Polinômios

nnnn axaxaxaxP ...2

21

10

Definição

Soma de monômios

naaaa ,... , , , 210Números Complexos

Coeficientes

... ,2 ,1 , nnn Expoentes Números Naturais

nnnn axaxaxaxP ...2

21

10

Variável Pode assumir valores Complexos

na Termo independente de x

x

Polinômios

Definição

Soma de monômios

78 510 xxxP

52

353 78

xxxxP

22

354 23

xixxxP

Polinômios

São Polinômios

254 23 xxxxP

Valor Numérico

?2 P

2225242 23 P

2245842 P

2220322 P

562 P

Polinômios

1P Fornece o valor da soma dos coeficientes do polinômio P(x).

0P Fornece o valor do termo independente de x.

Polinômios

Valor Numérico

234 16164 xxxxP

16164 Soma

36Soma

22 42 xxxP Qual a soma dos

coeficientes do polinômio P(x).

Polinômios

Valor Numérico

22 14121 P

2421 P

3661 2 P Soma dos coeficientes

22 42 xxxP

Polinômios

Valor Numérico

Qual a soma dos coeficientes do polinômio

P(x).

352 xxP

125

125150608 23 xxxxP

Qual o valor do termo independente

de x.

Termo independente de x

Polinômios

Valor Numérico

35020 P

3500 P

350 P

1250 P

Termo independente de x

Polinômios

Valor Numérico

352 xxPQual o valor do

termo independente de x.

0P

654 xxxP

62522 4 P

610162 P

02 P

Raiz de um polinômio

é raiz do polinômio P(x).

2 é raiz do polinômio P(x)

Polinômios

422 2 iiP

442 2 iiP

02 iP

4142 iP

0P é raiz do polinômio P(x).

42 xxP

2i é raiz do polinômio P(x)

Raiz de um polinômio

Polinômios

0...000 21 nnn xxxxP

Não se define grau para um polinômio nulo

Polinômio Nulo

Polinômios

nnnn axaxaxaxP ...2

21

10

00 a

nPgr

Grau de um Polinômio

Polinômios

1536 234 xxxxxP

124 xxP

12xP

4Pgr

1Pgr

0Pgr

Grau de um Polinômio

Polinômios

yx2623yx

x7

5Pgr

Observação:

Monômio de grau 3: (2 + 1)

Monômio de grau 5: (3 + 2)

Monômio de grau 1

xyxyxxP 76 232

Grau de um Polinômio

Polinômios

xA

xBxA Idênticos

xB

, BA C

Identidade polinomial

Polinômios

115204 323452 xnxxxxmxP

1752512 2345 xxxxqxxB

1) Se e 1 152 4 32352 xnxxxmxP

qenm ,

1752512 2345 xxxxqxxB

são polinômios idênticos, então a soma dos valores positivos de é:

Polinômios

05

71

1243

2

q

n

m 1242 m162 m4m

4m

713 n

83 n

2n

05 q

5q

524 qnm

11 qnm

Polinômios

Operações com

Monômios e Polinômios

Adição de Monômios

Devemos efetuar a soma ou subtração dos coeficientes numéricos entre os

monômios semelhantes. Ex:

= 12x2 – 2ay3

5x2 – 3ay3 + 7x2 + ay3

5x2 + 7x2 – 3ay3 + ay3

Monômios semelhantes Monômios semelhantes

Multiplicação de Monômios

O produto de monômios é obtido da seguinte forma:

• em seguida, multiplicam-se as partes literais.

Ex: (4ax2) . (–13a3x5) =

(4) . (–13) . (a1 . a3) . (x2 . x5) =

– 52a4x7

• primeiro, multiplicam-se os coeficientes numéricos;

Lembrando...

Um produto de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e adicionamos os expoentes.

am.an = am+n

Ex: x4.x9 = x4+9 = x13

Divisão de Monômios

A divisão de monômios é obtida da seguinte forma:

• primeiro, dividem-se os coeficientes numéricos;

• em seguida, dividem-se as partes literais.

Lembrando...

Um quociente de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e

subtraímos os expoentes.

am:an = am–n

Ex: x12 : x8 = x12–8 = x4

*com a ≠ 0

Adição de Polinômios

Efetue a soma algébrica dos monômios semelhantes. Ex:

(4x2 – 7x + 2) + (3x2 + 2x + 3) – (2x2 – x + 6) =

= 4x2 – 7x + 2 + 3x2 + 2x + 3 – 2x2 + x – 6 =

eliminando os parênteses

= 4x2 + 3x2 – 2x2 – 7x + 2x + x + 2 + 3 – 6 =

agrupando os termos semelhantes

= 5x2 – 4x – 1 forma reduzida * Não esqueça da regra de sinais!

Multiplicação de Monômiopor Polinômio

A multiplicação de um monômio por um polinômio é feita multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio.

= 8x5y3 – 20x3y7

Ex:

4x2y3 . (2x3 – 5xy4) =

= 4x2y3 . 2x3 + 4x2y3 . (– 5xy4 ) * Não esqueça da

regra de sinais!

A multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita multiplicando-se cada termo de um deles pelos termos do outro e, sempre que possível, reduzindo os termos semelhantes. Ex:

(a + b) . (c + d) =

ac + ad + bc + bd

Multiplicação de Monômiopor Polinômio

Divisão de Polinômio por Monômio

Efetuamos a divisão de um polinômio por um monômio fazendo a divisão de cada termo do polinômio pelo monômio.

Ex:

(18x3 – 12x2 + 3x) : (3x) =

= (18x3 : 3x) – (12x2 : 3x) + (3x : 3x)

= 6x2 – 4x + 1

Valor Numérico de uma

Após obtida a expressão algébrica, basta substituir cada incógnita pelo valor estabelecido pelo exercício. Ex:

3x2 – 2x + 7y + 3x – 17y

3x2 + x – 10y

Determine o valor numérico da expressão abaixo para x = 2 e y = 3

1º reduzimos os termos semelhantes

Expressão Algébrica

2º substituímos os valores de x = 2 e y = 3

3.22 + 2 – 10.3

3.4 + 2 – 3012 + 2 – 30 = - 16

Propriedades:

2) Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b .

3) Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado a - bi também será raiz .

1) Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes .

2x4 +x³ + 6x² + 2x – 1 = 0

Grau da equação ( Representa o número de raízes)

Polinômios

4) Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k .

Exemplo: x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x1 = x2 = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.

Propriedades:

Polinômios

Lembre que quando: a.x³ + bx² + cx + d = 05) Se a = 1 não há raízes fracionárias.

6) Se d = 0 x1 = 0 (Lembre a quantidade de raízes nulas é determinada, pelo menor expoente da incógnita.) Ex: 2x7+3x4 + 2x² = 0

Polinômios

Há duas raízes nulas

7) Se a + b + c + d = 0 x1 = 1 é raiz.

Polinômios

Lembre que quando: a.x³ + bx² + cx + d = 05) Se a = 1 não há raízes fracionárias.

6) Se d = 0 x1 = 0 (Lembre a quantidade de raízes nulas é determinada, pelo menor expoente da incógnita.) Ex: 2x7+3x4 + 2x² = 0

Relações de Girard

02 cbxax

a

bxx 21

a

cxx 21

Polinômios

023 dcxbxax

a

bxxx 321

a

cxxxxxx 323121

a

dxxx 321

Relações de Girard

Polinômios

Teorema do resto (divisor de 1º grau - d = ax + b)

P(x) ax + b

Q(x)R

P(x) = (ax + b) · Q(x) + R

Raiz do divisora

bx 1

RxQa

bP

0

Ra

bP

Polinômios

P(x) ax + b

Q(x)R

0R

Ra

bP

Condição necessária para que P(x) seja divisível por ax + b.

0

a

bP

Teorema de D’alembert

Polinômios

(UDESC 2006-1) O resto da divisão do polinômio

pelo binômio

Teorema do resto

111122 23 xxxxP

111122 23 xxxxP 5xxD é:

1511512525 23 P

1511251212525 P

1553002505 P

3013055 P

45 P

RP 5

Polinômios

P(x) ax + b

Q(x)R

Grau n

Grau 1

Grau n – 1

Resto

...

...

Coeficientes de P(x)

Raiz do divisor

a

b

Coeficientes do polinômio a · Q(x)

Resto

Dispositivo Briot-Ruffini

Polinômios

5673 23 xxxxP 2 xxD

2 3 – 7 6 5

21 x

3

Polinômios

Dispositivo Briot-Ruffini

2 3

3

+ =

–1

– 7 6 5

Polinômios

5673 23 xxxxP 2 xxD21 x

Dispositivo Briot-Ruffini

2 3

3

+ =

–1 4

– 7 6 5

Polinômios

5673 23 xxxxP 2 xxD21 x

Dispositivo Briot-Ruffini

2 3

3

+ =

–1 4 13

– 7 6 5

Polinômios

5673 23 xxxxP 2 xxD21 x

Dispositivo Briot-Ruffini

2 3

3 –1 4 13 Resto

Coeficientes do polinômio a · Q(x)

– 7 6 5

Polinômios

5673 23 xxxxP 2 xxD21 x

Dispositivo Briot-Ruffini

2 3 – 7 6 5

3 –1 4 13 Resto

Coeficientes do polinômio a · Q(x)

Grau do polinômio Q(x) é uma unidade menor que o grau do polinômio P(x)

xQaquociente 431 2 xxxQ

43 2 xxxQ

13 Rresto

Polinômios

5673 23 xxxxP 2 xxD21 x

Dispositivo Briot-Ruffini

(UDESC) Sobre todas as raízes da equação afirma-se que essa equação possui:04423 xxx

01412 xxx

04423 xxx

0142 xx

042 x 01x42 x

4xix 2

1x

iiS 2,2,1 uma raiz real e duas complexas.

Polinômios

Teorema das raízes complexas

010144 234 xxxx 11 x

–1 1 –4 –1 14

1 –5 4 0 Resto

Grau n – 2

01062 xx

1012 x

10–1

1 –6 10 0 Resto

Polinômios

01062 xxacb 42

4036 4

a

bx

2

2

46 x

2

26 ix

ix 3

ix 33

ix 34

Polinômios

Teorema das raízes complexas

010144 234 xxxx 11 x12 x