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At

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5 4

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ÛÔlÕÔs < t

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S

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]

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∫ T

S

ϕ(t, ω) dWt(ω) =∑

j≥0

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S

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∫ T

S

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lxz ϕn C@'|4"~xjwv|zR@xaç³ x¡|"¤¡|w~

E

[∫ T

S

(f(t, ω)− ϕn(t, ω))2 dt

]

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Ò×õÏZbáWØ · Ô-ÖW×u>¹ÔÏWØ?Ýw­£×ÜL2(P )

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ϕnÛÑ@ÖW×ÜÒ×ÕBì · ÒÓ"Ñ­ÒR×Üì`*ªÒ×áWÖÔ ß ø¥: f[f[4 ù?ã:í Ò×Ð­Ï · ÕmÔlÛWÕ"×Ò"×áÓÔÜ'Ñ­Ò

ÖWÑ · Ò`Ó"×Ñ­Õ×Ü ÔÒãQ`ÛWÕ · Ü'× · ÕÑ æçÑ­ÕáW×Ø×Ô ß Ð­ÏWÜ ÔÒ2ÛWÕÑ­ÛWÕ · ×ÖÔÖW×Ò¤ÖÔ · áÓ"×ЭÕ"Ô ß ÖW×4û¡ÓA@8×4Ñ8Ò×ЭÏWáWÖWÑÜ'Ñ­ÒÓ"Õ"ÔCõÏW×2× ß ÔCå`ÏWÜ Ü ÔÕÓ · áWÐÔ ß ã:í`Ò¹ÖW×Ü'Ñ­áWÒÓ"Õ"Ôî8×Ò¹ÛÑ@ÖW×ÜÒ×Õmì · ÒÓÔÒm×Ü`*ªÒ×áWÖÔ ß ø¥: f[f[4 ù?ãMr  3Ä/PºÙPºÜF µI»Ô|

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∫ U

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∫ T

Uf dWt

W||~W|£O zω

¾»¾ÍÌ ∫ TS

(cf + g) dWt = c ·∫ T

Sf dWt +

∫ T

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W||~W|CZ zω¢9lxz4lx%¡|xZ

¾»¾»¾¥ÌE[∫ T

Sf dWt] = 0

¾í½Ì ∫ TSf dWt

FT °Z x%@º¦³§

Mr  3Ä/PºÙPºÙU µI»Ô|f(t, ω) ∈ Υ(0, T ) ∀ T. ßmx¡¥

Mt(ω) =

∫ t

0

f(s, ω) dWs

£@¿'|?vwyx@¶|³3lxvªyxl!"ZwyZ | Ft §

/PºÙPºÙ %(îÍï  ¡OÛÅÄä¿oÁ"åí · áÓ"×ЭÕ"Ô ß ÖW× û¡ÓA@ ÛÑ@ÖW×Ò×ÕÖW×7á · ÖÔÛÔÕ"ÔÏWÜ ÔØ ß ÔÒÒ×ÖW× · áÓ"×ЭÕ"ÔáWÖWÑ­Ò

fÜ Ô · Ñ­Õ£õÏW×

Υã

÷Ô à ×Ü'Ñ­Ò · ÒÒÑ×á%æçÕ"ÔõÏW×Ø×áWÖWÑÔÒ)ØÑ­áWÖ · î8@×Òø ·· ùB× ø ··· ùRÖÔÙ`×7á · î ïÑ 4 ã=:@ã=:ÛÔÕ"ÔÔÒ)Ò×Ð­Ï · áÓ"×Òæ¾»¾ÍÌ"ð În · ÒÓ"×CÏWÜ'ÔævÔÜY ß· ÔØÕ×ÒØ×áÓ"×ÖW×

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ÓÔ · Ò¹õÏW×

ÄÌWtå¤ÏWÜ!Ü ÔÕÓ · áWÐÔ ß ØÑ­Ü!Õ×ÒÛ× · Ó"Ñ Ô At

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¾»¾»¾¥Ì;ðP

[∫ T

S

f(s, ω)2 ds <∞]

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+wÆÇÀO¾»È[ÉZ/PºÙPºÙ\mÞ xjl¡| £lΛA(S, T )

|c³|zC"f(t, ω) ∈ R

~ |vw°|9òw ×z| Þ »Ñ+xwç¥'¬§¯@§¯ò¡wyw ×#ó ¢ò¡wywyw ×#ó%|wy'|§

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+wÆÇÀO¾»È[ÉZ/PºÙPº i µI»Ô|Wt

@= l¦wy xZ'±)"aË+xwv|xj8(Ω,F , P )

§ Ê z ¨ Öë@xwvzwy x%wlx|³]C@ "

Xt

(Ω,F , P )

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0

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∫ t

0

v(s, ω) dWsøÅBù

lxzv ∈ ΛA

¢¹zRl?'|~

P

[∫ t

0

v(s, ω)2 ds <∞ ∀ t ≥ 0

]

= 1.

Î |'²?;|@4wy C~u At

°|z|?¡|z|òlxz At

?l (ò¡wyw ×#ó ×

P

[∫ t

0

|u(s, ω)| ds <∞ ∀ t ≥ 0

]

= 1.

ê@×Xtå£ÏWÜ!ÛWÕÑØ×ÒÒÑ ÖW×£û¡ÓA@WÚ×áÓïÑ× ß ×£ÛÑ@ÖW×£Ò×Õ)×ÒØÕ · Ó"Ñ'ÖWפæçÑ­ÕÜ Ô4ÔÞWÕ×ì · ÔÖÔ4ØÑ­Ü'Ñ

dXt = udt+ vdWt.øÍDù

ö-ÜoÖWÑ­Ò Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ­Ò Ü Ô · Ò · Ü'ÛÑ­ÕÓÔáÓ"×ÒÖÔÓ"×Ñ­Õ · ÔUÖW× · áÓ"×ЭÕ"Ôî ïÑU×ÒÓ"Ñ@Ø ëÒÓ · Ø Ô%Ú¹Ñ õÏÔ ß ÔÛWÕ×?þÒ×áÓÔÕ×Ü'Ñ­ÒÔÐÑ­Õ"Ô%Ú3åÔÕ×ЭÕ"ÔØÑ­áWÝW×Ø · ÖÔØÑ­Ü'Ñ8æçé­ÕÜ4Ï ß ÔÖW×'û¡ÓA@Wã8ûZá%æçÑ­ÕÜ Ô ß Ü'×áÓ"×Ú3×ÒÓÔÕ×ЭÕ"Ôå4ÏWÜ Ô ì­×ÕÒ"ïÑ8ÖÔÕ×ЭÕ"ÔÖÔØ ÔÖW× · ÔÖWÑØ ë ß ØÏ ß ÑÖ · æç×Õ×áWØ · Ô ß Ø ß ëÒÒ · ØÑWãú:ÔÕ"ÔÏWÜ ÔÛWÕÑìÔæçÑ­ÕÜ Ô ßÖW×ÒÓ"פÓ"×Ñ­Õ×Ü Ôì×OâÔ`*ªÒ×áWÖÔ ß ø¥: f[f[4 ù?ãMr  3Ä/PºÙPºÙsêég^Iï  ¡OÛÅÄ¡ä¿|oÁ"åOÀO¾»äO¾»3ÀOC¾ÅÀ¿Ä¼ÛÍÌ µI»Ô|

Xt

@ ",z ¨ Öë@xwvzwy x%wlx|³Iz|z`l

dXt = udt+ vdWt.

µI»Ô|g(t, x) ∈ C2([0,∞) × R)

ò¡wZs¢¶6zW|¦"lxvwyxW| xZzw "xjwvº¦³`[0,∞)× R)

§²ßmx¡¥Yt = g(t,Xt)

£¡|'²?!@ " z ¨ Öë¢9

dYt =∂g

∂t(t,Xt)dt+

∂g

∂x(t,Xt)dXt +

1

2

∂2g

∂x2(t,Xt) · (dXt)

2,øñ­ù

lxz(dXt)

2 = (dXt) · (dXt)"|³@³|z z|lz&Ý£"¡¶|

dt · dt = dt · dWt = dWt · dt = 0, dWt · dWt = dt.

ú:ÔÕ"ÔÔ£æçé­ÕÜ4Ï ß Ô¤ÖW×`û¡ÓA@á@þZÖ · Ü'×áWÒ · Ñ­áÔ ß ì­×OâÔí`áW×n%Ñ4ûãí Ò×Ð­Ï · ÕR×áÏWáWØ · ÔÜ'Ñ­ÒR×`ÛWÕÑìÔÜ'Ñ­ÒRÛÔÕÓ"×ÖWÑ×on%×ÕØYØ · ÑBWã 4 ÖW×`*ªÒ×áWÖÔ ß ø¥: f[f[4 ù?ÚÑõÏÔ ß Ò×Õ"ëÏ%Ó ·ß·à ÔÖWÑCáWÑØ ÔÛZYÓ"Ï ß ÑñCÖW×ÒÓÔÖ · ÒÒ×ÕÓÔî ïÑWã

5ñ

0  .ôõC¾»È[ÉZ/PºÙPºÙ µI»Ô|Xt

Yt"Cz ¨ Öë

R§_ßmx¡¥

d(XtYt) = XtdYt + YtdXt + dXtdYt.

Ó "l¦l|®ê@×OâÔÜ

Wt =

Xt

Yt

,

Ñ­Ï8Ò×OâÔ%ÚWtå£ÏWÜ!ÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ ÖW×£û¡ÓA@Þ · Ö · Ü'×áWÒ · Ñ­áÔ ß øí©B×OâÔí`áW×on%Ñ'ûù?ã

ê@×OâÔZ(t, ω) = g(t,Wt) = xy

ãBú:× ß Ôæçé­ÕÜÏ ß ÔÖW×£û¡ÓA@'á@þZÖ · Ü'×áWÒ · Ñ­áÔ ß Ú@á.ö,:@ÚWÓ"×Ü'Ñ­Ò9õÏW×

d(XtYt) = 0 + YtdXt +XtdYt +1

2· 1 · dYtdXt +

1

2· dYt · dXt.

ý]ѭЭÑ

d(XtYt) = XtdYt + YtdXt + dXtdYt.

/PºÙPºÙ/ 0  #÷[3C俽ZÄ Â ¾ÅļÈ[ÉZøP¿Ä¼ä Â;ù Á;¾»÷[Ä+wÆÇÀO¾»È[ÉZ/PºÙPº»r µI»Ô|

Nt(.) : Ω → R@ "Z"ºvwlxvªyx­§ Þ »Ñ+x|

[N ]t ≡ lim∆tk→0

∑

tk≤t(Ntk+1

(ω)−Ntk(ω))2 (limite em probabilidade)

lxz0 = t1 < t2 < ... < tn = t

∆tk = tk+1 − tk.

© W|'| [N ]t|¦l|?wv|­¥~W|zºvw"|

zNxj'wyx%¡|xZ£y¢)

[N ] = [N ]t, t ≥ 0 ¤"¦l|?wv|­¥'~W|zºvw||wv|z'| N §

`ÃÜ ÔÕÓ · áWÐÔ ßMtÖW×7á · ÖWÑ'áWÑQp3×Ñ­Õ×Ü Ô 4 ã=:@ã=DÓ"×ÜìÔÕ · Ôî ïÑ4õÏÔÖWÕ"ëlÓ · Ø Ô4ÖÔÖÔÛÑ­Õ

[M ]t =

∫ t

0

|f(s, ω)|2ds.`2Ò'ÖWÑ · ÒÓ"×Ñ­Õ×Ü ÔÒ'õÏW×Ò×ЭÏW×Ü Ò×Õ"ïÑcÖW×æçÏWáWÖÔÜ'×áÓÔ ß)· Ü'ÛÑ­ÕÓáWØ · Ô áWÑcØ ÔÛZYÓ"Ï ß ÑUñ%Ú¹áWÑ

õÏÔ ß Ö · ÒØÏ%Ó · ÜÑ­Ò2ÑÜ'ÑÖW× ß ÑÖW×4Ö · æçÏWÒ"ïÑÛÔÕ"ÔÔÕ×Ò×ÕìlÔ8ÖW×4ÏWÜ Ô Ò"×ЭÏWÕ"ÔÖWÑ­Õ"Ô%ãS` ÛWÕ · Ü'× · ÕÑ åÑp3×ÑÕ"×Ü Ô'ñ%ã65£×£ÑÒ×ЭÏWáWÖWÑ å¤Ñ>mÑ­ÕÑ ß ëÕ · ÑSBWã=DÖW×->mÝÏWáWÐ&¨ú« ·ßß· ÔÜÒ£ø 5"T[T f ù?ãMr  3Ä/PºÙPº».Ê Å"

W = Wt, t ≥ 0 C@! l¦wy xZ±)"aË+xwv|xj R

l xZ9CgÒ­wZ`@'|IÑ+³´v|­¥ At¡|³j~

W2 '|?vwyx@¶|³³"|³Il"ZwyZ4| At

l¿¦l|?wv|­¥'~W|zºvw"|[W ] |vwv|xz

[W ]t = t q.c. ∀ t.

5;E

Mr  3Ä/PºÙPº»3 µI»Ô|M = Mt, t ≥ 0 @ '|?vwyx@¶|³2³"|³£lxvªyxdcz¦l|?wv|­¥

³´wy4wy¡|z|'³"|³´ xZ §Ißmx¡¥

P (Mt = M0 ∀ t ≥ 0) = 1.

5"c

û Æ Ì À5Á Ì Â ü Í8Í ÄÂ Ì Í Á Æ Äȧ£5Á ÍÊÅÄÆÇÁ ÈËÊ Ì

ý ±´³ þ HWE9ijG]q@q@EV_`G HWG]q@GIH%Y:P _`G HWLOq@ijEü-×ÒÓÔ Ò×î ïÑ Ö · ÒØÏ%Ó · Ü'Ñ­Ò Ñ Ü'ÑÖW× ß Ñ Ø ß ëÒÒ · ØÑ ÖW×Õ · ÒØÑWã í`ÒÒÏWÜ · Ü'Ñ­Ò õÏW×Ôc×ìÑ ß ÏWî ïÑ ÖÔ

Õ×Ò×ÕìlÔU = Ut, t ≥ 0 ÖW× ÏWÜ ÔsØÑ­Ü'ÛÔáWÝ · ÔsÖW× Ò×ЭÏWÕÑ­Òå ×ÜÞÔÒ"ÔÖÔ6×Ü ÏWÜ ×ÒÛÔîÑ

ÖW×ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×(Ω,F , P )

ØÑ­Ü'Ñ Ò×ЭÏW×ãÅê@×OâÔU0 = u > 0

ÔcÕ×Ò×ÕìlÔ · á · Ø · Ô ß ã ú+ÕgbÜ · Ñ­ÒØÝW×ÐÔÜ ØÑ­áÓ · á@ÏÔlÜ'×áÓ"×-Ô£ÏWÜ Ô2ÓÔ;nWÔ£ØÑ­áWÒÓÔáÓ"×

p > 0× · áWÖW×á ·à Ôî8×ÒRÒ"ïÑCÛÔÐÔÒB×Ü · áWÒÓÔáÓ"×Ò

Ô ß × ÔlÓ"é­Õ · Ñ­ÒT1, T2, . . . (0 < T1 < T2, . . .)

Ñ­áWÖW×CÑ­Ò)ìÔ ß Ñ­Õ×Ò-ÔÒ×Õ×Ü;ÛÔЭѭÒ-áW×ÒÒ×Ò · áWÒÓÔáÓ"×Ò-Ò"ïÑÖW×ÒØÕ · Ó"Ñ­Ò.ÛÑ­Õ:ìlÔÕ · ë ì× · Ò.Ô ß × ÔlÓ"é­Õ · ÔÒ3áïÑlþZáW×ÐÔlÓ · ìlÔÒ

X1, X2, . . . .`ÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ£ÖW×9Õ · ÒØÑ2Õ×ÒÏ ß ÓÔáÓ"×Ú

ÛÔÕ"Ôt > 0ÚWå

Ut = u+ pt− St,øÍEù

Ñ­áWÖW×St =

∑

i≥1

XiI(Ti ≤ t),×IåÔ æçÏWáWî ïÑ · áWÖ · Ø ÔÖWÑ­Õ"Ô%ãsÙ`×7á · Ü'Ñ­Ò'Ô ìÔÕ · ë ì­× ß Ô ß × ÔlÓ"é­Õ · Ô

τ = inft ≥ 0 : Ut ≤ 0 ãN`ìÔ ß Ñ­Õ£ÖW× τ áWÑ­ÒCÖëÑ · áWÒÓÔáÓ"×ÖÔÕÏZYáÔ%ãÙ`×ì­×Ü'Ñ­ÒCÓÔÜÞåÜØÑ­áWÒ · ÖW×Õ"ÔÕ8Ô ÛÑ­ÒÒ · Þ ·ß· ÖÔÖW×ÖW×áïÑKÝÔ ì­×Õ8ÕÏZYáÔ%Ú`ÑKõÏW×Ò · Ð­á · 7Ø Ô õÏW×

τ = ∞ ãÎ+ÒÓÔÜ'Ñ­Ò· áÓ"×Õ×ÒÒ"ÔÖWÑ­Ò`áÔ'ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔlÖW×£ÖW×ÕÏZYáÔ×Ü¿Ó"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"Ñ

P (τ < ∞)Ú×áÔ'ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×

ÖW×£ÕÏZYáÔ4ÔáÓ"×Ò)ÖWÑ4Ó"×Ü'ÛÑtÚP (τ ≤ t)

ã

ý ±¥à noE9_`G]NOEVijNOfBq@q@LOijE_`GÅSHWPRQVpIHkaÿh`\`_¹CGIHWF`ÅÜ'ÑÖW× ß Ñ4Ø ß ëÒÒ · ØÑÖW×->mÕ"ÔÜ'åÕ)ý]ÏWáWÖWÞ×ÕÐ'å£Ø ÔÕ"ÔØÓ"×Õ ·à ÔÖWÑÛ× ß ÔÒ9Ò×Ð­Ï · áÓ"×Ò)ÒÏWÛÑ­Ò · î8×Òæ

• `2Ò:ìÔ ß Ñ­Õ×Ò:ÖÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò X1, X2, . . .Ò"ïÑ2ìlÔÕ · ëì­× · Ò.Ô ß × ÔlÓ"é­Õ · ÔÒ · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×ÒB× · ÖW×á@þ

Ó · Ø ÔÜ'×áÓ"×8Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏZYÖÔÒ4ØÑ­ÜoæçÏWáWî ïÑcÖW×Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑFÚ¹Ü'åÖ · Ô

µ = E(X1) < ∞ ×ìÔÕ · áWØ · Ô

σ2 = V ar(X1).

