Os Quadrados Mágicos

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Quadrados mágicos Conhecido pelos matemáticos há mais de 2,000 anos, o quadrado mágico é um estudo fascinante. Basicamente, um quadrado mágico é um arranjo ordenado de células (ou quadrados) onde se inscreve números em cada posição. Estes números são organizados de forma que cada linha no quadrado, quando somadas, é igual à soma das outras linhas. Adicionalmente, cada fila ou coluna terá um total semelhante, bem como as diagonais. O quadrado básico de nove células conforme figura 1, se somarmos qualquer valor nas linhas, filas ou diagonais obteremos 15. Em quadrados que têm um número maior de células pode haver muitas mais relações.

Há séculos atrás as pessoas imaginavam que os quadrados eram investidos de poderes mágicos ou incomuns. De fato, até mesmo atualmente os quadrados mágicos são gravados em pequenos pedaços de metal e usados como talismãs por certos grupos na Índia, mas tenho que confessar que eu nunca fui testemunha para qualquer poder incomum dos quadrados mágicos, mas eles podem ser construídos e há várias aplicações divertidas que podem ser demonstradas com eles. Uma vez entendo as técnicas de construção dos diversos quadrados mágicos você verá que é bastante simples produzi-los. Há métodos infinitos e variações na construção de quadrados mágicos. Em lugar de nos envolvermos com transposições, quadrados fracionários, quadrados de forma incomum, e as variedades infinitas, discutiremos alguns dos métodos mais diretos. Maurice Kraitcheck, no seu livro Recreações Matemáticas, cobriu muito bem o assunto que discute muitos das mais complexas técnicas sobre os quadrados, isto se você desejar se aprofundar mais seriamente no assunto. O quadrado básico

Os procedimentos para construirmos um quadrado de nove células (3 por 3) é a mesma aplicada para outros tipos de quadrados (25 células, 49 células, etc.). /vamos assumir que você deseja construir um quadrado de nove células como na fig 1. Você pode começar com qualquer número, mas por questões de simplicidade usamos o número 1.

Sanclé M. Porchéra Página 1 10/4/2023

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(a) Depois de desenhar um quadrado com nove células em branco, insira 1 na célula central da linha no topo. Você precisa visualizar o topo e linhas de fundo como sendo presas entre si, ou como continuação delas. Você também tem que visualizar as colunas da esquerda e da direita como continuação delas.

(b) Cada número sucessivo (em quadrados mágicos com numero de células pares) deve ser inserido em sua célula colocando um numero à direita e um quadrado 108 acima do número previamente posicionado. Este é um movimento oblíquo. não podem ser posicionados um à direita e um acima do seu número registrado anteriormente à medida que isto o colocaria fora das fronteiras do quadrado, ilustrada pela área pontilhada na Fig. 1. Porém, desde que você visualize o topo e linhas de fundo como sendo presas entre si você pode contornar o problema colocando os 2 na célula mais afastada ao fundo, fig. 1. (o topo e as linha do fundo foram correlacionadas entre si esta é a célula na qual os 2 seria colocado.). (c) Movendo o próximo número, 3, um movimento para cima e um movimento à direita, isto nos posiciona fora do quadrado. Mas desde que a fila esquerda é uma continuação visualizada da fila da direita, colocamos o 3 na célula mais afastada da linha como mostrado na Fig. 1. (d) 4 não pode ser posicionado um acima e um à direita já que 1 já ocupa a célula por mim escolhida anteriormente. Sempre que uma célula está ocupada por um número, você tem que posicionar o numero em uma célula simplesmente abaixo do numero predecessor imediato. Assim, 4 seria colocado abaixo de 3, como na fig. 1.

(e) 5 e 6 são posicionados facilmente e usam a regra do um movimento acima e um movimento à direita.

(f) 7 não pode ser posicionado porque cai em uma posição diagonal onde não há continuação de uma linha ou fila. Nesta situação, o número é tratado como se sua posição tenha sido ocupada por um numero inserido anteriormente. Assim, 7 é posicionado debaixo do seu número predecessor registrado (6). (g) 8 e 9 são registrados seguindo as regras, e seu quadrado acabado pode ser visto na fig. 2. Note as setas e outras indicações que mostram os vários movimentos dos números até suas células.


