantadas nos exemplos (1 e 2) contrariam as idéias colocadas nos

item (a) e (b) que definem a resolução da situação-problema da quadra poliesportiva

trabalhada na Licenciatura como Modelagem Matemática. Quando bem explorada a situação,

estaria promovendo a construção de idéias conceituais importantes, embora não trabalhasse

propriamente com um modelo matemático, como nos exemplos 1 e 2, mas evitaria a aplicação

restrita de conceitos matemáticos prontos e acabados de que fala o item(b). A situação

descrita está de acordo com a proposta de modelagem colocada por BARBOSA no item (a).

Assim BARBOSA (2001), apresenta as possíveis aplicações da modelagem em três

casos "esses casos não pretendem engessar a prática, mas, uma vez que é reflexão sobre a

prática" ( p.7):

1- Caso 1. O professor apresenta a descrição de uma situação problema, com as

informações necessárias à sua resolução e o problema formulado, cabendo aos alunos

o processo de resolução, não sendo preciso que eles procurem dados fora da sala de

aula.

2- Caso 2. O professor traz para a sala de aula um problema de outra área da realidade,

cabendo aos alunos coleta das informações necessárias para a simplificação ajustando

na resolução do problema.

3- Caso 3. A partir de temas não-matemáticos, os alunos formulam e resolvem

problemas. Eles também são responsáveis pela coleta de informações e simplificação

das situações problema. Assim é o trabalho em projetos.

A tabela abaixo esquematiza a participação do professor e do aluno em cada caso.

Tabela 01: Segundo IlARIlOSA(2000) a relação professor-aluno e a modelagem

Caso I Caso 2 Caso 3

Elaboração da situação-

problema professor professor professor / aluno

Simplificação professor professor / aluno professor / aluno

Dados qualitativos e

quantitativos professor professor / aluno professor / al uno

Resolução professor / aluno professor / aluno professor / aluno

A terminologia Modelagem está sendo corriqueiramente utilizada em qualquer

atividade que envolva diferentes temas (atividades comerciais, esportes, agrícolas), não

interessa necessariamente o modelo matemático. O importante é o processo, onde o aluno é

envolvido na aplicação e consolidação dos conceitos na resolução da situação não-

matemática. \Na verdade, quando se fala em Modelagem Matemática, os educadores

matemáticos associam a palavra modelagem, a exploração de situações reais, e a

simplificação em um modelo, possibilitando a reflexão sobre a situação modelada, buscando

um modelo que melhor represente o problema solucionado e nessa busca a consolidação da

aprendizagem matemática é firmada. I

CAPÍTULO ID: APLICAÇÃO DA METODOLOGIA DA MODELAGEM

MATEMÁTICA

Para investigar a validade da Modelagem matemática para o ensino e aprendizagem do

conhecimento matemático, procuramos aplicar essa prática na primeira série do Curso de

engenharia Civil. O desenvolvimento das atividades referentes a essa prática deu-se em

04( quatro) encontros.

O primeiro encontro teve caráter informativo e incentivador urna vez que se procurou

. argumentar quanto à importância da participação em tal evento.

O Departamento de Engenharia apoiou a atividade e incentivou os alunos a

participarem. Ao término do evento os alunos irão receber um certificado válido para horas

.complementares do Curso.

Foram abertas as inscrições e houve 22(vinte e dois) acadêmicos interessados sendo

marcados o local, dias e horário da realização do evento.

O segundo encontro deu-se no dia 20 de maio de 2003, nas dependências do Curso de

Engenharia Civil da UEPG, e foram destinadas 02 (duas) horas para o desenvolvimento das

atividades.

Os objetivos desse encontro foram:

-identifícar o perfil dos acadêmicos, com a finalidade de auxiliar no desenvolvimento

das atividades;

- apresentar modelos com a finalidade de interação e farniliarização com o processo de

modelagem;

- escolher um tema para o desenvolvimento da prática.

No dia e horário marcado deu-se início às atividades. Em primeiro lugar foi distribuído

um questionário (ANEXO-Ol- Questionário aplicado no primeiro encontro), com o qual foi

levantado o perfil dos alunos que formaram o grupo de trabalho:

1) Quantos anos você completa no ano de 2003?

- completam 18 anos: 43%

- completam 19 anos: 32%

- completam 20 anos ou mais: 25%.