• `2Ò4Ó"×Ü'ÛÑ­Ò T1, T2, . . .áWÑ­ÒõÏÔ · ÒÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×ÒÑ@ØÑ­ÕÕ×Ü Ò"ïÑ ÓÔ · Ò4õÏW×ÔÒìÔÕ · ë ì­× · Ò

Ô ß × ÔlÓ"é­Õ · ÔÒ

Zi = Ti − Ti−1, i ≥ 1

ÒïlÑ · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×Ò£× · ÖW×áÓ · ØÔÜ'×áÓ"×Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏZYÖÔÒÚjØÑ­Ü=Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ×on%ÛÑáW×áWØ · Ô ß ØÑ­ÜE(Z1) = λ−1 ã

• `ÅáðWÜ'×ÕÑÖW× · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò)áWÑ · áÓ"×ÕìÔ ß Ñ [0, t]å£ÖW×áWÑÓÔÖWÑ'ÛÑ­Õ

Nt = supn ≥ 1 : Tn ≤ t, t ≥ 0,

5"T

Ñ­áWÖW×sup∅ = 0.

• í`Ò-Ò×õÏZbáWØ · ÔÒ X1, X2, . . .×T1, T2, . . .

Ò"ïÑ · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×Òã

ö-Ü Ô4ØÑ­áWÒ×õÏZbáWØ · Ô'ÖÔÖW×7á · î ïÑ ÔØ · Ü ÔåCõÏW×Nt

åCÏWÜ!ÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ ÖW×ú3Ñ · ÒÒÑ­áØÑ­ÜÓÔ;nWÔλ.`

ÛWÕÑØ×ÒÒÑ ÖW×£Õ · ÒØÑÕ×ÒÏ ß ÓÔáÓ"×ÚWÛÔÕ"Ôt > 0Úå

Ut = u+ pt− Stø»cù

Ñ­áWÖW×St =

Nt∑

i=1

XiãRú3Ñ@ÖW×þZÒ"×£Ü'Ñ­ÒÓ"Õ"ÔÕCøí©B×ZâÔí`áW×on%Ñ'ûûù¹õÏW×

E(St) = E

(

Nt∑

i=1

Xi

)

= λµtø»Tù

×

V ar(St) = V ar

(

Nt∑

i=1

Xi

)

= λt(σ2 + µ2).ø 5 f ù

ê@×OâÔρ = λµ

ÑKìlÔ ß Ñ­ÕÓ"ÑÓÔ ß ×ÒÛ×Õ"ÔÖWÑ6ÖW× · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò8ÛÑ­ÕÏWá · ÖÔÖW× ÖW× Ó"×Ü'ÛÑWãö-Ò"ÔáWÖWÑÕ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ­ÒCÒÑ­ÞWÕ× ÛÔÒÒ× · Ñ­ÒÔ ß × ÔlÓ"é­Õ · Ñ­ÒÚ3å ÛÑ­ÒÒgYì× ß ÛWÕÑìÔÕøyì×OâÔê@ÏWáWÖ%ÓÚI5CT[T 4 ù¤õÏW× Ò×

p > ρÚ

×áÓïÑUt →∞ õã Øã+õÏÔáWÖWÑ t ↑ ∞ ×áWõÏÔáÓ"Ñ4Ò× p < ρ

Ú@×áÓïÑUt → −∞ õã ØãBõÏÔáWÖWÑ t ↑ ∞ ã

ú3× ß ÑÒ×ЭÏWáWÖWÑÕ"×Ò"Ï ß Ó?ÔlÖWÑWÚψ(u) = 1 ∀ u ã Î+ÒÓÔÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×ÓÔÜÞåÜ=å · ЭÏÔ ß Ô¡5áWÑØ ÔÒÑ

p = ρÚÔÛ×Ò"ÔÕ-ÖW×CáïÑ'ÝÔ ì­×Õ`Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ'ÖW×CØÑ­áì­×ÕÐ[báWØ · Ô%ã)ê@×áWÖWÑÔÒÒ · ÜÚÏWÜ ÔØÑ­áWÖ · îïÑ'é­Þì · Ô

ÖW×£ÒÑ ß ì[báWØ · Ô4å£Ò"ÔlÓ · Òæç× · ÓÔÒ×p = (1 + θ)λµ, θ > 0.

ø 5[5ùíÅØÑ­áWÒÓÔáÓ"×

θåCØ?ÝÔÜ ÔlÖÔ »ÑmwxZz£¡¶@|x| ã¹ú.ÔÕ"Ô'Ü'Ô · Ò)ÖW×ÓÔ ß ÝW×Ò)ì×OâÔ Î+ÜÞWÕ×Ø?ÝÓ"Ò`×

Ñ­Ï%Ó"ÕÑ­ÒCø¥: f[f[4 ù?ã+Î+Ü;ê ·ß ìlÔS¨Åí¹Ó"ÏWáWØ ÔÕCø¥: f[f Bù?ÚWÑ­Ò)ÔÏ%Ó"Ñ­Õ×Ò9Ü'Ñ­ÒÓ"Õ"ÔÜÕ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ­Ò9ÖW×¤Ò · Ü4Ï ß Ôlî8@×ÒÖW×ÒÓ"×£Ü'ÑÖW× ß Ñ4ÛÔÕ"ÔÑØ ë ß ØÏ ß Ñ4ÖÔÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×`ÖW×£ÕÏZYáÔ×Ü Ó"×Ü'ÛÑ7á · Ó"Ñ4×£ØÑ­ÜÛÔÕ"ÔÜØÑ­ÜÑ­Ò9Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ­Ò)Ñ­Þ%Ó · ÖWÑ­Ò9Û× ß Ô4ÔÛWÕÑ"n · Ü Ôî ïÑÛÑ­Õ)Ö · æçÏWÒ"ïÑ%ã

: f

Æ Ì À5Á Ì Â Ì Æ Äȧ£5Á ÍÊÅÄÆÇÁÉÈËÊÌ

_±´³ µ G]q@iHWL ·BE_`E QVE9_`G]NOE>mÑ­Ü'Ñ ÔáÓ"×Õ · Ñ­ÕÜ'×áÓ"×ÚÒ×OâÔ

XiÑìlÔ ß Ñ­Õ9ÖÔ · þZåÒ · Ü Ô · áWÖW×á ·à Ôî ïÑõÏW×ÔØÑ­áÓ"×Ø×CáWÑ · áWÒÓÔáÓ"×

Ti×Nt

Ñ áðWÜ'×ÕÑ ÖW× · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò Ñ@ØÑ­ÕÕ · ÖÔÒ'áWÑ · áÓ"×ÕìlÔ ß ÑcÖW×Ó"×Ü'ÛÑ(0, t]ãí`ÒÒÏWÜ · Ü'Ñ­Ò

õÏW× Nt, t ≥ 0 å ÏWÜ1ÛWÕÑØ×ÒÒÑ ÖW×ú3Ñ · ÒÒÑ­ácÝWÑ­Ü'Ñ­Ð[báW×ÑØÑ­Ü5ÓÔ;nWÔ λ ×'õÏW× Ñ­ÒCìlÔ ß Ñ­Õ×ÒCÖÔÒ· áWÖW×á ·à Ôî8×Ò]Ò"ïÑ)Ü4Ï%Ó"ÏÔÜ'×áÓ"× · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×Ò3× · ÖW×áÓ · Ø ÔÜ'×áÓ"×.Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏZYÖWÑ­ÒIØÑ­Ü Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑFÚÑ­áWÖW×

E(X) = µã.ê@×áWÖWѤÔÒÒ · ÜÚlÑ-ìlÔ ß Ñ­Õ×ÒÛ×Õ"ÔÖWÑ2ÖW× · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò3ÛÑ­Õ3ÏWá · ÖÔÖW×RÖW×BÓ"×Ü'ÛÑ-å

ÖÔÖWÑÛÑ­Õρ = λµ

ãõp:ÔÜÞåÜ ÔÒÒÏWÜ · Ü'Ñ­ÒRõÏW×2Ñ­ÒRìÔ ß Ñ­Õ×ÒmÖÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×ÒmÒ"ïÑ · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×ÒÖWÑÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ ÖWÑáðWÜ'×ÕÑÖW× · áWÖW×á ·à Ôî8@×Òãê@×OâÔ

St =

Nt∑

i=1

Xi

Ò×Nt > 0,

0Ò×

Nt = 0.

ø 5;:­ù

Ñ ìÔ ß ÑÕÓ"ÑÓÔ ß ÖÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×ÒÔЭÕ×ЭÔÖÔÒ8áWÑ · áÓ"×ÕìlÔ ß Ñ ÖW× Ó"×Ü'ÛÑ(0, t]ã `ËÛWÕgbÜ · Ñ õÏW×

ÔcØÑ­Ü'ÛÔáWÝ · ÔUÖW× Ò×ЭÏWÕÑ­ÒÕ×Ø×Þ× å ÛÔÐ­Ñ ØÑ­áÓ · áÏÔÜ'×áÓ"×ØÑ­Ü ÏWÜ ÔUÓÔ;nWÔ ØÑ­áWÒÓÔáÓ"×pã í

ØÑ­Ü'ÛÔáWÝ · Ô4ÓÔÜÞåÜ¿Õ×Ø×Þ×-âÏWÕÑ­Ò-ÖW×ÒÏÔ Õ×Ò×ÕìÔ ØÑ­Ü;ÏWÜ ÔÓÔ;nWÔ'ØÑ­áWÒÓÔáÓ"×δã`ê@×OâÔ

Uδ(t)Ñ

ìlÔ ß Ñ­Õ3ÖÔ`Õ×Ò×ÕìÔ2áWÑ · áWÒÓÔáÓ"×RÓ ãõ>mÑ­ÜÅÔÒ.ÒÏWÛÑ­Ò · î8@×Ò+ÔØ · Ü Ô%Ú­ê@ÏWáWÖ%Ó)¨êp3×ÏWÐ­× ß Ò)ø 5"T[TwD­ù]Ü'Ñ­ÒÓ"Õ"ÔÜõÏW×

Uδ(t) = ueδt + p

∫ t

0

eδυdυ −∫ t

0

eδ(t−υ)dSυ,ø 5 4 ù

ØÑ­Üu = U(0)

ã2ü`Ô'×on%ÛWÕ×ÒÒïÑ8ÔØ · Ü Ô%ÚueδtåÑ'ìÔ ß Ñ­Õ`ÔlÓ"ÏÔ ß ÖÔ'Õ×Ò×ÕìÔ · á · Ø · Ô ß áWÑ · áWÒÓÔáÓ"×

tÚ

∫ t

0peδυdυ

å¤Ñ4ìÔ ß Ñ­Õ9ÔlÓ"ÏÔ ß ÖWÑ4Ó"ÑÓÔ ß ÖW×£ÛWÕgbÜ · Ñ­Ò¹Õ×Ø×Þ · ÖWÑ­Ò)Û× ß Ô4Ò×ЭÏWÕ"ÔÖWÑ­Õ"ÔÔlÓ"å¤Ñ · áWÒÓÔáÓ"×t×

∫ t

0eδ(t−υ)dSυ

åÑìlÔ ß Ñ­Õ£ÔlÓ"ÏÔ ß ÖÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò¤ÛÔÐÔÒ¤Û× ß ÔÒ×ЭÏWÕ"ÔÖWÑ­Õ"Ô8ÔlÓ"å4Ñ · áWÒÓ?ÔláÓ"×tã

· Ü'ÛÑ­ÕÓÔáÓ"×mÑ­ÞWÒ×ÕìlÔÕBõÏW×-Ô¤ð ß Ó · Ü'Ô · áÓ"×ЭÕ"Ô ß áÔ¤×on%ÛWÕ×ÒÒ"ïÑø 5 4 ù3å)ØÑ­áWÒÓÔáÓ"×)×áÓ"Õ×9Ñ­Ò · áWÒÓÔáÓ"×ÒÖÔÒ)ØÝW×ÐÔÖÔÒ)ÖÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×Òã

>mÑ­áWÒ · ÖW×ÕפÓÔÜÞåÜÑ ¦l|³lCzlx¡|z ÖW×UtáWÑ4Ó"×Ü'ÛÑ à ×ÕÑWÚ · ÒÓ"ÑåÚ

Vδ(t) = e−δtUδ(t) = u+ p a(δ)t −

∫ t

0

e−δυdSυø 5CBù

ØÑ­Ü

a(δ)t =

tÒ×

δ = 0, ou

1−e−δt

δ

Ò×δ > 0.

`2Ü · Ó · Õ×ÜÑ­Ò¹ÑQYáWÖ · Ø×δõÏÔáWÖWÑ ÔÓÔ;nWÔ4ÖW×¹âÏWÕÑ­Ò9æçÑ­Õ à ×ÕÑWã

:35

_±¥à þ HWEõ¹2Põ¹2LONOLO_`PB_`G _`G HWhO\`Pê@×OâÔ

ψδ(u)ÔÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖWפÖW×CÕÏZYáÔ×Ü!Ó"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"Ñ4ÖW×CÏWÜ ÔØÑ­Ü'ÛÔáWÝ · Ô4ÖW×CÒ×ЭÏWÕÑ­Ò

ØÑ­Ü!Õ×Ò×ÕìlÔ · á · Ø · Ô ßuãBÎ+áÓïÑ

ψδ(u) = P

⋃

t≥0

(Uδ(t) < 0)

= P

⋃

t≥0

(Vδ(t) < 0)

.

Î+Ü=ê@ÏWáWÖ%Ó,¨ p3×ÏWÐ­× ß Òø 5"T[TwD­ù?ÚÑ­Ò2ÔÏ%Ó"Ñ­Õ×Ò2Ö ·à ×Ü;õÏW×Ò×Uδ(υ) ≥ 0 ∀ υ ≤ t

Új×áÓïÑUδ(υ) ≥

U(υ) ∀ υ ≤ t× ∀ δ ≥ 0

ã£ûZÒÓ"Ñ · Ü'Û ß· Ø Ô õÏW×ψδ(υ) ≤ ψ(υ)

ÚIÑ­Ï Ò×OâÔ%Ú]ÑÜ'ÑÖW× ß ÑØ ß ëÒÒ · ØÑØÑ­Ü

δ = 0æçÑ­ÕáW×Ø×£ÏWÜ ß· Ü · Ó×2ÒÏWÛ×Õ · Ñ­Õ)ÛÔÕ"ÔÔ4ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×2ÖW×£ÕÏZYáÔ4áWÑØ ÔÒÑ'Э×Õ"Ô ß

δ ≥ 0ã

ú:ÔÕ"Ô ÏWÜ ÔÜ'× ß ÝWÑ­ÕØÑ­Ü'ÛWÕ××áWÒ"ïÑÖÔÒÖ · æç×Õ×áWî ÔÒæçÏWáWÖÔÜ'×áÓÔ · Ò4×áÓ"Õ×8Ñ­Ò4Ø ÔÒÑ­Òδ = 0

×

δ > 0ÚIì­×OâÔÜ'Ñ­Ò¤Ñ8ØÑ­Ü'ÛÑ­ÕÓÔÜ'×áÓ"ÑÖWÑ8ÛWÕÑØ×ÒÒÑ Vδ(t), t ≥ 0 áW×ÒÓ"×ÒCÖWÑ · Ò2Ø ÔÒÑ­Òãü-Ñ8Ø ÔÒÑ

δ = 0ÚÑØÑ­Ü'ÛÑ­ÕÓÔÜ'×áÓ"Ñ4ÖW×

Vt = Ut = u+ pt− StæçÑ · ÖW×ÒØÕ · Ó"Ñ'áÔ4Ò×î ïÑBWã=:@ã

ü-ÑØ ÔÒÑδ > 0

áïÑÝëØÑ­áì­×ÕÐ[báWØ · ÔÛÔÕ"Ô+∞ Ñ­Ï −∞ ×Ò · Ü;ÛÔÕ"ÔÔ ìlÔÕ · ë ì× ß Ô ß × ÔlÓ"é­Õ · Ô

7á · ÓÔVδ(∞) = u+

p

δ−∫ ∞

0

e−δυ dS(υ).ø 5;D­ù

ú:ÔÕ"Ôì×Õ)õÏW×CÔ · áÓ"×ЭÕ"Ô ß áÔ×on%ÛWÕ×ÒÒ"ïÑ ø 5;D­ùmå7á · ÓÔ%ÚWÞÔÒÓÔævÔ à ×Õ∫ ∞

0

e−δυ dS(υ) =∑

i≥1

e−δTiXi.

