Universidade Federal de Santa Catarina

Centro de Ciências Físicas e Matemáticas

Departamento de Matemática

Curso: Matemática – Licenciatura

Disciplina: MTM7122 Laboratório de Matemática II (PCC 72

horas)

Professor: Marcelo Sobottka

Aluno: Djeison Machado Matrícula: 08235013

PLANO DE AULA

Conteúdo

Análise Combinátoria – Combinações Simples e com Repetição

Pré-requisitos

Fatorial de um números, princípio multiplicativo da contagem, arranjos e

permutações.

Turma

2ª série do Ensino Médio

Disciplina

Matemática

Duração prevista

Uma aula de 50 minutos

Objetivos

Aprender os métodos de resolução de problemas de combinações simples

e com repetição;

Identificar se o problema é uma combinação simples ou com repetição;

Desenvolver habilidades na resolução dos problemas propostos.

Metodologia de Ensino

Aula expositiva dialogada.

Recursos

A) Materiais

Os problemas, exemplos e métodos apresentados deverão ser mostrados em

apresentações gráficas no computador com ilustrações das situações para facilitar a

compreensão.

B) Livro

Deverá ser utilizado como apoio o livro didático escolhido pela Escola. Caso o

livro não aborde o conteúdo desta aula, poderá ser utilizado o livro

“Matemática: Ciência e Aplicações” Volume 2 do Ensino Médio.

Autores: Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo e

Nilze de Almeida.

Atual Editora – 2004

Desenvolvimento da Aula

A aula será dividada em três etapas: problematização, construção do

conhecimento e resolução de exercícios.

A) Problematização

A problematização dar-se-á através da exposição dos seguintes problemas:

Problema 1: Uma pizzaria oferece 15 diferentes sabores de pizza a seus clientes.

a) De quantas maneiras uma família pode escolher três desses sabores?

Solução: Vamos chamar de P1, P2 e P3 as pizzas que podem ser escolhidas pela família.

De cada 15 possibilidades a família pode escolher 3 delas. Então, para resolver esse

problema basta notar que selecionar 3 dos 15 sabores equivale a dividir os 15 sabores

em um grupo de 3 sabores, que são os selecionados, e um grupo de 15-3=12 sabores,

que são os não selecionados. Assim, diz-se que cada possível escolha da família é uma

combinação de 15 pizzas tomadas três a três que pode ser calculada pela seguinte

expressão:

Problema 2: De quantos modos é possível comprar 3 sorvetes em um local que os

oferece em 4 sabores?

Solução:

(1ª maneira de resolver o problema) Sejam a, b, c e d os sabores oferecidos. Vamos

enumerar todas as possíveis escolhas.

aaa, bbb, ccc, ddd, aab, aac, aad, bba, bbc, bbd, cca, ccb, ccd, dda, ddb, ddc, abc, abd,

acd, bcd

Logo, o total de possibilidades é 20.

(2ª maneira de resolver o problema) Seja xi, i = 1, 2, 3, 4 a quantidade de sorvetes do

sabor i que serão escolhidas. Contar as possibilidades das escolhas dos sabores é o

mesmo que contar quantas são as soluções inteiras não negativas da equação x1 + x2 +

x3 + x4 = 3. Nosso objetivo agora é contar quantas são as soluções inteiras não negativas

da equação. Vamos representar por bolinhas e traços cada uma das soluções. A solução

(1, 2, 0, 0), por exemplo, possi representação do tipo ( . | .. | | ). Sendo assim, contar o

número de soluções é o mesmo que contar quantas são as permutações de 6 objetos,

sendo 3 traços e 3 bolinhas. Logo o total de soluções da equação (e consequentemente o

total de escolhas para os 3 sorvetes é

B) Construção do conhecimento

1. O problema das combinações simples

De quantos modos podemos selecionar p objetos distintos de n objetos dados?

Solução: Sejam a1, a2, a3, ..., an os objetos. De quantas maneiras podemos escolher p

desses objetos? Escolher p objetos entre n objetos é equivalente a dividir n objetos em

dois grupos: um com os p objetos selecionados e outro com os n-p objetos descartados.

Uma resposta preliminiar para o problema seria n! Note que nessa contagem cada

divisão foi contada vezes, que são as possíveis permutações dos elementos

em seus respectivos grupos. Portanto, o total de modos de escolher p objetos entre n

objetos dados é

( ).

2. Combinações completas

Vamos denotar por o número de maneiras de selecionar p objetos (nem

todos distintos), dados n objetos distintos. Como já vimos, podemos interpretar o

número como sendo o número de soluções inteiras não negativas da equação x1 +

x2 + ... + xn = p. Cada solução da equação acima pode ser representada por uma

permutação de p bolinhas e n-1 tracinhos:

.

3. Recomendações básicas

a) Postura: devemos nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a tarefa solicitada

pelo enunciado do problema;

b) Divisão: dividir a tarefa solicitada pelo problema, sempre que possível, em etapas

mais simples;

c) Não adiar dificuldades, pequenas dificuldades adiadas costumam se transformar em

grandes dificuldades da resolução dos problemas.

C) Resolução de exercícios.

Os alunos deverão ser divididos em duplas para resolverem os seguintes

exercícios:

1. Uma classe tem 15 alunos, sendo 9 meninos e 6 meninas.

a) Quantas comissões de dois meninos e duas meninas podem ser formadas?

Solução: O número de maneiras de escolher os meninos é . O número de

maneiras de escolher as meninas é . Pelo princípio multiplicativo da contagem, o

resulto procurado é:

.

b) Quantas comissões de quatro alunos têm pelo menos um menino?

Solução: O número total de comissões de quatro alunos, sem nenhuma restrição, é

. O número de comissões em que não aparecem meninos é

, pois as vagas na

comissão serão preenchidas pelas meninas. Dessa forma, a diferença

.

2. Quantas são as soluções inteiras e não negativas da inequação x + y + z ≤ 5?

(resolva de duas formas)

Solução:

1ª maneira: As soluções da inequação x + y + z ≤ 5 dividem-se em 6 grupos:

x + y + z = 5

x + y + z = 4

x + y + z = 3

x + y + z = 2

x + y + z = 1

x + y + z = 0

Portanto, a resposta é

.

2ª maneira: Dada uma solução da inequação x + y + z ≤ 5, defina a folga da solução

como sendo f = 5 – (x + y + z). Note que existe uma correspondência biunívoca

entre o número de soluções da inequação x + y + z ≤ 5 e o número de soluções da

equação x + y + z + f = 5. Logo, o total de soluções é

.