Pesquisa Operacional 1_Aula 2

Pesquisa Operacional 1

FACULDADE PITÁGORAS– Engenharia de Produção –

Disciplina: Pesquisa Operacional 1:

AULA2: Solução Gráfica de Problemas de PL

Prof. Msc. Joabe Silva

Inteligência Computacional Aplicada a Sistemas de Controle e Automação – Joabe Silva

Faculdade PitágorasEngenharia de Produção

Prof. Msc. Joabe Amaral


O método da solução gráfica.1

Exemplos.2

SUMÁRIOExercícios.3

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1. O MÉTODO DA SOLUÇÃO GRÁFICA

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Os problemas de Pesquisa Operacional, quando esboçam uma relação linear entre as variáveis de decisão, são chamados de Problemas de Programação Linear (PL).

Dentre as diversas possibilidades de problemas de PL, aqueles que são baseados em apenas 2 variáveis de decisão (x1 e x2), podem ser solucionados pelo Método Gráfico.

Este método caracteriza-se pela busca da solução ótima do problema de PL, dentro de uma região factível formada pela intersecção das retas geradas pelas inequações das restrições.






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Como obter a solução gráfica?

1 º PASSO: Formulação do problema de pesquisa operacional.

DICAS:

Quando o problema citar que há um estoque para se utilizar, as restrições são do tipo (≤) pois não se pode consumir matéria-prima além do que se tem disponível no estoque. São as Restrições de Matéria-Prima;

Quando o problema citar que há um número existente de máquinas para produção, homens para trabalhar, veículos para transportar, dinheiro para investir e similares, as restrições são do tipo (≤) pois não se pode utilizar mais máquina para se produzir, além do que se tem. Não pode contar com mais operadores, além do que se tem. Não se pode transportar além da capacidade do caminhão. Enfim, todas Restrições de Capacidade de Produção;

Quando o problema citar quantidades necessárias para a produção ser aceitável (sucos, vitaminas, tintas, misturas em geral), as restrições são do tipo (≥) pois não se pode utilizar menos do que o exigido para se ter um produto de qualidade.






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2 º PASSO: Estabelecer os eixos do plano cartesiano xy.

Para trabalharmos com um padrão, o eixo vertical será a variável x2 (abscissas) e o eixo horizontal será a variável x1 (ordenadas).

Restrições obtidas no processo de formulação.






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3 º PASSO: Traçar as retas para cada restrição.


Restrição 1Te

rmo

inde

pend

ente

O valor que não estiver associado a uma variável de decisão, é o ponto em que a reta intercepta o eixo vertical !






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3 º PASSO: Traçar as retas para cada restrição.


Restrição 1

Para achar o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal, basta atribuir 0 (zero) para a variável na vertical (x2) , e obter o respectivo valor para x1.

3

6






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4 º PASSO: Esboçar o sentido da solução da inequação. Se for do tipo ≤ , a solução está para baixo ou para esquerda. Se for do tipo ≥ , a solução está para cima ou para a direita.

Restrição 1

3

6






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5 º PASSO: Repetir para todas as inequações.

Restrição 1

3

6

Restrição 2 6

4

Restrição 2

Restrição 1






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5 º PASSO: Repetir para todas as inequações.

Restrição 1

3

6

Restrição 2 6

4

Restrição 2

Restrição 1

Restrições de Negatividade






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6 º PASSO: Delimitar a região factível.

Restrição 1

Restrição 2

Restrições de Negatividade

Região Factível






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7 º PASSO: Traçar as retas da função objetivo.

Região Factível

Para isto, é necessário atribuir valores arbitrários para a função objetivo. Mas é claro que devem fazer sentido estes valores, caso contrário a reta ficará fora do gráfico. Para Z = 6

2

5

Como o objetivo é maximizar, esta reta demonstra que ainda se pode obter valores mais altos para as variáveis de decisão x1 e x2.

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Região Factível


5

Como o objetivo é maximizar, esta reta demonstra que ainda se pode obter valores mais altos para as variáveis de decisão x1 e x2.

