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Guia de Orientações Didáticas do software PoliKalc Everaldo Gomes Leandro Antônio José de Lima Batista Stefânia Efigênia Izá Amanda Castro Oliveira UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS OBJETIVOS DA PROPOSTA DIDÁTICO-PEDAGÓGICA EFETIVADA PELA TECNOLOGIA EDUCACIONAL PoliKalc é um software livre destinado ao ensino e a aprendizagem de cálculos aritméticos (mentais, com calculadora, com algoritmos: exatos e aproximados). Ele é composto de quatro calculadoras (Kalc Exata, Kalc Mental, Kalc Aproximada, Kalc Quebrada) com o objetivo de possibilitar trabalho com os diferentes tipos de cálculos aritméticos, bem como permitir a compreensão das operações básicas, do sistema de numeração decimal e suas propriedades. Tal software tem características multimídia, respalda-se na teorização construcionista de aprendizagem e pode ser executado tanto em sistemas operacionais Windows e Linux. PRESSUPOSTOS TEÓRICO-METODOLÓGICOS ASSUMIDOS PELA TECNOLOGIA 1. As Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) para o Ensino e a Aprendizagem de Matemática Para compreendermos em qual contexto se inserirá o Objeto de Aprendizagem criado por nós, foi necessário entender a sociedade na qual será inserido, os sujeitos que os utilizarão e em qual perspectiva de ensino e aprendizagem da Matemática estará alicerçado. Assim, este tópico foi pensado para que houvesse essas discussões que também deram suporte para criação do software. O termo tecnologia provém do grego e seu significado está intrinsecamente ligado ao conhecimento de uma técnica. No dicionário Houaiss Online 1 , tecnologia é a “teoria geral e/ou estudo sistemático sobre técnicas, processos, métodos, meios e instrumentos de um ou mais ofícios ou domínios da atividade humana”. Em diferentes momentos históricos, diversas técnicas foram criadas para responder às necessidades dos seres humanos. O conhecimento dessas técnicas e o ensino para os seus descendentes foi o que possibilitou o desenvolvimento de uma determinada sociedade. Para Ponte (2000, p. 64): 1 Dicionário disponível no endereço <http://200.241.192.6/cgi-bin/houaissnetb.dll/frame >. Acessado em: 09 de Ago. de 2013.

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Guia de Orientações Didáticas do software PoliKalc Everaldo Gomes Leandro

Antônio José de Lima Batista Stefânia Efigênia Izá

Amanda Castro Oliveira

UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS

OBJETIVOS DA PROPOSTA DIDÁTICO-PEDAGÓGICA EFETIVADA PELA TECNOLOGIA EDUCACIONAL

PoliKalc é um software livre destinado ao ensino e a aprendizagem de cálculos

aritméticos (mentais, com calculadora, com algoritmos: exatos e aproximados). Ele é composto

de quatro calculadoras (Kalc Exata, Kalc Mental, Kalc Aproximada, Kalc Quebrada) com o

objetivo de possibilitar trabalho com os diferentes tipos de cálculos aritméticos, bem como

permitir a compreensão das operações básicas, do sistema de numeração decimal e suas

propriedades. Tal software tem características multimídia, respalda-se na teorização

construcionista de aprendizagem e pode ser executado tanto em sistemas operacionais Windows

e Linux.

PRESSUPOSTOS TEÓRICO-METODOLÓGICOS ASSUMIDOS PELA TECNOLOGIA

1. As Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) para o Ensino e a Aprendizagem de Matemática

Para compreendermos em qual contexto se inserirá o Objeto de Aprendizagem criado

por nós, foi necessário entender a sociedade na qual será inserido, os sujeitos que os utilizarão e

em qual perspectiva de ensino e aprendizagem da Matemática estará alicerçado. Assim, este

tópico foi pensado para que houvesse essas discussões que também deram suporte para criação

do software.

O termo tecnologia provém do grego e seu significado está intrinsecamente ligado ao

conhecimento de uma técnica. No dicionário Houaiss Online1, tecnologia é a “teoria geral e/ou

estudo sistemático sobre técnicas, processos, métodos, meios e instrumentos de um ou mais

ofícios ou domínios da atividade humana”. Em diferentes momentos históricos, diversas

técnicas foram criadas para responder às necessidades dos seres humanos. O conhecimento

dessas técnicas e o ensino para os seus descendentes foi o que possibilitou o desenvolvimento

de uma determinada sociedade. Para Ponte (2000, p. 64):

1 Dicionário disponível no endereço <http://200.241.192.6/cgi-bin/houaissnetb.dll/frame>. Acessado em: 09 de Ago. de 2013.

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Todas as épocas têm as suas técnicas próprias que se afirmam como produto e também como fator de mudança social. Assim, os utensílios de pedra, o domínio do fogo e a linguagem constituem as tecnologias fundamentais que, para muitos autores, estão indissociavelmente ligadas ao desenvolvimento da espécie humana há muitos milhares de anos.

Deste modo, podemos dizer que apagadores, quadros-negros, lápis e outros

instrumentos utilizados em salas de aula são tecnologias, mas de qual época? Da atual com

certeza (BORBA; PENTEADO, 2003), pois são utilizadas no cotidiano pelos alunos e

professores, mas estivemos interessados em discutir as mídias provenientes da atual e

denominada Sociedade de Informação2 que podem possibilitar o desenvolvimento de trabalhos

em aulas de Matemática nas escolas.

Assim, para que processos de aprendizagem, com aparatos tecnológicos da Sociedade

de Informação, possam ocorrer faz-se necessário um ambiente apropriado. Este deve ter

características construtivistas, por entender que o aluno é o centro de sua própria aprendizagem

e, por se tratar da utilização de tecnologias, de aspectos construcionistas (PAPERT, 2008) por

meio do qual o sujeito constrói conhecimentos usando a tecnologia.

A teoria Construcionista está intimamente ligada ao Construtivismo tanto quanto seus

teóricos principais. Jean Piaget (1896 - 1980) influenciou Seymour Papert (1928 - hoje) em sua

teorização. A Epistemologia Genética Piagetiana3 tenta “explicar a forma como o conhecimento

é adquirido pelo sujeito. Piaget nunca se preocupou com a transposição de suas teorias para a

sala de aula” (ROSA, 2011, p. 15). Já Papert, que estudou com Piaget em Genebra na Suíça,

teve tal preocupação e sua perspectiva “era considerar o uso da matemática para entender como

as crianças podem aprender e pensar” (CAMPOS, 2008, p. 79). Assim, surge o

Construcionismo que tem como ideia principal propor uma nova abordagem do uso de

tecnologias na educação, tendo como: Principal fundamento a utilização do computador para a concretização das construções internas do indivíduo, que, consequentemente, torna-se matéria-prima para novas construções internas. Essas construções, por sua vez, geram novas concretizações. Sendo assim, esse movimento torna-se continuo entre o concreto e o abstrato (CAMPOS, 2008, p. 95)

Deste modo, percebe-se que o uso, de computadores e calculadoras4, pode ser pensado e

estar alinhado com a ideia de construção do conhecimento. Por outro lado, quem são os sujeitos

que constroem esses conhecimentos?

