Modulo 8º matematica SAN PEDRO RIOBAMBA

SAN PEDRO

DE RIOBAMBA

COLEGIO PARTICULAR

A DISTANCIA

Acuerdo Ministerial Nro. 2899 10 de Noviembre de 2003

MÓDULO

AUTOINSTRUCCIONAL

DE

MATEMÁTICA

8º DE EDUCACIÓN GENERAL

BÁSICA

Nombre del estudiante:

_______________________________________

E-mail: _______________________________

Teléfono: ____________________________

[email protected] Pág.1

COMPILADO POR DR. VICT0R CAIZA Mgs.

EDUCACIÓN A DISTANCIA Y

Dirección: Espejo 17-19 y Colombia Teléfono: 2947-328

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El Colegio “San Pedro de Riobamba”, es una institución de educación a distancia cuya visión es la de formar hombres de bien; ciudadanos comprometidos y participantes dinámicos de los cambios de la comunidad y del país, propulsores de su cultura y su identidad, como importantes líderes con sólida capacitación científico - tecnológica y altos valores humanos.

El presente módulo de trabajo dispone de un sustento teórico, con ejercicios y problemas propuestos en el aula y para la casa, además las evaluaciones en cada uno de los bloques que están diseñados de acuerdo a los planes y programas, fundamentado dialécticamente con una orientación y direccionalidad abierta hacia la consolidación de una educación problematizadora, critica, reflexiva e innovadora, acorde a los avances contemporáneos.

Objetivos de institución.- Formar al estudiante en todas sus manifestaciones, mediante el uso adecuado de metodologías y valores, para convertirlo en un potencial ciudadano.

Objetivos de área.- Mantener y elevar el nivel académico en el área, mediante la actualización de conocimientos de los docentes, para participar a los estudiantes.

Objetivos de nivel.- El estudiante estará en capacidad de aprobar el primer año de bachillerato, dominando los contenidos de este período lectivo.

Objetivos de grado o de curso.- Reformular contenidos, sobre la base de un análisis pormenorizado, buscando su optimización para una promoción de estudiantes en los cuales se haya conseguido un aprendizaje significativo.

Para aprobar el módulo, tendrá que completar como mínimo 7 puntos. Si el estudiante tiene una nota entre 5 y 6,99 puntos, deberá presentarse a una evaluación recuperación sobre 10 puntos.

A continuación se describe la tabla de valores cuantificativos de evaluación:

DESCRIPCIÓN VALOR EN PUNTOS

Actividades individuales en casa (Tareas) 10

Actividades individuales en clase (Trabajo de módulo) 10

Desarrollo del Proyecto de Aula (proceso investigativo y expositivo) 10

Evaluación final escrita del modulo 10

Total (Promedio) 10

Adicionalmente, el módulo presenta secciones de autoevaluación para que el estudiante pueda

desarrollar su nivel de autoaprendizaje y autocrítica. Actividades extractase y cuestionario base para la

evaluación final.

Lee y asimila los contenidos teóricos.

Contesta las secciones de autoevaluación y actividades extraclase.

Procura construir tu propio conocimiento (auto educación).

Entiende los contenidos y fortalécelos con investigación para relacionarlos con tu vida diaria. Pide asesoramiento al tutor.

PRESENTACIÓN

OBJETIVOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

UTILIZACIÓN DEL MODULO EVALUACIÓN

Recuerda que nunca es tarde para superarte y que tienes toda la capacidad para triunfar en

la vida, está en tus manos no desaproveches esta oportunidad.

mailto:[email protected]






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Pág.

PRESENTACIÓN ..................................................................................................................... 1

OBJETIVOS .............................................................................................................................. 1

CRITERIOS DE EVALUACIÓN ............................................................................................. 1

UTILIZACIÓN DEL MODULO EVALUACIÓN .................................................................... 1

CONTENIDO ............................................................................................................................. 1

BLOQUE 1 NÚMERICO ........................................................................................................ 1

TEMA 1: INTRODUCCIÓN ..................................................................................................... 1

EVALUACIÓN EN CLASE Nº 1 ............................................................................................ 1

TEMA 2: ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS .................................................................. 1


EVALUACIÓN EN CASA Nº 1............................................................................................... 1

TEMA 3: SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS ...................................................... 1


TEMA 4: MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS ...................................................................... 1



TEMA 5: DIVISIÓN EXACTA DE ENTEROS ...................................................................... 1


TEMA 6: RADICACIÓN DE ENTEROS ............................................................................... 1



CONTENIDO SP







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BLOQUE 2 RELACIONES Y FUNCIONES .................................................................... 1

TEMA 1: INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA ......................................................................... 1

TEMA 2: CLASES DE TÉRMINOS ....................................................................................... 1

TEMA 3: REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES .................................................. 1

TEMA 4: VALOR NÚMERICO ............................................................................................... 1



BLOQUE 3 GEOMÉTRICO ................................................................................................... 1

TEMA 1: CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS ................................................................. 1

TEMA 2: CONSTRUCCIÓN DE CUADRADOS ................................................................. 1

TEMA 3: CONSTRUCCIÓN DE PENTAGONOS ............................................................... 1

TEMA 4: CONSTRUCCIÓN DE EXAGONOS .................................................................... 1



BLOQUE 4 ESTADÍSTICO ................................................................................................... 1

TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA .............................................................. 1

TEMA 2: DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS .................................................................. 1

TEMA 3: REPRESENTACIÓN GRÁFICA ........................................................................... 1



PROYECTO DE AULA ................................................................................................................ 1

EJEMPLO DEL INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN ............................................................ 1

MI DIARIO ESTUDIANTIL .......................................................................................................... 1

BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................ 1







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CONTENIDO OBJETIVOS

Números enteros

Orden de los números enteros

Operaciones con los números

enteros

Propiedades de las operaciones de

números enteros

Describir con sus propias

palabras los objetos de estudio

matemático.

Realizar cálculos mentales de

operaciones matemáticas con

precisión y rapidez.

Reconocer el uso de los

números enteros en diferentes

situaciones de la vida real.

BLOQUE 1 NÚMERICO 1







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Recordemos que el conjunto de los números naturales, los cuales surgen (se crean) por la necesidad

natural de contar, es: N = { 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9,10,……………………)

Con este conjunto y el cero, es posible realizar algunas sustracciones y otras no, por ejemplo:

8-6=2 si es posible

20-20=0 si es posible

9-12= No es posible en el conjunto de los números naturales (*)

50-90=. No es posible en el conjunto de los números naturales (*)

En conclusión, cuando el sustraendo es mayor que el minuendo (*) no podemos realizar la sustracción

en el conjunto de los números naturales. Esta es la razón fundamental para introducir en nuestro

estudio a los números con signo negativo.

CONCEPTO

Número entero es un número natural precedido del signo (+) y del signo (-)

El conjunto de los números enteros se simboliza con la letra Z.

Los enteros positivos: Z+ = {+l,+2,+3,+4,+5,+6,+7,...}

Los enteros negativos: Z- = {...,-5,-4,-3,-2,-l}

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO

El valor absoluto de un número entero es el número de unidades que dista del cero, sin tener en cuenta

el signo.

Para indicar el valor absoluto de un numero “x” utilizamos dos barras:

│x│ que se lee: “valor absoluto de x”

Ejemplo: │3│= 3 │-5│= 5 │0│= 0

RELACIÓN DE “MAYOR QUE” Y “MENOR QUE” ENTRE NÚMEROS ENTEROS

La recta numérica es aquella cuyos puntos están en correspondencia biunívoca con los números enteros.

