NÚMEROS COMPLEXOS - PARTE 01

NÚMEROS COMPLEXOS

Prof. Marcelo Renato 2009

AULA 01 – MÓDULO 1AULA 01 – MÓDULO 1

1. INTRODUÇÃO

Resolvendo a equação x2 – 4 x + 5 = 0, utilizando a fórmula de Bháskara,

Vamos calcular o delta ...

Sabemos que, neste caso, NÃO EXISTEM RAÍZES REAIS!

Sabemos, também, que a equação

é de grau 2 e, portanto, tem 2 raízes, certo?

VAMOS APRENDER COMO LIDAR COM ESSE TIPO DE NÚMERO!

... iremos conhecer o Conjunto dos Números Complexos.


O CONJUNTO

C

O conjunto C representa os números Complexos;

O conjunto ( C – R ) representa os números Complexos Imaginários (Complexos não-Reais);

Todo número real é complexo, entretanto, nem todo número complexo é real;

Como no conjunto dos números reais não existem números na forma

foi criado o conjunto “ C ”, para abrigar tais “números”:

O conjunto R representa os números Complexos Reais e é subconjunto de C ;

C

(C – R)

QN Z

R


Exemplo: Resolva a equação no campo dos números complexos.

Resposta: S = { 1 – i ; 1 + i }


3. FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO:

biaz +=

,IRb,a ∈

( )

∈+=

∈+=

real)(númeroIRm,0.i)(mz

puro)o(imaginári*IRk,k.i0z

2

1

onde

“a” é a parte real do complexo “z” e “b” é sua parte imaginária .

3. FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO:

biaz +=

Exemplos: z1 = 2 + 3.i ; z2 = – 1 + i ; z3 = 5.i


4. OPERAÇÕES COM COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA

4. OPERAÇÕES COM COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA

4.1. Igualdade de números complexos:

4.2. Adição / Subtração:

A operação de multiplicação de dois números complexos ocorre de acordo

1i2

−=

Resolução: )i2()i31(zz

21+⋅+−=⋅

i55zz

21+−=⋅

Exemplo: Sendo os números complexos e , calcule 21

zz ⋅)i31(z1

+−= )i2(z2

+=

devemos lembrar que

com a regra de multiplicação de binômios, entretanto,


4.4. Conjugado:

"ibaz" += ibaz −=O conjugado do complexo , a e b reais, é o complexo

Exemplo: i3z24z −=−Determine C, tal que ∈z

Resolução:

Fazendo-se z = a + b.i biaz −= , teremos:

i3)i.ba.(24bia −+=−−

i).3b2()a2(i).b()4a( −+=−+−

−=−=−

b3b2a24a

1be4a =−=

i4z +−=

Inverte-se o sinal

da parte imaginária

e


DIVISÃO DE COMPLEXOS

2

1

z

z0z

2≠

22

21

2

1

zz

zz

z

z

⋅

⋅=

i1zei.31z21

−=+=2

1

z

z

i21z

z

2

1 +−=

4.5. DIVISÃO DE COMPLEXOS:

Exemplo: Sendo os números complexos , calcule o valor de

Resolução:

Para efetuarmos a divisão de dois números complexos ,

num procedimento semelhante à operação

de racionalização de denominadores, ou seja:

utilizaremos o conjugado do denominador

2

1

z

z

)i1()i1(

)i1()i31(

+×−+×+= =⇒

2

1

z

z22

2

)i()1(

)i.(3i41

−

++=⇒

2

1

z

z

)1(1

)1.(3i41

−−−++

2

i42

z

z

2

1 +−=

i1

i31

z

z

2

1

−+=

Sendo o denominadorna forma ( a + b.i ), com b ≠ 0.


POR QUAL MOTIVO ?


5. POTÊNCIAS DE “ i ”

)INn(in ∈

4n ≥

Os resultados de , com o expoente “n” variando,

Para o cálculo da potência I n , com “n” inteiro e

se repetem com um período de quatro.

divide-se n por 4, obtendo-se resto inteiro “r”.

Tem-se então rnii =

,

5. POTÊNCIAS DE “ i ”


a) Calcular i 10

b) Calcular i 53


Observação:

6. PLANO DE ARGAND-GAUSS:

Parte Real

Parte Imaginária

Argumento

Módulo

Afixo


6. PLANO DE ARGAND-GAUSS (PLANO COMPLEXO)

A cada número complexo z = a + b.i

denominado afixo do complexo z.

6.1. MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO

O módulo | z | do número complexo z = a + b.i

é a distância do afixo (a,b) ao ponto (0,0) do plano de Argand-Gauss.

22bazi.baz +=⇒+=

vamos associar o ponto do plano complexo


6.2. ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Denomina-se argumento do complexo, não-nulo, z = a + b.i

a medida do ângulo ,θ formado pelo segmento de reta P0

medido no sentido anti-horário,

com o eixo real,


7. FORMA TRIGONOMÉTRICA (OU POLAR) DE UM NÚMERO COMPLEXO

A forma trigonométrica de z será: )sen.i.(cos|z|z θθ +=

Exemplo 1:


Para passar um número complexo da forma algébrica para a forma trigonométrica devemos proceder da seguinte maneira:

1º passo: Representar o complexo no plano de Argand-Gauss

3º passo:

2º passo: Calcular o módulo e o argumento de z;

Escrever z na forma

Observação: Este tópico será estudado detalhadamente no módulo 02.

Observação-3:

Parte imaginária de zIm(z)

Parte Real de zRe(z)


ARCO CUJA TANGENTE VALE

8. TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS NÃO REAIS, ou seja, (a + b.i) com b ≠ 0

8. TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS NÃO REAIS

Se um número complexo z = a + b.i, com b ≠ 0,

é raiz de uma equação COM COEFICIENTES REAIS,

então seu conjugado i.baz −= também é raiz dessa equação.

Exemplo: (PUC-SP) Resolva a equação 3x3 – 7x2 + 8x – 2 = 0, sabendo que uma de suas raízes é 1 – i.

Utilizando a relação de Girard correspondente à soma das raízes da equação:

Resposta:

Resolução:

Como a equação possui coeficientes reais, “(1 + i)” também é raiz da equação.

São raízes da equação:


ESTE FOI O 1º MÓDULO DE NÚMEROS COMPLEXOS

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DEPOIS DE EXERCITAR (OBJETIVAS E DISCURSIVAS),

INICIE O 2º MÓDULO DE NÚMEROS COMPLEXOS ...

TENHO CERTEZA QUE VOCÊ PODE MUITO MAIS !

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