2 Alguns autores entre eles Maltempi (2005) conceituam a sociedade atual como uma Sociedade do Conhecimento, já outros como Castells (2005), Ponte (2000), Mendes (2013) a denominam como Sociedade de Informação. Nesse trabalho utilizaremos a terminologia de Sociedade de Informação. 3 Teoria apresentada por Jean Piaget que objetiva entender a Gênese do Conhecimento, ou seja, os processos que acorrem com o sujeito e que possibilitam a construção do conhecimento. 4 Concordamos com a ideia de Van de Walle (2009, p.130) de que “o termo tecnologia no contexto de Matemática Escolar se refere principalmente às calculadoras de qualquer tipo e aos computadores, incluindo o acesso a internet e outros recursos disponíveis”, assim ao longo desse texto os termos computadores e calculadoras estarão se referindo a diversos tipos de tecnologias voltadas para o ensino de

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Em relação ao uso de tecnologias, Prensky (2001) propõe uma divisão das pessoas com

base nas gerações tecnológicas e cunha os termos nativo digital e imigrante digital que

expressam essa divisão. Com base em Prensky, Palfrey e Gasser (2011) utilizam o termo nativo

digital para caracterizar os sujeitos nascidos, dentro da Sociedade de Informação na chamada

era digital, após 1980 e os que não nasceram, mas estão imersos nessa sociedade, denominaram

de imigrante digital. O sujeito considerado nativo digital possui algumas características, como: uma identidade virtual, pois passam a maior parte do tempo conectados através das redes sociais, blogs, jogos online, em meio às inovações tecnológicas. Nesses espaços socializam, se expressam criativamente e compartilham ideias e novidades. Desse modo, muitos nativos digitais não distinguem o online do offline (SANTOS et AL, 2001, p.15845).

Deste modo, acreditamos que os nativos se interessam por meios de aprendizagens, com

uso de tecnologias, por exemplo, que podem se distinguir da forma como o professor aprendeu.

Palfrey e Gasser (2013, p.13) consideram que os imigrantes têm menos familiaridade

com o meio digital. A intimidade dos nativos digitais com as inovações tecnologias é

considerável quando comparada a dos imigrantes digitais.

Há também o grupo de pessoas denominadas de “colonizadores digitais” (SANTOS et

al., 2011) que se caracteriza por serem mais velhos, também estarem conectados e contribuirem

para o avanço tecnológico, mas interagem com a tecnologia de forma diversa dos nativos.

Coloca-se nesse contexto as relações entre o professor, o saber e o aluno e deste modo,

acreditamos que os professores necessitam atentar para seu papel enquanto educadores exposta

por D’Ambrosio (2005, p. 45) quando argumenta que: Nossa missão de educadores tem como prioridade absoluta obter paz nas gerações futuras. Não podemos nos esquecer de que essas gerações viverão num ambiente multicultural, suas relações serão interculturais e seu dia-a-dia será impregnado de tecnologia.

Acreditamos que essa impregnação tecnológica necessita ser levada em conta pelo

educador matemático que, por sua vez, pode inserir em suas aulas tecnologias que se relacionem

com a aprendizagem e o ensino de Matemática para que os estudantes entendam/façam

Matemática tanto quanto dominem as tecnologias.

Entendemos também que não são quaisquer tipos de softwares que podem ser inseridos

em diversas escolas, por conta de seus preços. Assim, dentre as tecnologias disponíveis,

acreditamos que a proposta do software livre pode possibilitar maior acesso de usuários às

tecnologias de informação e comunicação.

Software livre, por sua vez, se refere a “liberdade de usuários executarem, copiarem,

distribuírem, estudarem, modificarem e aperfeiçoarem o software.” (PSL BRASIL, 2013). Isso

quer dizer que os códigos fonte dos softwares são abertos, podendo assim, serem modificados

Matemática, dado que grande quantidade de tecnologias utilizadas nas escolas são disponibilizadas em computadores e calculadoras.

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por qualquer pessoa que entenda da linguagem de programação utilizada, além do usuário ou

instituição (no nosso caso a escola) realizar as ações expostas acima.

Nessa perspectiva, estamos de acordo com Borba e Penteado (2003, p.17) de que a

inserção da informática e de outras mídias na educação deve ser justificada de duas formas: o

direito ao acesso e a alfabetização tecnológica. O direito ao acesso, argumentam esses autores,

pode ser visto como projeto social que tem por finalidade a democratização das tecnologias. Por

outro lado O acesso à informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas escolas públicas e particulares o estudante deve poder usufruir de uma educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma “alfabetização tecnológica”. Tal alfabetização deve ser vista não como um Curso de Informática, mas, sim, como um aprender a ler essa nova mídia. Assim, o computador deve estar inserido em atividades essenciais, tais como aprender a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos, contar, desenvolver noções espaciais etc. (BORBA; PENTEADO, 2003, p.17).

Assim, nossa proposta de criação de um software livre está alinhada com o direito ao

acesso e pode vir a ser utilizado para uma alfabetização tecnológica. Acreditamos que o

software livre é um dos caminhos possíveis para a problemática da inserção de tecnologias nas

escolas e quando defendemos isso estamos pensando nas possibilidades de instalação, copia e

distribuição que tais softwares disponibilizam sem que nos esbarremos em direitos autorais e

uso ilegal de programas. Assim nossa proposta de criação da PoliKalc vem no sentido de ser um

software livre abrangendo as quatro liberdades (PSL BRASIL, 2013) do usuário desse tipo de

software que são:

A liberdade de executar o programa para qualquer propósito;

Liberdade de estudar como o programa funciona, e adaptá-lo para as suas

necessidades. Acesso ao código-fonte é um pré-requisito para esta liberdade;

A liberdade de redistribuir cópias de modo que você possa ajudar ao seu próximo;

E a liberdade de aperfeiçoar o programa, e liberar os seus aperfeiçoamentos, de

modo que toda a comunidade se beneficie. Acesso ao código-fonte é um pré-

requisito para esta liberdade;

Outro ponto que nos fez querer que o código fosse aberto é a possibilidade de

colaboração de outros programadores e pesquisadores interessados em dar suas contribuições

para a PoliKalc, pois temos consciência de nossas próprias limitações tanto no que diz respeito

as técnicas de programação como as limitações dos conhecimentos em relação ao ensino e a

aprendizagem dos diversos tipos de cálculos.

Deste modo, percebemos também a importância da inserção de tecnologia para a

aprendizagem Matemática em sala de aula, observamos que o ensino da Matemática como o das

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outras ciências está sofrendo processos de transformação. Essas mudanças, sugeridas pelos

Parâmetros Curriculares Nacionais - PCNs (BRASIL, 1998, p.43), apontam que: As tecnologias, em suas diferentes formas e usos, constituem um dos principais agentes de transformação da sociedade, pelas modificações que exercem nos meios de produção e por suas conseqüências no cotidiano das pessoas.

Nessa linha de raciocínio, os PCNs nos mostram a importância da tecnologia para os

processos de ensino e aprendizagem da Matemática e enumeram quatro contribuições para se

repensar tais processos, são elas:

Relativiza a importância do cálculo mecânico e da simples manipulação simbólica, uma vez que por meio de instrumentos esses cálculos podem ser realizados de modo mais rápido e eficiente;

Evidencia para os alunos a importância do papel da linguagem gráfica e de novas formas de representação, permitindo novas estratégias de abordagem de variados problemas;

Possibilita o desenvolvimento, nos alunos, de um crescente interesse pela realização de projetos e atividades de investigação e exploração como parte fundamental de sua aprendizagem;

Permite que os alunos construam uma visão mais completa da verdadeira natureza da atividade matemática e desenvolvam atitudes positivas diante de seu estudo. (BRASIL, 1998, p.43).