Los negativos ( - ) a la izquierda del cero y a la derecha de éste los positivos ( + ) o naturales, colocados

a una misma distancia.

Positivos

TEMA 1: INTRODUCCIÓN

Negativos







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1. En las sustracciones propuestas, escriba el resultado en las que es posible realizar en el conjunto de

los números naturales y ponga un NO en las que no es posible.

a) 18 – 9 = b) 32 - 33 =

c) 10 – 8 = d) 12 – 15 =

e) 20 -14 = f) 5 – 24 =

2. Señale con verdadero o falso las siguientes proposiciones. Escriba el razonamiento en las que

considere falso.

0N ( )…………………………………………………………………..

-5N ( )…………………………………………………………………..

4Z ( )…………………………………………………………………..

-3Z ( )…………………………………………………………………..

-8Z ( )…………………………………………………………………..

3. Represente en un diagrama de Venn a los conjuntos de de números naturales, enteros positivos,

negativos y el cero.

4. Escriba en la recta numérica el numero entero correspondiente

5. Anote verdadero o falso las siguientes proposiciones. En caso de ser falsa escriba su razonamiento.

a. ( ) El cero no tiene signo…………………………………………………………………………………………….

b. ( ) Todo numero natural es un numero entero …………………………………..……………………...

c. ( ) El opuesto de un número negativo es negativo…………………………………..…………………..

d. ( )Todo numero entero es un numero natural…………………………………………………………….

EVALUACIÓN EN CLASE Nº 1 __________________________________________________________________

Z

0







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6. Completar

a) Los números enteros se simbolizan con ______________________________________________

b) Los puntos en la recta numérica están colocados a una ____________________ distancia.

c) Los números naturales se localizan a la ___________________________del cero y los

_______________________________ se localizan a la izquierda del ________________________

d) Los números _____________________________ son más grandes cuando están más a la

_______________del cero.

e) Cualquier número entero positivo es____________________ que cero.

7. Escriba el valor absoluto de los siguientes números enteros.

│-5│= │6│= │-15│= │0│= │1│=

│-35│= │205│= │4│= │-1│= │a│=

8. Anote 3 ejemplos de dos números opuestos.

a………………………….. b…………………….. c………………………….

9. Escriba entre los números planteados el signo de "mayor que". "igual" o "menor que", según sea el

caso.

-1………... 1 5……........-8 -4…….…..-9

7………... 13 -4…….…. -3 -10…….….-5

-10... ….. +10 -180…….-100 -100……..100

10. Ordene de mayor a menor, los números enteros:

a) 8, - 3, 1, - 2, - 5, 6, 4, 0, - 10, -1 _______________________________________

b) -9, 10,-1,+6, 0, 5 ,-5, 3, 9, 2, 1 y -4 _______________________________________

c) - 15, 20, 5, -5, -12, -9, -4, 18, 14, -21 _______________________________________

d) - 20,-25, 15, 20, -30, -35, 40, - 50, 60 _______________________________________

11. Ordene de menor a mayor, los números enteros:

a) -6, 18, -24, 36, -42, -18, 48, -54, -72, 78, -84 _______________________________________

b) 10, -3, 2, -11, 3, -5, 0, -2, +8, y 100 _______________________________________

c) 27, -63, 45, 81, -96, -108, 99, - 117, 144, - 180 _______________________________________

d) 88, -96, -104, 160, 320, -480, 560, -720, - 24, 64 ______________________________________







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PRIMER CONCEPTO

La suma de dos números enteros del mismo signo es otro entero, cuyo valor absoluto es la suma de los

valores absolutos de los sumandos y su signo es igual al signo de los sumandos.

Ejemplos: (+6) + (+8) = +14

(-4) + (-5) = - 9

SEGUNDO CONCEPTO

La suma de dos números enteros de distinto signo es otro entero, cuyo valor absoluto es la diferencia de

los valores absolutos de los sumandos y su signo corresponde al sumando de mayor valor absoluto.

Ejemplos: (+7) + (-2) = +5

(+5) + (-8) = -3

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

PROPIEDADES DEFINICION EJEMPLO

CLAUSURATIVA En la adición de dos o más números enteros, la suma es otro número entero.

3+1 = 4

CONMUTATIVA El orden de los sumandos no altera la suma 4 + 5 = 5 + 4 = 9

ASOCIATIVA Los sumandos pueden adicionarse de cualquier manera y la suma es la misma

3 + ( 4 + 5 ) = ( 3 + 4 ) + 5 3 + 9 = 7 + 5 12 = 12

MODULATIVA Al adicionar un número entero con el cero, la suma es el mismo sumando

4 + 0 = 4

OPUESTO La adición de dos números opuestos o simétricos es cero

4 + (-4) = 0

UNIFORME Sumando o restando un mismo número en los miembros de una igualdad, ésta no altera

Sea la igualdad 3 + 5 = 8 Sumando un mismo número 3 + 5 + 6 = 8 + 6 14 = 14

MONOTONIA Sumando miembro dos o más desigualdades del mismo sentido o una igualdad con una desigualdad se tiene una desigualdad del mismo sentido

Sean dos desigualdades: 8 > 5 y 10 > 4 Sumando miembro a miembro 8 > 5 + 10 > 4 18 > 9

TEMA 2: ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS







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1. Determinemos las sumas siguientes:

(+3) + (+8) = (-2) + (-15) =

(+4) + (+23) = (5) + (18) =

(-10) + (-10) = (-14) + (-6) =

(-52)+ (+40)= (+17)+ (-16)=

2. Anote la respuesta en la adición de números enteros del mismo signo.

a)3 + 7 + 6 =_______ b)4 + 5 + 8 =__________

c)9 +10 + 13 + 8 =_______ d) 11 + 15 + 24 + 29 =_________

g) -38 - 39 - 45 - 53 - 67 =_______ h)– 9 – 5 – 7 – 15 – 10 =__________

3. Determine en la recta numérica las adiciones propuestas:

(+5) + (+8) =

(-3) + (-6) =

(- 10) + (+15) =

(- 7) + (+ 13) =


-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13







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2. Aplique la propiedad asociativa.(sume los positivos y los negativos por separado luego reste)

(+ 10) + (- 13) + (- 6) + (+ 20) + (-11) + ( 9) =

3. Unir con una flecha la propiedad que corresponda al ejemplo propuesto:

Propiedad Modulativa. 3 + 5 = 8

Propiedad del Opuesto. 3 + 0 = 3

Propiedad Conmutativa 3 + ( - 3 ) = 0

Propiedad clausurativa ( 3 + 5 ) + 4 = 3 + ( 5 + 4 )

Propiedad asociativa 3 + 5 = 5 + 3

4. Laura gana inicialmente $ 75.85 y luego $ 122.33 ¿Cuánto ha ganado en total?

5. Roberto pierde $ 135.45 y luego gana $ 233.83 ¿Cuánto ha ganado o perdido?

6. Parta de las desigualdades propuestas y ejemplifique la propiedad de monotonía

- 10 < - 8 - 6 > - 10







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1. De las sustracciones propuestas, señale con una X las que son posibles en el conjunto de

los números naturales.

