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Modelo de Probabilidade Definição de Modelo de Probabilidade Valor médio e Variância Populacional

Modelos de probabilidade

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Modelos de probabilidade - MACS 11.º

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Modelo de Probabilidade

Definição de Modelo de Probabilidade

Valor médio e

Variância Populacional

Modelo de Probabilidade

• É um modelo que descreve matematicamente um fenómeno aleatório em duas partes: primeiro, identifica os valores da variável aleatória e, em seguida, associa a cada um deles o valor da respetiva probabilidade. Cada uma destas probabilidades tem que estar entre 0 e 1 (ou 0% e 100%) e a soma de todas as probabilidades é 1 (ou 100%).

Modelo de Probabilidade

Experiência Aleatória – Identificação do espaço de Resultados

Correspondência entre os elementos do Espaço de resultados e um valor (quantitativo)

Atribuição, a cada um dos valores anteriores, a respetiva probabilidade.

Exemplo:X: “lançamento de duas moeda e observação das faces voltadas para cima”

E = {(N,N), (N,C), (C,N), (C,C)}

Correspondência:

“Número de faces N observadas”:

xi = 0, 1, 2

xi 0 1 2

pi 1/4 1/2 1/4

População

Valor Médio

E(X) ou

Variância Populacional

Var(X) = 2

Amostra

Média

Variância Amostral

Var = s2

x

Valor Médio e Variância Populacional

População

E(X) = =

=

Var(X) = 2 =

=

Amostra

Var = s2 =

=

ii

ii

frx

N

fxx

ii px

2)( ii xp 2)( xxfr ii

Valor Médio e Variância Populacional

Exemplo:X: “lançamento de duas moeda e observação das faces voltadas para cima”

xi 0 1 2

pi 1/4 1/2 1/4

E(X) = = 14

12

2

11

4

10ii px

Var(X) = 2 =

707,05,0

5,0124

111

2

110

4

1)(

2222

ii xp

Modelo de Probabilidade

Modelos discretos/Modelos contínuos

Modelos finitos/Modelos infinitos

Modelo Discreto

• Associado a uma variável aleatória discreta.

– Exemplos:

• N.º de faces Nacionais observadas no lançamento de duas moedas (modelo finito);

• N.º de telefonemas atendidos por hora na central telefónica da EBSO (modelo infinito – modelo de Poisson).

Modelo Contínuo

• Associado a uma variável aleatória contínua.

– Exemplos:

• Tempo até ser atendido na fila supermercado (modelo infinito – modelo Exponencial);

• Duração de um anuncio publicitário (modelo infinito –modelo Uniforme);

• Altura dos rapazes aos 18 anos (modelo infinito –modelo normal).

Modelos finitos e Modelos infinitos

Modelos

Finitos - Definidos com auxílio de diagramas ou observações. Apresentam-se em tabelas.

É o caso do modelo trabalhado anteriormente.

Infinitos – Funções obtidas por modelação. Podem apresentar-se por meio de uma expressão algébrica.

Discretos

Uniforme Poisson Geométrico Binomial

Contínuos

Uniforme Exponencial Normal

Modelos teóricos (infinitos)

• Modelos discretos:– Modelo uniforme – todos os acontecimentos do espaço

têm a mesma probabilidade.

– Modelo de Poisson – determina a probabilidade se observarem um determinado número de vezes um dado acontecimento de uma experiência num determinado período de tempo.

– Modelo Geométrico – determina a probabilidade de o número de realizações de dada experiência até se obter um valor dado ser igual a k.

– Modelo Binomial – Determina a probabilidade de, em n repetições de uma certa experiência em iguais condições, se observar exactamente k vezes o acontecimento xi.

Modelos teóricos (infinitos)

• Modelos contínuos:– Modelo Uniforme – a probabilidade distribui-se de

igual forma num dado intervalo de tempo.

– Modelo Exponencial – determina a probabilidade de o tempo de espera para a realização de dado acontecimento se situar num determinado intervalo.

– Modelo Normal – Modela a maioria das distribuições contínuas e aproxima de forma adequada as distribuições discretas quando o número de realizações da experiência que lhes está associada é grande (>20).

Modelos teóricos (infinitos)

• Para cada uma das variáveis aleatórias caracterizadas pelos modelos referidos vamos estudar:– A Expressão do modelo (se X …, então,

P(X=k)=…)

– O valor médio (E(X)= =…)

– A variância e o desvio padrão populacional (Var(X)=… e =…)

– Como usar a calculadora para calcular probabilidades com base em cada um dos modelos.

Modelos infinitos discretos:Modelo Uniforme

• Seja X uma variável aleatória cujo o espaço de resultados é composto por n acontecimentos elementares equiprováveis. Então:

– X U (n) e P(X=k) = 1/n

– O valor médio (E(X)= = média entre o maior e o menor valor da v.a.)

– A variância e o desvio padrão populacional calculam-se usando as listas e o “varstat” do menu STAT da calculadora.