Desta forma e entendendo que “a humanidade está envolvida pela tecnologia” (SKOVSMOSE, 2001, p.77), defendemos que tecnologias devem ser formuladas/criadas para que possam auxiliar no ensino e na aprendizagem da Matemática em seus diferentes campos como a geometria, a álgebra e, no nosso foco de trabalho, os diversos tipos de cálculos aritméticos.

2. O ensino e a aprendizagem de cálculos mentais, exatos, aproximados e com

calculadora

Algumas pesquisas (GOMES, 2007; MEGID, 2009) apontam a importância das

construções de estratégias de cálculos para o desenvolvimento de conceitos matemáticos pelos

estudantes. Outras (FONTES, 2010; GUIMARÃES; FREITAS, 1997; PARRA, 1996;) se

concentram em analisar e refletir sobre o valor, o ensino e/ou a aprendizagem dos cálculos

aritméticos nos anos iniciais do ensino fundamental.

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL, 1998) e em toda sua extensão

é focalizado o papel basilar da compreensão e apropriação dos diversos tipos de cálculos - o

mental e o escrito, com calculadora, o exato e o aproximado - em todos os anos do ensino

fundamental. O NCTM (National Council of Teachers of Mathematics), por sua vez, elaborou

um esquema (Figura 1) para a compreensão das relações entre os cálculos:

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Figura 1 Relações entre os Cálculos segundo NCTM (apud FONTES, 2010)

Por meio do esquema apresentado, suponhamos que exista um problema a ser resolvido

e para resolvê-lo um sujeito necessita fazer um cálculo. Dependendo do problema em questão

faz-se uso de um cálculo exato ou aproximado. Se exato, pode-se utilizar estratégias de cálculo

mental, algoritmo (utilizando-se da escrita) e/ou uso de calculadora/computador. Por outro lado,

se o cálculo requerido for aproximado utiliza-se a estimativa por meio de algoritmo, cálculo

mental ou a calculadora/computador.

Neste contexto, percebe-se a necessidade de inserção nas salas de aulas de Matemática

de práticas de ensino que integrem os cálculos, mas que também seja um projeto contínuo do

professor de Matemática.

Por outro lado, autoras como Parra (1996) e Fontes (2010) constataram que os cálculos

nos anos iniciais são basicamente ensinados na forma escrita e exata por meio de algoritmos

pré-estabelecidos, assim intervenções que se proponham a ampliar tais práticas como a

defendida nessa pesquisa por meio da criação de um objeto de aprendizagem, contribuem para

um novo entendimento em relação ao ensino e a aprendizagem de cálculos.

Assim pretendemos caracterizar o ensino e a aprendizagem dos diversos tipos de cálculo

(mental, com calculadora, com algoritmo: exatos ou aproximados) e justificar a importância da

inserção e do ensino de diferentes estratégias de cálculo em aulas de Matemática utilizando as

tecnologias de informação e comunicação, no nosso caso o software PoliKalc.

2.1 Cálculo Mental: “Conta de cabeça” ou uma possibilidade para o início do ensino e

da aprendizagem de cálculos na educação básica?

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À entrada do auditório, umas mocinhas da Universidade encarregam-se da venda dos livros de Torrente. Escolho uma meia dúzia deles e fico à espera de que me façam as contas e digam quanto tenho que pagar. Seis livros, seis parcelas de uma soma simples, nenhuma delas com mais de dois dígitos. A primeira tentativa falhou, a segunda não foi melhor. Eu olhava, assombrado, o modo como a rapariga ia somando, dizia sete mais seis, treze, e vai um, escrevia 3 na soma, 1 ao lado, e prosseguia, adicionando por escrito os que iam aos que estavam, como, nos velhos tempos, um estudante da primeira classe antes de aprender a usar a memória. Uma colega explicou-me com um sorriso envergonhado: “É que falta a máquina.” Diante daquela florida e ignorante juventude, senti-me,de súbito, infinitamente sábio em aritméticas: pedi o papel e o lápis e, com um ar de triunfo condescendente, rematei a soma num instante,mentalmente. As pobres pequenas ficaram esmagadas, confusas, como se, tendo-lhes faltado os fósforos no meio da selva, lhes tivesse aparecido um selvagem com dois pauzinhos secos e a arte de fazer lume sem calculadora.

(SARAMAGO, 1997)

Os primeiros indícios de introdução do cálculo mental nos currículos brasileiros datam

de 1891 e são encontrados em documentos do Colégio Pedro II. Tal colégio era referência e

modelo para outras escolas brasileiras até as primeiras três décadas do século XX 5 e a

concepção de educação estava direcionada para os exames preparatórios para os estudos

superiores (GOMES, 2007).

Passados mais de 100 anos, as concepções e o entendimento em relação ao cálculo

mental não tiveram grandes mudanças. Quando nos referimos ao cálculo mental, uma das

primeiras ideias que nos vem em mente é a ideia de “fazer conta de cabeça”. Tal pensamento

não está errado, mas incompleto. Fontes (2010, p. 219), se referindo a concepção que alguns de

seus sujeitos de pesquisa tinham em relação ao cálculo mental, afirma que: As crianças não precisam pensar em cálculo mental somente de cabeça, podem escrever as etapas do cálculo mental para registrar as etapas do seu pensamento, podem voltar e conferir como pensaram e mostrar esse caminho aos outros colegas.

Outro ponto que necessita estar claro em relação ao cálculo mental é a corriqueira

confusão existente quando um sujeito resolve uma operação utilizando um algoritmo 6

mentalmente, algumas vezes escrevendo até a conta armada no ar com os dedos das mãos. Essa

ação não é considerada cálculo mental.

Não existe também a dicotomia entre cálculo escrito e cálculo mental, uma vez que o

cálculo mental pode ser realizado com o apoio de “lápis e papel”, assim: cada vez mais a criança poderá elaborar estratégias observáveis e passíveis de conferência, para torná-la cada vez mais independente desses objetos e aproximando-se cada vez mais do cálculo sem tais recursos concretos (FONTES, 2010, p.32).

5 Em 1931 surge a Reforma Francisco Campos que se torna parâmetro para as escolas da época. 6 Entendemos por algoritmo “uma série finita de regras a serem aplicadas em uma ordem determinada a um número finito de dados para chegar com certeza (quer dizer, sem indeterminação ou ambiguidades) e em um número finito de etapas, a determinado resultado, e isso independentemente dos dados” (Bouvier, apud Parra (1996, p.189)).

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O cálculo mental algumas vezes é relacionado também com rapidez de resolução. Não

necessariamente isso pode ocorrer. Essa concepção de rapidez se dá por entender que em

situações cotidianas, como ir a um supermercado, o cálculo exigido mentalmente deve ser

rápido e não exato. Assim, surge outro equivoco: a confusão entre cálculo mental e aproximado.

Pode-se perceber pelo esquema do NCTM (Figura 1) que há sim uma relação entre os

cálculos mentais e aproximados, bem como com o cálculo exato. Suponhamos a seguinte

situação: “Pedrinho vai com sua mãe em uma feira no dia de domingo. Ela compra 5 tomates

por R$ 3,00, 10 laranjas por R$ 5,00 e algumas peras por R$ 7,00. Depois disso, ela pede para

Pedrinho fazer a conta de quanto ela deve pagar ao dono da banca de frutas”.