37

2) No período do ensino médio você estudou a maior parte do tempo, em escola pública ou

particular? Fez curso pré-vestibular?

Os acadêmicos que completam os estudos em escola particular fizeram algum tipo de

curso pré-vestibular e aqueles que estudaram em escola pública assistiram algum tipo de pré-

vestibular.

- escola particular:

- escola pública:

66%

34%

3) Foi aprovado no primeiro vestibular? Caso a resposta seja negativa, para qual curso prestou

nas tentativas anteriores?

Nem todos os acadêmicos foram aprovados no pnmeiro vestibular em tentativas

anteriores, alguns nessas tentativas prestaram vestibular para engenharia, outros por motivo de

indecisão (falta de personalidade, mercado de trabalho instável, influência familiar ou amigos,

status social, entre outros) "atiravam para todos os lados" procurando descobrir "do que

gostavam" .

-aprovados no primeiro vestibular: 43%.

-não aprovados no primeiro, mas optaram por engenharia em anteriores: 29%.

-não aprovados no primeiro, e prestaram para outros cursos: 28%.

4) Qual a razão que o levou a optar pelo Curso de Engenharia Civil:

a) afinidade d) não sei.

b) por influência dos seus pais, tios, amigos. e)outras _

c) as duas alternativas anteriores

Essa pergunta teve por finalidade avaliar a razão pela qual escolheram prestar vestibular

para Engenharia Civil e o nível de influência externa recebida.

-possui afinidade pelo curso: 60%

-receberam influência única dos pais, parentes e amigos: 3%

-receberam influência parcial dos pais e por vontade própria: 20%

-simplesmente não sabem porque optaram pela engenharia: 8%

-possuem outras razões, de cunho profissional: 9%.

Resumindo as porcentagens acima temos:

/38

/ G60% : possuem afinidade pessoal pelo curso escolhido

\) 0% : foram de alguma forma influenciados.

5) Qual a área da engenharia que você possui maior afinidade?

a) construção civil b) saneamento

c) estruturas e fundações d) transportes

e) hidráulica f) projetos

g) mecânica dos solos g) outra, _

h) ainda não sei, pois comecei os estudos há pouco tempo.

Esta pergunta foi criada visando a escolha do Tema. Depois de respondido o questionário,

numa certa oportunidade em um intervalo essas porcentagens foram calculadas e no momento

correto foi apresentada aos acadêmicos, servindo de um material importante no

direcionamento da escolha do tema. Essa pergunta poderia não ser utilizada, caso a

porcentagem de afinidade pela Construção Civil atingisse valores irrisórios.

-não possui, ainda, afinidade por uma área de engenharia: 43%

-possui afinidade pela Construção Civil: 20%

-possui afinidade pela elaboração de projetos: 14%

-possuem afinidade por outras áreas da engenharia: 23%

6) Quais são suas expectativas quanto a metodologia de ensino das disciplinas matemáticas no

curso de Engenharia?

a) a mesma aplicada no ensino médio.

b) a mesma aplicada nos cursos pré-vestibular.

c)uma metodologia relacionando o conteúdo à futura vida profissional

d) nenhuma expectativa diferenciada da tradicional, pois o modo ensinar matemática é

sempre a mesma.

ejoutra _

Procurou-se levantar qUalS expectanvas o t:SLUUé:lmç pv""", • ..,'-'v.~ ~~ __ .

ensinada no decorrer dos anos letivos. E felizmente após muitos anos de ensino tradicional,

salvo alguma exceção, ainda existe forte disposição em participar de uma metodologia

direcionada à futura vida profissional.

-metodologia direcionada a futura vida profissional: 92%

-não possuem expectativas diferentes sobre o ensino da matemática: 8%.

7) Qual a influência do excesso d' água na mistura do concreto?

Esta é a única pergunta técnica, avaliando o grau de conhecimento sobre a situação

problema que seria apresentada. Algumas das respostas:

-Não sei.

-Deixa o concreto menos "firme".

-Fica menos resistente. Suporta menos peso.

-Muita água deixa o concreto mole, mais fraco, menos resistente.

-O concreto terá sua estrutura comprometida, quebrará facilmente.

-Eu acho que quanto mais água na mistura, mais tempo demorará o concreto para curar.