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Este quadrado pode começar com qualquer número. Se você começasse com 2, por exemplo. o quadrado avançaria para um total mágico de 18. A fig. 3 mostra um quadrado de nove células que começa com 2. Note que a media que você avança cada número (no inicio) os totais mágicos aumentam em 3.Assim, um quadrado de nove células (3 por 3) que começa pelo 3 daria um total mágico de 21 e começando com 4 traria o total para 24. etc.

Todos os quadrados com numero de células impares seguem os mesmos procedimentos do quadrado de nove células. Descreveremos agora um quadrado de 25 células (cinco por cinco) de forma que você possa observar como os procedimentos são idênticos aos usados no quadrado de 3 por 3. (2) Quadrados com numero impar de células Como no quadrado de 3 por 3, o primeiro número deve ser colocado na célula central da primeira linha. Debaixo você verá uma ilustração de um quadrado mágico com 25 células (5 por 5). Para simplificar, ele foi iniciado com o número 1, mas você pode escolher qualquer outro valor. Siga as mesmas regras e procedimentos utilizados no quadrado de nove células. Note que cada linha, coluna, e diagonais totalizam sempre a mesma quantidade, neste caso: 65. Um total mágico adicional será achado ao se somar os números nos quatro vértices mais o número central do quadrado (17-15-11-9 mais 13). Também se pode notar outras relações mais distantes.


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Você pode construir um grande quadrado impar seguindo os procedimentos. Estes grandes quadrados maiores podem se tornar difícil de manusear 111 e podem ter pouco valor prático. (3) Quadrados com número de células pares Um procedimento completamente diferente é usado na construção destes quadrados mágicos que têm um número par de células. Quadrados formadas por múltiplos de 4 (16, 64 células, etc.) são produzidos de modo semelhante à descrição dada abaixo. Porém, os quadrados de 36 células (6 por 6), embora seja um “um quadrado mágico de numero par de células" é por si só único. Eu discutirei estes diversos quadrados, mas na prática você verá que os quadrados de 16 e 25 células são os mais populares. São tão impressionantes quanto os quadrados maiores e tem as mesmas qualidades interessantes. Vamos começar com os quadrados de 16 células. (a) Após desenhar um quadrado em branco com 16 células você precisa traçar e visualizar suas duas diagonais. No quadrado abaixo, note que duas diagonais foram traçadas de A para B e de C para D. Vamos começar com o número 1 (claro que, você pode escolher qualquer valor) Você vai preencher cada número consecutivamente, começando pela célula superior à esquerda e seguindo para a direita, apenas com uma reserva: Sempre que você encontra uma célula que está em uma diagonal você deverá saltá-la. O 1 não pode ser colocado na célula esquerda superior, pois estas é interceptada de uma diagonal. Você salta esta célula então, avança para o número 2 e coloca 2 na segunda célula.

(b) O próximo numero 3, pode ser colocado em sua posição à direita, mas a possível célula para o 4 está em uma diagonal e assim deve ser saltado. (c) 5 pode ser inserido em sua célula correta, saltaremos 6 e 7, inserimos 8, e você prossegue preenchendo as células (saltando aquelas na diagonal) até que você preencha o quadrado inteiro. Seu quadrado parcialmente preenchido se parece como a figura abaixo:

(d) Agora você tem que preencher as células livres (esses que estavam nas diagonais). Novamente, você começa pela célula esquerda superior, mas


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em vez de começar com o menor número (neste caso, numero 1) e seguir adiante comece com o número maior (neste caso, 16) e conte para trás. Insira 16 na célula esquerda superior. Você conta para trás e conta 15 para a próxima célula (que está ocupado por 2), 14 para a próxima (que está ocupado por 3), e 13 para a próxima. Ao achar uma célula livre, registre 13 nesta célula.

(e) Continuando para a próxima célula 12 (ocupada), conte retroativamente e preencha cada célula aberta com o número apurado na contagem regressiva.

O quadrado acima indica os resultados da contagem regressiva, com todas as posições diagonais preenchidas. O quadrado mágico completo é mostrado abaixo:

Este quadrado em particular tem um total mágico de 34. Cada linha, coluna, e diagonal somará 34. Além, os quatro vértices também somarão 34 (16-13-4-1); as quatro células de centro somarão 34 (11-10-7- 6); cada grupo de quatro células no vértice somará 34 (esquerdo superior): 16-2-11-5, esquerda abaixo (9, 7,14-4,) direito superior: (3-13-8-10), direito inferior: (6-12-1-15); e, com alguma investigação, você achará grupos adicionais que também relacionaram ao total mágico. Como em qualquer quadrado mágico, qualquer valor inicial pode ser usado, que mudará o valor do total mágico. Mas as relações sempre serão constantes.