9 - 30 ( ) 17 - 40 ( )

25 - 109 ( ) 217 - 1 18 ( )

2. Determine la diferencia (resta) entre números naturales (caso de ser posible).

16 - 27 = 117 - 94 =

228 - 36 = 265 - 300=

3. Determine los valores absolutos

| +290 | = | -630 | =

|-10 | + |-20| = |+5| - | -9| =

4. Escriba entre los siguientes números el signo “mayor que”, "igual" o "menor que”,

según sea el caso

+3...... -7 5....... +5 -30...... +25

-25...... -30 +30..... -50 -10.... +10

5. Ordene los siguientes números:

En forma ascendente: -7.0, 2, -3,+ 10,-8, -6, 7, -4.

En forma decreciente: 0, -8, 9, 10, + 13, -10, -5, 1

En forma creciente: 3, -2, 4, -5, -7, -20, 15, 1, 0, 8

En forma descendente: -22, -54, -81, 5, +4, -33, -102, +204, 8, -13

6. Represente en la recta numérica de los enteros, las siguientes adiciones.

(-8) + (+13) = +5 (-7) + (-2) = -9

(6) + (3) = 9 (4) + (-10)= -6

7. Utilice cualquier procedimiento de la propiedad asociativa y halle la suma.

(-17) + (-6) + (8) + (-12) + (16) =

(-3) + (9) + (15) + (10) + (-50) =

(-2) + (+6) + (-82) + (-30) + (+69) =

(+35) + (79) + (-608) + (348) + (-109)=

8. Escriba a la derecha de cada ejemplo, el nombre de la propiedad aplicada

a. (-7) + (-8) = (-8) + (-7) …………………………………………

b. -11 +0 = -11 ………………………………………..

c. (20) + (-20) = 0 ………………………………………..

d. -12 + (35-78) = (-12+35) + (-78) …………………………………………

9. Cierta fábrica produjo 80756 carros en 1993, mientras que en 1994 produjo 7809 carros

más que el año anterior y en 1995 produjo 10300 carros más que en 1994. Determine el

número de carros que la fábrica ha producido en estos tres años.

EVALUACIÓN EN CASA Nº 1 _________________________________________________________________







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La diferencia de un número entero a con un entero b, es otro entero c tal que sumado a b, es igual a a.

a - b = c tal que c + b = a

En el conjunto de los números enteros siempre es posible efectuar una sustracción, cosa que no sucedía

siempre en el conjunto de los números naturales.

Conocemos la suma que es el minuendo ( m ) y uno de los sumandos que es sustraendo ( s ) y se

busca el otro sumando, la diferencia ( d ).

d + s = m

De modo que la sustracción no es más que una adición.

d + s = m

m – s = d

m - d = s

Estas dos igualdades nos permiten verificar o comprobar la sustracción.

Regla:

Para restar, se escribe el minuendo con su propio signo y el sustraendo con signo cambiado.

La sustracción en z es una operación binaria y cerrada que consiste en hallar un numero d , tal que

sumado con s nos de m.

Ejemplos:

1. De 17 restar – 5

17 – ( - 5 ) =

17 + 5 = 22

2. Restar 14 de – 20

20 – 14 = - 34

3. De 15 restar – 17

15 – ( - 17 ) =

15 + 17 = 32

4. Restar 65 de 48

48 – 65 = - 17

PROPIEDADES DE LA SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

1. CERRADA

La sustracción de dos números enteros es otro número entero

Ejemplo: Sean 8 y 15 8 – 15 = - 7

2. ANTICONMUTATIVA O ANTISIMÉTRICA

El orden de los términos cambia la diferencia

Ejemplo: Sean -3 y 9 R

Si (-3) – 9 = 9 - ( - 3 )

Luego – 12 12

TEMA 3: SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS







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3. NO ES ASOCIATIVA

Ejemplo: Sean 9, - 14 y 21 Z

Si: (9 – 4) – 2 = 9 – (4 – 2)

Luego: (5) - 2 = 9 - ( 2)

Como se ve 3 7

POLINOMIO ARITMÉTICO

Un polinomio aritmético es una combinación de adiciones (sumas) y sustracciones (restas) de números.

Algunas veces, es necesario conocer el resultado de dichas operaciones, para lo cual aplicamos un

proceso fundamentado en la propiedad asociativa.

Ejemplo: (+6) - (-8) + (-7) - (+4) - (+8) + (+2) = 6 +8 -7 -4 -8 +2 = 16 - 19 = -3

SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Antes de estudiar la supresión, recordemos los signos de agrupación más utilizados:

Los paréntesis ( )

Los corchetes [ ]

Las llaves { }

Ejemplos: 8 + (- 9 + 6)

4 + [- 3 + 9 (- 2)]

2 + {- 3 + (- 5) - 7}

Para la supresión de los signos de agrupación, es conveniente aplicar las siguientes reglas:

Regla 1:

Todo signo de agrupación precedido del signo (+) puede suprimirse, escribiendo los números que

encierra, con sus propios signos.

Ejemplo: 5 + (- 8 + 7 - 9 ) -4 + (-7 + 6 ) = 5 - 8 + 7 – 9 - 4 - 7 + 6 = 18 – 28 = -10

Regla 2:

Todo signo de agrupación precedido del signo menos puede suprimirse, escribiendo los números

que encierra con signo cambiado

Ejemplo: - (5 – 7) – (- 4 + 8) = -5 + 7 + 4 – 8 = 11 -13 = -2

Ejemplos de las dos reglas: (Se suprime en orden los signos de agrupación)

1. 8-[-3-(-6+9)-11]-5-(-8)= 8 - [-3 + 6 - 9 -11] - 5 + 8 = 8 + 3 - 6 + 9 + 11 - 5 + 8 = 39 - 11 = 28

2. -4+(-4+2)+5-{[-3-(4-5)]+5}-8= -4-4+2+5-{[-3-4+5]+5}-8= -4 -4 + 2+ 5 -{-3 -4 +5 +5}-8 = -4 -

4+2+5+3+4-5-5 -8 = -12







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1. Transforme las sustracciones dadas a adiciones o escriba directamente el resultado

a) 10 - (-15)= b) 10 -13 =

c) - 8 - (-12)= d) 18 - 9 =

e) 50 - (-100) = f) 55 - 120 =

2. Complete

a) La sustracción en z es una operación ____________________ y ___________________

b) Para restar se cambia el signo del ____________________________________________

c) La sustracción es inversa de la adición porque se busca un número que ______________ con el

_________________de ________________

d) Restando miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido , la diferencia es otra

_______________________________________________

3. Halle el valor correspondiente al polinomio aritmético dado.

a) 12 - 17 + (-3) - (-6) + 9 + (-7) =

b) 10 + 18- 13 - 100 + 25 - 56 + 37=

c) 45+23-5+32-7+4-12+20-15+23=

4. Suprima los signos de agrupación y halle el valor de la expresión:

a) (-28 + 9) + (+ 7 + 8) - 18 - (-9) =

b) (-17+15)-[9-8-10]-(-6)=

c) -4-[-5-(-8+12)+1]-7=

d) -[(-12+4)-3]-6-{-2-[-(-5+9)+8]}=

5. Resuelva los siguientes problemas

Si de 25 restamos -30 ¿Cuál es la diferencia?

Si de -89 restamos -35 ¿Cuál es la diferencia?

Si restamos -9 de -15 ¿Cuál es la diferencia?

Si restamos 21 de -15 ¿Cuál es la diferencia?