-Compromete a qualidade do concreto.

-Umidade.Má aderência. Baixa qualidade.

-Concreto com baixa resistência, futuras rachaduras.

Totalizando: - não sei: 55%.

- escreveu algum tipo de resposta: 45%.

Como os acadêmicos não possuíam conhecimento sobre modelos, foi utilizado o

artigo: Átomos de Bohr, ratos de laboratório e Gisele Bündchen: O que é que eles têm

em comum? De Roberto J. M. Covolan e Li Li Min (ANEXO: 02-Transparências: utilizadas

no primeiro encontro).

A exploração do artigo oportunizou, de maneira descontraída, a diferenciação entre

dois tipos de modelo científico: os teóricos e os experimentais.

Em seguida apresentamos os dois modelos:

40

MODELO 01

(Unb/CESPE-SEEDIPR-2003) As funções são modelos matemáticos importantes e

freqüentemente descrevem uma lei fisica. Como exemplo, considere que uma bola é atirada

verticalmente para cima, no instante t = 0, com uma velocidade de 200 cm/s. Nesta situação, a

velocidade da bola, em cm/s, corno função do tempo é dada por v(t) = 200-96t. Assim, é

correto afirmar que a altura máxima atingida pela bola ocorre:

a) Menos de 2 s após o seu lançamento.

b) Entre 2 s e 2,5 s após o seu lançamento.

c) Entre 2,6 s e 3 s após o seu lançamento.

d) Entre 3,1 se 3,5 s após o seu lançamento.

e) Mais de 3,5 s após o seu lançamento.

Esse problema teve a finalidade de mostrar a importância dos modelos já

equacionados, que são utilizados na maioria das vezes sem analise, pois geralmente

confiamos na sua precisão. Trata-se da equação da velocidade, modelo matemático utilizado

na Física. Observa-se que no próprio enunciado do problema são tecidos comentários sobre a

importância da lei fisica.

Levando-se a questão que, só se chega à formulação de uma lei fisica quando esta é

analisada e testada por meio de métodos científicos apropriados.

Foi analisada a situação em que quando se lança um corpo verticalmente para cima, no

momento em que o corpo é lançado existe uma velocidade inicial (Vo) e quando atinge a

altura máxima a velocidade é nula (V=O).

De posse dessa informação foi possível substituir esse valor na equação e encontrar um

resultado. Nesse caso temos a resolução de um problema, não se trata de modelagem.

MODELO 02

(ProfU.José RF.Maciel) Uma prefeitura que dispõe de uma verba que pode ser destinada à

construção de casas populares ou a pavimentação de ruas. Se optar por investir em casas

populares, poderá construir 300 casas, se optar por investir em pavimentação de ruas, a verba

é suficiente para a pavimentação de apenas 150 km. Mas a verba pode ser destinada a outros

planos. Fazendo uma pesquisa de preços junto a empreiteiras, chegou-se aos seguintes planos:

Tabela 02: Dados coletados nas empreiteiras (Km x Casas populares)

Kmderuas Casas populares

O 30020 29060 24090 180105 140135 50150 O

De posse da situação e com a tabela de dados (que também se pode chamar de um

modelo "organizado") solicitou-se um modelo matemático que melhor represente a situação.

Primeiramente foram posicionados os pontos entre os eixos cartesianos e traçada as

possíveis curvas que melhor se adaptariam aos dados fornecidos pela empreiteira.

Os acadêmicos estavam muito passivos, então foi preciso estimulá-los para participar,

sem restrições, pois neste momento eles eram engenheiros em busca da melhor resolução na

situação proposta. O gráfico foi construído no quadro de giz (Gráfico-O1), interrogando a

curva que melhor se adaptaria a situação?

a) Gráfico com os pontos posicionados e segmentos de retas correspondentes:

MODELO 2 - PrefeituraPontos e segmentos de reta

>- 350 1 P1 "o><'(jj 300 "-li! 250 -e! 200.!!!::s 150Q.

o 100Q.

li! 50lUli!lU OU

O 20 60 90 105 135 150Km de ruas ( eixo x )

Gráfico 01: pontos e segmentos de retas posicionados

42

b) Qual a função que melhor descreve os pontos?

Seria uma função descrita por uma curva: exponencial, reta ou parabólica?