Podemos observar por essa situação que uma das formas de resolução que poderia

surgir seria Pedrinho somar os três valores, achando uma resposta exata. O cálculo mental

entraria nessa situação a partir do momento em que ele escolheria uma estratégia para encontrar

a solução. Pedrinho poderia pensar o seguinte: Primeiramente somaria 7 com 3, encontrando

R$10,00 e depois aumentaria 5, encontrando o resulta exato de R$ 15,00. Mas, se os preços

fossem R$ 3,75, R$ 5,92 e R$ 7,05 respectivamente. Pedrinho poderia dar uma resposta exata

utilizando estratégias de cálculo mental ou dar uma resposta aproximada utilizando ou não essas

mesmas estratégias de cálculo mental.

Assim, entendemos que uma definição única de cálculo mental se torna difícil de ser

elaborada, como acredita Parra (1996, p.186) quando afirma que “‘cálculo mental’ é uma

expressão que pode ter muitos significados, dividindo opiniões, provocando dúvidas e

expectativas”. Mas, uma conceituação sobre cálculo mental, para essa mesma autora é que

cálculo mental é: um conjunto de procedimentos em que, uma vez analisados os dados a serem tratados, estes se articulam, sem recorrer a um algoritmo pré-estabelecido para obter resultados exatos ou aproximados (PARRA, 1996, p.189).

Deste modo, continuando suas argumentações, Fontes (2010) e Parra (1996) ao longo

de seus escritos nos mostram algumas vantagens da aprendizagem de estratégias de cálculo

mental que indicamos a seguir:

As aprendizagens no campo do cálculo mental influem na capacidade de resolver problemas;

Aumento do conhecimento no campo numérico; Habilita para uma maneira de construção do conhecimento que fornece uma melhor

relação do aluno com a Matemática; Aumenta a capacidade de iniciativa do aluno; Desenvolve o pensamento flexível; Promove o sentido do número e a compreensão do sistema decimal; Encoraja a criatividade; Permite liberdade e flexibilidade na escolha do processo de solução e; Amplia o conceito de valor posicional de número.

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Com o passar do tempo, enquanto as relações e o repertório de cálculo vão se

expandindo surge espaço para a memorização. Assim, alguns cálculos como, por exemplo, 1 + 1

e 10x10 são rapidamente realizados por estarem memorizados. Esse processo proporciona o

aprendizado de conceitos mais sofisticados e abstratos, fato que a aprendizagem apenas do

algoritmo seja ela da divisão, subtração, multiplicação ou adição não proporcionam.

Em relação aos algoritmos aprendidos na escola, Fontes (2010) acredita que deveriam

ser ensinados pelos professores mais tardiamente. O algoritmo permite encontrar as soluções

facilmente, mas podem dificultar o processo de compreensão das relações numéricas. Assim, Quando se ‘atropela’ a aprendizagem com o ensino de algoritmos antes do domínio do cálculo, não se trabalha sua lógica, somente sua sequência e regras e, por se tratar de um conhecimento não questionado, apenas memorizado, unilateral, pode bloquear o raciocínio, não permitindo que se realize o estabelecimento de relações, a principal característica do cálculo mental. (FONTES, 2010, p. 36)

Portanto, esquecer ou inverter a ideia de que o ensino deve partir de onde o aluno está,

pode comprometer a aprendizagem. Aproveitar a vivência que o estudante teve antes de chegar

a idade escolar (LORENZATO, 2006) tanto quanto inseri-las em sala de aula oferecendo

oportunidades “de resolver problemas em contextos práticos” (CARRAHER; CARRAHER;

SCHLIEMANN, 2006, p. 82) pode ser um dos pontos para o ensino e a aprendizagem da

Matemática com compreensão.

2.2 Os Cálculos Exatos e Aproximados

Os cálculos exatos perpassam todos os anos escolares e são necessários em diferentes

conteúdos da Matemática. São ensinados basicamente por meio de algoritmos e na forma

escrita. Isso já não acontece com os cálculos aproximados, deixados de lado e julgados como

um tipo de cálculo menor, que não tem utilidade.

Em sociedade, ao contrário, os cálculos exatos, tanto quanto os aproximados têm

diversas utilidades. Assim, é aconselhável que estejam nos mesmos patamares quando um

professor planeja ensinar as operações básicas.

Livros didáticos (IMENES; LELLIS, 2006; LOPES, 2006) abordam os diversos tipos de

cálculo de maneira diferente de livros mais antigos. Imenes e Lellis (2006), por exemplo, em

seus livros, de sexto ao nono ano, da coleção “Matemática para todos” traz os cálculos exatos e

aproximados contextualizados juntamente com propostas de ensino utilizando calculadoras e o

cálculo mental.

Percebemos também por meio dos livros didáticos que a maneira de abordar e/ou inserir

os cálculos ao longo do tempo sofre mudanças. Lopes (1994) em seu livro didático “Matemática

Atual” da oitava série (hoje nono ano) não insere a calculadora como instrumento para

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aprendizagem de cálculos, 12 anos depois, Lopes (2006) na coleção “Matemática hoje é feita

assim” aborda atividades voltadas para o uso da calculadora, bem como trata os outros tipos de

cálculos (exatos e aproximados) de maneira contextualizada.

2.3 Cálculos com Calculadoras: (In)verdades e possibilidades para o ensino e a

aprendizagem da Matemática

O Rodrigo não entendia por que precisava aprender matemática, já que a sua minicalculadora faria todas as contas por ele, pelo resto da vida, e então a professora resolveu contar uma história. Contou a história do Supercomputador. Um dia disse a professora, todos os computadores do mundo serão unificados num único sistema, e o centro do sistema será em alguma cidade do Japão. Todas as casas do mundo, todos os lugares do mundo terão terminais do Supercomputador. As pessoas usarão o Supercomputador para compras, para recados, para reservas de avião, para consultas sentimentais. Para tudo. Ninguém mais precisará de relógios individuais, de livros ou de calculadoras portáteis. Não precisará mais nem estudar. Tudo que alguém quiser saber sobre qualquer coisa estará na memória do Supercomputador, ao alcance de qualquer um. Em milésimos de segundo a resposta à consulta estará na tela mais próxima. E haverá bilhões de telas espalhadas por onde o homem estiver, desde lavatórios públicos até estações espaciais. Bastará ao homem apertar um botão para ter a informação que quiser. Um dia, um garoto perguntará ao pai: _Pai, quanto é dois mais dois? _Não pergunte a mim – dirá o pai -, pergunte a Ele. E o garoto digitará os botões apropriados e num milésimo de segundo a resposta aparecerá na tela. E então o garoto dirá: _Como é que sei que a resposta é certa? _Porque Ele disse que é certa – responderá o pai. _E se Ele estiver errado? _Ele nunca erra. _ Mas se estiver? _Sempre podemos contar nos dedos. _O quê? _Contar nos dedos, como faziam os antigos. Levante dois dedos. Agora mais dois. Viu? Um, dois, três, quatro. O computador está certo. _Mas, pai, e 362 vezes 17? Não dá para contar nos dedos. A não ser reunindo muita gente e usando os dedos das mãos e dos pés. Como saber se a resposta d’Ele está certa? Aí o pai suspirou e disse: _Jamais saberemos... O Rodrigo gostou da história, mas disse que, quando ninguém mais soubesse matemática e não pudesse pôr o Computador à prova, então não faria diferença se o Computador estava certo ou não, já que a sua resposta seria a única disponível e, portanto, a certa, mesmo que estivesse errada, e... Aí foi a vez da professora suspirar.

