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Modelos de probabilidade

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Modelos de probabilidade - MACS 11.º

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  • 1. Modelo de ProbabilidadeDefinio de Modelo de Probabilidade Valor mdio e Varincia Populacional

2. Modelo de Probabilidade um modelo que descreve matematicamenteum fenmeno aleatrio em duas partes:primeiro, identifica os valores da varivelaleatria e, em seguida, associa a cada umdeles o valor da respetiva probabilidade. Cadauma destas probabilidades tem que estarentre 0 e 1 (ou 0% e 100%) e a soma de todasas probabilidades 1 (ou 100%). 3. Modelo de ProbabilidadeExperincia Aleatria Identificaodo espao de ResultadosCorrespondncia entre oselementos do Espao de resultadose um valor (quantitativo)Atribuio, a cada um dos valoresanteriores, a respetivaprobabilidade. 4. Exemplo:X: lanamento de duas moeda e observao das facesvoltadas para cima E = {(N,N), (N,C), (C,N), (C,C)}Correspondncia:Nmero de faces N observadas:xi = 0, 1, 2xi012pi1/4 1/2 1/4 5. Valor Mdioe Varincia PopulacionalPopulao Amostra Mdia Valor MdioE(X) ou xVarincia Varincia Populacional Amostral Var(X) = 2 Var = s2 6. Valor Mdio e Varincia PopulacionalPopulaoAmostraE(X) = =xi fixN =xi pixifri Var(X) =2=Var = s2 = = pi ( xi)2= fri ( xi x) 2 7. Exemplo:X: lanamento de duas moeda e observao das facesvoltadas para cima xi012 pi1/41/21/4 1 1 1 E(X) == xi pi 0 1 2 1 4 2 4Var(X) =2= 2 1 2 1 2 12pi ( xi) 0 1 1 1 2 1 0,5 4 2 40,5 0,707 8. Modelo de ProbabilidadeModelos discretos/Modelos contnuos Modelos finitos/Modelos infinitos 9. Modelo Discreto Associado a uma varivel aleatria discreta. Exemplos: N. de faces Nacionais observadas no lanamento de duas moedas (modelo finito); N. de telefonemas atendidos por hora na central telefnica da EBSO (modelo infinito modelo de Poisson). 10. Modelo Contnuo Associado a uma varivel aleatria contnua. Exemplos: Tempo at ser atendido na fila supermercado (modelo infinito modelo Exponencial); Durao de um anuncio publicitrio (modelo infinito modelo Uniforme); Altura dos rapazes aos 18 anos (modelo infinito modelo normal). 11. Modelos finitos e Modelos infinitosModelosFinitos - Definidos com auxlio de diagramas ou Infinitos Funes obtidas por modelao. Podemobservaes. Apresentam-se em tabelas.apresentar-se por meio de uma expresso algbrica. o caso do modelo trabalhado anteriormente.DiscretosContnuosUniformePoisson Geomtrico Binomial UniformeExponencial Normal 12. Modelos tericos (infinitos) Modelos discretos: Modelo uniforme todos os acontecimentos do espao tm a mesma probabilidade. Modelo de Poisson determina a probabilidade se observarem um determinado nmero de vezes um dado acontecimento de uma experincia num determinado perodo de tempo. Modelo Geomtrico determina a probabilidade de o nmero de realizaes de dada experincia at se obter um valor dado ser igual a k. Modelo Binomial Determina a probabilidade de, em n repeties de uma certa experincia em iguais condies, se observar exactamente k vezes o acontecimento xi. 13. Modelos tericos (infinitos) Modelos contnuos: Modelo Uniforme a probabilidade distribui-se deigual forma num dado intervalo de tempo. Modelo Exponencial determina a probabilidade de otempo de espera para a realizao de dadoacontecimento se situar num determinado intervalo. Modelo Normal Modela a maioria das distribuiescontnuas e aproxima de forma adequada asdistribuies discretas quando o nmero derealizaes da experincia que lhes est associada grande (>20). 14. Modelos tericos (infinitos) Para cada uma das variveis aleatriascaracterizadas pelos modelos referidos vamosestudar: A Expresso do modelo (se X , ento,P(X=k)=) O valor mdio (E(X)= =) A varincia e o desvio padro populacional(Var(X)= e =) Como usar a calculadora para calcularprobabilidades com base em cada um dosmodelos. 