6. Juan sale de su casa con $6.00, paga una deuda de $3.20, luego cobra a un cliente $2.50, después

paga otra deuda de $8.30 y finalmente cobra a otro cliente $8.50 ¿Cuánto de dinero tiene?








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El producto de dos números enteros diferentes de cero es otro número entero cuyo valor absoluto es el

producto de los valores absolutos de los factores y cuyo signo es positivo o negativo, de acuerdo a la

regla de los signos

Recordemos por ejemplo: (- 5) + (- 5) + (- 5) + (- 5) = - 20, la podemos expresar en forma de

producto: (- 5) x 4 = -20. Por lo que consideramos a la multiplicación como una suma abreviada.

LOS SIGNOS DE LA MULTIPLICACIÓN

Primer caso.- Cuando los dos números enteros tienen el mismo signo.

El producto de dos números enteros con el mismo signo es positivo.

Ejemplo: (3) (5) = 15 (-4) (-2) = 8

Segundo caso.- Cuando los dos números enteros tienen diferente signo.

El producto de dos números enteros con diferente signo es negativo.

Ejemplo: (-5) (5) = -25 (7) (-2) = -14

En conclusión, para multiplicar números enteros, tenemos la regla general de los signos

+ por + = +

- por - = +

+ por - = -

- por + = -

NOTA: Todo número o cantidad multiplicada por cero es igual a cero.

Ejemplo: 3 x 0 = 0

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN

1. PROPIEDAD CLAUSURATIVA

El producto de dos números enteros es otro entero

Ejemplos: 3 x 5 = 15

2. PROPIEDAD CONMUTATIVA

El orden de los factores no altera el producto

Ejemplos: 4 x 7 = 7 x 4 = 28

3. PROPIEDAD ASOCIATIVA

Los factores pueden asociarse de cualquier manera y el producto es el mismo

Ejemplos: 2 x ( 4 x 5 ) = ( 2 x 4 ) x 5

2 x 20 = 8 x 5

40 = 40

TEMA 4: MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS







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4. PROPIEDAD MODULATIVA

Todo numero entero multiplicado por 1 es el mismo numero entero.

Ejemplos: 4 x 1 = 4

5. PROPIEDAD UNIFORME

Si multiplicamos un mismo numero a ambos miembros de la igualdad se mantiene la misma

igualdad

Ejemplos: 3 x 5 = 15

(3 x 5) x 2 = 15 x 2

30 = 30

6. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

La multiplicación es distributiva con respecto a la adicion y sustracción de números enteros.

Ejemplos: 2 ( 3 + 5 – 4 ) = 2(3) + 2(5) – 2(4) = 6 + 10 – 8 = 8

1. Escriba el producto en cada multiplicación.

a)-7 x 30 = b)-7 x (-10) = c)-16 x (-8)=

d)10 x (-5) = e)-6 x 11 = f)4 x (-12) =

2. Complete la tabla de doble entrada

x 5 -7 -12 9 0

-6

11

-5

100

3. Aplique la propiedad distributiva, multiplique los polinomios.

(-6 ) (-8 + 7 - 9)=








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(8 - 12) (-4 + 7 - 6)=

4. Suprima los signos de agrupación y halle el valor de la expresión. Respuesta 21

-6 - {4 + 2[-3(-2 + 5) + 2]-10} + 7

5. Compruebe que el valor de la expresión propuesta es - 55 {emplee cualquier proceso)

- 15 + 8 (- 9 + 7) - 6 [- 7 (- 2 + 1) - 3]=







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1. Transforme a adiciones y luego halle el resultado de las sustracciones planteadas

(-3) - (-2)= (+8) - (9)= (-15) - (23) =

(-54) - (+45)= (7409) - (-8976) = (-72) - (-609 ) =

2. Halle el valor que corresponde a los siguientes polinomios aritméticos.

a) 7 + 6 - 9 - 8 - 4 - 3 - 10 = b) (- 7) + (- 6) + (- 8) + (9) - (-10) + (-10) =

c) -16 + 83 - 66 - 39 - 68 + 109 = d) -367 - 908 - 674 - 606 - 104 =

3. Suprima los signos de agrupación y halle el valor de la expresión.

a)- {- 6 + [- 4]} - 3 + [- 2 - (5 + 10)] = b) [- 4 + 5] - {[- 3 + 10] - [- 6 + 5]} - 7 =

c)13 - {- 8 - [- 6 - (- 3 + 12)- 5]} - 4 = d)15-{- [-4 + (-3-2)] -8-[-6-(10-4)]} - 6 =

4. Realizar

a) De - 70 reste 58. b) Reste 10 de - 120. c) De 99 reste - 70.

d) Reste - 740 de -487. e) De -997 reste -678 f) De 828 reste -659

5. Realice (escriba) la operación y halle el producto.

a) (- 72) x (+ 9083) = b) (+ 745) x (- 87) = c) (675) x (- 1876) =

d) (- 10) (2) (- 5) (+ 3)(- 1) e) (+ 879) x (-609) = f) (10) (- 4) (- 3)(- 2)(5) =

8. Complete la tabla de multiplicación

x 4 -7 -9 10 0 -12 5

2

-8

-11

9. Aplique la propiedad distributiva y halle el valor de la expresión

a) (- 8 + 9 - 7 - 6) x (- 4) = b) 100 x (- 20 + 40 - 35 - 87) =

c) -8 ( 6 - 7) + 9 (-6 + 3) - (8 - 3) = d) -3 (-2 + 4) -2 (-7 + 1 ) - 10 =

a) (- 7 + 6) (- 8 + 9) = b) (-3 + 2 - 4) (-4 + 9) =


a) 9 + [- 3 (- 2 + 1) + 5] - 4 = b) 10 + 3 {- 2 (- 3) - (4 - 2)(- 2)} =

c) 8 - {- 4 [- 2 + 4 (- 3 + 7)]} = c) - 2 {- 9 +[- 2 + 5(- 2 + 7)8]} =

11. Isabel gana $32.45 y luego pierde sucesivamente $18.60, $33.60 y $95.20 $ ¿Cuánto

gana o pierde?

12. Un velocista se desplaza a 9 metros por segundo ¿En cuántos segundos recorrerá una

distancia de 10 Km.?








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El cociente de dos números enteros es otro número entero, cuyo valor absoluto es el cociente de los

valores absolutos de los enteros dados y su signo es positivo o negativo, de acuerdo a la regla de

los signos.

Antes de anotar ejemplos de esta operación, aclaremos que la división de números enteros no cumple la

propiedad clausurativa.

Por ejemplo, 5 2= 2,5 que no es un entero. Para que el cociente de números enteros, sea otro número

entero, es necesario que el dividendo sea múltiplo del divisor

Ejemplos: (-8) (-4) = 2

(54) (-6) = - 9

LOS SIGNOS EN LA DIVISIÓN

La división, al ser una operación inversa de la multiplicación, maneja de manera similar las leyes de los

signos.

El cociente de dos números enteros de igual signo es positivo y el cociente de dos números enteros

de distinto signo es negativo.

EL CERO EN LA DIVISIÓN

El cero como dividendo: 5 0 = no es posible la división para cero

El cero como divisor: 0 2 = 0

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

La división es distributiva con respecto a la suma y resta por la derecha.