í · ЭÏÔ ß ÖÔÖW×RÔØ · Ü Ô)åRìlë ß· ÖÔ)ÛÑ · Ò:Ô · áÓ"×ЭÕ"Ô ß ó`×ÒõÏW×ÕÖÔ2åmØÑ­áWÒÓÔáÓ"×m×áÓ"Õ×mÑ­Ò · áWÒÓÔáÓ"×Ò:×ÜÃõÏW×ØÝW×ÐÔÜÔÒmÕ× · áì · Ö · Ø Ôî8×Òã)>mÑ­Ü'Ñ

X×TÒ"ïÑ£ìÔÕ · ë ì­× · ÒmÔ ß × ÔlÓ"é­Õ · ÔÒ+ÛÑ­Ò · Ó · ìÔÒB× · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×ÒÚ

ÛÑ@ÖW×Ü'Ñ­Ò)Ñ­Þ%Ó"×Õ

E

(

∑

i≥1

e−δTiXi

)

=∑

i≥1

E(

e−δTiXi

)

=∑

i≥1

E(e−δTi)E(Xi)

= µ∑

i≥1

E(e−δ[(Ti−Ti−1)+(Ti−1−Ti−2)+···+(T1−T0)])

= µ∑

i≥1

[E(e−δπ)]i, π ∼ Ti − Ti−1

= µ∑

i≥1

(

λ

λ+ δ

)i

<∞.

>mÑ­Ü'ÑE

(∫ ∞

0

e−δυ dS(υ)

)

<∞ Ú×áÓïÑ(∫ ∞

0

e−δυ dS(υ)

)

<∞ q.cã

Ù`×ÒÓÔæçÑ­ÕÜ Ô%ÚáïÑåé­Þì · ÑõÏW×ψδ(u) = 1

Ò×Ü'ÛWÕ×õÏW×p < ρã£ü-Ñ×áÓÔáÓ"ÑWÚIÒ×

p ≤ −δu×áÓïÑ

ψδ(u) = 1ãBú.ÔÕ"Ô4Ü Ô · Ò¹ÖW×ÓÔ ß ÝW×Ò)ÒÑ­ÞWÕ×£×ÒÓ"×CÜ'ÑÖW× ß ÑWÚ@ì×OâÔ'ê@ÏWáWÖ%Ó*¨úp3×ÏWÐ­× ß Òø 5"T[TwD­ù?ã

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Bt

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ØÑ­Ü!áWÑ­ÒÒ"ÔáWÑÓÔî ïÑWÚ

Bt = St − pt,ø 5ñù

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· áì­×ÒÓ · ÖÔØÑ­áÓ · á@ÏÔÜ'×áÓ"×`áWÑÓ"×Ü'ÛÑ8øçÑ­Ï Ó"Ñ­Ü ÔÖÔC×Ü'ÛWÕ×ÒÓÔÖÔùR×Ü Ü'×ÕØ ÔÖWÑ­Òu7áÔláWØ× · ÕÑ­Ò¹õÏW×ÛWÕÑÖWÏ à ×ÜÉâÏWÕÑ­ÒãBê@×¹×on · ÒÓ"×¹ÏWÜ Ô-ÓÔ;nWÔ2ÖW×3âÏWÕÑ­Ò

δt×Ü Ø ÔÖÔ · áWÒÓÔáÓ"×

tÚ×áÓïÑ2Ñ2ìÔ ß Ñ­Õ:áWÑ2Ó"×Ü'ÛÑ

tÖW×9ÏWÜ Ô¤ÏWá · ÖÔÖW×9Ü'Ñ­áW×ÓëÕ · Ô · áì×ÒÓ · ÖÔ2áWѤÓ"×Ü'ÛÑ f å

e∆tøyìÔ ß Ñ­Õ:æçÏ%Ó"ÏWÕÑù3ØÑ­Ü

∆t =

∫ t

0

δτ dτã

Ù2ÔÜ'×ÒÜ ÔæçÑ­ÕÜ Ô%ÚÑìÔ ß Ñ­Õ£áWÑÓ"×Ü'ÛÑ f ÖW× ÏWÜ'ÔÏWá · ÖÔÖW×'Ü'Ñ­áW×ÓëÕ · Ô8ÔÒ×ÕCÛÔÐÔáWÑÓ"×Ü'ÛÑtåe−∆tøyìÔ ß Ñ­Õ`ÛWÕ×Ò×áÓ"×ù2×ÚI×ܽЭ×Õ"Ô ß ÚjÑìÔ ß Ñ­Õ`ÖW×ÏWÜ Ô ÏWá · ÖÔÖW×Ü'Ñ­áW×ÓëÕ · Ô'áWÑÓ"×Ü'ÛÑ

t×Ü

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Ú%ÏWÜ ævÔlÓ"Ñ­ÕmÖWפÖW×ÒØÑ­áÓ"ÑÒ×s ≥ tפÏWÜævÔlÓ"Ñ­Õ¹ÖWפÔØÏWÜÏ ß Ôî ïÑÒ×

s ≤ tãê@×OâÔ

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· áWÒÓÔáÓ"×tãM>mÑ­Ü¿ÔÒ)ÒÏWÛÑ­Ò · î8@×Ò`ÔØ · Ü Ô%Ú%ü-Ñ­ÕÞ×ÕÐø 5"T[T[TùRÜ'Ñ­ÒÓ"Õ"Ô4õÏW×

Ut = e∆t

(

U0 −∫ t

0

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)

.ø 5;E­ù

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Ñ ß ÏWØÕÑøçÛWÕ×OâÏZY à Ñù ß YõÏ · ÖWÑÔlÓ"å2ÑÓ"×Ü'ÛÑtÚ@Ó"Ñ@ÖWÑÜ'Ñ­áÓÔáÓ"×2ÔØÏWÜÏ ß ÔÖWÑØÑ­Ü âÏWÕÑ­Ò¹ØÑ­Ü'ÛÑ­ÒÓ"Ñ­Òã

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Uv = e∆v−∆t

(

Ut −∫ v

t

e−(∆τ−∆t) dBτ

)

, t ≤ v.ø 5"cù

\Pº»¼ºÙ N#È P3Qä¿ Â »À¿Äê@×OâÔ

(Ω,F , P )ÏWÜ5×ÒÛÔîÑÖW×ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×Ú A = At, t ≥ 0 ÏWÜ Ô7 ß Ó"Õ"Ôî ïÑWÚ]Ñ­áWÖW× At

⊂ F Õ×ÛWÕ×Ò×áÓÔÔ · á%æçÑ­ÕÜ Ôlî ïÑÖ · ÒÛÑ­áZYì­× ß ÔlÓ"å ÑÓ"×Ü'ÛÑ t ã`!Õ · ÒØÑÖW×Ò×ЭÏWÕÑ åÜ'ÑÖW× ß ÔÖWÑævÔ à ×áWÖWÑ Bt, t ≥ 0 ÏWÜ1ÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ ×ÒÓ"Ñ@Ø ëÒÓ · ØÑ A þZÒ×Ü · Ü'ÔÕÓ · áWÐÔ ß ØÑ­ÜË×Ò"Û×Õ"ÔáWî Ô|7á · ÓÔ%Ú:Ñ­ÏÒ×OâÔ%Ú Bt, t ≥ 0 å AþOÔÖÔÛ%ÓÔÖWÑU×8ØÑ­Ü Ó"Õ"Ôlâ×Ó"é­Õ · ÔlÒØÑ­áÓAYáÏÔÒ'óUÖ · Õ× · ÓÔØÑ­Ü ß· Ü · Ó×ÒÛ× ß Ô×ÒõÏW×ÕÖÔ%ã Ù2Ô Ü'×ÒÜ ÔcæçÑ­ÕÜ Ô Ñ Õ · ÒØÑ7áÔáWØ× · ÕÑKå · áÓ"ÕÑ@ÖWÏ à· ÖWÑcævÔ à ×áWÖWÑ ∆t, t ≥ 0 ÏWÜÛWÕÑØ×ÒÒÑ ×ÒÓ"Ñ@Ø ëÒÓ · ØÑ AþZÒ×Ü · Ü ÔÕÓ · áWÐÔ ß ãíÕÏZYáÔ8ÖÔ8Ò×ЭÏWÕ"ÔÖWÑ­Õ"Ô%Ú3ÖW×7á · ÖÔ8ØÑ­Ü'ÑÑ×ì­×áÓ"Ñ×Ü õÏW× Ô8Õ×Ò×ÕìÔ8Ó"Ñ­ÕáÔþZÒ×Ü'×áWѭգѭÏ

· ЭÏÔ ß Ô à ×ÕÑWÚåÑÔÒÒÏWáÓ"ÑÛWÕ · áWØ · ÛÔ ß ÖW×ÒÓÔÖ · ÒÒ×ÕÓÔî ïÑWã`Î+ÒÓÔÜ'Ñ­Ò · áÓ"×Õ×ÒÒ"ÔÖWÑ­Ò2×Ü;×ÒÓ"ÏWÖÔÕ2ÔÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×2ÖW×£ÕÏZYáÔ4×ÜÓ"×Ü'ÛÑS7á · Ó"ÑWÚ

ψ(u, v) = P

[

infs∈[0,v]

Us ≤ 0|U0 = u

] ø 5"Tù

= P

[

sups∈[0,v]

∫ s

0

e−∆τdBτ ≥ u|U0 = u

]

,ø¥: f ù

×£ÔÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×2ÖW×£ÕÏZYáÔ4×ÜÓ"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"ÑWÚ

ψ(u) = P

[

infs≥0

Us ≤ 0|U0 = u

] ø¥:35ù

= P

[

sups≥0

∫ s

0

e−∆τdBτ ≥ u|U0 = u

]

.ø¥:[:­ù

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ЭÕ"ÔáWÖW×áðWÜ'×ÕÑ ÖW×Õ · ÒØÑ­Ò · áWÖ · ì · ÖWÏÔ · Ò · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×ÒÚ`ØÑ­áWÒ · ÖW×Õ"ÔáWÖWÑ õÏW×áW×áWÝ@ÏWÜÖW× ß ×ÒåЭÕ"ÔáWÖW×mѤÒÏx7Ø · ×áÓ"×9ÛÔÕ"Ô2Ôlæç×ÓÔÕ:Ñ2ìlÔ ß Ñ­Õ3Ó"ÑÓÔ ß ÖÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò+ÔЭÕ×ÐÔlÖÔÒ.Ò · Ð­á · 7Ø ÔlÓ · ìlÔÜ'×áÓ"×ÚÔÛWÕÑCn · Ü ÔÜÑ­Ò9ÔæçÏWáWî ïÑ

BtÛÑ­Õ9ÏWÜ Ô4Ö · æçÏWÒ"ïÑWÚ · ÒÓ"ÑåÚ

Bt = −βt− σbWb,t,ø¥: 4 ù

Ñ­áWÖW×β×σbÒ"ïÑØÑ­áWÒÓÔáÓ"×Ò×

Wb,t = Wb,t, t ≥ 0 å'ÏWÜ Ü'Ñì · Ü'×áÓ"ÑômÕÑ"<)á · ÔáWÑÛÔÖWÕ"ïÑWãí9õÏ ·

βÕ×ÛWÕ×Ò×áÓÔÑ8ÐÔáWÝWÑ×ÒÛ×Õ"ÔÖWÑÛÑ­Õ£ÏWá · ÖÔÖW×ÖW×4Ó"×Ü'ÛÑWÚÖW×ì · ÖWÑÔÏWÜ ØÑ×7Ø · ×áÓ"×'ÖW×

Ò×ЭÏWÕ"ÔáWî Ôθ > 0

áWÑ2ÛWÕgbÜ · Ñ`×σbå¹Ñ2ÖW×Òì · ѤÛÔÖWÕ"ïÑ2ÖWÑ2Ó"ÑÓÔ ß ÖW×¹ÛÔÐÔÜ'×áÓ"Ñ­Ò:ÖÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò

:aB

ÛÑ­Õ4ÏWá · ÖÔÖW×ÖW×Ó"×Ü'ÛÑWã Î+Ü áWÑ­ÒÒÑ Ó"Õ"ÔÞÔ ß ÝWÑWÚ+Ï%Ó ·ß·à ÔÕ×ÜÑ­ÒÔÒÖ · æçÏWÒg8×ÒÛÔlÕÔ ÔÛWÕÑCn · Ü ÔÕÑÜ'ÑÖW× ß Ñ4Ø ß ëÒÒ · ØÑØÑ­Ü · áì×ÒÓ · Ü'×áÓ"ÑWãBê@×áWÖWÑÔÒÒ · ÜÚ%Õ×ÛWÕ×Ò×áÓÔÜ'ÑÒ

β×σbÛÑ­Õ

β = p− λµ, eø¥:aBù

σb =√

λ(σ2 + µ2).ø¥:[D­ù

Ù2ÔÜ'×ÒÜ ÔæçÑ­ÕÜ Ô%ÚWÔÒÒ"ÏWÜ · Ü'Ñ­Ò9õÏW×£ÑævÔÓÑÕ9ÖW×£ÖW×ÒØÑ­áÓ"Ñ∆tå£ÏWÜ Ô4Ö · æçÏWÒ"ïÑWÚWÑ­Ï8Ò×OâÔ%Ú

∆t = δt+ σdWd,t,ø¥:ñù

Ñ­áWÖW×δ×σdÒ"ïÑØÑ­áWÒÓÔáÓ"×Ò×

Wd,t = Wd,t, t ≥ 0 åÏWÜ Ü'Ñì · Ü×áÓ"Ñ8ômÕÑ;<)á · ÔáWÑ8ÛÔÖWÕ"ïÑWãê@×

σdåÛÑ­Ò · Ó · ì­ÑWÚ×ÒÓÔÜ'Ñ­Ò2ÔÖ · Ø · Ñ­áÔáWÖWÑ'ÏWÜ Ô'Û×ÕÓ"ÏWÕÞÔî ïÑ×ÒÓ"Ñ@Ø ëÒÓ · Ø ÔÔ ÏWÜ ÔÓÔ;nWÔ ÖW×)âÏWÕÑ­Ò

ØÑ­áWÒÓÔáÓ"×δã

í`ÒÒÏWÜ · Ü'Ñ­ÒIÓÔÜÞåÜõÏW×Wb,t

×Wd,t

Ò"ïÑ · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×Ò ã+ú3× ß Ô-Ù`×7á · î ïÑ 4 ã=:@ã=E@ÚÓ"×Ü'Ñ­ÒõÏW×Bt×

∆tÒ"ïÑ ÛWÕÑØ×ÒÒÑ­Ò2ÖW×Cû¡ÓA@ · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×Òã-ê@×OâÔÜ

Zt = e∆t×Yt =

(

U0 −∫ t

0e−∆τ dBτ

) ÚÑ­Ï8Ò×OâÔ%Ú

Ut = ZtYtãBú:× ß Ñp3×Ñ­Õ×Ü Ô 4 ã=:@ã c%Ú

Zt e YtÓÔÜÞåÜÒ"ïÑÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ­Ò-ÖW×£û¡ÓA@'×Ü

R+

ãú3× ß Ôú+ÕÑ­ÛÑ­Ò · î ïÑ 4 ã=:@ã T4×£Û× ß ÑQp3×Ñ­Õ×Ü Ô 4 ã=:@ã c%Ú%Ó"×Ü'Ñ­Ò9õÏW×dæ

d(Ut) = d(ZtYt) = −dBt +Ute∆t

d(e∆t)− d(e∆t)e−∆tdBt.

p3×ÜÑ­Ò9ÓÔÜ4ÞåÜ!õÏW×dædBt = −βdt− σbdWb,t

×

d(e∆t) = δe∆tdt+ σde∆tdWd,t +

1

2σ2de

∆tdt = e∆t

(

δ +1

2σ2d

)

dt+ σde∆tdWd,t.

Ù`×ÛÑ · Ò)ÖW×CÔ ß Ð­ÏWáWÒ9Ø ë ß ØÏ ß Ñ­Ò9ØÑ­áWØ ß ÏZYÜ'Ñ­Ò¹õÏW×dæ

dUt =

[

Ut

(

δ +1

2σ2d

)

+ β

]

dt+ UtσddWd,t + σbdWb,t.ø¥:[E­ù

í`ЭÕÏWÛÔáWÖWÑÑ­Ò9Ó"×ÕÜ'Ñ­Ò9ÖÔÖ · æçÏWÒ"ïÑ4áÔ×on%ÛWÕ×ÒÒ"ïÑ ø¥:[E­ù?ÚWÖW×7á · Ü'Ñ­Ò

dWt =UtσddWd,t + σbdWb,t

(U 2t σ

2d + σ2

b )1

2

.

ê@×áWÖWÑ ÔÒÒ · ÜÚ

Wt =

∫ t

0

(U 2s σ

2d + σ2

b )− 1

2 (UsσddWd,s + σbdWb,s).

p3×ÜÑ­Ò)õÏW×d[W ]t = (dWt)

2 =1

Utσ2d + σ2

b

(UtσddWd,t + σbdWb,t)2 =

:[D

=1

Utσ2d + σ2

b

(U 2t σ

2d + σ2

b )dt = dt.

ý]ѭЭÑWÚ · áÓ"×ЭÕ"ÔáWÖWÑÔÜ4ÞÑ­Ò9Ñ­Ò ß ÔÖWÑ­Ò9ÖW×ÒÓÔ×õÏÔî ïÑ'áWÑ · áÓ"×ÕìÔ ß Ñ[0, t]ÚÑ­Þ%Ó"×Ü'Ñ­Ò

d[W ]t = dt⇒ [W ]t = t.