Nesse momento surgiram discussões, tentando encontrar a curva que melhor

representaria os pontos dados. Entre as várias opiniões, a dúvida ficou entre a reta e parábola.

Prevendo a maior prática e manipulação matemática, foi proposta a análise da melhor

reta não apenas em uma situação, mas sim tomando como referencia a análise de: um ponto

em cada extremidade, dois pontos centrais e três pontos. E para a parábola a análise de três

pontos, um de cada extremidade e um central. Obs: A resolução por três pontos, para a reta,

não foi desenvolvida em aula, mas ficou como uma proposta complementar para a atividade.

No final, após a formulação dos quatro modelos, analisar e visualizar o melhor,

montando uma tabela comparativa e se for de interesse construir os gráficos de cada uma das

quatro situações.

b.I_ Se a reta representasse a melhor situação:

MODELO 2 - PrefeituraAjuste linear - Reta - Função do 1° grau

350300 t: '-.

li)

$ 250+-------r_~~~ __----_4------_+------~----~à 200T---~~~~~~~~~~~~~~~~~_r.~~~oc.. 150 +---':---+-~""'--:'~--'-~----+---''''''';='''''''''"',..,.t---::.-~---+-----''.---,,-:li)euli)euU

100+-----~~--~~~----~~--~~~--+_----~,

50 +-------+-------..,-j-----_4---"----+----~~"'-::---~O+---~~r_-=~~~~--~~~~_+_~~~~~~~

O 20 60 90 105 135

Km de ruas

Gráfico 02: Função do 10 grau

b.I.I) Um ponto de cada extremidade:

Equação do IO grau: y = a.x + b

-dado os pontos:

PI(0,300) e P7(I50,0)

-considerando-se o sistema linear:

{a.(o) +b =300a.(I50)+b=0

cuja solução éa=-2b=300

43

150

curva:

Os alunos resolveram o sistema acima com facilidade, chegando a função que representa a

I y = -2x + 300 I

/

44

b.1.2) Dois pontos centrais:

P3(60,240) e P5(105, 140)

{a.( 60) +b = 240a.(105)+b =140

multiplicando por (-1) a primeira equação:

{a.(-60)-b = -240

a.(105) +b = 140

somando a primeira equação com a segunda:

45.a = -100

a =-100//45

a--20/- /9 cuja solução é:a --20/- /9b -1120/- /3

a função que representa a curva:

b.l.3) Três pontos:

P3(60,240), P4(90, 180) e P5( lO5, l40)

45

{

a.( 60) +b = 240a.(90)+b=180a.(105) +b = 140

(

6090105

: ~:~J1 140

cuja solução éa=-2b=360

a função que representa a curva é:

y = -2.x+360

b.2_ Se a parábola representasse a melhor situação:

20 60 90Km de ruas

105 135 150

MODELO 2 - PrefeituraAjuste polinomial - Parábola - Função do 2° grau

350I/) 300e~ 250 ~~..--.-"-""-':':;'~~~""i't-":;:;""'~-;"-+'-.;...,......,~~+"~~;--+-~:;;"'-'~~ 200 +_------+_------~--~ __ ±-------+_--~--+_-------:o~ 150 ~~----+---_=--~------+-~~__~~------+_----~I/)m 100 +_~~~+-~~~~~~~+r~~~+_~~~+_~~---;~ 50 +_-::--~--+_'----".,....,.:::.."'c_+_--'-"-~--+_"'__;_-;-:--""--+_--.....".._____'__'l:~Ii;o---'---'__'!

o +_--~--+_~~--+_--~~+-~~--+_--~--+_--~=-o

Gráfico 03: Função dor grau

b.2.1) Três pontos escolhidos:

A resolução do sistema linear é mais fácil para os alunos, pois são muitos trabalhados

no ensino médio. Na resolução do sistema envolvendo a função do 2° grau os alunos ficaram

com dúvidas. Alguns alunos resolveram através da regra de Cramer. Optei em resolver no

quadro de giz por Escalonamento, pois poucos alunos lembravam, ou tiveram, a resolução por

esse método no Ensino Médio. Desta forma, substituindo os três pontos escolhidos.

Pl(0,300), P4(90,180) e P7(150,0).