Os quadrados de 64 células (oito por oito) são construídos exatamente como o quadrado há pouco descrito. A grande diferença é que ao formar um


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quadrado de 64 células você tem que montar as diagonais na base do quadrado grande que consiste de um quadrado de 16 células. O quadrado abaixo mostra (fig. 114) o arranjo da diagonal, e também o quadrado de 64 células completo.

Note que o mesmo procedimento aplicado neste quadrado grande é o mesmo que foi aplicado nos de 16 células. Ao iniciar a contagem regressiva comece com 64 e continue preenchendo cada célula interceptada pela diagonal. Claro que, neste quadrado grande você achará muitas inter-relações devido ao grande número de possibilidades. Por exemplo, as quatro células no quadrado direito inferior do quadrado de 64 células consiste de 16 células que formam um quadrado mágico cujo total mágico vale 130, com a exceção das diagonais. Você pode perceber muitas combinações incomuns se você investigar este caso. O quadrado de 36 células (6 por 6) é de fato uma série de 4 quadrados de nove células (3 por 3), mais uma transposição (troca) de três números. Desenhe um quadrado de 36 células em branco, mas considere-o como uma estrutura de 4 quadrados de nove células (3 por 3) e note as linhas em negrito cruzando a células centrais. Você o preenche trabalhando em cada grupo de nove células como se um quadrado em separado e não como parte da estrutura maior. (a) Comece a preencher o grupo esquerdo superior de nove células, e da mesma maneira que você preencheria um quadrado de 3 por 3. Comece com número 1, coloque-o no centro da primeira linha. O quadrado abaixo mostra a conclusão do grupo esquerdo superior.


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(b) Comece com o próximo número sucessivo, neste caso 10, preencha o grupo inferior direito. O próximo quadrado se mostra completo

(c) Começando com o próximo número maior, neste caso 19, preencha o grupo direito superior. Depois de completá-lo, preencha o último grupo restante (inferior esquerdo). O quadrado aparecerá como indicou abaixo. Note este não é o quadrado completo, pois você ainda tem que transpor três dos números.

(d) Você tem que colocar os números 8, 5, e 4 nas posições respectivas ocupadas por números 35, 32, e 31. Isto é indicado pelas linhas mostradas na acima de quadrado para apontar estas posições. A quadrado mágica completada, depois que a acima de transposição fosse feita, é mostrado abaixo. Nota que as linhas, filas, e diagonais cada soma a 111. Também, as pequeno-diagonais que contêm números 35-32-2 mais 33-5-4 somam a 111, como faz as pequeno-diagonais que contêm números 24-23-22 mais 17-14-


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11. Você pode achar muitas outras relações, algum óbvio e outros bastante distante.

4) Aplicação de quadrado mágico padrão Você agora está em posição de produzir quadrados mágicos de quase qualquer tamanho. Aqui temos uma excelente aplicação, que usa quadrados mágicos de 9, 16 ou 25 células. Solicite ao seu espectador para escolher qualquer numero de dois dígitos, por exemplo, digamos que ele escolheu 27. Você faz uma anotação em um pedaço papel e dá para alguém guardar em lugar seguro. Você começa a produzir um quadrado mágico que começa com o número fornecido pelo espectador. Depois de completar o quadrado, e mostrando que as linhas, filas, diagonais, etc. produzem o mesmo total mágico. Vamos assumir que o total mágico é 93. Você agora pede ao espectador que mantenha o pedaço de papel em lugar seguro que o abra e leia o que você havia anotado antes da construção do quadrado mágico. Seu espectador leria: “Eu predigo que o total mágico é 93” Você aparentemente, predisse o total.