Ù`×ÒÓÔæçÑ­ÕÜ Ô%ÚÓ"×Ü'Ñ­Ò õÏW×W = Wt, t ≥ 0 åKÏWÜÜ ÔÕÓ · áWÐÔ ß ØÑ­áÓAYáÏWÑÉØÑ­Ü,ìÔÕ · Ôî ïÑ

õÏÔÖWÕ"ëlÓ · Ø Ô[W ]t = t

ãUú3× ß Ñyp3×Ñ­Õ×Ü Ô 4 ã=:@ã65;:@Ú:Ó"×Ü'Ñ­ÒõÏW×WåÏWÜÜ'Ñì · Ü'×áÓ"ÑômÕ"Ñ"<)á · ÔáWÑ

ÛÔÖWÕ"ïÑWãý]ѭЭÑWÚ9ÛÑ@ÖW×Ü'Ñ­Ò'Ó"Õ"ÔlÓÔÕ ø¥:[E­ù4ØÑ­Ü'Ñ ÏWÜ Ø ÔÒÑ ×ÒÛ×Ø · Ô ß ÖÔc×õÏÔî ïÑ Ö · æç×Õ×áWØ · Ô ß ÖÔæçÑ­ÕÜ Ô

dUt = µ(t, Ut)dt+ σ(t, Ut)dWt,ø¥:dcù

Ñ­áWÖW×WåBÏWÜ Ü'Ñì · Ü'×áÓ"Ñ-ômÕÑ"<)á · ÔáWÑ)ÛÔÖWÕ"ïÑ-×BÛÑ@ÖW×Ü'Ñ­ÒØÑ­áWÒ · ÖW×Õ"ÔÕ At = σWs; 0 ≤ s ≤ t ã

· Ü'ÛÑ­ÕÓÔáÓ"×Ö ·à ×ÕõÏW×Ú¹ØÑ­Ü'ÑUtåÏWÜ ÔÖ · æçÏWÒ"ïÑWÚR×áÓïÑU× ß ×ÓÔÜ4ÞåÜ åÏWÜoÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ

äÔÕgªÑì · ÔáWÑWãíÃÛWÕ · áWØYÛ · Ñ×ÒÓÔÕ×Ü'Ñ­Ò · áÓ"×Õ×ÒÒ"ÔÖWÑ­Ò-áÔ4Ò×Ð­Ï · áÓ"×£ÛÔÕ"ÔÜ'×Ó"Õ ·à Ôî ïÑZæ

µ(t, u) = u(δ(t, u) +1

2σ2d(t, u)) + β(t, u)

ø¥:dTù

σ2(t, u) = u2σ2d(t, u) + σ2

b (t, u),ø 4[f ù

áÔõÏÔ ß Û×ÕÜ · Ó · ÜÑ­ÒõÏW×Ñ­Ò4ØÑ@×o7Ø · ×áÓ"×Òβ, σb, δ, e σd

ÖW×Û×áWÖÔÜ ÖWÑÓ"×Ü'ÛÑ ×ÖÔÕ×Ò×ÕìÔÔlÓ"ÏÔ ß ãí`ÒÒÏWÜ · Ü'Ñ­Ò.õÏW×)Ñ­Ò+ØÑ@×7Ø · ×áÓ"×Ò

µ(t, u)×σ(t, u)

Ò"ïѤÒ"Ïx7Ø · ×áÓ"×Ü'×áÓ"×)ÒÏÔì­×ÒRÛÔlÕÔ¤ÔÖWÜ · Ó · ÕÏWÜ Ô ðWá · Ø Ô ÒÑ ß ÏWî ïÑUÛÔÕ"Ôsø¥:dcù×8ÛÔÕ"ÔÔÒÒ×ЭÏWÕ"ÔÕ Ô×on · ÒÓAbáWØ · Ô×8ØÑ­áÓ · á@Ï · ÖÔlÖW×8ÖW×Ó"Ñ@ÖÔÒ'ÔÒÖW×Õ · ìlÔÖÔÒ)õÏW×CÔÛWÕ×Ò×áÓÔÕ×Ü'Ñ­Ò)áÔ4ÛWÕé"n · Ü ÔÒ×î ïÑWã

²±»° þ HWEõ¹2Põ¹2LONOLO_`PB_`G _`G HWhO\`P\PºÙ/Pº» 0  ñ Ä ñ ¾»Û»¾»ä¿Ä¼ä¿ä¿  »À¿Ä¡3 Á"3ôõÆÇÀO¾íÁ"ê@×OâÔ

I[A]ÔæçÏWáWî ïÑ · áWÖ · Ø ÔÖWÑ­Õ"ÔÖWÑ4×ì×áÓ"Ñ

AãM>mÑ­áWÒ · ÖW×Õ×Ü'Ñ­Ò)ÔÖ · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑÖWפÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· þ

ÖÔÖW×2ØÑ­áWÖ · Ø · Ñ­áÔ ß ÖWÑ4ÜYá · ÜÑÔlÓ · áWÐ · ÖWÑÛ× ß Ñ4ÛWÕÑØ×ÒÒÑ'ÖÔÕ×Ò×ÕìÔ4×ÜÏWÜ · áÓ"×ÕìlÔ ß ÑÖW×2Ó"×Ü'ÛÑ7á · Ó"ÑWÚ

P (t, u, v, y) = P

[

infs∈[t,v]

Us ≤ y|Ut = u

]

, 0 ≤ t ≤ v; u, y ∈ R.ø 4 5ù

:ñ

ú:ÔÕ"Ôv×y7xn%Ñ­ÒÚÒ×OâÔ

Mt = P

[

infs∈[0,v]

Us > y|At

]

= It(1− P (t, Ut, v, y)),ø 4 :­ù

Ñ­áWÖW×

It = 1

[

infs∈[0,t]

Us > y

]

.

Î+áÓïÑMt = Mt, t ≥ 0 åCÏWÜ¿Ü'ÔÕÓ · áWÐÔ ß øí©B×OâÔí`áW×on%Ñ ûûûù?ãíÅÒ×ЭÏWáWÖÔ · ЭÏÔ ß ÖÔÖWפ×ÜËø 4 :­ù

å¤ÖW×ì · ÖÔ'ó4ÛWÕÑ­ÛWÕ · ×ÖÔÖW×äÔÕgªÑì · ÔáÔ4ÖWÑ'ÛWÕÑ@Ø×ÒÒ"Ñ'ÖÔÕ×Ò×ÕìlÔ%ãí`Û ß· Ø ÔáWÖWÑÔ8æçé­ÕÜÏ ß ÔÖW×'û¡ÓA@Э×áW×Õ"Ô ß·à ÔÖÔ>mÝÏWáWÐ|¨ì« ·ßß· ÔÜÒ ø 5"T[T f Ú¿p3×Ñ­Õ×Ü ÔNT%ã=:­ù£ÔÑ

ÛWÕÑØ×ÒÒÑMtÚRÑ­ÞWÒ×ÕìÔáWÖWÑUõÏW×Ô ÛÔÕÓ"×8ØÑ­áÓAYáÏÔ ÖÔ æçÏWáWî ïÑ

Itå8ØÑ­áWÒÓÔáÓ×8×8ÏWÒ"ÔáWÖWÑdø¥:dcù

Ñ­Þ%Ó"×Ü'Ñ­Ò9ÑÒ×Ð­Ï · áÓ"×£Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑZæ

dMt = − It∂

∂tP (t, Ut, v, y)dt− It

∂

∂xP (t, Ut, v, y)(µ(t, Ut)dt+ σ(t, Ut)dWt)

− It1

2

∂2

∂x2P (t, Ut, v, y)σ

2(t, Ut)dt+ It(1− P (t, Ut, v, y))ø 4[4 ù

− It−(1− P (t−, Ut− , v, y)).

`2Ò:Ø ë ß ØÏ ß Ñ­Ò3áW×Ø×ÒÒ"ëÕ · Ñ­Ò.ÛÔÕ"Ô-Ñ­Þ%Ó"×áWî ïÑ2ÖW×ÒÓÔ2×õÏÔî ïÑ`ìïÑ¤Ô ß åÜ ÖWÑ2×ÒØÑ­ÛÑ2ÖW×ÒÓÔ2Ö · ÒÒ×ÕÓÔî ïÑWã>mÑ­Ü'Ñ£Ô`æçÏWáWî ïÑ

It(1−P (t, Ut, v, y))å9ØÑ­áÓAYá@ÏÔ2×Ü

tõÏÔÒ×)Ø×ÕÓÔÜ'×áÓ"×ÚÔ¤ÛÔÕÓ"×¹ÖWÑ£Ò"Ô ß Ó"ÑWÚ

ØÑ­ÕÕ×ÒÛÑ­áWÖW×áÓ"פÔÑð ß Ó · ÜÑ£Ó"×ÕÜ'ÑWÚ@å à ×ÕÑõÏÔÒפØ×ÕÓ?ÔlÜ'×áÓ"×ãM` Ó"×Ñ­Õ×Ü'ÔÔCÒ×Ð­Ï · ÕÚ%Ñ­Þ%Ó · ÖWÑ×Üü-Ñ­ÕÞ×ÕÐø 5"T[T[Tù?Ú@æçÑ­ÕáW×Ø×CÏWÜ Ô×õÏÔî ïÑ'Ö · æç×Õ×áWØ · Ô ß ÛÔÕ"ÔÔÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×2×Ü1ø 4 5ù?ãMr  3Ä\PºÙ/Pº» u "­²|²wy³´wvz|z9òZ¬«o× |vwv||8"~W|­¥ zw "xjwv|³

∂

∂tP (t, u, v, y) +

∂

∂xP (t, u, v, y)µ(t, u) +

1

2

∂2

∂x2P (t, u, v, y)σ2(t, u) = 0,

ø 4 Bù

Ôwy¡|Ý4lxzwçaç

P (v, u, v, y) =

1

u ≤ y,

0

u > y,

P (t, y, v, y) = 1, 0 ≤ t < v,

P (t,∞, v, y) = 0, 0 ≤ t < v.

Ó "l¦l|®Î+Ü¿ÛWÕ · Ü'× · ÕÑ ß ÏWÐÔÕÚÔÒÒ"ÏWÜ · Ü'Ñ­Ò)õÏW× ∫ ∂

∂xP (t, Ut, v, y)σ(t, Ut)dt

å,7á · ÓÔõã Øãã9Î+Üø 4[4 ù?ÚWÓ"ÕÑlþØ ÔÜ'Ñ­ÒÑÓ"×ÕÜ'Ñ ØÑ­ÜËÑævÔlÓ"Ñ­Õ

dWtÛÔÕ"ÔÑ ß ÔÖWÑ×ÒõÏW×ÕÖWÑUÖÔ×õÏÔî ïÑWã>mÑ­Ü'Ñ

W×MÒ"ïÑ

Ü ÔÕÓ · áWÐÔ · ÒÚ@ÑõÏW×2×ÒÓëÖWÑ ß ÔÖWÑÖ · Õ× · Ó"ÑCÖÔ×õÏÔîïÑÓÔÜ4ÞåÜÖW×ì×2Ò×Õ£øçÑ · áWØÕ×Ü'×áÓ"ÑÖW×ùRÏWÜ

:[E

Ü ÔÕÓ · áWÐÔ ß ã+p3×Ü'Ñ­ÒõÏW××ÒÓ"×Ü ÔÕÓ · áWÐÔ ß åÔÞWÒÑ ß Ï%ÓÔÜ'×áÓ"×'ØÑáÓAYáÏWÑ× ÛÑ­ÕÓÔáÓ"ÑÖW× ìlÔÕ · Ôî ïÑß· Ü · ÓÔÖÔ%ã.ý]ѭЭÑWÚWÛ× ß ÑQp3×Ñ­Õ×Ü Ô 4 ã=:@ã65 4 × ß ×¤ÖW×ì­×CÒ×Õ)ØÑ­áWÒÓÔáÓ"×ÚÑ­ÏÒ×OâÔ%Ú

∂

∂tP (t, u, v, y)dt+

∂

∂xP (t, u, v, y)µ(t, u)dt+

1

2

∂2

∂x2P (t, u, v, y)σ2(t, u)dt = K,

Ñ­áWÖW×ØÅå£ØÑ­áWÒÓÔáÓ"×ãu`ÅÕ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑÒ×ЭÏW× · Ü'×Ö · ÔlÓÔÜ×áÓ×lã

· Ü'ÛÑ­ÕÓÔáÓ"×CÑ­ÞWÒ×ÕìlÔÕ¤õÏW×4Ô ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×CÖW×ÕÏZYáÔ ×Ü;Ó"×Ü'ÛÑ&7á · Ó"Ñ ø 5"Tù)åÏWÜ½Ø ÔÒÑ×ÒÛ×Ø · Ô ß ÖÔÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×2×Ü1ø 4 5ù?ÚWÑ­ÏÒ×OâÔ%Ú

ψ(t, u, v) = P (t, u, v, 0).

\PºÙ/PºÙ J-ļ¿.Ú3À¿rÀ¿Á"3ôõü-ÑØ ÔÒÑÝWÑ­Ü'Ñ­Ð[báW×ÑáWÑ8Ó"×Ü'ÛÑWÚõÏÔáWÖWÑÑ­Ò£ØÑ×7Ø · ×áÓ×Ò

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tÚ

Ô8æçÏWáWî ïÑKø 4 5ù¤ÖW×Û×áWÖW×ÖW×t×vÒÑ­Ü'×áÓ"×ÔlÓ"Õ"Ô ìåÒÖW×

v − tãÙ`×ÒÓÔæçÑ­ÕÜ Ô%ÚÓ"Ñ­ÕáÔþZÒ×'ð%Ó ·ß Ô

· áÓ"ÕÑ@ÖWÏWî ïÑ£ÖÔ¤æçÏWáWî ïlÑÖW×9Ó"ÕgbÒRÛÔÕAÜ'×Ó"ÕÑ­ÒP (u, v, y) = P (0, u, v, y)

Ú×-ØÑ­ÕÕ×ÒÛÑ­áWÖW×áÓ"×Ü'×áÓ"×ØÑ ß ÑØ ÔÜ'Ñ­Ò

ψ(u, v) = P

[

infs∈[0,v]

Us ≤ 0|U0 = u

]

.ø 4 D­ù

í Ò×Ð­Ï · Õ-ÔÛWÕ×Ò×áÓÔÜ'Ñ­Ò)ÖWÑ · Ò9ØÑ­ÕÑ ß ëÕ · Ñ­Ò¹ÖWÑÓ"×Ñ­Õ×Ü Ô4ÔáÓ"×Õ · Ñ­Õã

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zw "xjwv|³

− ∂

∂vψ(u, v) +

∂

∂uψ(u, v)µ(u) +

1

2

∂2

∂u2ψ(u, v)σ2(u) = 0,

ø 4 ñùÔwy¡|Ý4lxzwç

ψ(u, 0) =

1

u ≤ 0,

0

u > 0,

ø 4 E­ù

ψ(0, v) = 1, v > 0,ø 4 cù

ψ(∞, v) = 0, v > 0.ø 4 Tù

ê@ףѭÞWÒ×ÕìlÔÕÜ'Ñ­Ò)õÏW×ψ(u, v) = P (T − v, u, T, 0)

ÚÔ4ÛWÕ"ÑìlÔÖW×ÒÓ"×CØÑ­ÕÑ ß ëÕ · Ñ4å · Ü'×Ö · ÔlÓÔ%ãÙ`×ì­×Ü'Ñ­Ò`Ñ­ÞWÒ×ÕìÔÕ-õÏW××ÒÓÔÒ`Ò"ïÑ ØÑ­áWÖ · î8×Ò · á · Ø · Ô · Ò)×CÖW×£æçÕÑ­áÓ"× · Õ"Ô%ãmíÅ×õÏÔî ïÑø 4 E­ù¹áWÑ­Ò

Ö ·à õÏW×Ú9ÛÔÕ"Ôv = 0

Ú9ÔUÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×ÖW×ÕÏZYáÔå · ЭÏÔ ß Ô à ×ÕÑcØÑ­ÜoÏWÜ ÔUÕ×Ò×ÕìlÔ · á · Ø · Ô ßÛÑ­Ò · Ó · ìÔ£× · ЭÏÔ ß Ô5`ØÑ­Ü ÏWÜ ÔCÕ×Ò×ÕìlÔ · á · Ø · Ô ß áïÑÛÑ­Ò · Ó · ìÔ%ã:í ×õÏÔî ïÑ8ø 4 cù+áWÑ­ÒmÖ ·à õÏW×`ØÑ­ÜÏWÜ Ø ÔÛ · ÓÔ ßB· á · Ø · Ô ß+· ЭÏÔ ß Ô à ×ÕÑWÚ+ÔÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×ÖW× ÕÏZYáÔ8å · ЭÏÔ ß Ô5 ÛÔÕ"Ô8Ó"Ñ@ÖWÑ · áWÒÓÔáÓ"×

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ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×2ÖW×£ÕÏZYáÔ4å à ×ÕÑ'ÛÔÕ"ÔÓÑÖWÑ · áWÒÓÔáÓ"פÖWפÓ"×Ü'ÛÑvã

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Ø ÔÒÑÝWÑ­Ü'Ñ­Ð[báW×ÑáWÑÓ"×Ü'ÛÑ× ß Ôå£ÏWÜ ÔæçÏWáWî ïÑÖW×CÔÛ×áÔÒ)ÏWÜ ÔìÔÕ · ë ì­× ß æ

ψ(u) = P

[

infs≥0

Us ≤ 0|U0 = u

]

