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PROGRAMAÇÃO LINEAR: UM CASO SOBRE MAXIMIZAÇÃO DE
RECEITA
Dr. Roberval Rymer da Silva Carvalho, orientador
M.Sc. José Adolar Fernandes (em memória), co-orientador.
Elvis Magno da Silva, graduando, autor.
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SUMÁRIO Introdução
Pesquisa Operacional Programação Linear
Aplicação da Teoria Contexto da Academia Núcleo Resolução do Problema pelo Solver
Conclusão
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Introdução Pesquisa Operacional (PO) Para
Shamblin e Stevens Jr (1979, p. 13), Pesquisa Operacional (PO) é:
“um método científico de
tomada de decisão”.
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PO iniciar-se descrevendo um sistema por intermédio de um modelo e depois lida com este modelo para levantar o melhor modo de operar o sistema.
Ackoff e Sasieni (1974, p.11) também mostram a forma de equações que os modelos de PO assumem. Para eles, esta forma é de estrutura básica e muito simples:
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Z = (Xi, Yj)
Onde:
Z é a utilidade ou valor do desempenho (performance) do sistema (será chamada de função objetivo);
Xi, as variáveis que podem ser controladas;
Yj as variáveis (ou constantes) que não podem
ser controladas, mas que afetam Z; e
o relacionamento entre Z, Xi, Yj.
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Ainda segundo Ackoff e Sasieni (1974, p.11 e 12), além desta forma matemática “necessitaremos freqüentemente de uma ou mais equações ou inequações para traduzir a condição de que algumas, ou todas as variações controladas só podem ser manipuladas dentro de limites”.
Estas Equações e Inequações chamaremos de Restrições da Função
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Segundo Lachtermacer (2004), podemos representar um problema de Programação Linear por:
Maximizar: Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
Sujeito a:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2
. . . . . .
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm
x1, x2, ..., xn ≥ 0
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Aplicação do Conceito na Academia de Ginástica
NÚCLEO
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De acordo com o proprietário, as modalidades oferecidas durante o período da noite são: musculação, spinning, abdômen, fisioterapia e RPG.
Sabe-se que o máximo de alunos que a academia suporta durante o período noturno é de 120 pessoas. A Tabela 1 nos mostrará a relação entre atividade, receita e número de alunos:
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Modalidades durante o período noturno
Modalidade Receita por aluno Capacidade Máxima de alunos
Musculação R$ 35,00 80
Spinning R$40,00 20
Abdômen R$ 25,00 40
Fisioterapia R$ 50,00 25
RPG R$ 60,00 15
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Observamos que as atividades de RPG e Fisioterapia utilizam os mesmo professores e compartilham da mesma sala, o que faz com que, apesar da capacidade máxima de alunos de RPG e fisioterapia serem 25 e 15 alunos respectivamente, quando analisadas em conjunto, é possível dizer que tais modalidades juntas não podem apresentar mais de trintas alunos.
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Formulação Do Problema
O problema da Núcleo consiste em estabelecer qual o número de vagas a oferecer no período noturno em cada modalidade com o objetivo de maximizar a receita da empresa.
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1º Passo: Variáveis De Decisão
As variáveis de decisão representam a quantidade de cada modalidade física oferecida na academia Núcleo, em questão.
X1 = Número de alunos de MUSCULAÇÃO
X2 = Número de alunos de SPINNING
X3 = Número de alunos de ABDÔMEN
X4 = Número de alunos de FISIOTERAPIA
X5 = Número de alunos de RPG
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Função Objetivo: é maximização da receita do período noturno da Academia Núcleo, através da análise das variáveis citadas anteriormente.
MUSCULAÇÃO 35,00
SPINNING 40,00
ABDÔMEN 25,00
FISIOTERAPIA 50,00
RPG 60,00
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A soma dessas receitas, multiplicadas pela quantidade de alunos que realizaram a atividade irá resultar na receita total da academia no período. Para isso segue a função objetivo que maximizará essa receita:Max Z = 35X1 + 40X2 + 25X3 + 50X4 + 60X5
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Restrições Da Função
1) A primeira restrição é relacionada a quantidade máxima de alunos que a empresa está capacitada a receber no período. Para isso foi elaborada a seguinte restrição:
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≤ 120
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2) A segunda restrição diz respeito a quantidade de alunos da musculação que a empresa está capacitada a receber.
X1 ≤ 80 3) A terceira restrição diz respeito a
quantidade de alunos do spinning que a empresa está capacitada a receber.
X2 ≤ 20
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4) A quarta restrição diz respeito a quantidade de alunos de abdômen que a empresa está capacitada a receber.
X3 ≤ 40 5) A quinta restrição diz respeito a
quantidade de alunos da fisioterapia que a empresa está capacitada a receber.
X4 ≤ 25
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6) A sexta restrição diz respeito a quantidade de alunos de RPG que a empresa está capacitada a receber.
X5 ≤ 30 7) A sétima restrição diz respeito a
quantidade de alunos da fisioterapia e RPG que podem realizar as suas aulas ao mesmo tempo, visto que essas duas atividades são realizadas no mesmo local.
X4 + X5 ≤ 30
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Representação MatemáticaMax Z = 35X1 + 40X2 + 25X3 + 50X4 + 60X5sujeito a: X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≤ 120 X1 ≤ 80 X2 ≤ 20 X3 ≤ 40 X4 ≤ 25 X5 ≤ 30 X4 + X5 ≤ 30 X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0
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Resolução pelo Solver do Excel Para Habilitar este recurso no Excel, vá
para aba Ferramentas, Suplementos e marque a opção Solver.
Para Office Enterprise, acione o botão Office ( ), opções do Excel, Suplementos, Suplementos do Excel, Ir, Marque a opção Solver.
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ConclusãoDe forma geral, percebe-se que com o conhecimento de Pesquisa Operacional, e solução por programação linear, os empresários terão uma grande ferramenta gerencial em suas mãos para tomada de decisão.
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Agradecimento
- À Faculdade de Cienciais Sociais Aplicadas do Sul de Minas (FACESM);
- À Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Minas Gerais (FAPEMIG);
- Aos Professores Dr. Roberval Rymer da Silva Carvalho e Ms Vladas Urbanavicius Júnior.