Vamos primeiro ilustrar o principio usado em quadrados de nove células. Vamos assumir que seu espectador escolheu o número 27, e que você decide construir um quadrado de nove células usando este número. Para determinar a “profecia" ou subseqüentemente chegar ao total mágico você precisa processar o seguinte calculo: Multiplique o número escolhido por 3, e some 12 para o produto. Neste caso, 3 vezes 27 é 81, e 81 mais 12 são 93. Você prediria "93". Depois de dar a profecia a um dos espectadores, construa uma quadrado de 3 por 3 iniciando com o número 27. Seu quadrado acabado deve ser como quadrado abaixo. Enfatize que chegamos a um total mágico de 93, e mostre que a soma de uma linha, coluna ou fila, diagonal, representa este total mágico.


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Usando um quadrado de 16 células requer uma computação diferente. Para um quadrado 4 por 4 você faz o seguinte: Multiplique o número do espectador por 4, e some 30 ao produto. Vamos mostrar como isto se desenvolve, seu espectador escolheu o número 31. Você o multiplica secretamente por 4 (4 vezes 31 =124) e soma 30 ao produto (124 mais 30 = 154). Neste caso, você prediria 154 como total mágico. Construa um quadrado de 16 células começando com 31. Vide o quadrado acabado abaixo. Note que todas as relações inerente aos

quadrados de 16 células são aplicados a este quadrado.

Para um quadrado de 25 células você precisa fazer o seguinte: Multiplique por 5 e some 60. Como exemplo, o seu espectador escolheu o número 12. Você secretamente multiplique 12 por 5 (12 x 5 = 60) e some 60 ao produto (60 mais 60 = 120). Você prediria 120 como o total mágico. Desenvolva um quadrado de 5 por 5 começando com 12, e a quadrado acabado aparece como se segue:


28 35 12 19 26

34 16 18 25 27

15 17 24 31 33

21 23 30 32 14

22 29 36 13 20

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(5) Conjunto de quadrados Até agora discutiremos a produção de quadrados mágicos construídos seguindo padrões facilmente compreendidos. Estes quadrados parecem seguir uma formatação quando você segue regras ou passos simples. Há um tremendo campo que envolve os quadrados que eu chamo padrões fixos. Basicamente, estes quadrados tem as posições das células predeterminadas e, portanto não parecem ser um padrão de construção. Assim, se você deseja usar estes quadrados você vai simplesmente precisar memorizar a posição de cada célula. Claro que, com o uso constante dos tipos de quadrado você desenvolverá, grande facilidade com eles. Sua memória pode ser auxiliada anotando estes quadrados em pequenos cartões pequenos que podem ser convenientemente levados com você. Antes de demonstrar um destes conjuntos de quadrados simplesmente de uma olhada rápida nos quadrados que você planeja usar que sua memória pode ser refrescada. Aqui estão exemplos de dois conjuntos de quadrados, um entretenimento divertido que você pode executar. A. O quadrado da Data de Aniversário. Esta é uma demonstração que combina usa a data de aniversário de um espectador com um quadrado de nove células. Usando os vários números que compõem a data de aniversário do espectador, você tem um quadrado de nove células cujo resultado tem um total mágico. Porém, durante todo o curso desta demonstração seu espectador tem controle aparente dos valores diferentes que você insere em cada célula. Para demonstrar este truque você precisa memorizar a ordem das posições como mostrado no quadrado abaixo fig. 121. O primeiro número que você inserirá é colocado na posição indicada por 1, o segundo número é inserido na posição indicada por 2, etc.


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8 1 75 6 32 9 4 Para demonstrar, desenhe um quadrado em branco de nove células e peça ao espectador para dizer a data do seu aniversário. Vamos assumir que a data é 17 de Março de I898. Você converte a data em números e escreve 3-17-98 onde: 3 representam o mês de março, I7 é o dia do aniversário, e 98 representa o ano 1898. Insira 98 na posição 1. 122 (b) Você agora trabalhará com 3 ou 17. Dê ao espectadores uma escolha. Vamos assumir que 17 foi escolhido. Você pergunta agora para seu espectador se ele deseja que se some ou subtraia de 98. Vamos assumir que eles escolheram subtrair 17. Subtraia 17 de 98, e entre 81 na posição 2. (Nota: se a data mencionada estivesse no século XX você precisaria eliminar a escolha da subtração, pois isto poderia conduzir a um número negativo que não funciona corretamente. Você pode determinar isto facilmente executando a subtração simples antes de oferecer alguma escolha para os

seus espectadores.).(c) Continue subtraindo 17, mas desta vez diminuído de 81 (o último número registrado). O resultado é 64, e isto é colocado na posição 3. Você mostra que os números 98, 81, e 64 são “números” importantes e serão usados nos em seus próximos passos.