.øÅB f ù

Ù`×áWÑÓÔÜ'Ñ­Ò9ÛÑ­Õψ′×ψ′′Ô4ÛWÕ · Ü'× · Õ"Ô×£Ò×ЭÏWáWÖÔÖW×Õ · ìÔÖÔÒ)ÖW×

ψÕ×ÒÛ×ØÓ · ìlÔÜ'×áÓ"×ã

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ψ′(u)µ(u) +1

2ψ′′(u)σ2(u) = 0

øÅBZ5ùÔwy¡|Ý4lxzwçaç

ψ(0) = 1,øÅBr:­ù

ψ(∞) = 0.øÅB 4 ù

í ÛWÕÑìlÔÖW×ÒÓ"×CØÑ­ÕÑ ß ëÕ · Ñå · Ü'×Ö · ÔlÓÔÔÛÔÕÓ · Õ¹ÖWÑØÑ­ÕÑ ß ëÕ · ÑQ:@ãÎ+ÒÓÔÕ×Ü'Ñ­Ò · áÓ"×Õ×ÒÒ"ÔÖWÑ­ÒmáÔÒÑ ß ÏWî ïÑÖW×4øÅBZ5ù?Ú@Ôa7ÜÖW×`ØÑ­Ü'ÛÔÕ"ÔÕBÑ­ÒRìlÔ ß Ñ­Õ×ÒmÖW×ÒÓÔÒÑ ß ÏWî ïÑWÚ

ÛÔÕ"Ô'Ô ß Ð­ÏWáWÒ-Ø ÔÒÑ­Ò`×ÒÛ×Ø · Ô · ÒÚØÑ­Ü¿Ñ­Ò`Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ­Ò-Ñ­Þ%Ó · ÖWÑ­Ò-ÛÔÕ"Ô ÔÛWÕ"ÑÞÔÞ ·ß· ÖÔÖWפÖW×ÕÏZYáÔ'×ÜÓ"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"Ñ4Ï%Ó ·ß·à ÔáWÖWÑÏWÜ ÔÓ"åØá · Ø ÔÖW×£ÜÏWÖÔáWî Ô4ÖW×£Ü'×Ö · ÖÔ%ãí;æçÏWáWî ïÑ

ψÖW×7á · ÖÔUÛÑ­ÕøÅBZ5ùåÕ×ØÑ­áWÝW×Ø · ÖÔUØÑ­Ü'ÑcÔæçÏWáWî ïÑc×ÒØ Ô ß ÔÖÔUÖ · æçÏWÒ"ïÑWÚRì×OâÔ

Ø£ÔÕ"ÔlÓ à ÔÒu¨Ãê@ÝWÕ×ì­×4ø 5"T[Tx5ù?ãBê@×`Ô · áÓ"×ЭÕ"Ô ß ÖÔ£æçÏWáWî ïѵ(u) σ2(u)

×ÒÓëCÞ×ÜÖW×7á · ÖÔ ∀ u > 0Ú

×áÓïÑ

ψ′(u) = η(u),øÅB[Bù

Ñ­áWÖW×

η(u) = c exp

(

−2

∫ u

0

µ(ξ)

σ2(ξ)dξ

) øÅBrD­ùØÑ­ÜØ£ØÑ­áWÒÓÔáÓ"×ãRÎ+Üq)ÏWÑ­ÝWÑ­áW×á ø 5"T[c f ù?Ú%Ñ'ÔÏ%Ó"Ñ­Õ9Ü'Ñ­ÒÓ"Õ"ÔõÏW×£Ò"×

η×Ü1øÅBrD­ùmå · áÓ"×ЭÕ"ë ì­× ß ×Ü

(0,∞)Ú×áÓïÑ Ô4ÒÑ ß ÏWî ïÑÖW× øÅB[BùmÒÏlâ× · ÓÔóøÅBr:­ùm× øÅB 4 ùmå£ÖÔÖÔ4ÛÑ­Õ

ψ(u) =

∫∞uη(ς)dς

∫∞0η(ς)dς

.øÅBñù

:dT

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HÑÞ%Ó · ÖÔÛ× ß ÔáWÑ­ÕOþ

Ü Ô ß·à Ôî ïÑÖW×ηÔ4ÏWÜ Ô4ÖW×áWÒ · ÖÔÖW×£ÖW×£ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×Ú%Ñ­Þ%Ó"×Ü'Ñ­Ò

ψ(u) =1−H(u)

1−H(0)= P [Z > u|Z > 0].

øÅBrE­ù>mÑ­Ü;×ÒÓ"×ÛWÕÑ@Ø×Ö · Ü'×áÓ"ÑWÚÛÑ@ÖW×?þZÒ×Ñ­Þ%Ó"×Õ2Ô'ÒÑ ß ÏWî ïÑ Ö · Õ×ÓÔÜ'×áÓ"×ÔlÓ"Õ"Ô ì­åÒ`ÖWÑÕ×ØÑ­áWÝW×Ø · Ü'×áÓ"ÑÖW×

ηØÑ­Ü'ÑÛÔÕÓ"פ×ÒÒ×áWØ · Ô ß ÖW×£ÏWÜ Ô4ÖW×áWÒ · ÖÔÖW×£ÖW×£ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×ã

²± ý SUPBq@EBq G]qG]ijLOPBLOqü-×ÒÓÔ`Ò×î ïÑ2×ÒÓ"ÏWÖÔÜ'Ñ­Ò3Ñ`Ø ÔÒÑ`×ÒÛ×Ø · Ô ß ÖW×2ø¥:dTù]×2ø 4[f ù?ÚlÑ­áWÖW×

β, σb, δ e σdÒ"ïÑ`ØÑ­áWÒÓÔáÓ"×Òã

Ù`×ì · ÖWÑÔ ø¥:dTù)×ø 4[f ù?ÚUåÝWÑ­Ü'Ñ­Ð[báW×ÑáWÑ Ó"×Ü'ÛÑ ×8øÅBZ5ù)Ò×4ÔÛ ß· Ø Ô%ã-ü-×ÒÓ"×4Ø ÔÒÑÒ"ïÑÑ­Þ%Ó · ÖÔÒ

æçé­ÕÜÏ ß ÔÒ¹×on%Û ß YØ · ÓÔÒ¹ÛÔÕ"ÔÔ4ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×2ÖW×£ÕÏZYáÔ×ÜÓ"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"ÑWã

\PºÜF¿º» %+O3ÀO÷w¾ÅÄä¿ Â ü-ÑØ ÔÒÑ ×ÜËõÏW×Ñ­Ò-âÏWÕÑ­ÒáïÑ×on · ÒÓ"×ÜÚ.ØÑ­áWÒ · ÖW×Õ"ÔÜ'Ñ­Ò

β > 0øçØÑ­áWÖ · î ïÑÖW×ÒÑ ß ì[báWØ · Ôù?Ú

σb > 0×δ = σd = 0

ãRê@×áWÖWÑ ÔÒÒ · ÜÚ

ψ(u) = P

[

infs≥0

(U0 −∫ s

0

dBτ ) ≤ 0|U0 = u

]

= P

[

infs≥0

(u−Bs) ≤ 0

]

= P

[

infs≥0

(Bs) ≥ u

]

Î+ÒÓ"× åÅÏWÜ ÛWÕÑ­Þ ß ×Ü ÔØ ß ëÒÒ · ØÑ × ÒÏÔ ÒÑ ß ÏWî ïÑåÅÞ×Ü ØÑ­áWÝW×Ø · ÖÔ%Úcì­×OâÔ%Ú ÛÑ­Õ ×on%×Ü'Û ß Ñý]×ÕØÝW×ø 5"T[c­ñ­ùÚ%ÑõÏÔ ß Ü'Ñ­ÒÓ"Õ"Ô4õÏW×

ψ(u) = exp

(

−2β

σ2b

u

)

.øÅBwcù

Î+ÒÓ"×4Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑÒ×ЭÏW×ævÔØ ·ß Ü×áÓ"×CÛ× ß ÑÜ'åÓ"Ñ@ÖWÑÖÔ æçÏWáWî ïÑ×ÒØ Ô ß Ô%ã¤í`Ò2ØÑ­áWÖ · î8@×ÒøÅBr:­ù-×8øÅB 4 ùÛÑ@ÖW×ÜÅÒ×Õ3ì­×Õ · 7Ø ÔÖÔÒÚ­ÛÑ · Ò −βt−σbdWb,t, t ≥ 0 åmÏWÜÃÜ'Ñì · Ü×áÓ"Ñ`ômÕÑ"<)á · ÔáWÑ`ØÑ­Ü'×î ÔáWÖWÑ×Ü à ×ÕÑWÚØÑ­ÜØÑ@×7Ø · ×áÓ"×£ÖWפÓ"×áWÖZbáWØ · ÔáW×ЭÔlÓ · ìÑ4×£ÛÑ­ÕÓÔáÓ"ÑÓ"×Ü!ÏWÜÜ ë;n · Ü'Ñ-7á · Ó"ÑWãRê@×áWÖWÑÔÒÒ · ÜÚ%×on · ÒÓ"×£ÏWÜ

uÒÏx7Ø · ×áÓ"×Ü'×áÓ"×CЭÕ"ÔáWÖW×Ú%ÓÔ ß õÏW× øÅB 4 ùmå£Ò"ÔlÓ · Òæç× · ÓÔ%ã

ú:ÔÕ"Ô×ÒÓ"×£Ø ÔÒѵ(ξ) = β

×σ2(ξ) = σ2

b

ãBú3Ñ­ÕÓÔáÓ"ÑWÚWÛÑ­ÕCøÅBrD­ù?Ú

η(u) = c exp

(

−2

∫ u

0

β

σ2b

dξ

)

= c exp

(

−2β

σ2b

u

)

,øÅBwTù

õÏW×U×ÒÒ×áWØ · Ô ß Ü'×áÓ"×åUÔKÖW×áWÒ · ÖÔÖW×UÖÔKÖ · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑKÎn%ÛÑ­áW×áWØ · Ô ß ØÑ­Ü#ÛÔÕAÜ'×Ó"ÕÑ2β/σ2

b

ã>mÑ­áWÒ×õÏW×áÓ"× Ü'×áÓ"×ÚÛÑ­ÕøÅBrE­ùRÓ"×ÜÑ­Ò)õÏW×

ψ(u) =1−H(u)

1−H(0)=

1− (1− exp(−2β/σ2b ))

1− (1− exp(0))= exp

(

−2β

σ2b

u

)

.ø¥D f ù

4[f

Î+Ü!è¤Õ"ÔáWÖW× ßß ø 5"T[Tx5ù?Ú%Ñ4ÔÏ%Ó"Ñ­Õ9ÔÛWÕ×Ò×áÓÔÔ ß Ð­ÏWÜ ÔÒmØÑÜ'ÛÔÕ"Ôî8@×Ò¹ÖWÑ­Ò9Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWѭҹѭÞ%Ó · ÖWÑ­ÒmÛ× ß ÔÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑCÛÑ­ÕmÖ · æçÏWÒ"ïÑÛÔÕ"Ô

ψ(u)ØÑ­ÜÕ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ­Òm×nWÔlÓ"Ñ­Ò¹ÛÔÕ"ÔÔ ß Ð­ÏWÜ ÔÒBÖ · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î8@×ÒBÖÔÒ

· áWÖW×á ·à Ôî8×Òã

\PºÜF¿ºÙ !P  QäOwÁ"  ¾¥ÀÅÁ;¾Å÷[Î+ÒÓÔ4å£Ô4Ò · Ó"ÏÔî ïÑ4áÔõÏÔ ß Ó"×Õ×Ü'Ñ­Ò9Ü Ô · Ò · áÓ"×Õ×ÒÒ×£áW×ÒÓÔ4Ö · ÒÒ×ÕÓÔî ïÑWÚ%ÓÔáÓ"Ñ4áÔ4Ñ­Þ%Ó"×áWî ïÑ

ÖÔ4ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×`ÖW×£ÕÏZYáÔ×ÜÓ"×Ü'ÛÑS7á · Ó"Ñ4õÏÔáÓ"Ñ · áx7á · Ó"ÑWã.ú.ÔÕ"Ô4×ÒÓ"ÏWÖÔÕ9×ÒÓ"×£Ø ÔÒÑWÚÞÔÒÓÔØÑ­áWÒ · ÖW×Õ"ÔÕ

σd = 0ãBÎ+áÓïÑ

µ(ξ) = ξδ + β×σ2(u) = σ2

b

ãRú3Ñ­ÕÓÔáÓÑ%ÚÛÑ­ÕøÅBrD­ù

η(u) = c exp

(

−2

∫ u

0

ξδ + β

σ2b

dξ

)

= c exp

(−(δu2 + 2βu)

σ2b

)

c exp

(

− δ

σ2b

[

(

u+β

δ

)2

− β2

δ2

])

= k exp

(

− δ

σ2b

(

u+β

δ

)2)

,ø¥D35ù

Ñ­áWÖWת åØÑ­áWÒÓÔáÓ"×ã¤)×ØÑ­áWÝW×Ø×Ü'Ñ­Òη(u)ØÑ­Ü'ÑUÔUÛÔÕÓ"×8×ÒÒ×áWØ · Ô ß ÖÔUÖW×áWÒ · ÖÔÖW×ÖW×ÏWÜ Ô

Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ4ü-Ñ­ÕÜ Ô ß(−β/δ, σ2

b/2δ)ãmê@×ЭÏW×£õÏW×

H×Ü1øÅBrE­ùmå¤ÖÔÖÔÛÑ­Õ

H(u) = Φ

(

u+ β/δ

σb/√

2δ

)

,ø¥D[:­ù

Ñ­áWÖW×ΦåmÔ)Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ-ÔØÏWÜÏ ß ÔÖÔ9ÖÔ-ü-Ñ­ÕÜ Ô ß

(0, 1)ãÎ+ÒÓ"×mÕ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ)ÓÔÜÞåÜ æçÑ · ×áWØÑ­áÓ"Õ"ÔÖWÑ

×Üq`ÔÕÕ · ÒÑ­áUø´5CTwE[E­ù?ãûZáWÒ×Õ · áWÖWÑø¥D35ùm×Ü1øÅBñùmÑ­Þ%Ó"×Ü'Ñ­Ò9ÑÒ×Ð­Ï · áÓ"×dæ

ψ(u) =

∫∞u

exp

(

−(√

δσb

(

ς + βδ

)

)2)

dς

∫∞0

exp

(

−(√

δσb

(

ς + βδ

)

)2)

dς

.

÷Ô à ×áWÖWÑx =

√δ

σbς + β

σb

√δ, a = β

σb

√δe b =

√δ

σbu,Ó"×Ü'Ñ­Ò9õÏW×

ψ(u) =

∫∞a+b

exp (−x2)) dx∫∞a

exp (−x2) dx

=

∫∞a

exp (−(x+ b)2)) dx∫∞a

exp (−x2) dx

= exp(−b2)∫∞a

exp (−x2 − 2xb)) dx∫∞a

exp (−x2) dx

≤ exp(−b2 − 2ab)

= exp

(

−δu2 + 2βu

σ2b

) ø¥D 4 ùú3Ñ­Õ8ø¥D 4 ù£ÛÑÖW×Ü'Ñ­Òì­×Õ4õÏW×8ÔÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×'ÖW×ÕÏZYáÔáW×ÒÓ"×Ø ÔÒÑÓ"×ÜÏWÜ ß· Ü · Ó"× ÒÏWÛ×Õ · Ñ­ÕÒÏWÛ×Õ×on%ÛÑ­áW× áWØ · Ô ß ãUÙ`×ævÔÓÑ%Ú+× ß ÔåÔÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW× ÖW×ÕÏZYáÔ ø¥D f ùCÜÏ ß Ó · Û ß· Ø ÔÖÔÛ× ß ÑævÔlÓ"Ñ­Õ

4 5

exp(−δu2/σ2b )Ú-ÑKõÏÔ ß ÖW×Ó"×ÕÜ · áÔcÑKØÑ­Ü'ÛÑ­ÕÓÔÜ'×áÓÑ ÖW×sø¥D 4 ù'ÛÔÕ"Ô

uЭÕ"ÔáWÖW×ãVú3Ñ­ÕÓÔáÓ"ÑWÚ

ØÑ­áWØ ß ÏZYÜ'ÑÒ]õÏW×RÒ×R×on · ÒÓ"×BÏWÜ Ô9ÓÔ;nWÔ)ÖW×IâÏWÕÑ­ÒÛÑ­Ò · Ó · ìlÔ9×RÖW×Ó"×ÕÜ · áZYÒÓ · Ø Ô%Ú×áÓïÑ`Ô9ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×ÖW×£ÕÏZYáÔÖ · Ü · áÏ · ÖW×£Ü ÔáW× · Õ"ÔØÑ­áWÒ · ÖW×Õ"ë ì× ß ×Ü!Õ× ß Ôî ïÑ'ÔÑØ ÔÒÑ'Ò×ÜÅâÏWÕÑ­Òã

\PºÜF¿ºÙ/ !P  S3Á"#÷ ù Á;¾»÷[ü-×ÒÓÔdÒ×î ïÑÔÒÒÏWÜ · Ü'Ñ­Ò8õÏW× Ñ­ÒØÑ@×7Ø · ×áÓ"×Ò

β, σb, δ e σdÒ"ïÑ6×ÒÓ"Õ · ÓÔÜ'×áÓ"×UÛÑ­Ò · Ó · ì­Ñ­Òã

ü-×ÒÓ"×Ø ÔÒÑWÚ+×ÒÓ?ÔlÜ'Ñ­Ò4ÔÖ · Ø · Ñ­áÔáWÖWÑÏWÜ ÔØÑ­Ü'ÛÑ­áW×áÓ"××ÒÓ"ÑØ ëÒÓ · Ø ÔÛÔÕ"ÔÑ ?wz¡¶@" ×ÛÔÕ"Ô4Ñ ?w²Ñ+x|xjwy" ã+ú:Ñ­ÕCøÅBrD­ùRÓ"×Ü'Ñ­Ò9õÏW×

η(u) = c exp

(

−2

∫ u

0

ξ(δ + σ2d/2) + β

ξ2σ2d + σ2

b

dξ

)

= c exp

(

−2

(

(δ + σ2d/2)

2σ2d

∫ u2σ2d+σ2

b

σ2b

1

xdx+

β

σd

∫ uσd

0

1

w2 + σ2b

dw

))

= c

(

σ2d

σ2b

u2 + 1

)−(δ/σ2d+1/2)

exp

(

− 2β

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(

σdσbu

))

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∫ ∞

u

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ψ(u) ∼ ku−2δ/σ2d .