(VERÍSSIMO, 2001, p. 25)

As calculadoras bem como outras tecnologias não podem ser observadas como as

redentoras do ensino e da aprendizagem da Matemática, mas também não podem ser vistas

como o mal que assola a aprendizagem dessa disciplina escolar.

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Dentro dos discursos existentes acerca dos malefícios dos cálculos com calculadoras em

aulas de Matemática estão alguns que abordaremos e que entendemos que estão equivocados

por se respaldarem em juízos/avaliações superficiais dessa tecnologia.

Uma das primeiras ideias que surgem é que a calculadora impossibilitará o aprendizado

dos conceitos de número, sistema decimal e suas operações. Mas, as (im)possibilidades do

aprendizado desses conceitos vão muito além da utilização ou não dessa mídia. Se pensarmos

que uma mídia influência/atrapalha no aprendizado de algum conceito, podemos fazer a mesma

analogia para o lápis e o papel, justificando que tais materiais (que são tecnologias) são espécies

de “muletas” para a construção de conhecimento. Mas isso não acontece, e concordamos

também que: sempre há uma dada mídia envolvida na produção de conhecimento. Dessa forma, essa dependência sempre existirá e estará bastante relacionada ao contexto educacional em que nos encontremos. (BORBA; PENTEADO, 2003, P. 13).

Van de Walle (2009, p.131) defende que é mais importante argumentar ou resolver

problemas do que o desempenho nas tediosas operações a mão que não envolve o pensar e,

assim deve-se ter em mente também que: a calculadora não opera por si mesma e que os alunos precisam decidir o que realizarão com o auxilio desse recurso e, assim, essa ferramenta não restringe a autonomia dos alunos em decidirem quais os procedimentos que adotarão para a resolução de determinado problema. (SELVA; BORBA, p.11, 2010)

Deste modo, também é equivocado o argumento de que os estudantes ficariam

dependentes das calculadoras e se tornariam preguiçosos na medida em que, dependendo do

planejamento do professor, a calculadora se torna um instrumento no qual os estudantes podem

interpretar dados, decidir a melhor maneira de resolver um problema e entender os resultados

que aparecem no visor por exemplo.

Para Van de Walle (2009) há também a concepção de que os estudantes “devem

aprender o ‘modo real’ antes de usar calculadoras”. Mas, tal autor argumenta que, lápis, papel,

regras e fórmulas para se calcular, que são considerados modos reais, contribuem pouco para a

compreensão. Outro fator determinante é que as calculadoras são rotineiras no dia-a-dia, assim

constituem um “modo real” e legítimo para se calcular.

Os computadores e as calculadoras perpassam as atividades cotidianas das pessoas.

Assim, “é importante não pensar em tecnologia como um fardo extra adicionado à lista de

coisas que você – professor – já realiza em sua sala de aula” (VAN DE WALLE, 2009, p.130).

Acreditamos que tais mídias devem estar a disposição de estudantes e professores quando forem

necessárias, por entendermos que há benefícios a serem observados, tais como: a possibilidade

de desenvolvimento de conceitos, trabalho com a exercitação, fortalecimento da resolução de

problemas e economia de tempo.

Page 12: PoliKalc:  Guia de Orientações Didáticas

Em relação ao desenvolvimento de conceitos utilizando a calculadora, Van de Walle

(2009, p. 131), cita um exemplo: Peguemos 796/42 = 18,95348. A tarefa consiste em determinar

o resto inteiro dessa divisão. Assim acreditamos que, deste modo, o conceito de divisão está

sendo desenvolvido e tal tarefa constitui-se um problema que pode ser resolvido de diferentes

formas.

A resolução de problemas por sua vez constitui a base do ensino de Matemática

atualmente, pois “a maioria, senão todos, dos conceitos e procedimentos matemáticos podem ser

ensinados melhor através da resolução de problemas” (VAN DE WALLE, 2009, p. 57).

Todavia, existem alguns problemas que requerem cálculos que podem distrair a atenção do

sujeito do significado do problema em questão. Assim, a calculadora se insere como material de

apoio para a resolução do problema.

Há também a possibilidade que reside em exercitar/treinar por meio da calculadora. Por

exemplo, coloca-se 5 + 7 na calculadora. O exercício será apertar diversas vezes a tecla =

acrescentando, a cada vez que pressionada, sete unidades. O objetivo é o sujeito descobrir qual

será o resultado que aparecerá no visor antes de apertar a tecla de igualdade. Outra possibilidade

é descobrir as funções das memórias M+, M- E MRC e planejar atividades a partir dessas

funções.

Ciente de todas essas possibilidades, Van de Walle (2009, p. 132) acredita que “as

calculadoras devem estar nas escrivaninhas dos estudantes a toda hora desde a educação infantil

até o ensino médio”. Mas, surgem impedimentos. Entre eles: A viabilidade, da pluralidade de

estudantes e escolas brasileiras, de terem acesso a essa tecnologia e a formação dos professores

para trabalharem com calculadoras.

Deste modo, nosso OA, a PoliKalc, é um software que pode ser instalada nos

computadores. Assim, todos os custos referentes aos aparatos físicos que compõem uma

calculadora comum, na PoliKalc são inexistentes.

ORGANIZAÇÃO GERAL DA TECNOLOGIA

Decidimos, primeiramente, pela escolha do nome “PoliKalc”. O prefixo “Poli” refere-se

a pluralidade/multiplicidade de calculadoras que tal software contempla. A palavra “Kalc”, por

sua vez, faz alusão a palavra calculadora.

A PoliKalc foi implementada na linguagem de programação Java, uma plataforma que

não é livre, mas na qual o programador conhecia a linguagem. Tal linguagem permite ainda que

a PoliKalc possa ser executada em diferentes Sistemas Operacionais, como Windows e Linux.

As imagens presentes na PoliKalc foram feitas no software Inkscape. O Inkscape é um

software livre, cuja principal finalidade é lidar com imagens vetoriais, não deixando que as

Page 13: PoliKalc:  Guia de Orientações Didáticas

imagens percam resolução ao sofrerem transformações de redimensionamento ou rotação e

possibilita a construção de objetos com contornos bem definidos. Para colorir as imagens

utilizamos o software livre GIMP (GNU Image Manipulation Program), porque sua

manipulação para colorir figuras se tornou mais simples quando comparada ao Inkscape. A

interface inicial da PoliKalc (Figura 2) foi pensada para permitir a fácil interação do sujeito com

o software.

Figura 2 Interface tela inicial

A partir da tela inicial, consegue-se acessar as quatro calculadoras que foram

implementadas (Kalc Exata, Kalc Quebrada, Kalc Aproximada e Kalc Mental), como pode-se

ver no esquema da macroestrutura da PoliKalc (Figura 3).