(d) O quadrado, neste momento, aparecerá como segue:


8 I 1 I 7 IIIII

5 I 6 131

i 1111

2 I 9 141

1I11

8 I 1 I 7 IIIII

5 I 6 131

i 1111

2 I 9 141

1I11

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Agora você trabalhará agora com o número 3. Novamente de outra chance de escolha ao seu espectador, uma escolha de somar ou subtrair com o número. Vamos assumir que eles escolhem que você deve continuar subtraindo. Você subtrai 3 de 98 (um dos “números” importantes) e insere o resultado, 95, na posição 4. (e) 3 agora é subtraído de 95 e o resultado é 92, insira na posição 5.

(f) Agora use o próximo “número importante, 81”. Subtraia 3 de 81 e coloque o resultado, 78, na posição 6.

(g) Subtraia 3 de 78 e coloque o resultado, 75, na posição 7.

(h) Agora use o último "número importante”, 64. Subtraia 3 de 64 e coloque o resultado, 61, na posição 8.

(i) Seu último passo é subtrair 3 de 61 e colocar o resultado, 58, na posição 9. Seu Terminamos o quadrado que aparece como segue:

Fica claro para seus espectadores, que durante todos os passos acima, você usou apenas os números escolhidos por eles e que você está somando ou subtraindo conforme entrouxes deles. Quando a quadrado estiver completo. mostre que existem possibilidades mágicas embora seu espectador controlasse o processo de adição e subtração dos números... o quadrado totaliza 234 por linha, coluna, ou diagonalmente. Dê o quadrado acabado ao espectador cuja data de aniversário foi usada, e diga-lhe que 234 não só é um número afortunado para ele, mas que levando o quadrado mágico consigo isto também resultará para ele em boa sorte. (Nota: Se você 124 construir um quadrado mágica no verso do seu cartão de visitas seu espectador também terá uma lembrança sua e da sua empresa)


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Seguindo os procedimentos acima, um quadrado mágico sempre será produzido. Pode-se usar no inicio tanto 3 quanto 17, e o número com que trabalhou pode ser somado ou subtraído (contanto que subtração não o leve a um numero negativo). Mas uma vez começando a somar um número (conforme instruções do seu espectador) você tem que levar isto a cabo e tem que sempre somar. Se você inicia subtraindo, você tem que completar todos os passos seguinte subtraindo. Como as datas usadas variam, ou como o procedimento usado para mesma data é variado, um total mágico diferente resultará, mas um quadrado mágico perfeito de nove células sempre obtido. Uma vez você memorizado corretamente a configuração do quadrado, o posicionamento dos diverso valores segue um padrão e que fluirá para uma boa apresentação. Como outro exemplo deste quadrado, vamos à data de aniversário 7 de Abril,1927. Converta em 4-7-27. registre 27 na posição 1. Vamos assumir que seus espectadores escolheram o 4 como o primeiro número para você trabalhar, e eles também querem que você realize a adição a este número. Some 4 a 27 (31) e registre 31 na posição 2. Novamente some 4, mas desta vez a 31 (35), e registre 35 na posição 3. Mencione que 27 31, e 35 são os “números importantes" que serão usados em seus próximos passos. Você agora trabalhará com 7. Dê aos seus espectadores a chance de escolha de somar ou subtrair ao 7. Digamos que eles escolheram a subtração. “Subtraia 7 de 27, o primeiro “número importante,” e insira o resto, 20, na posição 4”. “Subtraia 7 de 20 e insira o resto, 13, na posição 5”. Você trabalha agora com o próximo “ número importante, " 31. Subtraia 7 de 31, e registre o resto, 24, na posição 6. Subtraia 7 de 24 e registre o resto, 17, na posição 7. Você trabalhará agora com o último “número importante," 35. Subtraia 7 de 35 e registre o resto, 28, na posição 8. Subtraia 7 de 28 e coloque o resto, 21, na nona e última posição.

O quadrado final é ilustrado abaixo, e registra um total mágico 72.

B. Controlando um Total Mágico.

Este truque é executado com um quadrado de 16 células. Você tem o numero selecionado pelos seu espectador que depois provará ser o total mágico.