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ψ(u) ≤ e−uγ∗,ø¥D[E­ù

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limu→∞

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ø¥DdcùÑ­Ï8Ò×OâÔ%Ú

ψ(u) ∼ Ce−uγ∗,ø¥DdTù

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λ,

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Ñ­áWÖW×

h(r) =

∫ ∞

0

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4[4

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ö ∂ψ∂t

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wn+1m − wnm

k+ α

wnm+1 − wnmh

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4 B

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′

m′ com n′ ≤ n,øvñdBù

Ø ÔÒÑØÑ­áÓ"Õ"ëÕ · ÑÑ×ÒõÏW×Ü'Ô å ØÝÔÜ ÔÖWÑÖW××ÒõÏW×Ü Ô · Ü'Û ß YØ · Ó"ÑWãÎ+ÒÓ×Ò4×ÒõÏW×Ü ÔÒ4Ò"ïÑØÑ­áWÖ · þØ · Ñ­áÔ ß Ü×áÓ"×`×ÒÓ?ë ì­× · Ò9Ñ­ÏØÑ­áWÖ · Ø · Ñ­áÔ ß Ü×áÓ"×`ØÑ­áì­×ÕЭ×áÓ"×Ò`êÓ"Õ · ªw<m×ÕÖÔø¥: f[f BWÚ3p3×Ñ­Õ×Ü ÔÒ5­ã=D@ã65×Cñ%ã 4 ã65ù?ãBûZÒÓ"Ñ Ò · Ð­á · 7Ø ÔõÏW×ÚáÔáWÑ­ÒÒ"ÔÛWÕÑ@ØÏWÕ"ÔÛÑ­Õ)×ÒõÏW×Ü ÔÒ · áWØÑ­áWÖ · Ø · Ñ­áÔ ß Ü×áÓ"×2×ÒÓëì­× · Ò-×ØÑ­áì­×ÕЭ×áÓ"×Ò Ú@ÖW×ì­×Ü'Ñ­ÒBáWÑ­ÒBÕ×ÒÓ"Õ · áWÐ · Õ+Ô¤×ÒõÏW×Ü ÔÒ · Ü'Û ß YØ · Ó"ÑÒãõ>mÑ­áWÒ · ÖW×Õ×-Ô¤Ò×Ð­Ï · áÓ"×)×õÏÔî ïÑÖ · æç×Õ×áWØ · Ô ß ÛÔÕØ · Ô ß æ

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wn+1m − wnm

k+ α

wn+1m+1 − wn+1

m

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wn+1m+1 − 2wn+1

m + wn+1m−1

h2

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Î+ÒÓ"××ÒõÏW×Ü ÔåØÑ­áWÒ · ÒÓ"×áÓ"×× · áWØÑ­áWÖ · Ø · Ñ­áÔ ß Ü×áÓ"×C×ÒÓëì­× ß ×ÛÑ­ÕÓÔáÓ"Ñ åØÑ­áì­×ÕЭ×áÓ"×ã£ú:ÔÕ"ÔÏWÜ ÔÛWÕÑìlÔ4æçÑ­ÕÜ Ô ß ì­×OâÔ êÓ"Õ · ªw<m×ÕÖÔø¥: f[f Bù?ã

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ψv − µ(u)ψu −1

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4 D

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1Ò"×

m = 0,

0Ò"×

m > 0,

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wnM = 0, n > 0,ø¥E f ù

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ØÑ­Ü'Ñ

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k− µ(m)

wn+1m+1 − wn+1

m

h− 1

2σ2(m)

wn+1m+1 − 2wn+1

m + wn+1m−1

h2= 0,

Ñ­Ï8Ò×OâÔ%Ú

wn+1m−1

(

−σ2(m)

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)

+ wn+1m

(

1

k+µ(m)

h+σ2(m)

h2

)

+

wn+1m+1

(

−µ(m)

h− σ2(m)

2h2

)

= wnm ·1

k.

ø¥E35ù6ð%Ó ·ß ÖW×7á · Õ)Ñ­Ò9Ò×Ð­Ï · áÓ"×Ò)ØÑ@×7Ø · ×áÓ"×Ò-áWÑ · áWÒÓÔáÓ"פÖWפÓ"×Ü'ÛÑ

n+ 1ã

¼ºa(m) = −σ2(m)

2h2

Pºb(m) = 1

k+ µ(m)

h+ σ2(m)

h2

/Pºc(m)− µ(m)

h− σ2(m)

2h2

F¿ºd(m) = wnm · 1

k

ú:ÔÕ"Ô×áWØÑ­áÓ"Õ"ÔÕÔÒÑ ß ÏWî ïÑwn+1m

áWÑ · áWÒÓÔáÓ"×ÖW×Ó"×Ü'ÛÑn + 1

ÛWÕ×Ø · Ò"ÔÜ'Ñ­ÒÕ×ÒÑ ß ì­×Õ4ÏWÜÒ · ÒÓ"×Ü ÔÓ"Õ · Ö · ÔlЭѭáÔ ß ÖW×£×õÏÔî8×Ò-ÖÔ4æçÑ­ÕÜ Ô

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4 ñ

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Bu = dÚØÑ­Ü

B =

α1 β1

γ1 α2 β2ã ã ã ã ã ã ã ã ã

γN−2 αN−1 βN−1

γN−1 αN

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`ÅÔ ß Ð­Ñ­Õ · Ó"Ü'ÑÖW×,p9ÝWÑ­Ü ÔÒ9ØÑ­áWÒ · ÒÓ"×£ÖWÑ­Ò9Ó"ÕgbÒ)ÛÔÒÒ"ÑÒ-Ò×Ð­Ï · áÓ"×Ò漺 Ù`×ØÑ­ÜÛÑ­Ò · î ïÑ

LRæ.Ù`×ØÑ­Ü'ÛÑ­Ü'Ñ­Ò

BØÑ­Ü'ѤѣÛWÕÑ@ÖWÏ%Ó"Ñ£ÖW×)ÏWÜ Ô¤Ü ÔlÓ"Õ ·à Þ · Ö · ÔЭÑáÔ ß%· á%æç×Õ · Ñ­Õ

L =

1

l1 1ã ã ã ã ã ã

lN−1 1

,

×£ÏWÜ Ô4Ü ÔlÓ"Õ ·à Þ · Ö · ÔЭѭáÔ ß ÒÏWÛ×Õ · Ñ­Õ

R =

m1 r1ã ã ã ã ã ã

mN−1 rN−1

mN

,

>mÑ­Ü'ÛÔÕ"ÔáWÖWÑÑ­ÒØÑ@×7Ø · ×áÓ"×ÒÓ"×Ü'Ñ­Ò4õÏW×ri = βi

ÛÔÕ"ÔÓ"Ñ@ÖWÑiÚR×

mi

×liÛÑ@ÖW×Ü Ò×Õ

Ñ­Þ%Ó · ÖWÑ­Ò9ØÑ­Ü'ÑÒ×ЭÏW×dæ

m1 = α1

para i = 1, 2, · · · , N − 1 :

li = γi/mi

mi+1 = α− i+ 1− liβi

)×ÒÑ ß ì×ÕLRu = d

ÛÔÕ"Ô4ÏÕ×õÏW×Õ-ÖWÑ · Ò9ÛÔÒÒÑ­ÒæPº ê@ÏWÞWÒÓ · Ó"Ï · î8×Ò)ÒÏWØ×ÒÒ · ìÔÒæu)×ÒÑ ß ì­×Ü'Ñ­Ò

Ly = dÛÔÕ"Ô

yã

y1 = d1

para i = 2, 3, · · · , N :

yi = di − li−1yi−1

4 E

/Pº ê@ÏWÞWÒÓ · Ó"Ï · î8×Ò)Õ×Ó"ÕÑÔlÓ · ìÔÒæõ)×ÒÑ ß ì×Ü'Ñ­ÒRu = y

ÛÔÕ"Ôuã

uN = yN/mN

para i = N − 1, N − 2, · · · , 1 :

ui = (yi − βiui+1)/mi

ûZÒÓ"ÑØÑ­Ü'Û ß ×ÓÔÔ4ÖW×ÒØÕ · î ïÑ'ÖWÑ'Ô ß Ð­Ñ­Õ · ÓÜ'ÑÖW×,p9ÝWÑ­Ü ÔÒãÎ+Ü!Õ× ß Ôî ïÑÔÑÒ · ÒÓ"×Ü Ôø¥E[:ùÚ%ÛÔÕ"Ô4õÏW×£Ñ'Ô ß Ð­Ñ­Õ · Ó"ÜÑÖW×,p9ÝWÑ­Ü ÔÒ9Ò×OâÔÞ×Ü!ØÑ­áWÖ · Ø · Ñ­áÔÖWÑWÚ

ÛWÕ×Ø · Ò"ÔÜ'Ñ­Ò+õÏW×2Ô£ØÑ­áWÖ · î ïÑ |ai|+ |ci| ≤ |bi|Ò×OâÔ£Ò"ÔlÓ · Òæç× · ÓÔ%ã:ûZÒÓ"ÑCå)ì­×Õ · 7Ø ÔÖWÑ£ævÔØ ·ß Ü'×áÓ"×ÚÛÑ · Ò

|bi| − (|ai|+ |ci|) =1

k∀ i. ø¥E 4 ù

) ±¥à X9LQ h`NOP)·BE_`E QVE9_`G]NOEVijNOfBq@q@LOijEijERQ LO\mYBG]q^%LQVG]\R^%Eú.ÔÕ"Ô£ævÔ à ×ÕmÔÒRÖW×ì · ÖÔÒmØÑ­Ü'ÛÔÕ"Ôî8@×ÒRØÑ­Ü Ô£Ò"Ñ ß ÏWî ïÑáÏWÜ'åÕ · Ø ÔCÖÔC×õÏÔî ïÑ8ø 4 ñù?ÚÏ%Ó ·ß·à ÔÕ×?þ

Ü'Ñ­Ò¹ÑÜ'ÑÖW× ß Ñø 5CBùRÛÔÕ"ÔÛWÕÑ@Ø×ÖW×Õ-ó4Ò · ÜÏ ß Ôî ïÑÖÔÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×`ÖWפÕÏZYáÔ×ÜÓ"×Ü'ÛÑ7á · Ó"Ñψδ(u, T ) = P (inf0≤t≤T Vδ(t) ≤ 0)

ÚÕ×æç×Õ×áÓ"×CÔÑ4Ø ÔÒÑ×Ü!õÏW×δå£ÖW×Ó"×ÕÜ · áZYÒÓ · ØÑWã+ú:ÔÕ"Ô4×ÒÓÔÒ

Ò · ÜÏ ß Ôî8×Ò9Ï%Ó ·ß·à ÔÕ×Ü'Ñ­Ò¹ÏWÜ Ô4ÔÞÑ­ÕÖÔЭ×Ü!Ò · Ü'Û ß ×ÒÚ%ØÑ­Ü'ÑÒ×ЭÏW×dæ>mÑ­Ü'ÑCÔCÕÏZYáÔ¤ÒéÛÑ@ÖW×-ÑØÑ­ÕÕ×ÕRáWÑ­Ò · áWÒÓÔáÓ"×Ò

Tn×Ü õÏW×-Ñ@ØÑ­ÕÕ×Ü ÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8×ÒÚ@ÛÑ@ÖW×?þ

Ü'Ñ­Ò9Ö ·à ×Õ9õÏW×

ψδ(u) = P

⋃

0≤t≤T(Uδ(t) < 0)

= P

⋃

n:0≤Tn≤T(Uδ(Tn) ≤ 0)

ø¥EaBù

= P

⋃

n:0≤Tn≤T(Vδ(Tn) ≤ 0)

,ø¥E[D­ù

Ñ­áWÖW×

Vδ(Tn) = u+ p

(

1− e−δTn

δ

)

−n∑

i=1

e−δTiXi.ø¥Eñù

`=õÏW×ævÔ à ×Ü'Ñ­Ò'×áÓïÑWÚ9åÒ · ÜÏ ß ÔÕlÕ×Û ß· Ø Ôî8@×Ò · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×ÒÖW×

VδÔlÓ"åõÏW× ÔUÕÏZYáÔ

ÔØÑ­áÓ"×î Ô%ãú.ÔÕ"Ô · ÒÒÑWÚ3Ò×OâÔτÑ · áWÒÓÔáÓ"×ÖÔ8ÕÏZYáÔ%Ú3ØÑ­ÜÑÖW×7á · ÖWÑáÔÒ×î ïÑBWã65­ãú:ÔÕ"Ô8Ø ÔÖÔ

Õ×Û ß· Ø Ôî ïÑ%ÚÖW×7á · Ü'Ñ­Ò2ÔìÔÕ · ë ì× ß Ô ß ×ÔlÓ"é­Õ · ÔZ(u) = Iτ(u)≤T

ã¤Î+Ü;Ø ÔÖÔ Õ×Û ß· Ø Ôî ïÑ ÛÔÕ"ÔÜ'Ñ­ÒÑ×on%Û×Õ · Ü'×áÓ"Ñ'×Ü

TÚÔÜ'×áWÑ­Ò)õÏW×CÔÕÏZYáÔÔØÑáÓ"×î Ô'ÔáÓ"×Ò-ÖW×

TÚØ ÔÒÑ'×Ü¿õÏW×£ÛÔÕ"ÔÜ'Ñ­Ò9áWÑ

· áWÒÓÔáÓ"פÖÔÕÏZYáÔ%ã)>mÑ­áWÒ · ÖW×Õ"ÔÜ'Ñ­Ò)×áÓïÑWÚWØÑ­Ü'ÑÏWÜ!×ÒÓ · Ü ÔÖWÑ­Õ¹ÛÔÕ"Ôψ(u, T )

ÚÔÕ"Ô à ïÑ

ψ =Z1(u) + Z2(u) + ...+ Zl(u)

l= Z(u).

4 c

>mÑ­Ü'Ñl∑

k=1

Zk(u)

Ó"×Ü!Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ4ô · áWÑ­Ü · Ô ß(l, ψ(u, T ))

Ú%×áÓïÑ

E

(

1

l

l∑

k=1

Zk(u)

)

= ψ(u, T )ø¥E[E­ù

×

V ar

(

1

l

l∑

k=1

Zk(u)

)

= ψ(u, T )(1− ψ(u, T ))/l.ø¥Edcù

í ß åÜ ÖW×'ÏWÜ Ô×ÒÓ · Ü ÔlÓ · ìÔÛÑ­áÓ"ÏÔ ß ÚÓÔÜÞåÜ ×ÒÓÔÜ'Ñ­Ò · áÓ"×Õ×ÒÒÔlÖWÑ­Ò×Ü ÏWÜ · áÓ"×ÕìÔ ß Ñ8ÖW×ØÑ­áx7ÔáWî ÔUÛÔÕ"Ô

ψ(u, T )ãÙ2ÔÖWÑcÏWÜoØÑ@×o7Ø · ×áÓ"×ÖW×ØÑ­áx7ÔáWî Ô

αÚmÑ · áÓ"×ÕìÔ ß ÑÖW×ØÑ­áx7ÔáWî Ô

ÔÒÒ · áÓ"éÓ · ØÑWÚ%Ñ­Þ%Ó · ÖWÑ'ÔlÓ"Õ"Ô ì­åÒ-ÖWÑQp3×Ñ­Õ×Ü Ô>m×áÓ"Õ"Ô ß ÖWÑ'ý · Ü · Ó"×Ú%å£ÖÔÖWÑ'ÛÑ­Õ[

Z(u)− D√lzα, Z(u) +

D√lzα

]

,ø¥EdTù

Ñ­áWÖW×

D2 =1

l

l∑

k=1

Zk2(u)− z2(u)

ø»c f ù×zαåÖW×Ó"×ÕÜ · áÔÖWÑUÛÑ­Õ

P (|N | > zα) = 1 − αڹѭáWÖW×

NåÏWÜ ÔìlÔÕ · ëì­× ß Ô ß × ÔlÓ"é­Õ · ÔØÑ­Ü

Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ4ü-Ñ­ÕÜ Ô ß ÛÔÖWÕ"ïÑWãõp3ÔÜ4ÞåÜ!ÖW×7á · Ü'Ñ­Ò9Ñ'×Õ"ÕÑÕ× ß ÔlÓ · ì­ÑøvÎ)`ù¹õÏW×£å£ÖÔÖWÑÛÑ­Õ

ER =

Ò×Ü · þOÔÜ'Û ß· Ó"ÏWÖWפÖWÑ · áÓ"×ÕìÔ ß Ñψ

.ø»cx5ù

ú:ÔÕ"ÔÔ ß Ð­ÏWÜ ÔÒ£Ò · Ü4Ï ß Ôî8×ÒCõÏW× ìlÔÜ'Ñ­ÒÕ× Ô ß·à ÔÕÚ¿7xnWÔÜÑ­ÒER = 0, 1

× ×Ü1Ñ­Ï%Ó"Õ"ÔÒÒ · Ó"ÏÔî8×ÒáïÑáWÑ­Ò£ÛWÕ×ÑØÏWÛÔÜ'Ñ­Ò£ØÑ­Ü=ÑìÔ ß Ñ­Õ¤ÖWÑ

ER×Ò · Ü=ØÑ­Ü=Ñ8áðWÜ'×ÕÑ8ÖW×4Õ×Û ß· Ø Ôî8@×Ò¤õÏW×Ò×Õ"ïÑ

Õ× Ô ß·à ÔÖÔÒãê`2Þì · ÔÜ'×áÓ"×ÚmÛÔÕ"ÔUÔlÓ · áWÐ · Õ4ÑERÖW×Ò×OâÔÖWÑWÚ¹Ò×Õ"ëcáW×Ø×ÒÒëÕ · ÑcÏWÜoÖW×Ó"×ÕÜ · áÔÖWÑ

