Pesquisa Operacional 1_Aula 2

Embed Size (px)

Text of Pesquisa Operacional 1_Aula 2

  • 1. FACULDADE PITGORAS
    Engenharia de Produo
    AULA2: Soluo Grfica de Problemas de PL
    Disciplina: Pesquisa Operacional 1:
    Prof. Msc. Joabe Silva

2. O mtodo da soluo grfica.
1
Exemplos.
2
SUMRIO
Exerccios.
3
2
3. 1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
3
4. 4
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
Os problemas de Pesquisa Operacional, quando esboam uma relao linear entre as variveis de deciso, so chamados de Problemas de Programao Linear (PL).
Dentre as diversas possibilidades de problemas dePL, aqueles que so baseados em apenas 2 variveis de deciso (x1 e x2), podem ser solucionados pelo Mtodo Grfico.
Este mtodo caracteriza-se pela busca da soluo tima do problema de PL, dentro de uma regio factvel formada pela interseco das retas geradas pelas inequaes das restries.
5. 1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
5
Como obter a soluo grfica?
1 PASSO: Formulao do problema de pesquisa operacional.
DICAS:

  • Quando o problema citar que h um estoque para se utilizar, as restries so do tipo ()pois no se pode consumir matria-prima alm do que se tem disponvel no estoque. So as Restries de Matria-Prima; 6. Quando o problema citar que h um nmero existente de mquinas para produo, homens para trabalhar, veculos para transportar, dinheiro para investir e similares, as restries so do tipo ()pois no se pode utilizar mais mquina para se produzir, alm do que se tem. No pode contar com mais operadores, alm do que se tem. No se pode transportar alm da capacidade do caminho. Enfim, todas Restries de Capacidade de Produo; 7. Quando o problema citar quantidades necessrias para a produo ser aceitvel (sucos, vitaminas, tintas, misturas em geral), as restries so do tipo ()pois no se pode utilizar menos do que o exigido para se ter um produto de qualidade.