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A escolha do número é sugerida para estar entre 34 e 60. 34 é o menor numero em um total no quadrado de 16 células, exceto números negativos ou fracionários, e embora você pode oferecer uma faixa maior que 60, o maior total requer um número chave "maior" que podem se salientar e parecer óbvio. Novamente, uma configuração do quadrado é utilizada. A quadrado é construído como mostrado na próxima página. A 13a, 14a, 15a, e 16a posições são suas "posições chaves" que controlarão o quadrado para atingir o total selecionado por seu espectador. Estas posições devem ser memorizadas.

Para demonstrar, você deve começar a preencher o quadrado conforme acima. Depois de registrar os números (deste quadrado memorizado) em meia célula, peça ao seu espectador para escolher um numero entre 34 e 60. Vamos assumir que 50 foi escolhido. /após guardar este número continue a preencher o quadrado até a 13ª posição

Neste ponto você precisa fazer um calculo simples. Você precisa subtrair 21 do numero fornecido pelo espectador. Neste caso, subtraia 21 de 50 cujo resto é 29. Você deverá inserir 29 na 13ª posição, 30 na 14ª, 31 na 15ª e 32 na 16ª. O quadrado final deve se parecer com o quadrado acima.

Observe que você agora tem um quadrado de 4 por 4 com total mágico de 50 verticalmente, diagonalmente, nos vértices, nos 4 vértices, etc. Como exemplo adicional, vamos assumir que 42 foi escolhido. Você deve preencher até a 13ª posição. Neste ponto você subtrai 21 de 42, igual a 21. Insira 21, 22,23 e 24 na 13ª, 14ª, 15ª, e 16ª posições respectivamente. Voe agora tem o seguinte quadrado totalizando 42 em varias combinações. Uma maneira, menos dolorosa de realizar este processo é ter seu quadrado todo preenchido até a 13ª posição. Isto deve estar na parte de trás do seu cartão de visitas. Você precisa memorizar da 13ª até a 16ª posição, ou anotá-las discretamente. Não mostre este quadrado para o seu espectador. Ao contrário, fale sobre quadrados mágicos e afirme, e que você gostaria de demonstrar quanto fascinantes eles são. Rascunhe um quadrado, mas cuidado para que seus espectadores não percebam que você esta usando um quadrado já preparado. Depois de alguns minutos, solicite um numero entre 34 e 60 seja escolhido. Providencie seu pequeno calculo, faça suas inserções nas posições corretas e, como mínimo de trabalho mental, você obterá um quadrado completo.


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(6) Seus movimentos

Este quadrado mágico inusitado foi criado, há 30 anos atrás, pelo matemático inglês Mr. F. Parnell. É um quadrado de 5 por 5 (25 células) que permite ao seu espectador usar qualquer numero em qualquer célula desejada. A partir desta premissa inicial, você preenche as células para obter um quadrado mágico. Este sistema segue o procedimento geral dos quadrados regulares de 25 células, mas com duas variações importantes. (a) Ao invés de mover cada número sucessivo em uma direção oblíqua (um-para-direita e um-para cima), cada movimento é feito com uma célula à direita e duas células para cima. (b) Se o último número escrito for divisível por 5, então o próximo número é registrado a duas células à direita dele. Nos quadrados impares regulares, o topo e linhas de fundo são consideradas como continuação de cada uma delas, e as colunas à esquerda e direita também são consideradas como continuações. Por conveniência da descrição deste quadrado, nós limitaremos a seleção numérica entre 1 e 25. Vamos assumir que seu espectador decide começar com 11 e o coloca na posição circulada mostrada abaixo. Seguindo a regra de dois para cima e um à direita, você preenche o quadrado conforme abaixo. Note que a regra "b" é aplicada a cada número divisível por 5 seu próximo número é registrado em duas células à direita.

Note que depois de registrar 25 o próximo número registrado é 1. E você continua até 10, que representa o ponto no qual o quadrado será completo. No diagrama seguinte você notará uma quadrado desenvolvido com 14 sendo o primeiro numero, e a posição inicial é a segunda à esquerda na linha de fundo.


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Este é um dos milhares de quadrados mágicos que possui tem a variações únicas. É impossível memorizar as infinitas variedades, mas é divertido poder criar algumas variedades interessantes.


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