Figura 3 Macroestrutura da PoliKalc

Page 14: PoliKalc:  Guia de Orientações Didáticas

Abaixo explicamos como está elaborada cada uma das calculadoras, exemplificando

algumas situações de ensino que podem ocorrer:

A Kalc Exata

Figura 4 Interface Kalc Exata

A Kalc Exata foi planejada para ser uma calculadora comum, das habitualmente

encontradas no dia-a-dia. Ela contém as teclas dos números de 0 a 9 e das quatro operações

básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão), além das teclas de memória (MRC, M+, M-

).

Na PoliKalc optamos por colocar as memórias aditiva (M+), subtrativa (M-) e a que

retoma a memória e limpa (MRC – Memory Recall and Clear). Alguns autores, entre eles Lopes

(1997), em suas pesquisas traz propostas de trabalho utilizando calculadoras e as teclas de

memória para a aprendizagem de determinados conteúdos matemáticos.

Para melhor compreender como se dará um possível trabalho utilizando as teclas de

memória tomemos o exemplo trazido por Lopes (1997).

Há uma Liquidação e os preços de alguns produtos são: lápis – R$ 0,30 cada; bloco de

papel – R$ 0,75 cada; calculadora – R$ 1,20 cada. Suponhamos que alguém necessite comprar

36 lápis, 15 blocos de papel e 18 calculadoras. Os cálculos necessários para encontrar o preço

total a se pagar seriam: 36 x 0,30 + 15 x 0,75 + 18 x 1,20.

Na resolução à mão, utilizando lápis e papel, Lopes (1997) expõe que há o costume de

se fazer quatro operações: 36 x 0,30 que dará o valor gasto com os lápis, 15 x 0,75 valor gasto

com os blocos de papel, 18 x 1,20 valor gasto com as calculadoras e por último a adição desses

três valores encontrados para chegar ao preço total a ser pago.

Page 15: PoliKalc:  Guia de Orientações Didáticas

Utilizando a calculadora e as teclas de memória, tal operação se concentra em digitar a

seguinte sequência de teclas: 36 x 0,30 = M+ 15 X 0,75 = M+ 18 x 1,20 = M+ MRC. Abaixo é

representada no quadro, adaptada de Lopes (1997), as operações realizadas na/pela calculadora.

Quadro 1 Ações realizadas pela calculadora no decorrer da operacionalização

Tecla Visor Acumulado na memória

O que a calculadora está

fazendo

3 6 X 0 . 3 0 =

M+

1 5 X 0 . 7 5 =

M+

1 8 X 1 . 2 0 =

M+ MRC

3 36

36x 36x0 36x0.

36x0.3 36x0.30

10.8 0

1 15

15x 15x0 15x0.

15x0.7 15x0.75

11.25 0

1 18

18x 18x1 18x1.

18x1.2 18x1.20

21.6 0

43.65

0 0 0 0 0 0 0 0

10.8

10.8 10.8 10.8 10.8 10.8 10.8 10.8 10.8

22.05

22.05 22.05 22.05 22.05 22.05 22.05 22.05 22.05 43.65 43.65

Envia o valor registrado no visor

para a memória

Soma o valor 11.25 registrado

no visor com 10.8 da memória

Soma 21.6 registrado no visor

com 22.05 da memória e o MRC

exibe o valor acumulado na

memória

O visor da PoliKalc comporta 12 posições para mostrar números e símbolos, enquanto

calculadoras comuns comportam 8 posições e científicas ou financeiras comportam de 10 a 12

posições.

Page 16: PoliKalc:  Guia de Orientações Didáticas

A PoliKalc é uma calculadora que arredonda, ao contrário de algumas que truncam. Isso

significa que se tentarmos obter o resultado da fração 1/6, pensando nela como a divisão de dois

termos, encontraremos o resultado, de 12 posições, igual a 0.1666666667. Lopes (1997, p.3)

acredita que tarefas que explorem a calculadora, investigando-a, possibilitam: [...] mergulhar os alunos (as) na introdução ou aprofundamento de conceitos ou procedimentos tais como: frações, números decimais, representações numéricas, ideias de operações, dízimas, aproximações, etc.

Assim, um planejamento voltado a conhecer as funcionalidades básicas da calculadora

pode ser significativo. Outro ponto presente na PoliKalc é o que chamamos de caixa de criação

de problemas, que tem por objetivo possibilitar aos professores e alunos um espaço em que

podem criar seus problemas para serem resolvidos utilizando uma das calculadoras,

compartilhar com os estudantes e os estudantes compartilharem com seus colegas os problemas

elaborados.

Incluímos também em cada calculadora um bloco de anotações (Figura 5). Esse bloco

foi pensado para que os estudantes registrem seus pensamentos e resoluções e para que o

professor tenha um feedback da atividade que está sendo aplicada.

Figura 5 Bloco de Anotações

O bloco de anotações foi feito exclusivamente para a PoliKalc. Quando o estudante

optar por salvar suas anotações, o software gerará um arquivo, no formato “.kalc”, que pode ser

armazenado em qualquer pasta do computador. Quando o estudante ou o professor quiser

retomar as anotações salvas terá que selecionar a opção “carregar anotações” e buscá-las na

pasta do computador que foram salvas e então, a PoliKalc abrirá o arquivo.

A Kalc Quebrada

Page 17: PoliKalc:  Guia de Orientações Didáticas

Figura 6 Interface Kalc Quebrada

A Kalc Quebrada tem todas as funcionalidades presentes na Kalc Exata, com mais

alguns incrementos e modificações.

As cores de uma calculadora em relação a outra foram modificadas para que o software

tenha cada tela com uma aparência diferente. Incluímos dois botões, um em formato de martelo

e outro com formato de uma chave de boca. O primeiro botão tem a finalidade de quebrar as

teclas da calculadora. Quando essa ação acontece a tecla que foi quebrada modifica-se e aparece

trincada, inviabilizando sua utilização. Para que tal tecla possa ser novamente utilizada, usa-se o

botão em formato de chave de boca que consertará a tecla que foi quebrada.

O objetivo da Kalc Quebrada está ligado a compreensão do Sistema de Numeração

Decimal, das operações básicas e das relações existentes entre elas. Para entendermos o

funcionamento da Kalc Quebrada, trazemos um exemplo de atividade presente no trabalho de

Fanizzi (2005) utilizando a ideia de uma calculadora quebrada.

Suponhamos que se quebre a tecla 7 da Kalc Quebrada. Pensemos na operação 740 x 26

e em como essa operação poderá ser resolvida?

Fanizzi (2005) nos mostra relatos de alguns de seus estudantes quando perguntados

como resolveriam tal operação. Um deles resolve o que foi pedido da seguinte maneira:

740 = 640 + 100 → Cálculo mental 640 x 6 = 3840 → Calculadora 640 x 20 = 12800 → Calculadora 12800 + 3840 = 16640 → Calculadora 100 x 26 = 2600 → Cálculo Mental 16640 + 2600 = 19240 → Calculadora

Page 18: PoliKalc:  Guia de Orientações Didáticas

Atentemo-nos a perceber que a calculadora é utilizada em determinados passos, em

outros é utilizado o cálculo mental, havendo assim, ligação entre os dois tipos de cálculo. Nesse

caso a calculadora foi utilizada como elemento auxiliar para os cálculos mais robustos.

Outro ponto a ser destacado é a utilização da decomposição dos números, em centenas,

dezenas e unidades. Observe que o estudante decompõe 740 em 640 + 100, assim não precisará

utilizar a tecla 7, que está quebrada, para a resolução da multiplicação. Fez o mesmo com o

número 26, decompondo-o em 20 dezenas e 6 unidades. Para a resolução, o estudante utilizou a

propriedade distributiva com os números decompostos e chegou ao resultado.