3

2

2






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Região Factível


5

Observa-se que ao passo que se aumenta o valor da função objetivo as retas se deslocam para cima.

A seta em amarelo representa o vetor gradiente da função objetivo. Como a função é de maximização, o ponto ótimo está na direção que o vetor cresce, até o limite da região factível.

3

2

2






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Região Factível


5



x2*

x1*

PONTO ÓTIMO






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8 º PASSO: Encontrar os pontos ótimos.

Região Factível

Às vezes é fácil observar quais são os pontos ótimos de cara (em casos onde a restrição é uma reta sem inclinação). No caso deste exemplo, utiliza-se o método de geometria analítica para achar o ponto em que as duas retas se cruzam.

5



x2*

x1*

PONTO ÓTIMO

Sistema de equações formado pelas duas restrições






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Região Factível

5

x2*

x1*

PONTO ÓTIMO


Pode-se ignorar as desigualdades.








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Região Factível

5

x2*

x1*

PONTO ÓTIMO


Pode-se ignorar as desigualdades.








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Região Factível

5

x2*

x1*

PONTO ÓTIMO


Pode-se ignorar as desigualdades.Toma-se uma das equações e substitui-se o primeiro valor ótimo encontrado.








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Região Factível

5

PONTO ÓTIMO

Pontos Ótimos encontrados:

Para encontrar a solução do problema, basta substituir na equação da função objetivo:


9 º PASSO: Encontrar a solução do problema (se for maximizar lucro, encontrar o lucro máximo, por exemplo).






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Região Factível

5

PONTO ÓTIMO


PASSO FUTURO: Encontrar a solução do problema pelo aplicativo Solver do Excel.

Microsoft Excel 12.0 Relatório de respostaPlanilha: [Solver_Exemplo_da_Aula.xlsx]Plan1Relatório criado: 28/02/2011 23:14:31

Célula de destino (Máx)Célula Nome Valor original Valor final$B$5 Z= x1 0 13,5

Células ajustáveisCélula Nome Valor original Valor final$B$4 Variáveis x1 0 3$C$4 Variáveis x2 0 1,5

RestriçõesCélula Nome Valor da célula Fórmula Status Transigência$D$10 LHS 24 $D$10<=$E$10 Agrupar 0$D$9 LHS 12 $D$9<=$E$9 Agrupar 0






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EXEMPLO ADICIONAL:

Região Factível

PONTOS ÓTIMOS E RESULTADO:






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EXEMPLO ADICIONAL: TENTE ENCONTRAR A MESMA SOLUÇÃO !!!






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Quais são as situações possíveis em um problema de solução pelo método gráfico?






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Quais são as situações possíveis em um problema de solução pelo método gráfico?





4. RESUMO

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4. RESUMO

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Nesta unidade você aprendeu a utilizar o método gráfico para resolver um problema de duas variáveis. Pelo método gráfico, cada restrição precisa ser representada em um gráfico formado pelos eixos das variáveis x1 e x2. A junção de todas as restrições forma o espaço de possíveis soluções.

Depois de encontrar o espaço de possíveis soluções é necessário assumir alguns valores para a função objetivo (z). Com esses valores, podemos traçar uma reta para cada valor de z e perceber para onde a função objetivo cresce. Conseqüentemente, é possível visualizar qual é a solução ótima graficamente. A solução ótima estará localizada em um dos vértices da região de possíveis soluções, ou seja, está localizada na interseção de duas retas. Para encontrar os valores de x1, x2 e conseqüentemente z, basta resolver um sistema de equações lineares com as duas retas que passam pelo ponto ótimo.

Na próxima aula você aprenderá a solucionar os problemas de Programação Linear por meio do aplicativo Solver do Excel. Tal ferramenta permitirá a solução de problemas mais complexos, com mais de 2 variáveis de decisão e com um número maior de restrições.





3. EXERCÍCIOS

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EXEMPLOS ADICIONAIS: TENTE ENCONTRAR A SOLUÇÃO !!!





FIM !!!

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