Ejemplos:

(8 -10 +6 ) (-2) = -4 +5 -3 = -2

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

CONCEPTO

Potencia enésima de un número entero a es el producto de n factores iguales a a

Ejemplos:

(3)2 = (3) x (3) = 9

(- 4)3 = (- 4) x (- 4) x (- 4) = -64

(- 5)2 = (- 5) x (- 5) = 25

EL CERO EN LA POTENCIACIÓN

El cero como base: 03 =0

El cero como exponente 50 =1

TEMA 5: DIVISIÓN EXACTA DE ENTEROS







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REGLAS DE CÁLCULO CON POTENCIAS

PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

El producto de potencias de igual base es otra potencia con la misma base y exponente igual a la

suma de los exponentes.

Ejemplo: (3)2 (3)4 = (3)6

COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

El cociente de potencias de igual base es otra potencia con la misma base y exponente igual a la

resta de los exponentes.

Ejemplo: (-4)5 (-4)3 = (-4)2

POTENCIA DE POTENCIA

La potencia de potencia de igual base es otra potencia con la misma base y exponente igual al

producto de los exponentes.

Ejemplo: [(2)2 ]5 = (2)10


La potenciacion es distributiva para la multiplicación y división.

Ejemplos

[(-3) x (-5)]3= (-3)3 . (-5)3

[(-12) (-3)]2= (-12)2 (-3)2

La potencia NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA

1. Realice la división y halle el cociente:

24682 -1624 (-29)








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5120 (-16) -33915357

2. Halle un número que multiplicado por -83 de cómo producto 3486

3. Aplique la propiedad distributiva y luego compruebe.

(48-36+42) 6 =

(-27+18-12+15) (-3) =

4. Suprima los signos de agrupación:

8 (5-3) + (24-12+8) 2=

5. Escriba como potencia las siguientes multiplicaciones:

(-7) (-7) (-7) (-7) (-7) (-7) =

(41) (41) (41) (41)=

6. Escriba el desarrollo y halle la potencia

(4)3 = (-3)3 =

(9)3 = (-10)2 =

(8)2 = (0)2 =

(-2)5 = (-8)3 =

(11)0 = (-1)5 =

7. Aplique la respectiva regla de cálculo y halle el valor de la potencia

(2)2 (2)4 = (-4)3(-4)0(-4)2 =

(-5)4 (-5)2 = (9)8 (9)5 =

[ (-5 )2 ]3 = {[(-2)2]1}3 =

{(-8)(7)}2 = [(-3)(-5)]3 =







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8. Aplique la propiedad distributiva y compruebe que el valor es 76

{(-3) (-2)}2 - 4 (-3 + 5) - 8(-2)(3)=

9. Compruebe que el valor de la expresión es -22

(-4)3 (-4) + 2 {-2 (-3)2 - 12 (-2)2 + [(-2) (-1)4 + 4]}

Recordemos que la radicación es una operación inversa a la potenciación.

Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene dos resultados,

uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado positivo.

Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando

Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices.

Ejemplos:

2 4 = 2 porque 22 = 4 (-2)2 = 4

3 27 = -3 porque (-3)3 =-27

25 = 5

2 16 = 16 = 4 El índice 2 puede ser omitido (esta sobreentendido)

26464 63


La raíz se distribuye para cada factor y luego se extrae

Con respecto a la multiplicación

305322594)25)(9)(4(

Con respecto a la división.

25

10

25

100

25

100

NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA

TEMA 6: RADICACIÓN DE ENTEROS







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1. Encuentre la raíz (caso de ser posible) y justifique con la potenciación:

a) 16 = b) 9 = c) 100 =

d) 144 = e)3 8 = f)

3 64 =

g)4 81 = h)

5 32 = i) 4 1 =

j) 4 = k)4 16 = l)

3 125 =

m) 49 = n) 81 = o) 3 8 =

2. Aplique la propiedad distributiva y halle el valor. Caso de ser posible explique la razón.

a) 369 =

b) 169 =

c)3 827 =

d) 3 )27)(8( =

e)25

64=

f) 64125 =

g) 36144 =

h) 1664 =

i) 3 )1000(8 =

j) 3

27

125=

3. Suprima los signos de agrupación y halle el valor de la expresión

32 124 + [(-3) x 2 + 4]2 +3 225








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1. Realice la operación y halle el cociente.

a) 63 9 = b) 72 8 = c) 54 (- 6) =

d) 250 10 = e) 42 (9) = b) 891 - 99 =

2. Aplique la propiedad distributiva y halle el valor de la expresión.

a) (6- 2+ 4- 8) (- 2) = b) (-30+70) 10 =

c) (-90 - 36 -18) (-9) = d) (-56+72) (-8) + (42 - 63) 7 =


5 {-6 - (-16) : (-4) +[ 8 (-4) -5] } -20 =

-4 + 15 : (-3) + {-2+3 [-20: (-4) +6] } -4 =

4. Se reparten $ 2.075.oo entre varias personas por partes iguales y a cada una le toca $ 25.oo

¿Cuántas eran las personas?

5. Escriba el desarrollo y halle el valor de la potencia.

(-5)4 = (-2)3 = (-3)5 = (6)2 = (-8)3 = (-10)2

(5)4 = (3)5 = (-6)3 = (-7)5 = (10)5 = (-1)'° =

6. Aplique y compruebe las reglas de cálculo con potencias.

(- 6)12 (- 6)7 =

{-3)2 x (-3)3 x (-3) =

{(3)2}3 =

7. Aplique la propiedad distributiva de la potenciación y halle el valor.

[(-6) x (-5) x (-2)]3 =

[(-10) (-2)]3


- 4 -(-3)(-2)2+ {-6 - 3[-8+(-4) + 7]} =

8 - 9 (-3)2 + {[8+16 (-2)3+5(-3)]-2 } - 10 =

9. Halle la raíz (en caso de ser posible) y compruebe con la potenciación.

121 = 15 = 144 = 36 = 25 =

100 = 400 = 3 8 =

3 64 = 3 15 =

3 27 = 4 81=

5 243 =

10. Aplique la propiedad distributiva y halle el valor de la expresión:

a) 425 b)100

400 c) 3 )1)(8)(27(

d) 3 )8()64( e) 4 16256 f) 5 )1()32(

11. Resolver 324 27)2(59814162568








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CONTENIDO OBJETIVOS

Introducción al algebra

Expresiones algebraicas

Elementos de un termino

Grado de un termino

Clases de términos

Clase de expresiones algebraicas

Reducción de términos semejantes

Valor numérico

Términos y coeficientes

Expresar un enunciado simple en lenguaje matemático

Reconocer y agrupar monomios

homogéneos

BLOQUE 2 RELACIONES Y FUNCIONES 2







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El álgebra es considerada como una aritmética generalizada porque intervienen o es la combinación de números y letras. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Término.- Es una expresión que consta de uno o varios símbolos.

Ejemplo: 5a; -3xy; 5x2; 6xn; - 43

3

2nm ; 2 (a + b) 3

ELEMENTOS DE UN TÉRMINO Los elementos de un término son:

- 5 x 3 exponente

Parte literal

El signo de un término puede ser positivo si lleva el ( + ) y negativo si lleva el ( - ). El coeficiente puede ser un número entero, racional e irracional. La parte literal puede ser cualquier letra minúscula del alfabeto. El exponente puede ser un número, una letra, o las dos cosas.