Carraher, Carraher e Schliemann (2006) ao se referirem ao cálculo mental convertido na

forma oral, identificaram dois procedimentos, que denominaram de heurísticas da decomposição

e do agrupamento repetido.

No fragmento acima, o estudante utiliza da heurística da decomposição que, entre suas

utilidades, possibilita mostrar “o conhecimento que a criança tem sobre o sistema de numeração

decimal” (CARRAHER; CARRAHER; SCHLIEMANN, 2006, p.59) e se caracteriza por ser

um processo de: Resolução de problemas em que as crianças parecem buscar formas de arredondar os números porque os números redondos não apenas são relacionados ao conhecimento memorizado com maior facilidade [...], mas também porque eles ajudam a evitar a sobrecarga que ocorreria no processamento mental dos dados se a criança tivesse que operar simultaneamente sobre centenas, dezenas e unidades (ibidem, p.59).

Outras atividades podem ser elaboradas a partir da Kalc Quebrada. Como por exemplo,

quebrar uma quantidade maior de teclas e pedir aos estudantes que tentem encontrar alguns

valores dados, utilizando apenas as teclas que restaram.

As heurísticas de decomposição e agrupamento repetidos serão retomadas e abordadas

na Kalc Mental. O Agrupamento repetido, por sua vez, é adequado para multiplicações e

divisões.

Page 19: PoliKalc:  Guia de Orientações Didáticas

A Kalc Aproximada

Figura 7 Interface Kalc Aproximada

Em muitas situações do dia-a-dia não é necessário conhecer o resultado exato de

algumas operações aritméticas. Basta conhecer uma solução aproximada por meio de

estimativas.

A Kalc Aproximada permitirá ao professor elaborar atividades e aulas com foco no

desenvolvimento de estratégias com os cálculos aproximados.

A caixa de texto, que nas duas calculadoras anteriores se mantinha estática se torna na

Kalc Aproximada e posteriormente na Kalc Mental uma caixa de diálogo.

A partir do momento em que digita-se uma operação e aperta-se a tecla de igualdade,

aparecerá o arredondamento que a calculadora está programada para fazer (dependendo da

seleção de arredondamento feito pelo usuário). Por exemplo: Digita-se 23 x 19 na calculadora.

Pensemos que no problema em questão não é necessário encontrar a resposta exata, somente a

aproximada.

A Kalc Aproximada, por sua vez, está programada para fazer arredondamentos, entre

eles, um aonde os números 23 e 19 se transformam em 20 unidades, chegando ao resultado de

400.

No visor dessa calculadora, aparecerá o resultado aproximado, e na caixa de diálogo

aparecerá para quais números foram arredondados os números digitados inicialmente.

Nessa calculadora, o estudante deverá habilitar na Caixa de Aproximações (Figura 8) o

arredondamento que se deseja. Por exemplo, dada a operação aritmética 2345 + 234,45, o

estudante poderá, ao selecionar uma opção na caixa, decidir se esses dois números serão

arredondados em relação a unidade de milhar, a centena, a dezena, a unidade, aos décimos etc.

Deste modo, as soluções variam de acordo com as escolhas feitas.

Page 20: PoliKalc:  Guia de Orientações Didáticas

Figura 8 Caixa de Aproximações

Enfatizamos que as estimativas e os cálculos aproximados são importantes instrumentos

para o cálculo mental. Além disso, segundo Coll e Teberosky (2000, p.114) existem

características que fazem com que o cálculo aproximado se diferencie do cálculo exato, entre

elas estão:

É realizado, em geral, mentalmente e de forma rápida. Há a substituição dos

números por outros mais fáceis de calcular;

O resultado obtido não tem de ser o exato, mas suficientemente próximo a ele;

O resultado pode ser diferente dependendo da pessoa que realiza o cálculo

estimado.

Entendemos que quando o sujeito tem uma calculadora em mãos raramente irá fazer

contas aproximadas, mas a Kalc Aproximada, elaborada por nós, foi pensada para fins didáticos.

Assim, entendemos que a Kalc Aproximada, pode acarretar em desdobramentos que auxiliem o

entendimento do cálculo aproximado e das estimativas, bem como vislumbra aclarar a

importância desse tipo de cálculo no dia-a-dia.

A Kalc Mental

Page 21: PoliKalc:  Guia de Orientações Didáticas

Figura 9 Interface Kalc Mental

Nosso objetivo com essa calculadora, que denominamos de Kalc Mental, é permitir que

existam trabalhos iniciais com o cálculo mental nas escolas. Temos em mente que as estratégias

de cálculo mental variam de pessoa para pessoa, para que elas possam criar suas próprias

estratégias entendemos que é importante que os aprendizes, principalmente nas séries iniciais,

tenham ciência da existência de diferentes formas para resolver as operações. Deste modo, a

Kalc Mental traz algumas das estratégias mais utilizadas e que foram encontradas nos trabalhos

de Carraher, Carraher e Schliemann (2006) e Parra (1996).

Quando o estudante digita uma operação na calculadora e aperta a tecla de igualdade

aparecerá o resultado no visor e, na caixa de diálogo, aparecerão sugestões de estratégias

mentais de resolução. O número de estratégias que aparecerão dependerá da operação utilizada.

Alguns desafios surgiram na programação de tal calculadora, por exemplo: Como

transformar estratégias de cálculo mental em algoritmos que possam ser reproduzidos por um

software?Como a Kalc Mental reconhecerá qual estratégia conveniente a ser mostrada na caixa

de diálogo? Quantas estratégias serão mostradas dentro da vasta variedade existente?

Desses desafios, concordamos que o número de estratégias seria limitado e que

deveríamos criar categorias nas quais diferentes estratégias estariam presentes. Assim,

percebemos que as estratégias de cálculo mental divergem dependendo da operação (adição,

subtração, multiplicação ou divisão).

Com isso, para a adição foram elencadas três estratégias de cálculo que a Kalc Mental

mostraria no quadro de diálogo: Decomposição e Agrupamento (em centenas, dezenas, unidades

e em seus múltiplos e submúltiplos), reagrupamento em torno de um dobro e reagrupamento em

torno de 10, 100, 1000 etc.

A primeira estratégia consiste em dois passos. Primeiramente a decomposição, que já

foi abordada por nós na Kalc Quebrada, que na Kalc Mental aparece com o objetivo de reduzir

Page 22: PoliKalc:  Guia de Orientações Didáticas

Os números de tal forma que o problema passa a ter zeros em uma ou mais das casas do sistema de numeração. Pode-se obter esse resultado pela decomposição direta do número em dois componentes, um dos quais é um número redondo (por exemplo, 252 transforma-se em 200 e 52) (CARRAHER; CARRAHER; SCHLIEMANN, 2006, p.59).

Assim, por exemplo, tomemos uma operação: 252 + 39. A Kalc Mental irá fazer a

decomposição dos dois números (200 + 50 + 2) + (30 + 9). A calculadora foi programada para

que dê a maior quantidade de números redondos possível. Após serem decompostos em

centenas, dezenas, unidades e/ou em seus múltiplos e submúltiplos os números serão agrupados.