áðWÜ'×ÕÑlÖW×£Õ×Û ß· Ø Ôî8×ÒÚÑõÏÔ ß ÖW×Û×áWÖW×Õ"ë'ÖÔ4Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ4ÖÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8×Òã

) ±»° noh`_`PB\ ·jP _`GQVG]_`LO_`Pê%Ô ß· ×áÓÔÜÑ­Ò¹õÏW×£×ÒÓ"פÓ"é­Û · ØÑ4áïÑæçÑ · ×ÒÓ"ÏWÖÔÖWÑ'ØÑ­ÜÖW×ÓÔ ß ÝW×Ò)פÛWÕÑæçÏWáWÖ · ÖÔÖW×ÚWÛÑ · Ò¹×on · Э×

ÏWÜáZYì­× ß Ü Ô · Ñ­ÕmÖWפØÑ­áWÝW×Ø · Ü'×áÓ"ÑWãBÙ`×ÒØÕ×ì× ÜÑ­Ò`ÔõÏ · ÔÛ×áÔÒ-Ô ß Ð­ÏWáWÒ9ÔÒÛ×ØÓ"Ñ­Ò-ÖW×ÒÓÔÓ"×Ñ­Õ · Ô%ãí6Ó"åØá · Ø Ô2ÖW×¹ÜÏWÖÔáWî Ô2ÖW×¹Ü'×Ö · ÖÔ`Ò×Õ"ë2Ï%Ó ·ß·à ÔÖÔ-ÛÔÕ"Ô2ÔÒ.Ò · ÜÏ ß Ôî8×Ò:ÖÔ`ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×RÖW×

ÕÏZYáÔ¹×Ü Ó"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"Ñ9ÛÔÕ"Ô9Ñ)ÛWÕÑØ×ÒÒÑ`ÖW×BÕ · ÒØÑCø 5 4 ù?ã:ö-Ü Ô¹Ð­Õ"ÔáWÖW×+ìlÔáÓÔЭ×ÜÖW×ÒÓÔ9Ó"åØá · Ø Ô%Úå õÏW×ÒÑ­Þ ÔáWÑìlÔÜ'×Ö · ÖÔÖW× ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×Ú.ÔÕÏZYáÔÑ@ØÑ­ÕÕ× ØÑ­Ü1ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×5­ãü-×ÒÓÔÒ×î ïÑCÔlÛWÕ"×Ò"×áÓÔÜ'Ñ­ÒÚÔÛ×áÔÒ+ÛÔÕ"Ô ·ß ÏWÒÓ"Õ"Ôî ïÑWÚ­Ô ß Ð­ÏWáWÒ.ÔÒÛ×ØÓ"Ñ­ÒBÖW×ÒÓÔ`Ó"×Ñ­Õ · Ô%Ú­áWÑ­Ò.Õ×ÒÓ"Õ · áWÐ · áWÖWÑóÔÛ ß· Ø Ôî ïÑÖÔÜ'×ÒÜ ÔÔÑÛWÕÑ@Ø×Ò"ÒÑ ÖW×Õ · ÒØÑÒ×Ü · áì­×ÒÓ · Ü'×áÓ"Ñ×Ü Ó"×Ü'ÛÑÖ · ÒØÕ×Ó"ÑWãú:ÔÕ"ÔÜ Ô · ÑÕ×Ò9ÖW×ÓÔ ß ÝW×Ò)ÒÑ­ÞWÕ×CÔÓ"åØá · Ø ÔÖW×£ÜÏWÖÔáWî Ô4ÖW×£Ü'×Ö · ÖÔì­×OâÔí`ÒÜÏWÒÒ×á ø 5"T[TwD­ù?ã

4 T

i ºÙ/Pº» %ôÛ»¾»÷[ļÈ[ÉZÄO #ä¿3ÛÅļ¾»QC¾»ôÛÅ3ê@×OâÔ

(Ω,F , P )×ÒÛÔîÑ ÖW×ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×ã ê@ÏWÛÑ­Ü'Ñ­Ò'õÏW× ÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò

X1, X2, ...Ô

Ò×Õ×Ü ÛÔÐÔÒ Ò"ïÑ · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×Ò6× · ÖW×áÓ · Ø ÔÜ'×áÓ"×Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏZYÖÔÒÚÑ­áWÖW×XnÕ×ÛWÕ×Ò×áÓÔ Ô

· áWÖW×á ·à Ôî ïlÑÔЭÕ×ÐÔÖÔ8áWÑá@þZåÒ · Ü'Ñ8Û×ÕgYÑÖWÑ(n − 1, n]

ãp:ÔÜÞåÜ1ÔÒÒÏWÜ · Ü'Ñ­Ò¤õÏW×Xn

Ó"Ñ­Ü ÔìlÔ ß Ñ­Õ×Ò×Ü

N×õÏW×ÑUÛWÕgbÜ · ÑUÔÒ×ÕÕ×Ø×Þ · ÖWÑc×ÜoØ ÔÖÔÛ×ÕgYÑÖWÑUå8ØÑ­áWÒÓÔáÓ"×× · ЭÏÔ ß Ô5­ã

ê@ÏWÛÑ­Ü'Ñ­Ò9ÓÔÜ4ÞåÜ!õÏW×ÔÕ×Ò×ÕìlÔ · á · Ø · Ô ß å · ЭÏÔ ß Ôu ∈ N

ãmÙ`×ÒÓÔæçÑ­ÕÜ Ô%ÚWÑ'ÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑÖW×£Õ · ÒØÑÕ×ÒÏ ß ÓÔáÓ"×£å¤ÖÔÖWÑ'ÛÑ­Õ

Rn = u+ n−n∑

j=1

Xj.ø»cw:­ù

Ù`×7á · Ü'Ñ­Ò¹ÓÔÜÞåÜ

Sn =n∑

j=1

Xj − n =n∑

j=1

(Xj − 1) =n∑

j=1

Yj,ø»c 4 ù

Ñ­áWÖW×Y1, Y2, ...

Ò"ïÑcìlÔÕ · ëì­× · Ò Ô ß × ÔlÓ"é­Õ · ÔÒ · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×Ò× · ÖW×áÓ · Ø ÔÜ'×áÓ"×Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏZYÖÔÒ'ØÑ­ÜÖ · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ

F×E(Y ) < 0

ãõp3×Ü'Ñ­Ò)õÏW×

Rn < 0 ⇐⇒ Sn > uø»cdBù

ú3× ß Ôý]× · ÖWÑ­Ò`è¤Õ"ÔáWÖW×£ü-ðWÜ'×ÕÑ­ÒÚ

Snn→ E(Y ) < 0

õÏÔÒ×CØ×ÕÓÔÜ'×áÓ"×,

ø»cwD­ù

פÛÑ­ÕÓÔáÓÑ

limn→∞

Sn = −∞,õÏÔÒ×CØ×ÕÓÔÜ'×áÓ"×ã ø»c­ñ­ù

ê@×OâÔMY (s)

Ô4æçÏWáWî ïÑЭ×ÕÔlÖWÑ­Õ"Ô'ÖW×Ü'Ñ­Ü'×áÓ"Ñ­Ò)ÖW×YÔ ìÔ ß· ÔÖÔ4×Ü

sã)ú:ÑÖW×?þZÒ×ÛWÕÑìlÔÕ-õÏW×ÚjÒ×

∃ γ ÓÔ ß õÏW× MY (γ) = 1Ú×áÓïÑ

Zn = eγSn = eγ 1 nj=1

Yj , n ≥ 1,ø»cwE­ù

å8ÏWÜoú:þZÜ ÔÕÓ · áWÐÔ ß Ô Ó"×Ü'ÛÑUÖ · ÒØÕ×Ó"Ñ×ÜoÕ× ß Ôî ïÑóy7 ß Ó"Õ"Ôî ïÑ FYn = σ(Y1, Y2, ..., Yn)

ÚmØÑ­Ü

E(Zn) = 1ãRÙ`×ÒÓÔ4æçÑ­ÕÜ Ô%Ú%ÛÑ@ÖW×Ü'ÑÒ)ÖW×7á · Õ)ÏWÜ'Ô4ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×

PnÓÔ ß õÏW×

Pn(A) =

∫

A

Zn(ω) dPn(ω),ø¥cdcù

Ñ­áWÖW×A ∈ FY

n

×Pn = P/FY

n

ãê@×Pn Pn

Ú ∀n Ú3ÛÑÖW×?þZÒ× ÛWÕÑìlÔÕÚ:Ï%Ó ·ß·à ÔáWÖWÑ8Ñ8Ó"×Ñ­Õ×Ü Ô8ÖW×-ÔÖWÑ­á@þOü · ªÑ@Öx­@ÜÚ%õÏW×

Zn(ω) = dPdP

(ω)ã

B f

ö-Ò"ÔáWÖWÑ'Ñp3×Ñ­Õ×Ü ÔÖÔ'În@Ó"×áWÒ"ïÑ ÖW×Ø`Ñ ß Ü'ÑЭѭÕÑìÚ ∃ P ÒÑ­ÞWÕ× (Ω,F)ÓÔ ß õÏW×

P/FYn

= Pn×

P (A) =

∫

A

Zn(ω) dP (ω),ø»c[Tù

Ñ­áWÖW×A ∈ FY

n ∀ n ∈ Nãê@Ñ­Þ Ô8áWÑìlÔÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×

PÚ:ÛÑ@ÖW×?þZÒ× Ü'Ñ­ÒÓ"Õ"ÔÕ£õÏW× ÔÒCìlÔÕ · ë ì× · Ò

Ô ß × ÔlÓ"é­Õ · ÔÒ(Y1, Y2, ...)

Ò"ïÑ · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×Ò× · ÖW×áÓ · Ø ÔÜ'×áÓ"×Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏZYÖÔÒØÑ­Ü Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑF (w) = Fγ(w)

ãM>mÑ­Ü'ÑMY (γ) = 1

ÚÔ4Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ4ÖW×Yjå£ÖÔÖÔ4ÛÑ­Õ

Fγ(w) =

∫ w

−∞eγy dF (y).

ø»T f ù

ê@×OâÔEÔ4×ÒÛ×Õ"ÔáWî Ô'ØÑÜ!Õ×ÒÛ× · Ó"Ñ Ô

PãRÎ+áÓïÑ

E(Y ) =

∫ ∞

0

yeγydF (y) = M ′Y (γ).

ø»Tx5ù

ú3Ñ­ÕåÜÚM ′

Y (γ) > 0×£ÛÑ­ÕÓÔáÓ"Ñ

E(Y ) > 0ãRý]ѭЭÑWÚWÛ× ß Ôý]× · ÖWÑ­Ò`è¤Õ"ÔáWÖW×Ò-ü-ðWÜ'×ÕÑ­Ò

Snn→ E(Y ) > 0 P q.c.⇒ Sn →∞ P q.c.,

ø»Tw:­ù

×CÑÓ"×Ü'ÛÑ ÖW×CÛÔÕ"ÔÖÔτ(u) = infn : Sn > u å,7á · Ó"ÑØÑ­Ü P

þZÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß ÖÔÖW×S5­ã¹í ß åÜ!Ö · ÒÒÑWÚÓ"×Ü'Ñ­Ò9õÏW×

Zn = dPdP

= exp(−γSn)å£ÏWÜ

PþZÜ ÔÕÓ · áWÐÔ ß ØÑ­Ü!Õ× ß Ôî ïÑ'Ô FY

n

×

P (A) =

∫

A

Zn(ω) dP (ω), A ∈ F Yn .

ø»T 4 ù

ö-Ü Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ · Ü'ÛÑ­ÕÓÔláÓ"× )Ñ ß Ògª · ×Ñ­Ï%Ó"ÕÑ­Ò ø 5"T[T[c%Úp3×Ñ­Õ×Ü Ô¦T%ã=:@ã 4 ù ×ÒÓÔÞ× ß ×Ø×õÏW×Ò×A ⊂ τ(u) <∞ × A ∈ FY

τ(u)

ÚW×áÓïÑ

P (A) =

∫

A

exp(−γτ(u)∑

j=1

Yj)dP .ø»TdBù

ú3Ñ­ÕÓÔáÓ"ÑWÚÞÔÒÓÔ'ØÑ­áWÒ · ÖW×Õ"ÔÕA = τ(u) < ∞ ÛÔÕ"Ô'Ñ­Þ%Ó"×ÕÜ'Ñ­Ò`Ô'ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖWפÖW×ÕÏZYáÔ

×ÜÓ"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"Ñψ(u)ÚWÑ­ÏÒ×OâÔ%Ú

ψ(u) = E(Zτ(u)).ø»TwD­ù

`ÃõÏWפÒפævÔ à áÔÛWÕ"ëlÓ · Ø Ôå¤Õ× Ô ß·à ÔÕmÕ×Û ß· Ø Ôî8@×Ò¹ÖW×

SnÚ%Ó"Ñ­Ü ÔáWÖWÑ4ÑØÏ · ÖÔÖWÑ4ÖW×¤Ò · ÜÏ ß ÔÕ

YnØÑ­ÜVÖ · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ

FγÚÛÔÕ"ÔáWÖWÑCØ ÔÖÔ£ÏWÜ'Ô¤ÖW× ß ÔÒBáWÑ · áWÒÓÔáÓ"×

τkÚk = 1, 2, ...,m

ã+÷× · Ó"Ñ · ÒÒÑWÚØ Ô ß ØÏ ß ÔÜÑ­Ò9ÔÜ'åÖ · ÔÔÕ · Ó"Ü'åÓ · Ø Ô

ψ(u) =

m∑

k=1

e−γSτk

m.

ø»T­ñùBZ5

`2Ò£ÖW×ÓÔ ß ÝW×Ò£ÖW×ÒÓÔÓ"åØá · Ø Ô%Ú3õÏÔáWÖWÑÔÛ ß· Ø ÔÖÔÔÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ­ÒCÖW×'Õ · ÒØÑ8ØÑ­áÓAYá@ÏWÑ­Ò¤×ØÑ­Ü · á@þì­×ÒÓ · Ü'×áÓ"ÑWÚjÒ"ïÑÜ Ô · Ò-ØÑ­Ü'Û ß· Ø ÔÖWÑ­Ò-×ìlïÑ8Ô ß åÜ;ÖWÑ×ÒØÑ­ÛÑÖW×ÒÓÔÖ · ÒÒ×ÕÓÔî ïÑ%ã£Ù`×ÒÓÔæçÑ­ÕÜ Ô@ÚÏ%Ó ·ß·à ÔÕ×Ü'ÑÒ2Ô ß Ð­ÏWáWÒ2Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ­ÒÚIÑ­Ü · Ó · áWÖWÑÔÖW×Ü'Ñ­áWÒÓ"Õ"Ôî ïÑÖWÑ­Ò¤Ü'×ÒÜ'Ñ­ÒãCÎ+ܽí`ÒÜ4ÏWÒÒ×á¨ü · × ß Ò×á ø 5"T[TwD­ù?ÚÑÔÏ%Ó"Ñ­ÕRÏ%Ó ·ß·à Ô¤×ÒÓÔCÓ"åØá · Ø ÔÛÔÕ"ÔCÑ­Þ%Ó"×Õ¹ÔCÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×)ÖW×`ÕÏZYáÔC×Ü Ó"×Ü'ÛÑ· áx7á · Ó"Ñ4ÛÔÕ"Ô4ÏWÜ!ÛWÕÑØ×ÒÒÑ ÖW×£Õ · ÒØÑØÑ­Ü!ÛWÕgbÜ · Ñ4ÖW×Û×áWÖW×áWÖWÑ ÖÔÕ×Ò×ÕìlÔ ÔlÓ"ÏÔ ß ãü`Ô2ÛWÕéCn · Ü Ô`Ò×î ïÑWÚÜ'Ñ­ÒÓ"Õ"ÔÜ'Ñ­Ò:õÏW×9Ø×ÕÓ"ѤÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ£ÖW×9Õ · ÒØÑ2Ò×Ü · áì­×ÒÓ · Ü'×áÓ"Ñ2×9ØÑ­ÜÃÓÔ;nWÔ

ÖW×ÛWÕgbÜ · ÑÖW×Û×áWÖW×áWÖWÑÖÔÕ×Ò×ÕìlÔå4×õÏ · ìlÔ ß ×áÓ"×4ÔÑÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ8ÖW×Õ · ÒØÑØÑ­Ü · áì×ÒÓ · Ü'×áÓ"Ñ×ØÑ­Ü ÓÔ;nWÔÖW×ÛWÕgbÜ · ÑØÑ­áWÒÓÔáÓ"×áWÑÓ"×Ü'ÛÑWÚm××Ü Ò×Ð­Ï · ÖÔÖ · ÒØÏ%Ó · Ü'Ñ­ÒÔ ß Ð­ÏWáWÒ'ÔÒÛ×ØÓ"Ñ­Ò ÖW×í`ÒÜÏWÒÒ×á|¨ ü · × ß Ò×ácø 5"T[TwD­ù?ã

i ºÙ/PºÙ 0  #÷[3C÷[ ¾»À½3Á;¾»3ÀÁ"ä¿wÁ"  ¾»ÀÅÁ;¾Å÷[¡|ô  #÷[3C÷[ô  3¾Åä¿rôõ3ÀOä¿3ÀOä¿ä¿Ä  3C  ½ZÄ

