LogaritmoPARTE 1 - Introdução

Com o objetivo de oferecer uma introdução compreensiva sobre

logaritmo, considere a seguinte seqüência de números:

1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243 ; 729 etc.

Perceba que cada um destes números pode ser escrito:

a. 1 = 3°;

b. 3 = 3¹ ;

c. 9 = 3 x 3 = 3² ;

d. 27 = 3 x 3 x 3 = 3³

e. 81 = 3 x 3 x 3 x 3 = 34

f. 243 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35

g. 729 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 36

A semelhança aqui entre estes números é que cada um destes números

foi escrito como uma potência em que a base é 3.

Dúvida: Será que somente números neste formato pode ser escrito

como potência número 3?

Resposta: Não existem outros senão vejamos:

1.

2.

13

3

1 −=

2

23

3

1

33

1

9

1 −==×

=

3.

4.

Etc.

Porem nos números citados, todos eles em sua decomposição em

fatores primos sempre foi usado o número primo 3.

Esta representação é restrita a este grupo de números ?

Resposta: Não. Todo e qualquer número positivo pode ser escrito como

sendo potência de 3.

2

133 =

3

53 533 33243243 ===

Eis alguns casos a mais:

i.

Com processo matemático adequado (não preocupe) chega a:

ii.

Na ilustração acima foi usado o número 3 como base, assim surge nova

pergunta: Neste processo só pode ser utilizado o número 3 como Base?

Resposta: Não. Todo e qualquer número positivo (diferente de UM)

pode ser escolhido como base neste processo.

x310 =

0959,2310 = 2868,3y 3337 ==

A Base ter que ser diferente de UM se deve ao fato de que quando se

eleva o número UM a qualquer expoente o resultado é sempre igual a UM,

tal qual:

1¹ = 1 ; 1² = 1x1 = 1 ; 1³ = 1 x 1 x 1 = 1

Ou seja NÃO obtém valores que sejam diferentes de UM.

Logaritmo: É o processo matemático que tem como finalidade

encontrar qual deve elevar um número escolhido como base para obter o

valor de um número pelo qual deseja fazer esta representação.

Notação: logB ( x) lê-se “ Logaritmo de x na base B”

01. Encontre a qual expoente que se deve elevar o número 2 para obter

o número 128.

Solução

Decompondo 128 vem:

128 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2 7

Daí chega que deve elevar o número 2 à potencia 7 para se obter o

número 128.

O que foi feito foi apenas “Encontrar o Logaritmo de 128 na Base 2”,

ao qual obteve 7, ou seja, o que se tem é:

7)128(log 2 =

02. Calcule o valor de:

Solução

Aqui o que se pede é simplesmente “O número 9 deve ser elevado a que

expoente para se obter o número 729”

Como 729 = 9 x 9 x 9 = 9 3

Assim conclui que:

Resposta 3.

)729(log 9

3)729(log 9 =

03. Calcule o valor de:

Solução

Aqui o que está pedindo é “O número 10 deve ser elevado a que

potencia para se obter o número 0,000 001”

Como

Assim conclui que:

Resposta - 6

)001000,0(log 10

6

610

10

1

101010101010

1

0000001

1001000,0 −==

×××××==

6)001000,0(log 10 −=

Considere os números reais a e b com:

a > 0 ; b > 0 e b≠ 1.

Denomina Logaritmo do número a na base b ao número x tal que se elevar

b à potencia x, obtêm exatamente o número a.

Em notação matemática:

absex)a(log xb ==

01. 322pois5)32(log 52 ==

02. 1255pois3)125(log 35 ==

03. 10010pois2)100(log 210 ==

04. 1313pois1)13(log 113 ==

05. 7171pois1)71(log 171 ==

06. 12pois0)1(log 02 ==

07. 121pois0)1(log 021 ==

Ache o valor de:

Solução

Em primeiro lugar iremos escrever o número 279 936 como potência inteira de 6,

caso seja possível, a solução será imediato, para isto se faz necessário uma divisão

sucessiva por 6, assim:

)936279(log 6

2 7 9 9 3 6 6 2 4 4 6 6 5 6 6 3 9 4 2 7 7 7 6 6 3 6 4 6 6 1 2 9 6 6 3 9 4 2 1 7 1 2 2 1 6 6 3 6 4 5 1 2 0 9 1 8 3 6 6 3 3 4 2 5 7 6 3 6 3 6 6 6 3 0 3 6 5 4 3 6 3 6 0 6 1 3 6 3 6 3 6 3 6 0 0 3 6 0 3 6 0 0 0

Como em cada uma das divisões parciais o resto foi ZERO, indica que pode fatorar

o número 279 936 como potência de 6, ou seja:

279 936 = 6x6x6x6x6x6x6x6 = 6 7

Assim chega a:

Resposta: 7

2 7 9 9 3 6 6 2 4 4 6 6 5 6 6 3 9 4 2 7 7 7 6 6 3 6 4 6 6 1 2 9 6 6 3 9 4 2 1 7 1 2 2 1 6 6 3 6 4 5 1 2 0 9 1 8 3 6 6 3 3 4 2 5 7 6 3 6 3 6 6 6 3 0 3 6 5 4 3 6 3 6 0 6 1 3 6 3 6 3 6 3 6 0 0 3 6 0 3 6 0 0 0

7)936279(log 6 =

Pelo que foi visto até aqui:

Notaram?

Que logaritmo está diretamente associado à potência?

O que isto quer dizer?

Para se ter segurança no trato com logaritmo é necessário que tenha uma

segurança total na Teoria de Potenciação.

Assim para dar facilidade na aprendizagem de Logaritmo, a Parte 2 será

toda ela destinada ao Estudo de Potência e Raízes.

PARTE 1 - Introdução

FIMProf. Gercino Monteiro Filho