1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
6
Como obter a soluo grfica?
2 PASSO: Estabelecer os eixos do plano cartesiano xy.
Para trabalharmos com um padro, o eixo vertical ser a varivel x2 (abscissas) e o eixo horizontal ser a varivel x1 (ordenadas).
Restries obtidas no processo de formulao.
8. 7
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
Como obter a soluo grfica?
3 PASSO: Traar as retas para cada restrio.
Restries obtidas no processo de formulao.
O valor que no estiver associado a uma varivel de deciso, o ponto em que a reta intercepta o eixo vertical !
Restrio 1
Termo independente
9. 8
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
Como obter a soluo grfica?
3 PASSO: Traar as retas para cada restrio.
Para achar o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal, basta atribuir 0 (zero) para a varivel na vertical (x2) , e obter o respectivo valor para x1.
Restries obtidas no processo de formulao.
Restrio 1
3
6
10. 9
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
Como obter a soluo grfica?
4 PASSO: Esboar o sentido da soluo da inequao. Se for do tipo , a soluo est para baixo ou para esquerda. Se for do tipo , a soluo est para cima ou para a direita.
Restrio 1
3
6
11. 10
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
Como obter a soluo grfica?
5 PASSO: Repetir para todas as inequaes.
Restrio 1
6
Restrio 2
Restrio 2
3
Restrio 1
6
4
12. 11
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
Como obter a soluo grfica?
5 PASSO: Repetir para todas as inequaes.
Restrio 1
6
Restrio 2
Restrio 2
Restries de Negatividade
3
Restrio 1
6
4
13. 12
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
Como obter a soluo grfica?
6 PASSO: Delimitar a regio factvel.
Restrio 1
Restrio 2
Restries de Negatividade
Regio Factvel
14. 13
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
Como obter a soluo grfica?
7 PASSO: Traar as retas da funo objetivo.
Como o objetivo maximizar, esta reta demonstra que ainda se pode obter valores mais altos para as variveis de deciso x1 e x2.
Para isto, necessrio atribuir valores arbitrrios para a funo objetivo. Mas claro que devem fazer sentido estes valores, caso contrrio a reta ficar fora do grfico.
Para Z = 6
2
Regio Factvel
5
2
15. 14
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
Como obter a soluo grfica?
7 PASSO: Traar as retas da funo objetivo.
Como o objetivo maximizar, esta reta demonstra que ainda se pode obter valores mais altos para as variveis de deciso x1 e x2.
Para isto, necessrio atribuir valores arbitrrios para a funo objetivo. Mas claro que devem fazer sentido estes valores, caso contrrio a reta ficar fora do grfico.
Para Z = 9
2
Regio Factvel
5
3
2
16. 15
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
Observa-se que ao passo que se aumenta o valor da funo objetivo as retas se deslocam para cima.
A seta em amarelo representa o vetor gradiente da funo objetivo. Como a funo de maximizao, o ponto timo est na direo que o vetor cresce, at o limite da regio factvel.
Como obter a soluo grfica?
7 PASSO: Traar as retas da funo objetivo.
Para isto, necessrio atribuir valores arbitrrios para a funo objetivo. Mas claro que devem fazer sentido estes valores, caso contrrio a reta ficar fora do grfico.
Para Z = 9
2
Regio Factvel
5
3
2
17. 16
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
Observa-se que ao passo que se aumenta o valor da funo objetivo as retas se deslocam para cima.
A seta em amarelo representa o vetor gradiente da funo objetivo. Como a funo de maximizao, o ponto timo est na direo que o vetor cresce, at o limite da regio factvel.
Como obter a soluo grfica?
7 PASSO: Traar as retas da funo objetivo.
Para isto, necessrio atribuir valores arbitrrios para a funo objetivo. Mas claro que devem fazer sentido estes valores, caso contrrio a reta ficar fora do grfico.
Para Z = 9
*
PONTO TIMO
x2
Regio Factvel
*
x1
5
18. 17
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
Observa-se que ao passo que se aumenta o valor da funo objetivo as retas se deslocam para cima.
A seta em amarelo representa o vetor gradiente da funo objetivo. Como a funo de maximizao, o ponto timo est na direo que o vetor cresce, at o limite da regio factvel.
Como obter a soluo grfica?
8 PASSO: Encontrar os pontos timos.
s vezes fcil observar quais so os pontos timos de cara (em casos onde a restrio uma reta sem inclinao). No caso deste exemplo, utiliza-se o mtodo de geometria analtica para achar o ponto em que as duas retas se cruzam.
*
PONTO TIMO
x2
Sistema de equaes formado pelas duas restries
Regio Factvel
*
x1
5
19. 18
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
Como obter a soluo grfica?
8 PASSO: Encontrar os pontos timos.
Sistema de equaes formado pelas duas restries
Pode-se ignorar as desigualdades.
*
PONTO TIMO
x2
Regio Factvel
*
x1
5
20. 19
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
Como obter a soluo grfica?
8 PASSO: Encontrar os pontos timos.
Sistema de equaes formado pelas duas restries
Pode-se ignorar as desigualdades.
*
PONTO TIMO
x2
Regio Factvel
*
x1
5
21. 20
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
Como obter a soluo grfica?
8 PASSO: Encontrar os pontos timos.
Sistema de equaes formado pelas duas restries
Pode-se ignorar as desigualdades.
Toma-se uma das equaes e substitui-se o primeiro valor timo encontrado.
*
PONTO TIMO
x2
Regio Factvel
*
x1
5
22. 21
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
Como obter a soluo grfica?
9 PASSO: Encontrar a soluo do problema (se for maximizar lucro, encontrar o lucro mximo, por exemplo).
Pontos timos encontrados:
Para encontrar a soluo do problema, basta substituir na equao da funo objetivo:
PONTO TIMO
Regio Factvel
5
23. 22
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
Como obter a soluo grfica?
PASSO FUTURO: Encontrar a soluo do problema pelo aplicativo Solver do Excel.
PONTO TIMO
Regio Factvel
5
24. 23
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
EXEMPLO ADICIONAL:
Regio Factvel
PONTOS TIMOS E RESULTADO:
25. 24
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
EXEMPLO ADICIONAL: TENTE ENCONTRAR A MESMA SOLUO !!!
26. 25
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
Quais so as situaes possveis em um problema de soluo pelo mtodo grfico?
27. 26
1. O MTODO DA SOLUO GRFICA
Quais so as situaes possveis em um problema de soluo pelo mtodo grfico?
28. 4. RESUMO
27
29. 28
4. RESUMO
Nesta unidade voc aprendeu a utilizar o mtodo grfico para resolver um problema de duas variveis. Pelo mtodo grfico, cada restrio precisa ser representada em um grficoformado pelos eixos das variveis x1e x2. A juno de todas as restries forma o espao de possveis solues.
Depois de encontrar o espao de possveis solues necessrio assumir alguns valores para a funo objetivo (z). Com esses valores, podemos traar uma reta para cada valor de ze perceber para onde a funo objetivo cresce. Conseqentemente, possvel visualizar qual a soluo tima graficamente. A soluo tima estar localizada em um dos vrtices da regio de possveis solues, ou seja, est localizada na interseo de duas retas. Para encontrar os valores de x1, x2e conseqentemente z, basta resolver um sistema de equaes lineares com as duas retas que passam pelo ponto timo.
Na prxima aula voc aprender a solucionar os problemas de Programao Linear por meio do aplicativo Solver do Excel. Tal ferramenta permitir a soluo de problemas mais complexos, com mais de 2 variveis de deciso e com um nmero maior de restries.
30. 3. EXERCCIOS
29
31. 30