Ejemplos: 2x3; 5m; -y; 4x2y3; 10; -5am ; 3ux + 2; -2

3a3b2

GRADO DE UN TÉRMINO En un término se distinguen dos grados: absoluto y relativo. Grado absoluto.- Es la suma de los exponentes de las letras del término.

Ejemplo: 4p 3 g5 , es de octavo grado ( 3 + 5 = 8 ) Grado relativo.- Consiste en indicar cada uno de los exponentes de cada variable. Ejemplo: - 6 m 2 n 4, con relación a m es de 2do grado y con respecto a la n es de 4to grado.

1) Por el signo son:

Positivo.- Si le precede el signo + : 49 a 5 b 6.

Negativo.- Si le precede el signo - : -36 x 7 y 14. 2) Por el coeficiente son:

Entero.- Si no hay denominador literal: - 4 p 6 q 9 ; xavu4

3

Fraccionario.- Si hay letra o letras en el denominador: -p5

2 ,

835

4

nm

Racional.- Si no hay radical: 3 x 4 y 9 ; -0.6 m 7

Irracional.- Si hay radical: xy3 ; ab

m

5

4

TEMA 2: CLASES DE TÉRMINOS

TEMA 1: INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA

Signo

Coeficiente







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3) Por el exponente:

Homogéneos.- Tienen el mismo grado absoluto: 9 x 2 y 5 ; 4 x 4 y 3

Heterogéneo.- Tienen diferente grado absoluto : - 8 a 3 b 5 ; 3

2 y 2 z 8

Semejantes.- Tienen la misma parte literal y el mismo exponente. 7 a 4 b 2 ; - 3 a 4 b 2 ; + 7.2 a 4 b 2

Diferentes.- Son aquellos que varían en su parte literal y / o en el exponente. 68 m 5 n 3 ; 81 n 5 o 6

CLASES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se distinguen dos clases de expresiones algebraicas que son: simples y compuestas. 1. Simple o Monomio.- Es aquel que está constituido por un solo término.

Ejemplo: 45 m 10 ; 69 x 7 y 3 2. Compuestas o Polinomios.- Se forma de la suma de dos o más monomios donde cada

sumando es el término del polinomio. Puede ser una variable, dos o tres variables. Ejemplos: x 4 - 2 x 3 – 4 x 2 + 7 x +19.

Binomios.- Son los que están formador por dos términos: Ejemplo: m + n

Trinomios.- Constan de tres términos: Ejemplo: a + b + c.

Polinomios.- Consta de más de tres términos.

Ejemplo:: 432234 2625 yxyyxyx

CLASES DE POLINOMIOS 1. Completo.- Cuando los exponentes de las letras de sus términos están en orden sucesivo

desde el mayor al menor o viceversa. Ejemplo: 2u 4 – 3u 3 v + 7u 2 v 2 – 5u v 3 – 6v 4 2. Incompleto.- Cuando faltan algún o algunos términos.

Ejemplo: h 5 + h 3 g2 - h2g3 + h g4 - g 5 Es incompleto falta el término -h 4 g. 3. Ordenado.- El orden de un polinomio puede ser creciente o decreciente.

Creciente.- Cuando está ordenado desde el término de menor exponente hasta el mayor en forma sucesiva con respecto a una de las letras, llamada ordenatriz. Ejemplo: 4 – 5 a + 8 a 2 + 2 a 3 + 6 a 4

Decreciente.- Si está ordenado sucesivamente desde el término de mayor hasta el de menor exponente con respecto a una de sus letras. Ejemplo: m 4 – 7 m 3n + 14m 2 n 2 – 36 m n 3 +24 n 4







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1. Reducción de términos semejantes del mismo signo.- Se suman los coeficientes y se escribe la letra y el mismo signo. Ejemplo: Reducir 3x + 45x + 2x = 50 x

2. Reducción de términos semejantes de distinto signo.- Se resta el menor del mayor y se

escribe la diferencia con el signo del coeficiente de mayor valor absoluto. Ejemplo: Reducir: 5 a – 7 a = - 2 a.

3. Reducción de términos semejantes de distinta clase.- Se reduce clase por clase.

Ejemplo: Reducir: -8x + 4y – 6x +9y Reduciendo se tiene, -8x-6 x = - 14x ; 4y + 9y = 13y. Por lo tanto se tiene = -14x + 13y

Resulta de reemplazar el valor asignado a una letra en una expresión u operación algebraica. Ejemplo:

Hallar el valor de las operaciones si: a = -1 , b = 2 , x = 41 , y - 53 , m = 1

a – b + x – y – m.

20

63

20

2012540201

5

3

4

1211

5

3

4

121

1) Complete:

La expresión que tiene uno o varios símbolos se denomina_______________________________

Los elementos de un término son: signo, _________________P. literal y ___________________

En un término encontramos grado ______________________ y _________________________

Los Polinomios pueden ser completos, ____________________y __________________________


TEMA 4: VALOR NÚMERICO

TEMA 3: REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES







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2) Indique los elementos y el grado de los términos siguientes:

TERMINO SIGNO COEFICIENTE P. LITERAL EXPONENTE GRADO

3 x4

-5a

-m

-4x2y2

3) Complete el organizador gráfico de la clase de términos

4) Ordene los polinomios en orden ascendente

.

-a 4 + 2 a – 3 a 3 + 19 a 2 – 34 R:__________________________________

27 + 36 c 5 –21 c 2 + 22 c 4 –54 c 3 – 2 c R:__________________________________ 5) Anote el o los términos que faltan para completar el polinomio.

4 x 4 + x2 - 16 x – 12 R:_______________

8 zn + 3 zn+2 - 4 zn+3 - 5 zn+4 R:_______________

CLASE DE TÉRMINOS

POR EL SIGNO

ENTERO

HOMOGÉNEO







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6) Efectuar la reducción de términos semejantes

- 5 + 6 + 2 – 4 =

3m – 8m + m + 6m – 5m =

- 4 b – 6 b – 7 b – 10 b =

7y + 12y + 3y + 6y =

2x2 – 5x + 8x – 4x2 + 9x2 =

-3xy2 + 5x2y – 9x2y + 5xy – 7xy2 + xy = 8) Hallar el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes si x = 5; y = - 3 ; z = 1/2:

x + y + z =

2x – 3 z – y =

x2 – 2 xy + z2 =







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1) Efectuar la reducción de términos semejantes

- 15a + 26a + 33a – 54a -2a =

13m – 54m + 12m + 61m – 51m =

- 14 b – 16 b – 37 b – 30 b =

8xy + 2y + 3xy + 5x + 16y -10x =

12x2 – 15xy + 9x – 14x2 + 4y2 - x2 – 5y + 9xy + 4x2 + 5y2 =

-5xy2 + 8x2y – x2y + 8xy – 6xy - 7xy2 + 10xy - 12= 9) Hallar el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes si x = -2; y = 3 ; z = 1/3:

x + 2y - z =

- 2x – 3 z + 10y =

x2 – 2 xy + z2 =








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CONTENIDO OBJETIVOS

Construcción de triángulos

o Elementos de un triángulo

o Clasificación de los triángulos

Construcción de Cuadrados

o Elementos de un cuadrilátero

o Clasificación de los

cuadriláteros

o Construcción

Construcción de Hexágono

Construir figuras geométricas con el uso de la regla y del compás siguiendo pautas especificas

Conocer los conceptos geométricos elementales y aplicarlos en problemas de la vida cotidiana

Definir y representar medianas, mediatrices, alturas y bisectrices de un triángulo en gráficos

Determinar el baricentro, ortocentro, incentro y circuncentro en gráficos

Utilizar los medios informáticos para la representación de figuras geométricas

BLOQUE 3 GEOMÉTRICO 3







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Para construir un triángulo con compás y regla se sigue los siguientes pasos que se indican en cada caso. CASO 1: Construir un triángulo conocidos los tres lados

CASO 2: Construir un triángulo conocidos dos lados y el ángulo que forman

1. Sea a= 6cm, b=7 cm y C=45°.

2. Se dibuja el segmento que

representa al lado “a”.