Na equação y= a.r+b.x + c, chegou-se ao sistema abaixo:

46

{

a.(150)2 +b.150+c = O

a.(90)2 + b.90 + c = 180

a.(0)2 + b.O+ c = 300

cuja solução é:

a=-~O

b=- tjc=300

a função que representa a curva é:

c) montar uma tabela comparando os dados reais e os valores com as funções obtidas:

Tabela 03: Comparação entre os dados reais e funções (modelos) obtidas.

Funções de 10 grau Função do

~de ruasCasas dois pontos dois pontos três pontos r grau.

Populares extremos centrais Três pontos

(x) dados reais) y = - 2x+300 y = - 20/9x+1120/3 y= - 2x+360 y = - 1I90x -1/3x+300

O 300 300 373,3 360,0 300,0

20 290 260 328,9 320,0 288,9

60 240 180 240,0 240,0 240,0

90 180 120 173,3 180,0 180,0

105 140 90 140,0 150,0 142,5

135 50 30 73,3 90,0 52,5

150 O O 40,0 60,0 0,0

Pode-se notar na Tabela 03, que o modelo mais adequado seria o da função do 20 grau.

Mesmo adotando três pontos para a função do 10 grau o modelo não atingiu aproximações

precisas. Ao concluir este modelo, explicou-se aos alunos que na maioria das vezes quando se

tem uma tabela de dados o caminho para se obter a equação que represente a curva, seria

repassar os dados para um gráfico. As funções podem ser utilizadas para fazer previsões

47

muito próximas da realidade e a confiabilidade que estes modelos fornecem facilitam a vida

do engenheiro, ao tomar decisões importantes.

Esse contato propiciou a aplicação de modelos prontos através dos valores (pontos) já

definidos em tabela. O exercício com dois modelos serviu de preparação para o próximo

encontro, pois o grupo de trabalho irá coletar os dados e desenvolver os seus próprios

modelos matemáticos.

A presente prática veio se ajustar ao Caso 1, de modelagem, defendido por BARBOSA e

citado neste trabalho na Tabela 01, do Capítulo II, em que apenas os alunos participam do

processo de resolução, não sendo preciso que procurem dados fora da sala de aula.

Dando seqüência ao trabalho, levantaram-se algumas áreas de atuação do engenheiro

civil, tais como:

- Construção civil: projeto e construção de imóveis

- Estruturas e Fundações: projeto e construção de barragens, canais, instalações

hidráulicas para produção de energia elétrica, sistemas de irrigação e drenagem.

- Mecânica dos Solos: estudo da atmosfera, do solo e subsolo do local de uma obra.

- Saneamento: projeto e execução de obras de saneamento básico.

- Transportes: projeto, construção e manutenção de obras como ferrovias, rodovias e

aeroportos.

Nesse momento desperto - e o

discussão levava às disciplinas que no

enquanto futuros profissionais.

Entre as áreas de atuação levantadas tanto no questionário (20% de aceitações), quanto

------interesse do grupo de trabalho' foi despertado pois a-....--L---decorrer do Curso darão suporte para suas atuações

na discussão na sala de aula, a que mais se destacou foi a de construção civil.

Aproveitando a oportunidade lançou-se o seguinte questionamento:

- Que material é mais utilizado na construção de edifícios?

Nesse momento a discussão tomou conta do grupo que levantou vários materiais e

também chegaram a algumas conclusões:

madeira: não é utilizada normalmente para construções de grande porte, em edifícios.

aço: embora venha sendo mit difundido entre os países de primeiro mundo ainda não

é viável no nosso País, devido ao elevado custo do material.

48

Concreto: concluíram que este material é o mais utilizado.

Então, levantaram-se os seguintes questionamentos:

Quais os elementos ou materiais que constituem o concreto?

Qual a finalidade de cada elemento ou material?

Controlar a quantidade dos materiais que constituem o concreto é importante?

A escolha do tema "Concreto" justificou-se por ser um elemento de vasta aplicação na

construção, sendo um ponto que normalmente desperta a curiosidade dos acadêmicos,

futuros engenheíros, oportunizando também a possibilidade de um aprofundamento no

desenvolvimento de modelos matemáticos buscando a interdisciplinaridade entre uma

situação prática no Laboratório de Materiais de Construção vindo a oportunizar a

formalização de conteúdos matemáticos vistos nas disciplinas das séries iniciais do curso.

