GEOMETRIA: RETAS E ÂNGULOSProfessor João Paulo Luna

INTRODUÇÃOReta:- Não possui espessura;- É infinita (não tem

começo nem fim); - É representada por

letras minúsculas do nosso alfabeto.

- Ex:

r

Ponto:- Não possui dimensões;- Indicação feita por

letras maiúsculas do nosso alfabeto.

- Ex:

• A

Plano:- Não possui fronteiras;- É infinita (não tem

começo nem fim); - É representada por

letras minúsculas do alfabeto grego.

- Ex:

A RETA• Por um único ponto

passam infinitas retas.

• Por dois pontos distintos de um plano passa uma única reta.

• Por três ou mais pontos distintos de um plano, só poderemos traçar uma única reta que passe por todos os pontos se estes estiverem alinhados.

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS EM UM PLANO

• Retas Concorrentes: se cruzam em um único ponto.

r • sa b

• Retas Paralelas: não se cruzam, ou seja, não possuem pontos comuns.

r m

d c

SEMIRRETA E SEGMENTO DE RETA

• Semirreta: tem início mas não tem fim. Inicia-se no ponto de origem, e passa por outro ponto.

• Ex: AB

A •

• B

• Segmento de reta: tem início e tem fim. Inicia-se em um ponto e para em outro ponto.

• Ex: AB

A •

• B

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO

• Um ponto M, interno a um segmento AB, é denominado ponto médio do segmento AB se M divide AB em dois segmentos congruentes.

O A • • • C

AO OC

• Este é o símbolo de congruência (), significa que os dois segmentos apresentam a mesma medida.

Logo:

AB CD

ÂNGULOS• Denomina-se ângulo a região formada por duas semirretas que têm a

mesma origem.

ÂNGULOS ESPECIAIS• Ângulo raso ou meia-

volta:• Ângulo nulo (0º):

O• • • A B

• Ângulo de uma volta (360º):

ÂNGULOS ESPECIAIS

Ângulo reto med (AÔB) = 90º

Ângulo agudo 0º < med (AÔB) < 90º

Ângulo agudo 90º < med (AÔB) < 180º

ÂNGULOS ADJACENTES E BISSETRIZ DE UM ÂNGULO

• Dois ângulos consecutivos que não possuem pontos internos comuns são chamados ângulos adjacentes.

• Ex:

• • • •

A

OB

C

AÔB e AÔC são adjacentes

• Bissetriz: semirreta com origem no vértice de um ângulo, que divide esse ângulo em dois adjacentes congruentes.

• Ex:

A •

O •

B •

•C

OB é bissetriz, logo AÔB BÔC

ÂNGULOS COMPLEMENTARES E SUPLEMENTARES

• Ângulos complementares: são ângulos que somados resultam em um ângulo reto (90º).

• Ex: AÔB = 60º BÔC = 30º

AÔB + BÔC → 60º + 30º = 90º

A •B •

•C

O •

• Ângulos suplementares: são ângulos que somados resultam em um ângulo raso (180º).

• Ex: AÔB = 100º BÔC = 80º

AÔB + BÔC → 100º + 80º = 180º

• A

• O

• C

B •

ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE (O.P.V.)

• Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, têm a mesma medida.

Â

Ê

ÔÛ

 (o.p.v.) ÊÔ (o.p.v.) Û

RETA TRANSVERSAL• A reta t, concorrente a reta r no ponto P e concorrente com a reta s no

ponto Q, é chamada de reta transversal a r e s.

ÂNGULOS CORRESPONDENTES• São pares de ângulos não adjacentes situados em um mesmo lado da

reta transversal, um na região interna e o outro na região externa às retas r e s.

r

s

Quando r // s, temos que: Â Ê

Â

Ê

ÂNGULOS ALTERNOS• São pares de ângulos não adjacentes que estão em lados opostos em

relação à reta transversal.

Duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal determinam ângulos alternos congruentes (internos ou externos).

ÂNGULOS COLATERAIS• São pares de ângulos não adjacentes localizados no mesmo lado da reta

transversal.

Â

Ê

Ô

Î

Quando r // s, temos que:

 + Ê ou Ô + Î = 180º