Potenciação com números naturais

Potenciação com números naturais

Ano Letivo 2014Prof. Claudia Zandonai


Você conhece a lenda do xadrez?


O xadrez é um jogos mais antigos do mundo.

Diz uma lenda que ele foi inventado, há muitos

séculos, na Índia. Foi aí que...

O Rei Sheram, entusiasmado com o novo

jogo, resolveu recompensar Sessa, que era

professor e o inventor do xadrez.

“Eu desejaria recompensa–te pelo teu

maravilhoso invento”, disse o rei,

cumprimentando o professor Sessa.

“Gostaria de satisfazer o teu mais carodesejo”, continuou o rei.

Sessa, na sua humildade, disse: “Majestade,eu gostaria de receber um grão detrigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez,dois grãos pela segunda, quatro grãos pelaterceira, oito grãos pela quarta, e assimsucessivamente, até completar as 64 casas”.

Admirado e até mesmo irritado pelo pedidotão modesto, o Rei Sheram solicitou aos seussábios que calculassem o número de grãos eordenou aos seus criados que entregassem

A lenda do Xadrez

A lenda do Xadrez...e ordenou aos seus criados que entregassem

em um saco a recompensa pedida por Sessa.

No dia seguinte, o Rei escutou apavorado um

dos sábios dizer qual era esse número:

18 446 744 073 709 551 615

...,ou seja, aproximadamente 18 quinquilões de

grãos.

Só para você ter uma idéia sobre esse

número tão grande, basta dizer que se fosse

plantado trigo em toda a superfície da Terra,

A lenda do XadrezIria demorar alguns séculos para produzir esse

número de grãos!

Como seria, então, os cálculos para obtenção

desse número?

Primeira casa: 1 grão

Segunda casa:1x2 = 2 grãos

Terceira casa: 1x2x2 = 4 grãos

Quarta casa: 1x2x2x2= 8 grãos

Quinta casa: 1x2x2x2x2 = 16 grãos

Sexta casa: 1x2x2x2x2x2 = 32 grãos

A lenda do xadrez

Sétima casa: 1x2x2x2x2x2x2 = 64 grãos

Oitava casa: 1x2x2x2x2x2x2x2 = 128 grãos

Nona casa: 1x2x2x2x2x2x2x2x2 = 256 grãos

E assim por diante. Somando todos os

Resultados das 64 casa do tabuleiro de xadrez,

encontraremos o número:

18 446 744 073 709 551 615

A lenda do xadrez

Mas, será que não poderíamos escrever

este número de maneira diferente?

Vamos voltar...

Primeira casa: 1 = 1 grão

Segunda casa: 1x2 = 2 grãos

...

...

Nona casa: 1x2x2x2x2x2x2x2x2 = 256 grãos


Tem número que se repete a cada nova

casa do tabuleiro.

Que número é esse? 2

Para indicar multiplicações com fatores

iguais, o homem criou a potenciação.

Assim, para indicar 2x2x2x2x2x2, por

exemplo, usamos o símbolo 26 , denominado

potência de base 2 e expoente 6.


Então:

Símbolo Significado Leitura

27 2x2x2x2x2x2x2 Dois elevado na sétima potência

34 3x3x3x3 Três elevado na potência quatro

52 5x5 Cinco elevado na segunda potência

23 2x2x2 Dois elevado na terceira potência

Termos da Potênciação

A potência an, sendo n um número natural

maior que 1, significa:

Nomenclatura

27= 2x2x2x2x2x2x2 = 128

n

iguaisfatoresn

aaxaxaxa __

potênciaé

oenteé

baseé

Então

__128

exp__7

__2

:

Potenciação com números naturais Agora vamos pensar em quantos tataravós

tem uma pessoa.


Analise o que acontece com aquantidade de ancestrais a partir dapessoa mais jovem.Eu: 1Pais: 2Avós: 2.2 = 4Bisavós: 2.2.2 = 8Trisavós:2.2.2=16Tataravós:2.2.2.2=32Uma pessoa tem 32 tataravós.


Note que, para calcular o número de

ancestrais, usamos a multiplicação de fatores

iguais.

Para representar uma multiplicação em que

todos os fatores são iguais, podemos usar a

potenciação.

Observe:

642

2222222

6

6

__6

iguaisfatores

xxxxx


Podemos representar o número de trisavós

e de tataravós da situação anterior na forma

de potência:

Trisavós:

Tataravós:

162

22222

4

4

__4

iguaisfatores

xxx

322

222222

5

5

__5

iguaisfatores

xxxx


De modo geral, na potenciação com númernaturais, a base é o fator que se repete naMultiplicação e o expoente indica quantasvezes esse fator se repete. Isso não vale parapotências com expoente zero ou 1.