15. Modelos infinitos discretos:Modelo Uniforme Seja X uma varivel aleatria cujo o espao deresultados composto por n acontecimentoselementares equiprovveis. Ento: X U (n) e P(X=k) = 1/n O valor mdio (E(X)= = mdia entre o maior e omenor valor da v.a.) A varincia e o desvio padro populacionalcalculam-se usando as listas e o varstat do menuSTAT da calculadora. 16. Modelos infinitos discretos:Modelo de Poisson Seja X uma varivel aleatria que descreve o nmerode realizaes de um dado acontecimento numdeterminado perodo de tempo, sobre a qual se sabeque a mdia de realizaes . Ento, X modeladapor uma distribuio de Poisson:kXP( ) e P(X=k) = e , k 0, 1, 2, 3,... k! O valor mdio E(X)= = A varincia Var(X)= Calculadora: Seja X P(5); ento, P(X=6) = 0,146(2nd/distr/poissonpdf(5,6)/enter); P(2X6) = P(X 6)-P(X1) = 0.7621-0.0404 =0.7217 (poissoncdf(5,6)-poissoncdf(5,1)/enter) 17. Modelos infinitos discretos:Modelo Geomtrico Seja X uma varivel aleatria que modela o nmero derepeties de uma determinada experincia necessriasat que se obtenha o resultado xi, em que a probabilidadede ocorrer xi p (entre 0 e 1) e de no ocorrer 1-p.Ento, X modelada por uma distribuio Geomtrica deparmetro p: XGeom(p) e P(X=k)(1 p)k= 1p O valor mdio E(X)= = 1/p A varincia Var(X)= (1-p)/p2 Calculadora: Seja X Geom(0.3); ento, P(X=6) = 0.75x0.3 = 0.05 (ou 2nd/distr/Geometpdf(0.3,6)/enter); P(2X6) = P(X 6)-P(X 1) = Geometcdf(0.3,6)-Geometcdf(0.3,1)/enter=0.5824 18. Modelos infinitos discretos:Modelo Binomial Seja X uma varivel aleatria que modela aprobabilidade de um acontecimento xi se realizar kvezes em n realizaes de uma dada experincia. Aprobabilidade de xi p (entre 0 e 1) e de no acontecerxi q = 1-p. Ento, X modelada por uma distribuioBinomial de parmetros n e p: Bi(n,p) e P(X=k) = Ckn p k (1 p)n k X O valor mdio E(X)= = n x p A varincia Var(X)= n x p x (1- p) = n x p x q Calculadora: Seja X Bi(5, 0.3); ento, P(X=3) = 0.1323 (2nd/distr/Binompdf(5,0.3,3)/enter); P(2X4) = P(X 4)-P(X 1) = Binomcdf(5,0.3,4)-Binomcdf(5,0.3,1)/enter=0.4694 19. Modelos infinitos contnuos Um modelo de probabilidades diz-se contnuo selhe est associada uma v. a. Contnua. Neste caso, odomnio do modelo ser o intervalo ou intervalosonde est definida a varivel. funo modelochamamos funo densidade e o seu grfico situa-se completamente acima do eixo dos xx. 20. Modelos discretos vs Modelos contnuos Discretos Contnuos rea total Soma das compreendida entre o probabilidades grfico da funo associadas a cada valor densidade e o eixo dos da v.a. 1 xx 1 P(aXb) = rea compreendida entre o P(aXb) = P(X=a) + grfico e o eixo dos xx P(X=a+1) + () + na barra P(X=b) correspondente ao intervalo [a , b]. 21. Modelos infinitos contnuos: Modelo Uniforme Associado a v.a. contnuas que se encontramuniformemente distribudas num intervalo [a,b], isto, uma v.a. em que, dados quaisquer dois valores dointervalo, a probabilidade que lhes est associada exatamente a mesma. Seja X uma v.a. Uniforme em[a,b]. Ento:d cXU[a,b] e P(c X d) = , a c d bb a(rea do retngulo de lados d-c e b-a) O valor mdio E(X)= = (a+b)/2 Obs.: P(a X b) = 1. 22. Modelos infinitos contnuos:Modelo Exponencial Seja X uma varivel aleatria que modela a probabilidade deo tempo de espera (entre chegadas numa fila deespera, entre falhas num dispositivo eletrnico, entrechegadas de um pedido a um servidor de Internet, etc.) sesituar num dado intervalo, ento X modelada por umadistribuio Exponencial de parmetro : XExp( ) e P(a X b) =ea e b O valor mdio E(X)= =1/ No existe esta distribuio na calculadora. Assim, seja X Exp(0.2) (significa que, por exemplo, o tempo mdio de espera 1/0.2 = 5); e 0.2 2 P(2 0.2X6 6) .369ento, e 0= 23. Modelos infinitos contnuos:Modelo Normal Baseia-se na distribuio Normal, que a maisimportante distribuio contnua, j estudada no10. ano (caractersticas no manual). Se X N( , ), ento: O valor mdio E(X)= A varincia Var(X)= 2; o desvio-padro populacional Calculadora: P(aXb) = normalcdf(a,b, , ).Exemplo:Seja X N(5, 0.7); ento, P(4X6) = normalcdf(4,6,5,0.7)=0.8469

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