Foi solicitado ao grupo de trabalho, a investigação em revistas técnicas, normas, livros

e também junto a outros acadêmicos de séries mais avançadas, das questões levantadas, para o

próximo encontro.

Assim a pesquisa exploratória foi iniciada com a coleta de dados de ordem técnica e

curiosidades sobre o assunto. "O fato de tomar contato com outras 'realidades', procurar

captar suas particularidades e as suas generalidades são aspectos positivos na formação de um

aluno mais crítico, e capaz de fazer uma leitura mais clara de uma situação"(~

p.32). QVA) -;J

Terceiro encontro

O terceiro encontro deu-se no Laboratório de Materiais de Construção. Os 22

acadêmicos ficaram distribuídos nas quatro bancadas do laboratório (ANEXO 03- Fotos do

grupo de estudo, no laboratório). Para esse encontro dedicaram-se 4 horas.

Concluindo a pesquisa exploratória os acadêmicos trouxeram alguns artigos e capítulos

de livros sobre o concreto, entre eles:

- Artigo: A durabilidade em questão, de M.Collepardi, tradução de André Andrade.

Revista - Téchne de janeiro/fevereiro - 1999. n° 38

- Artigo: Assim Caminha a Corrosão, de Enio P. Figueiredo - Revista - Téchne de

maio/junho- 1994. nOlO

- L1V<V. r.LJ 11'•.Uvvl, .LJIC1UIVU. '--UII~n~lU ue ~lInt!nlU rUnlanO, oe L- eo. edrtora ULUHU,

Porto Alegre: 1975.

- Livro: MEHTA, P.K. Concreto Estrutura Propriedades e Materiais. Capítulo 11.

Avanços em Tecnologia do Concreto. 1985, p. 384.

Com a leitura dos artigos apareceram muitas dúvidas, pois quase todo assunto

pesquisado era novidade. As respostas quanto às dúvidas eram controladas e direcionadas

evitando prolongar as discussões em assuntos que para o momento não seriam importantes.

Os pontos principais levantados e analisados foram às quantidades dos materiais:

Como seriam controlados os materiais na obra?

Os materiais em excesso ou falta causariam algum comprometimento na qualidade do

concreto?

As possíveis causas do comprometimento da qualidade do concreto, seriam:

a qualidade dos materiais utilizados na confecção do concreto;

inexperiência e/ou falta de treinamento dos pedreiros, o excesso de confiança na

prática e falta o conhecimento técnico apropriado.

Na maioria das vezes nem tudo o que aparenta ser melhor ou mais fácil na prática, é o

melhor para atingir o aproveitamento das propriedades dos materiais.

A necessidade diária do engenheiro em fiscalizar a qualidade do concreto preparado na

obra e também do concreto quando de empresas especializadas (concreteiras) com a mistura

pronta.

Amparado, segundo as normas técnicas, o concreto deve ser testado no momento da

concretagem para verificar a relação água / materiais secos, e moldado em corpos de prova

para avaliar a real resistência do concreto oferecido pela empresa. Se mais tarde comprovada

a baixa qualidade do concreto, as responsabilidades éticas e penais, serão do engenheiro

receptor.

Chegou-se então à problemática principal:

O controle dos materiais na obra como cimento, areia e brita são de certa forma fáceis.

Mas o controle do volume de água fica muito dificil, pois a água é um material relativamente

de baixo custo e de fácil acesso em obra. Nesse momento ocorrem os problemas quanto a

finalidade da água na mistura do concreto. A faíta de água não pode ser considerada, pois

50

assim a mistura se tornaria muito seca como uma "farofa". Mas os excessos de água sim

podem ser analisados. Não apenas uma quantia, mas sim várias situações de exagero de água.

Verificou-se na análise da questão 7 do questionário inicial, algumas

respostas(hipóteses), quanto à questão do excesso da água no concreto:

-Não sei.

-Deixa o concreto menos "firme".

-Fica menos resistente. Suporta menos peso.

-Muita água deixa o concreto mole, mais fraco, menos resistente.

-O concreto terá sua estrutura comprometida, quebrará facilmente.

-Eu acho que quanto mais água na mistura, mais tempo demorará o concreto para curar.