O agrupamento, pensado para a Kalc Mental, foi proposital em dois sentidos, em

primeiro lugar porque a programação se tornaria mais fácil e, em segundo lugar, porque é uma

estratégia de agrupamento comumente encontrada nas resoluções dos estudantes (PARRA,

1996; FONTES, 2010; CARRAHER; CARRAHER; SCHLIEMANN, 2006).

A Kalc Mental agrupa, no primeiro momento, dezenas com dezenas7, unidades com

unidades e assim por diante. No exemplo citado a calculadora agrupará 50 + 30 = 80, 9 + 2 = 11

e colocará na linha de baixo da caixa de diálogo o 200 que não somou com nenhuma outra

centena juntamente com os resultados parciais encontrados, 80 e 11.

Após essas operações, aparecerá na caixa 200 + 80 + 11, possibilitando, para o

estudante, a observação de que a adição, entendida como essas três parcelas, se torna, em certa

medida, mais simples do que somar diretamente 252 + 39.

Nas operações que envolvem adições, ainda aparecem na Kalc Mental outras duas

estratégias de cálculo mental: O reagrupamento em torno de um dobro e o reagrupamento em

torno de 10, 100, 1000 etc.

Parra (1996, p.215) acredita que, além da utilização de resultados memorizados, pode-se

resolver operações que envolvem somas por meio de operações mais simples de serem feitas:

“Por exemplo, dispor dos pares de parcela que resultam em 10, permite aos alunos tratar

diversos cálculos. Assim, para fazer 8 + 6 muitas crianças pensam em (8 + 2) + 4.”

O reagrupamento em torno de 1, 10, 100 etc, consiste em encontrar parcelas que

resultem em números da forma 10x, onde x pertence aos números inteiros. Por sua vez o

reagrupamento em torno do dobro consiste em: Dado uma soma, por exemplo 7 + 8, pensa-se

em (7 + 7) + 1. Assim, na Kalc Mental, quando a operação em questão consistir em adições,

aparecerão essas três possibilidades de estratégias de cálculo mental.

Para as operações que envolvam subtrações selecionamos três estratégias que foram

incluídas na Kalc Mental, são elas: decomposição e agrupamento em unidades, dezenas,

centenas etc, reagrupamento em torno de números redondos, arredondamento.

7 Quando nos referimos em adições de dezenas com dezenas, estamos pensando em quantidade de unidades, como os números 50 e 30, que podem converter-se em quantidades de dezenas inteiras, no caso 5 e 3 dezenas respectivamente.

Page 23: PoliKalc:  Guia de Orientações Didáticas

A primeira estratégia para a subtração consiste em: Dado dois números, um subtraído

do outro, por exemplo: 325 – 145 = 180. A calculadora mostrará na caixa de diálogo a seguinte

solução mental:

(300 + 20 + 5) – (100 + 40 + 5) (300 – 100) + (20 – 40) + (5 – 5)

200 – 20 + 0 180

Para os mesmo valores, a segunda estratégia (reagrupamento em torno de números

redondos), consiste em diminuir do maior valor uma quantidade que faça com que o resultado

dessa subtração seja um número redondo. Assim, essa estratégia diminuirá 25 unidades das 325

iniciais e o resultado parcial consistirá do número redondo 300. Na caixa de diálogo aparecerá a

seguinte sequência de passos:

325 – 145 (325 – 25) – 120

300 – 120 180

O arredondamento, por sua vez, a terceira estratégia da subtração, consiste em

arredondar os números da operação para o número redondo (terminados em 0, ou no caso de

números pequenos para 1 unidade, 1 décimo e assim por diante) mais próximo, dependendo do

número que está se trabalhando. No nosso exemplo, na caixa de diálogo, apareceria o seguinte:

325 – 145 (330 – 5) – (150 – 5) (330 – 150) – 5 + 5

180 + 0 180

Para números terminados com dígitos maiores ou iguais a cinco os números são

arredondados para o número redondo mais próximo e maior que o número em questão, para

números com dígitos terminados entre 1 e 4 arredonda-se para o número redondo anterior.

Para as operações de multiplicação e divisão foi implementado, na Kalc Mental, um

algoritmo que reconstruísse a ideia do agrupamento repetido. Carraher, Carraher e Schliemann

(2006, p.61) perceberam em seus trabalhos que o agrupamento repetido era uma estratégia

comumente utilizada por crianças que trabalhavam como vendedoras em Recife-PE e

complementam que, o agrupamento repetido é adequado para a multiplicação e divisão, pois “a

multiplicação é resolvida por adições sucessivas e a divisão, por subtrações sucessivas”.

Deste modo, se tivermos uma operação do tipo 3x30 = 90, a calculadora mostrará

adições sucessivas, assim teremos: 30 + 30 + 30 = 90. Em relação as divisões, se tivermos, por

exemplo, 90/30= 3 a Kalc Mental mostrará na caixa de diálogo a subtração sucessiva 90 – 30 –

30 – 30 = 0. Assim, o estudante poderá perceber que as 30 unidades “caberão dentro” do

número 90 três vezes.

Se os números envolvidos nas multiplicações ou divisões forem extensos, por exemplo:

100x500 ou 10.000/10. Teríamos adições e subtrações sucessivas em grandes quantidades,

Page 24: PoliKalc:  Guia de Orientações Didáticas

sendo a representação pela calculadora ruim e uma estratégia, para os estudantes, trabalhosa.

Deste modo, a calculadora mostrará reticências quando o número de caracteres a serem

mostrados na caixa de diálogo ultrapassarem 30.

Algumas dessas estratégias, dependendo dos números em questão, podem tornar, para

alguns estudantes, o trabalho mais complexo. Acreditamos que esse aspecto pode transformar-se

em investigações significativas.

Enfim, queremos com a Kalc Mental que propostas iniciais de trabalho sejam criadas,

que tenham como parâmetro as estratégias básicas trazidas por nós, que a exploração da Kalc se

dê, que emirjam perguntas das crianças como: Será que minha estratégia, para uma dada

operação, é melhor que a da calculadora? Quais são as minhas estratégias de cálculo? Tenho

consciência delas? Para quais operações as estratégias da Kalc Mental não são aconselháveis?

Quais seriam melhores? Dentre outros. Assim, corroboramos com os pensamentos de Parra

(1996, p.215) que: não se trata, sem dúvida, de “ensinar” estas diferentes alternativas, nem de que cada aluno deva “conhecer” cada uma delas. Trata-se de que cada aluno encontre suas maneiras preferidas.

ESTRATÉGIAS DE ENSINO EMPREGADAS PARA O USO DA POLIKALC

Acreditamos que o uso do software PoliKalc deve-se respaldar na Perspectiva de Resolução de Problemas (estratégia de ensino) e no Construcionismo.

POSSIBILIDADES DE TRABALHOS INTERDISCIPLINARES

Percebemos que pode-se existir trabalhos Multidisciplinares e Interdisciplinares entre as disciplinas de Matemática e Língua Portuguesa.

INSTRUMENTOS DE AVALIAÇÃO QUE PODERÃO SER UTILIZADOS

Incluímos uma caixa de anotações no software para que o estudante possa fazer suas anotações das atividades planejadas pelo professor. Acreditamos que essa caixa de anotações possa servir como instrumento de avaliação para o professor dependendo de seu objetivo com a atividade/prova/teste formulado.

REFERÊNCIAS

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