3. Desde un extremos que es el

vértice C del triángulo, se

levanta el ángulo conocido

4. Se trazan la longitud del lado “b”

5. Y se traza el lado “c” desde el

punto A hasta el punto B que

son los vértices del triángulo.

a=6cm

b=7cm c

C

A

B

45°

1. Sea a= 6cm, b= 5cm y c=3cm.



3. Sobre los extremos que serán

los vértices del triángulo, se

trazan arcos de circunferencia

con radios iguales a la longitud

del lado “b” y del lado “c”

respectivamente.

4. El punto de intersección es el

tercer vértice. Se traza rectas

para formar el triángulo.

a=6cm

b=5cm c=3cm

C

A

B

TEMA 1: CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS







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CASO 3: Construir un triángulo conocidos un lado y los dos ángulos

PASO 1

Trazar con el compás una circunferencia.

PASO 2

Trazar dos rectas

perpendiculares que

pasen por el centro,

como indica la figura.

PASO 3

Unir con la regla los

cuatro puntos de

intersección entre los

diámetros y la

circunferencia.

A

B C

D

TEMA 2: CONSTRUCCIÓN DE CUADRADOS

1. Sea a= 6cm, B= 35° y C=100°.



3. Desde sus extremos que son

los vértices del triángulo, se

levantan los ángulos conocidos.

4. El punto de intersección de los

lados de los ángulos es el tercer

vértice. Se traza rectas para

formar el triángulo. a=6cm

b

c

C

A

B







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1. Construir una circunferencia de diámetro AB. 2. Con el compás, hacer centro en A y con una

abertura mayor que la mitad del segmento AB. Trazar arcos en la parte superior e inferior.

3. Con la misma abertura del compás, hacer centro en B cortar los arcos y obtendremos los puntos 1 y 2

4. Al unir con una recta los puntos 1 y 2, hallamos el diámetro CD.}

5. Con la abertura igual al radio, hacer centro en C y trazar un arco que corte a la circunferencia en los puntos E y F.

6. Con el compás, hacer centro en E y F y trazar un arco que corte a la circunferencia en los puntos G y H.

7. Unir con recta los puntos CFHDGEC.

A O

E

C

F

H

D

G

B

TEMA 4: CONSTRUCCIÓN DE EXAGONOS

Trazar con el compás una

circunferencia. 1

Trazar el radio y sobre este un

ángulo de medida igual a

360°:5=72°.

2

A

B

Unir con la regla los puntos A y

B, con el compás tomar la

medida igual AB.

3

A

B

Marcar con el compás los otros

puntos en la circunferencia y

unir los puntos con la regla.

4

A

B

TEMA 3: CONSTRUCCIÓN DE PENTAGONOS







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1. Construir un triángulo para cada uno de los siguientes casos

a) a=6cm; b=8cm; c= 5cm

b) a=3cm; b=4cm; c= 5cm

2. Sigue los pasos indicados para construir un Pentágono








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En la siguiente evaluación subraye la respuesta correcta

1) En cuál de los siguientes casos se puede trazar un triángulo:

a. a=5; b=7; c=15

b. a=5; b=7; c=10

c. a=5; b=7; c=12

d. a=3; b=7; c=10

2) La suma de los ángulos internos de un triángulo es:

a. 90°

b. 180°

c. 270°

d. 360°

3) La suma de los ángulos internos de un hexágono es:

a. 180°

b. 270°

c. 360°

d. 720°

4) Dibuje los siguientes triángulos

a=5cm; b=5cm; c= 5cm










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CONTENIDO OBJETIVOS

Introducción a la estadística

Elementos de la estadística

Distribución de frecuencias

Tablas y gráficos estadísticos

o Tablas estadísticas

o Gráficos estadísticos

Descripción de experimentos

aleatorios

Interpretar y construir tablas de datos y gráficas relativas a diferentes ámbitos de la vida cotidiana

Recoger, analizar, organizar y representar datos estadísticos relativa a diferentes ámbitos de la vida cotidiana

Extraer información representativa de un colectivo a partir de los parámetros estadísticos

Calcular y contrastar frecuencias absolutas y acumuladas de una serie de datos gráficos

Reconocer la importancia del trabajo colectivo en la relación de tareas y estudios

BLOQUE 4 ESTADÍSTICO 4







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La estadística es una rama de las matemáticas que se encarga de la recolección, organización,

análisis e interpretación numérica de la información de un cierto conjunto determinado.

ELEMENTOS DE LA ESTADÍSTICA

POBLACIÓN.- se entiende a toda agrupación de objetos o elementos que cumplen una

característica común.

MUESTRA.- es una parte de la población escogida para representarlo.

VARIABLE.- Una variable es un símbolo, tal como X, Y, H, etc., que puede tomar un

conjunto prefijado de valores llamado dominio de esa variable.

VARIABLE CONTINUA.- cuando puede tomar cualquier valor entre dos valores dados.

VARIABLE DISCRETA.- cuando puede tomar valores determinados,.

INTERVALO DE CLASE.-es toda agrupación de puntajes así por ejemplo se quiere

agrupar 3 puntajes en una prueba sobre 20, una clase o Intervalo sería: 11 -13 o 11 a 13,

etc.

PUNTO MEDIO O MARCA DE CLASE.- es igual al límite real inferior (Li) más el límite real

superior (Ls) dividido para 2, es decir: 2

LsLiYi

FRECUENCIA ABSOLUTA (f).- es el número de veces que se repite un puntaje.

FRECUENCIA RELATIVA (fr).- es la razón entre la frecuencia absoluta y el número total

de datos.

FRECUENCIA ACUMULADA (fa).- se define como la suma sucesiva de las frecuencias o

de las frecuencias relativas hasta el lugar que ocupa cada una.

TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA







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Ejemplo:

Las siguientes calificaciones sobre 20 puntos del examen final de Matemáticas de 30

estudiantes de 3º de Bachillerato del colegio a distancia "San Pedro de Riobamba" son:

12-20-18-13-06-11-14-20-13-10-09-14-16-17-13-10-07-16-14-15-11-09-12-06-16-12-08-15-14-

17.

INTERVALOS MARCAS f fr fa

06-08

09-11

12-14

15-17

18-20

//////

///// /

////

/////////

/////

4

6

10

7

3

0.13

0.20

0.33

0.23

0.10

4

10

20

27

30

n=30 0.99

1. Diagrama de barras (Histograma)- se utiliza un sistema de ejes coordenados, haciendo

coincidir el eje horizontal con los diferentes valores de las variables en el eje vertical las

frecuencias absolutas de cada valor.

2. Polígono de frecuencias (líneas)- se utiliza un sistema de ejes coordenados, en el eje

horizontal se representa los puntos medios de cada intervalos y en el eje vertical las

frecuencias y se une con líneas rectas estos puntos

3. Diagrama de Sectores (Pastel).- Para leste diagrama se utiliza un circulo cuya superficie

se divide en sectores circulares (con el graduador) proporcional a las frecuencias.