-Compromete a qualidade do concreto.

-Umidade. Má aderência. Baixa qualidade.

-Concreto com baixa resistência, futuras rachaduras.

Porcentagens das respostas:

-escreveu algum tipo de resposta, como as anteriores: 45%.

-Não sei: 55%.

As hipóteses acima foram respondidas antes da pesquisa exploratória, sendo que essa

teve a finalidade de ampliar o conhecimento dos alunos com relação aos diversos elementos

envolvidos na elaboração do concreto (levantamento dos problemas). O grande problema

questionado pelos acadêmicos seria a quantidade de água no concreto, pois se sabe em

princípio que excesso causa problemas. Mas não se sabe em quais proporções esse acréscimo

comprometeria a qualidade do concreto. Visando a ordenação dos fatos foi elaborada uma

situação problema, com alguns dados técnicos necessários para a sua resolução. Sendo que

algumas hipóteses iniciais serão mais tarde analisadas e comparadas com os modelos

matemáticos que melhor representarão a realidade na resolução do problema (quarto

encontro).

Concluindo a situação problema tem-se o seguinte texto:

51

-Dados do concreto:

Cimento: CPV - AR!

Areia: Rio Iguaçu

Brita: n° 1

-Massa Específica(ME):

MEc'IMENTO= 3,10 g / crrr'

MEARE1A = 2,604 g / cm3

MEpEDRA = 3,00 g / cm3

rA seguir colocou-se:

Digamos que somos engenheiros e está sob nossa responsabilidade determinada obra.

Os materiais utilizados na obra são de boa procedência e atendem todas as especificações de

norma. O traço (proporção em volume ou massa) a ser utilizado será:

1: a: p: x (cimento: areia: brita : água)

1 : 2,115 : 2,654 : 0,45

já estudado e definido pela equipe técnica. Devido a problemas em algumas peças

anteriormente concretadas você decide observar o serviço do operário.

O operário está preparando a mistura, liga a betoneira e começa a misturar os materiais

adicionados (brita, água, areia e cimento). Em certo momento adiciona mais uma quantia de

água, em seguida mais uma, mais uma e mais uma ainda!(ver no segundo parágrafo abaixo, as

quatro situações). Você se aproxima do operário e interroga-o do porque adicionar essa

quantia de água a mais? O operário dentro do seu "conhecimento" responde que o concreto

estava seco, e assim ficaria dificil e pesado trabalhar.

E agora? Como o engenheiro deve proceder?

Obs: A Norma Brasileira (NBR 12655) para o concreto estabelece a moldagem de corpos de

prova do concreto ainda fresco, para a seguida verificação da sua resistência, quando

endurecidos, em ensaios de resistência a compressão. Essa prática é desenvolvida

normalmente na vida diária do engenheiro de obra (realidade), a moldagem e análise da

resistência do concreto preparado. Despertando o interesse do acadêmico para a presente

prática, embora que no terceiro ano do Curso de Engenharia essa prática é semelhantemente

desenvolvida (alterando não apenas a água, como a presente prática, mas também o cimento,

areia e pedra).

A moldagem terá como base os seguintes traços (proporções) de concreto, mantendo a mesma

quantidade de cimento, areia (a) e pedra(p) e variando apenas a água(x):

- Primeira situação (concreto em proporções ideais).

x, = 0,45 1 : 2,115 : 2,654 : 0,45 (traço 1)

- Segunda situação.

xz= 0,50 1: 2,115 : 2,654 : 0,50 (traço 2)

- Terceira situação.

X3 = 0,55 1 : 2,115 : 2,654 : 0,55 (traço 3)

- Quarta situação.

X4 = 0,60 1: 2,115: 2,654: 0,60 (traço 4)

Moldagem dos corpos de prova

Cada grupo recebeu um molde metálico cilíndrico (Figura 1). Para a moldagem dos

corpos (Figura 2) de prova (modelos experimentais) foi necessário determinar:

as dimensões e volume de molde cilíndrico;

o volume total de concreto para o traço dado;

a massa de cimento para os quatro corpos de prova;

as quantidades de água a serem acrescentadas a mais (que seria a diferença entre os

traços 0,50-0,45=0,05,,- vezes a massa de cimento).v

Figura 1: Molde metálico Figura 2: Corpo de prova de concreto