• Quando o expoente é 1, a potência é igual à própria base.

Exemplos:21 = 2 151 = 15 361 = 36


• Quando o expoente é zero e a base da

potência é diferente de zero, a potência é igual

a 1.

Exemplos:

20 = 1 150 = 1 360 = 1


Quadrado de um número

As potências de expoente 2 podem ser

representadas geometricamente.

Veja alguns exemplos:


Por causa da sua representação geométrica,as potências de expoente 2(quadrado) têmnomes especiais.• 1²: “um ao quadrado” ou “quadrado de um”• 2²: “dois ao quadrado” ou “quadrado de dois”• 3²: “três ao quadrado” ou “quadrado de três”• 4²: “quatro ao quadrado” ou quadrado de

quatro”.• n²: “n-ésimo ao quadrado”


Cubo de um número

As potências de expoente 3 também podem

ser representadas geometricamente. Veja os

exemplos:


Da mesma forma que as potências de

expoente 2, essas potências também recebem

nomes especiais. Veja como lemos as

potências dos exemplos:• 1³: “um ao cubo” ou “cubo de 1”;• 2³: “dois ao cubo” ou “cubo de 2”;• 3³: “ três ao cubo” ou “cubo de 3”.


Quando o expoente de uma potência é

diferente de 2 ou 3, não é possível representá-

la geometricamente. Por esse motivo, não há

um nome especial para tais potências. Veja

como lemos algumas delas:• 74: “sete elevado à quarta potência”;• 1020: “dez elevado à vigésima potência”;• 5117: “cinquenta e um elevado a décima

sétima potência”.

Aplicações de potenciação

♯ Juliana precisa organizar todas as pastas

de seu escritório. Sabendo que no escritório há

4 armários, que em cada armário há 4 gavetas

e que em cada gaveta há 4 pastas, quantas

pastas ela vai organizar?♯ Observe como Joana organizou seus

documentos no computador e resolva o

problema.

Joana abriu três pastas: A, B e C. Depois,

para cada uma dessas pastas, ela abriu outras

3(a,b e c)e, dentro de cada uma delas, colocou

3 documentos.

Qual é a quantidade de documentos que

Joana tem?

Expresse a resposta na forma de potencia.

Aplicações da Potenciação♯ Observe a imagem de uma colônia de

Bactérias Escherichia coli(E.Coli), colorida

artificialmente, imagem ampliada 2.680 vezes.

A reprodução de bactéria e a Matemática

Ao observarmos a reprodução dasbactérias,biólogos e matemáticos perceberam queo crescimento das bactérias, como na imagem,éum fenômeno biológico onde a representaçãomatemática pode ser feita por uma lei exponencial,ou seja, que utiliza a potenciação.

A reprodução das bactérias é, de modo geral éassexuada; ocorre por cissiparidade ou bipartição –processo em que as bactérias se reproduzem emvirtude de uma divisão muito rápida.

A primeira bactéria se divide em duas.

Depois duas se dividem em duas resultando

quatro bactérias-, e cada uma dessas quatro

bactérias também se divide em duas partes e

assim sucessivamente, desde que existam

condições biológicas e ambientais. Esse

processo é um dos fatores importantes e

responsáveis pelo enorme sucesso biológico

das bactérias.

Exemplo 1

Considerando que o número de bactérias

em certa cultura cresce 10 vezes a cada 1

Hora. A amostra inicial dessa cultura tinha

100 bactérias.

a) Quantas bactérias haverá nessa cultura

após 1 hora? E após 4 horas?

b) Após um dia inteiro, haverá mais de 100

trilhões de bactérias? Explique.

Exercício 1

Observe como Joana organizou seusdocumentos no computador e resolva oproblema.Joana abriu três pastas: A, B e C. Depois,para cada uma dessas pastas, ela abriu outras3(a,b e c)e, dentro de cada uma delas, colocou3 documentos.

Qual é a quantidade de documentos queJoana tem?

Expresse a resposta na forma de potencia.

Resolução

3

2

13

2

13

2

1

c

b

a

A

B

C

3

2

13

2

13

2

1

c

b

a

3

2

13

2

13

2

1

c

b

a

33 = 3 x 3 x 3 = 27

Resolução:

a) Amostra inicial : 100 bactérias

Após 1 hora: 100 x 10 = 1000

Após 2 horas: 1000 x 10 = 10000

Após 3 horas: 10000x10= 100000

Após 4 horas: 100000x10=1000000

b)Após 24 hs: 100x1024= 1000000000000

00000000000000 bactérias

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