Grados=n

fi 360 Porcentaje=

n

fi 100

4. Pictóricos (Pictografías).- Se utilizan dibujos convencionales (esquemas o siluetas) para

representar cierto número de unidades de la magnitud que se considere.

5. Curva de frecuencias.- se utiliza un sistema de ejes coordenados, en el eje horizontal se

representa los puntos medios de cada intervalos y en el eje vertical las frecuencias y se

traza una curva por estos puntos. también se realiza con las frecuencias acumuladas

(ojiva).

TEMA 3: REPRESENTACIÓN GRÁFICA

TEMA 2: DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS







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1. Completa la tabla de datos, realice un gráfico de barras y una curva de frecuencias

acumuladas(ojiva) con los datos siguientes:

12-15-20-08-15-13-14-09-11-12-14-17-19-09-11-16-11-10-19-11-08-09-12-10-13-12-11-06-

16-07

INTERVALO marcas f fr fa

06-08

09-11

12-14

15-17

18-20

n=∑fi =

GRAFICO DE LINEAS

4

6

10

7

3

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5

INTERVALOS

AL

UM

NO

SGRAFICO DE BARRAS

4

10

20

2730

0

10

20

30

40

1 2 3 4 5

INTERVALOS

AL

UM

NO

S

GRAFICO DE PASTEL

4; 13%

6; 20%

10; 34%

7; 23%

3; 10%CURVA FRECUENCIAS

ACUMULADAS

4

10

20

2730

0

10

20

30

40

1 2 3 4 5

IN TER V A LOS

AL

UM

NO

S








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2. Con los datos de la siguiente tabla realizar un Pictograma

Estatura(cm.) f

150-152 153-155 156-158 159-161 162-164

5 15 12 20 10

3. Con los datos de la siguiente tabla realizar un gráfico de líneas

Peso(Kg.) f

45-50 50-55 55-60 60-65 65-70

4 8 12 10 7

4. Una familia tiene una entrada anual de $ 3.000, la cual distribuye como se presenta en la

tabla. Representar en un diagrama circular.

Actividades Dinero Grados Porcentaje

Alquiler Comida Ropa Imprevistos Ahorro

750 1000 700 350 200

n=

Gráfico de barras Ojiva







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1. Construir un gráfico de barras. de líneas , Pastel y ojiva para cada uno de los siguientes

cuadros estadísticos:

Calificación Alumnos

A B C D E F

5 6 10 12 8 4

Nº de hijos F

0 1 2 3 4 5

6 14 36 25 10 7

Estatura (pulgadas)

Frecuencia

50-55 55-60 60-65 65-70 70-75

4 6 12 8 6

PAÍSES Importaciones

PERÚ ECUADOR

CHILE BRACIL

COLOMBIA BOLIVIA

0,32 O,40 0,45 O,68 0,50 0,30

Calificación Alumnos

06-08 09-11 12-14 15-17 18-20

6 10 15 8 5

CURSOS Alumnos

1º 2º 3º 4º 5º 6º

32 45 24 15 48 20








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El proyecto es un trabajo de investigación que debe presentar por escrito y sustentar con

la exposición al final del módulo, según el tema sugerido por el Docente.

El INFORME debe tener en su contenido los puntos más importantes que se describe a

continuación:

CARATULA

ÍNDICE

DATOS INFORMATIVOS (nombres, curso, paralelo, tema)

1. MARCO TEÓRICO (la teoría respecto al tema)

2. MARCO METODOLÓGICO (la metodología que utilizo para realizar el proyecto)

3. RECURSOS HUMANOS Y MATERIALES (un cuadro con los materiales y los

costos de cada uno de ellos)

4. RESULTADOS DEL PROYECTO (funcionamiento)

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES (redactar las conclusiones y

recomendaciones del trabajo)

6. BIBLIOGRAFÍA (libros o páginas de Internet según normas APA)

7. ANEXOS (fotos, cuadros, gráficos, videos de la actividad realizada)

SUGERENCIAS:

El trabajo puede presentar en grupo de hasta 3 estudiantes.

El proyecto presentar en documento físico para evidencia.

Solicite oportunamente cualquier información al docente de la asignatura.

Realizar la exposición en forma adecuada, clara y entendible.

PROYECTO DE AULA







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INSTRUCCIONES: Lea detenidamente cada pregunta antes de contestar. Responder los ítems

escribiendo al lado izquierdo de cada pregunta su respuesta. En los ejercicios de resolución debe

constar el proceso. 1. Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las proposiciones siguientes:

Todos los números enteros son naturales.

La suma de enteros tiene la propiedad conmutativa.

La división de enteros tiene la propiedad clausurativa.

La diferencia de dos enteros es otro entero.

a) VVFF b) VVFV c) FVFV d) FFVV

2. Relacione los elementos de la primera columna con los de la segunda A) PESO

1) VARIABLE CUALITATIVA B) ESTADO CIVIL 2) VARIABLE CUANTITATIVA C) EDAD

D) RAZA

a) 1A, 1D, 2C, 2B b) 1B, 1C, 2A, 2D c) 1A, 1C, 2B, 2D d) 1D, 1C, 2B, 2A

3. La estadística es una rama de las _________________que se encarga de la recolección,

organización, análisis e interpretación numérica de la ___________________de un cierto conjunto determinado. a) Matemáticas - geometría b) Matemáticas - información c) Geometría - información d) Química - geometría

4. El Perímetro del triángulo ABC cuyos vértices son los puntos A (1,1); B (-3, 4) y C (-2, -3)

es: a) 8,03 b) 10,21 c) 12,45 d) Ninguna de las anteriores

5. El resultado de la reducción de términos semejantes de :

2a + b – 7a – 5 + 9b -10 + 8a + 8 -5b=

a) 17a – 15b + 23 b) b) 6a – 5b +10 c) c) -3a - 5b +10 d) d) 3a + 5b - 7

EJEMPLO DEL INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN







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PRIMERA SEMANA FECHA:______________________________ Nº TEMA ACTIVIDAD OBSERVACIONES

1

2

3

REFUERZO

Nº TEMA ACTIVIDAD OBSERVACIONES

1

SEGUNDA SEMANA FECHA:_____________________________ Nº TEMA ACTIVIDAD OBSERVACIONES

1

2

3

REFUERZO


1

TERCERA SEMANA FECHA:_____________________________ Nº TEMA ACTIVIDAD OBSERVACIONES

1

2

3

REFUERZO


1

CUARTA SEMANA FECHA:______________________________ Nº TEMA ACTIVIDAD OBSERVACIONES

1

2

3

REFUERZO


1

QUINTA SEMANA FECHA:______________________________ Nº TEMA ACTIVIDAD OBSERVACIONES

1

2

3

REFUERZO


1

MI DIARIO ESTUDIANTIL







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Matemática de 8° de Básica del Ministerio de Educación.

Aritmética de Reppeto I y II

Matemática Básica del 8vo. Año de Educación Básica de la ESPOL

(Recursos didácticos virtuales) www.thatquiz.org.es

(Tics del docente) Blogger matematica8spdrvictorcaiza.blogspot.com

(Videos de Matemática) www.sectormatematica.com

BIBLIOGRAFÍA



Education

Modulo 8º matematica SAN PEDRO RIOBAMBA