Modelos infinitos discretos:Modelo de Poisson

• Seja X uma variável aleatória que descreve o número de realizações de um dado acontecimento num determinado período de tempo, sobre a qual se sabe que a média de realizações é . Então, X é modelada por uma distribuição de Poisson:

– X P( ) e P(X=k) =

– O valor médio é E(X)= =– A variância é Var(X)=

– Calculadora: Seja X P(5); então, P(X=6) = 0,146 (2nd/distr/poissonpdf(5,6)/enter); P(2≤X≤6) = P(X ≤ 6)-P(X ≤1) = 0.7621-0.0404 =0.7217 (poissoncdf(5,6)-poissoncdf(5,1)/enter)

,...3 ,2 ,1 ,0 ,!

kk

ek

Modelos infinitos discretos:Modelo Geométrico

• Seja X uma variável aleatória que modela o número de repetições de uma determinada experiência necessárias até que se obtenha o resultado xi, em que a probabilidade de ocorrer xi é p (entre 0 e 1) e de não ocorrer é 1-p. Então, X é modelada por uma distribuição Geométrica de parâmetro p:

– X Geom(p) e P(X=k) =

– O valor médio é E(X)= = 1/p– A variância é Var(X)= (1-p)/p2

– Calculadora: Seja X Geom(0.3); então, P(X=6) = 0.75x0.3 = 0.05 (ou 2nd/distr/Geometpdf(0.3,6)/enter); P(2≤X≤6) = P(X ≤ 6)-P(X ≤1) = Geometcdf(0.3,6)-Geometcdf(0.3,1)/enter=0.5824

pp k 1)1(

Modelos infinitos discretos:Modelo Binomial

• Seja X uma variável aleatória que modela a probabilidade de um acontecimento xi se realizar k vezes em n realizações de uma dada experiência. A probabilidade de xi é p (entre 0 e 1) e de não acontecer xi é q = 1-p. Então, X é modelada por uma distribuição Binomial de parâmetros n e p:

– X Bi(n,p) e P(X=k) =

– O valor médio é E(X)= = n x p

– A variância é Var(X)= n x p x (1- p) = n x p x q

– Calculadora: Seja X Bi(5, 0.3); então, P(X=3) = 0.1323 (2nd/distr/Binompdf(5,0.3,3)/enter); P(2≤X≤4) = P(X ≤ 4)-P(X ≤1) = Binomcdf(5,0.3,4)-Binomcdf(5,0.3,1)/enter=0.4694

knkn

k ppC )1(

Modelos infinitos contínuos

• Um modelo de probabilidades diz-se contínuo se lhe está associada uma v. a. Contínua. Neste caso, o domínio do modelo será o intervalo ou intervalos onde está definida a variável. À função modelo chamamos função densidade e o seu gráfico situa-se completamente acima do eixo dos xx.

Modelos discretos vs Modelos contínuos

Soma das probabilidades associadas a cada valor da v.a. é 1

P(a≤X≤b) = P(X=a) + P(X=a+1) + (…) + P(X=b)

Discretos

Área total compreendida entre o gráfico da função densidade e o eixo dos xx é 1

P(a≤X≤b) = área compreendida entre o gráfico e o eixo dos xxna barra correspondente ao intervalo [a , b].

Contínuos

Modelos infinitos contínuos:Modelo Uniforme

• Associado a v.a. contínuas que se encontram uniformemente distribuídas num intervalo [a,b], isto é, uma v.a. em que, dados quaisquer dois valores do intervalo, a probabilidade que lhes está associada é exatamente a mesma. Seja X uma v.a. Uniforme em [a,b]. Então:

– X U[a,b] e P(c ≤ X ≤ d) =

(área do retângulo de lados d-c e b-a)

– O valor médio é E(X)= = (a+b)/2– Obs.: P(a ≤ X ≤ b) = 1.

bdca ,ab

cd

Modelos infinitos contínuos:Modelo Exponencial

• Seja X uma variável aleatória que modela a probabilidade de o tempo de espera (entre chegadas numa fila de espera, entre falhas num dispositivo eletrónico, entre chegadas de um pedido a um servidor de Internet, etc.) se situar num dado intervalo, então X é modelada por uma distribuição Exponencial de parâmetro :

– X Exp( ) e P(a ≤ X ≤ b) =

– O valor médio é E(X)= =1/

– Não existe esta distribuição na calculadora. Assim, seja

X Exp(0.2) (significa que, por exemplo, o tempo médio de

espera é 1/0.2 = 5); então, P(2 ≤ X ≤ 6) =

ba ee

369.062.022.0 ee

Modelos infinitos contínuos:Modelo Normal

• Baseia-se na distribuição Normal, que é a mais importante distribuição contínua, já estudada no 10.º ano (características no manual).

• Se X N( , ), então:– O valor médio é E(X)=

– A variância é Var(X)= 2;

– é o desvio-padrão populacional

– Calculadora: P(a≤X≤b) = normalcdf(a,b, , ). Exemplo:

Seja X N(5, 0.7); então, P(4≤X≤6) = normalcdf(4,6,5,0.7)=0.8469