>mÑ­áWÒ · ÖW×Õ×CÑÒ×Ð­Ï · áÓ"×£ÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ'ÖW×CÕ · ÒØÑØÑ­Ü!ÛWÕgbÜ · ÑÖW×Û×áWÖW×áWÖÑ ÖÔ4Õ×Ò×ÕìÔ'ÔlÓ"ÏÔ ß æ

Ut = u+

∫ t

0

(p+ δUs) ds−Nt∑

i=1

Xi,ø»TwE­ù

Ñ­áWÖW×ÚIØÑ­Ü'ÑÔáÓ"×Õ · Ñ­ÕÜ'×áÓ"×Úuå4ÔÕ×Ò×ÕìÔ · á · Ø · Ô ß Ú

p > λµå4ÑÛWÕgbÜ · ÑÛWÏWÕÑWÚjØ Ô ß ØÏ ß ÔÖWÑØÑ­Ü

ÞÔÒ×`×ÜÏWÜØÑ@×7Ø · ×áÓ"×2ÖW×`Ò×ЭÏWÕ"ÔáWî Ôθ > 0Úδå`ÏWÜ ÔCØÑ­áWÒÓÔáÓ"×`ÛÑ­Ò · Ó · ìlÔ%Ú

Ntå`ÏWÜÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ

ÖW×Cú3Ñ · ÒÒÑ­áØÑ­Ü Ó?Ô"nWÔλ×Xi

Ò"ïÑ'ÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×ÒãRê@×áWÖWÑ ÔÒÒ · ÜÚ%Ó"×Ü'Ñ­Ò9õÏW×

dUt = (p+ δUt) dt− d

(

Nt∑

i=1

Xi

)

⇒ e−δtdUt − e−δtδUtdt = pe−δtdt− e−δtd

(

Nt∑

i=1

Xi

)

⇒ d(e−δtUt) = ce−δsds− e−δsd

(

Nt∑

i=1

Xi

)

⇒ e−δtUt = u+ p

(

1− e−δt

δ

)

−∫ t

0

e−δs d

(

Nt∑

i=1

Xi

)

.ø»T[cù

ú3Ñ­ÕÓÔáÓ"ÑWÚø»TwE­ùm× ø 5 4 ùmÒ"ïÑ'×õÏ · ìlÔ ß ×áÓ"×Òã

i ºÙ/PºÙ/ J-PwÆÇ÷w¾Å3ÀÁ"|ä¿|'MOÀOä ñ  ÚÛÅ#÷[ļÛÎ+Üí`ÒÜ4ÏWÒÒ×á ¨ü · × ß Ò×áÅø´5CT[TwD­ù?Ú)Ñ­Ò8ÔÏ%Ó"Ñ­Õ×ÒØÑ­áWÒ · ÖW×Õ"ÔÜÏWÜÛWÕÑØ×ÒÒÑsÖW× Õ · ÒØÑ ØÑ­Ü

Õ×Ò×ÕìlÔ · á · Ø · Ô ßuã`ÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ Nt, t ≥ 0 ÖÔÒØÝW×ÐÔÖÔÒÖÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×Òåú3Ñ · ÒÒÑ­ácØÑ­Ü

ÓÔ;nWÔλ×2ÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8×Ò¹Ò"ïÑ · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×Ò9× · ÖW×áÓ · Ø ÔÜ'×áÓ"×`Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏZYÖÔÒRØÑ­Ü Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ

Br:

F× · áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×`ÖW× Nt, t ≥ 0 ã.í`ÒÒÏWÜ'×?þZÒ×)ÓÔÜ4ÞåÜ õÏW×-ÑCÛWÕgbÜ · Ñ p(r) ÖW×Û×áWÖW×2ÖÔCÔlÓ"ÏÔ ßÕ×Ò×ÕìlÔ ÖW× æçÑ­ÕÜ ÔõÏW×ÑÛWÕgbÜ · Ñå

p(w)õÏÔáWÖWÑ

Ut = wã Î+áÓïÑWÚ.Ò×

ru(t)åÔÒÑ ß ÏWî ïÑÖÔ

×õÏÔî ïÑ'Ö · æç×Õ×áWØ · Ô ß Ñ­ÕÖ · áëÕ · Ô

d

dtru(t) = p(ru(t)), ru(0) = u,

ø»T[Tù

×Tnå£Ñ · áWÒÓÔáÓ"פÖW×£ØÝW×ÐÔÖÔÖÔá@þZåÒ · Ü Ô · áWÖW×á ·à Ôî ïÑWÚ

T0 = 0Ú%Ó×Ü4þZÒ×

UTn+t = rUTn(t), 0 ≤ t < Tn+1 − Tn UTn+1

= UTn+1−

−Xn+1.ø 5 f[f ù

ü-ÑCØ ÔÒÑØ ß ëÒÒ · ØÑWÚáWÑõÏÔ ßp(r) = p∗

å`ØÑ­áWÒÓÔáÓ"×Ú@ÏWÜ Ô¤æç×ÕÕ"ÔÜ'×áÓÔ · Ü'ÛÑ­ÕÓÔáÓ"×9ÛÔÕ"Ô£Ò×`Ñ­Þ%Ó"×ÕÔÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×ÖW×4ÕÏZYáÔ

ψ∗(u)å4Ñ8ØÑ@×7Ø · ×áÓ"×ÖW×ý]ÏWáWÖWÞ×ÕÐ

γ∗Ú]ÖW×7á · ÖWÑØÑ­Ü'Ñ8ÔÒÑ ß ÏWî ïÑ

ÛÑ­Ò · Ó · ìÔÖÔ×õÏÔî ïÑ

λ(MX(γ∗)− 1)− γ∗p∗ = 0,ø 5 f 5ù

Ñ­áWÖW×MX(s) =

∫∞0esxdF (x)

ãú:ÔÕ"ÔÑØ ÔÒÑ ×ÜËõÏW×ÑÛWÕgbÜ · ÑÖW×Û×áWÖW×ÖÔÕ×Ò×ÕìlÔ%ÚBÑ õÏW×Ò×ævÔ à åÒÏWÞWÒÓ · Ó"Ï · Õ

γ∗Û× ß Ô

æçÏWáWî ïÑγ(w)ÖÔÕ×Ò×ÕìlÔ

wÚ:Ñ­áWÖW×'ÛÔÕ"ÔÏWÜ

w7xn%ÑWÚ

γ(w)å'ÖW×7á · ÖWÑØÑ­Ü'ÑÑØÑ@×7Ø · ×áÓ"× ÖW×

ý]ÏWáWÖWÞ×ÕÐ ÖWÑÜ'Ñ@ÖW× ß Ñ4Ø ß ëÒÒ · ØÑØÑÜp∗ = p(w)

Ú · ÒÓ"Ñ4åÚØÑ­Ü'Ñ'Ô4ÒÑ ß ÏWî ïÑÖÔ4×õÏÔî ïÑ

λ(B(γ(w))− 1)− γ(w)p(w) = 0.ø 5 f :­ù

ûZáÓ"Ï · Ó · ìÔÜ'×áÓ"×Ú£Ô · ÖWå · ÔKåcÖW× õÏW×cÑdÜ'Ñ@ÖW× ß ÑsØ ß ëÒÒ · ØÑ6ØÑ­Üp∗ = p(w)

Ò×Õì­× ØÑ­Ü'Ñ6ÏWÜ ÔÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑ ß ÑØ Ô ß ÛÔÕ"Ô4ÑÜ'Ñ@ÖW× ß Ñø 5 f[f ùmõÏÔáWÖWÑ Ô4Õ×Ò×ÕìÔ×ÒÓëÛWÕé"n · Ü'Ô4ÖW×

wã

,#3ôÛÅ i ºÙ/Pº» µlx%W|~F4gÒlxjxjwv|³l!¡|CÒ|

α§ Î ~

MX(γ∗) =

∫ ∞

0

eγ∗xdF (x) =

α

α− γ∗.

ßmx¡¥λ(MX(γ∗)− 1)− γ∗p∗ = 0 ⇒ γ∗ = α− λ

p.

""¶¢γ(w) = α− λ

p(w).

ø 5 f[4 ùÎ+Ü!í`ÒÜÏWÒÒ×á|¨ ü · × ß Ò×á ø 5"T[TwD­ùRÑ­Ò-ÔÏ%Ó"Ñ­Õ×Ò9ÓÔÜÞåÜÛWÕÑìÔÜ!õÏW×

Mt = exp

−∫ t

0

γ(Us)p(Us)ds+Nt∑

i=1

γ(UTi−)Xi

ø 5 f Bù

B 4

åÏWÜ Ü ÔÕÓ · áWÐÔ ß Ú)ÓÔ ß õÏW×UåÛÑ­ÒÒgYì­× ß ÖW×o7á · Õ8ÏWÜ Ô áWÑìÔKÜ'×Ö · ÖÔ ÖW×ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×PÛÑ­Õ

P (A) = E[MT ;A]ÚA ∈ FT

ÚmÑáWÖW× FT = σ(Ut : 0 ≤ t ≤ T )ã6ê@Ñ­ÞsÔÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×

PÚ

UtåÏWÜ5ÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑÖW×Õ · ÒØÑ8ØÑ­Ü5Ñ8Ü'×ÒÜ'Ñ8ÛWÕgbÜ · ÑÛøçÕù?Ú]ÛÑ­ÕåÜ5Ñ8ÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑÖÔÒ£ØÝW×ÐÔÖÔÒ

Nt, t ≥ 0 å`ú3Ñ · ÒÒÑ­ááïÑÝWÑ­Ü'Ñ­Ð[báW×ÑØÑ­ÜVÓÔ;nWÔCÖW×`Ø?ÝW×ÐÔlÖÔ λw ÖW×Û×áWÖW×áWÖWÑ4ÖWÑìlÔ ß Ñ­ÕRÔlÓ"ÏÔ ßÖÔ4Õ×Ò×ÕìÔ

Ut = wÚWÑ­Ò9Ó"×Ü'ÛÑ­Ò9×áÓ"Õ×CÔÒ)ØÝW×ÐÔÖÔÒ

Tj − Tj−1 = πÒ"ïÑÓÔ · Ò¹õÏW×

π ∼ fπ(t) = λrw(t) exp

−∫ t

0

λrw(v)dv

,ø 5 f D­ù

Ñ­áWÖW×

λx = λMX(γ(x)).

í`Ò · áWÖW×á ·à Ôî8×ÒXÒ"ïÑÓÔ · Ò9õÏW×

X|τ = t ∼ Frw(t)

ÖÔÖÔÛÑÕ

Frw(dy) =eγ(w)y

MX(γ(w))· F (dy).

ø 5 f ñ­ù

ê@×τ(u) = inft ≥ 0 : Ut ≤ 0 Ú)Ñ­ÒÔÏ%Ó"Ñ­Õ×ÒÜ'Ñ­ÒÓ"Õ"ÔÜo×Ü í`ÒÜ4ÏWÒÒ×á ¨1ü · × ß Ò×áÃø 5"T[TwD@Ú

ØÑ­ÕÑ ß ëÕ · Ñ:­ùmõÏW×P (τ(u) <∞) = 1

×ψ(u) = E(M−1

τ(u))ã

í ØÑ­áWÒ×õÏZbáWØ · Ô9ÖW×ÒÓ×BÕ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ9×ÜÒ · ÜÏ ß Ôî ïѹå+õÏW×BÛÑÖW×Ü'Ñ­Ò]Ò · Ü4Ï ß ÔÕÑ)ÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑ-ÖW×BÕ · ÒØÑÏ%Ó ·ß·à ÔáWÖWÑ

λw×FwØÑ­Ü'Ñ2Ñ­Ò:ÛÔÕAÜ'×Ó"ÕÑ`ÞëÒ · ØÑ­Òã+ê@×áWÖWÑ£ÔÒÒ · ÜÚ­Ô`ÕÏZYáÔ-Ñ@ØÑ­ÕÕ×m×ì­×áÓ"ÏÔ ß Ü'×áÓ"×

×M−1

τ(u)

å£áïÑlþ¡ì · Ø · ÔÖWÑ4ÛÔÕ"Ôψ(u)ã

B[B

2 ¾¿Á Í& Ê »½ÀÌ¿Í,È(5Æ&% ¾¿Ä ̿Í

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3²±´³ þ HWEõ¹2Põ¹2LONOLO_`PB_`G _`G HWhO\`PGQ ^%GQ4EH¶2\`L¡^%Eí7ÜÖW×2ì­×Õ · 7Ø ÔÕ)ÔìlÔ ß· ÖÔÖW×`ÖÔÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑÛÑ­Õ¹Ö · æçÏWÒ"ïÑWÚ%áW×ÒÓÔ4Ò×î ïÑ'ÔÛWÕ×Ò×áÓÔÜ'Ñ­Ò9Ñ­Ò

Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ­Ò-Ñ­Þ%Ó · ÖWÑ­Ò-ÛÔÕ"Ô Ô'ÒÑ ß ÏWî ïÑ'á@ÏWÜ'åÕ · Ø ÔÖÔ'×õÏÔî ïÑø 4 ñù9×CÑ­Ò`Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ­Ò-Ñ­Þ%Ó · ÖWÑ­Ò-Û× ß ÔÒ · ÜÏ ß Ôî ïÑcÖWÑ Ü'ÑÖW× ß ÑÉø 5CBù?Ú)Ï%Ó ·ß·à ÔáWÖWÑ ÔÒÖ · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î8@×Òè£ÔÜ Ô%Ú)În%ÛÑ­áW×áWØ · Ô ß ×ö-á · æçÑ­ÕÜ'×ØÑ­Ü'ÑÔÖ · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑÖÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8×Òã'í`Ò£ÓÔÞ× ß ÔÒ¤õÏW×'Ò×ЭÏW×Ü1ÔÛWÕ×Ò×áÓÔÜ Ñ­Ò£Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ­ÒÛÔÕ"ÔÔ4ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×2ÖW×£ÕÏZYáÔ4×ÜÓ"×Ü'ÛÑS7á · Ó"ÑWÚWÑ­Ï8Ò×OâÔ%Ú

ψ(u, T ) = P

(

inf0≤t≤T

Ut ≤ 0|U0 = u

)

,ø 5 f E­ù

õÏÔáWÖWÑÔÓÔ;nWÔÖW×2âÏWÕÑ­ÒδåÖW×Ó"×ÕÜ · áZYÒÓ · Ø Ô%ÚIÑ­ÏÒ×OâÔ%ÚõÏÔáWÖWÑ

σd = 0ãú:ÔÕ"ÔÔÒ¤Ò · Ü4Ï ß Ôlî8@×Ò

ØÑ­áWÒ · ÖW×Õ"ÔÜ'Ñ­Ò£ÑÛWÕÑ@Ø×ÒÒÑÖW× ØÝW×ÐÔÖÔú3Ñ · ÒÒÑ­ácØÑ­Ü ÓÔ;nWÔλ = 1

× ÑÛWÕgbÜ · Ñp = 1.65

ãN`2ÒÓÔÜ ÔáWÝWÑ­ÒRÖWÑ­Ò¹ÛÔÒÒÑ­Ò

h×káWÑ×ÒõÏW×Ü ÔÖW×2Ö · æç×Õ×áWî ÔÒu7á · ÓÔÒ¤øvñ­ñù?Ú@Ï%Ó ·ß·à ÔÖWÑÛÔÕ"ÔÑ­Þ%Ó"×áWî ïÑ

ÖÔsÒÑ ß ÏWî ïÑ6á@ÏWÜ'åÕ · Ø ÔsÖW×ø 4 ñù?Ú£Ò"ïÑ1/8×

1/230Õ×ÒÛ×ØÓ · ìÔÜ'×áÓ"×ã=í`ÒÓÔÞ× ß ÔÒ8ÓÔÜÞåÜ

Ü'Ñ­ÒÓ"Õ"ÔÜ¿ÔÓÔ;nWÔ'ÖW×)âÏWÕÑ­ÒδØÑ­áWÒ · ÖW×Õ"ÔÖÔ%ÚÑ'Ó"×Ü'ÛÑp ØÑ­áWÒ · ÖW×Õ"ÔÖWÑ ÛÔÕ"Ô'Ñ­ÞWÒ×ÕìÔî ïÑÖWÑ ÛWÕÑlþ

Ø×ÒÒÑWÚ-Ñ­Ò · áÓ"×ÕìÔ ß Ñ­Ò ÖW×ØÑ­áx7ÔáWî Ô Ñ­Þ%Ó · ÖWÑ­ÒÔlÓ"Õ"Ô ìåÒÖÔcÒ · ÜÏ ß Ôî ïÑcÖWÑ Ü'Ñ@ÖW× ß Ñø 5CBù?Ú9Ñ ×ÕÕÑÕ× ß ÔlÓ · ì­Ñ

(ER)×CÑ áðWÜ'×ÕÑ ÖW×CÕ×Û ß· Ø Ôî8@×Òø»)×ÛIã ùÖW×

Vδ(t)×Üø 5CBù?ã9ü`ÔÒ)ÓÔÞ× ß ÔÒÚ

ψD(u, T )Ò×Õ×æç×Õ×8óÒÑ ß ÏWî ïlÑ áÏWÜ'åÕ · Ø ÔÖÔ×õÏÔî ïÑÖ · æç×Õ×áWØ · Ô ß ø 4 ñù?Ú+Ñ­Ï Ò×OâÔ%ÚRÔÑìlÔ ß Ñ­ÕÑ­Þ%Ó · ÖWÑ ÛÔÕ"ÔÔ'ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×£ÖW×ÕÏZYáÔ'×Ü¿Ó"×Ü'ÛÑ&7á · ÓÑ'õÏÔáWÖWÑÏ%Ó ·ß·à ÔÜ'Ñ­Ò-Ô ÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑ'ÛÑ­Õ`Ö · æçÏWÒ"ïÑWÚψS(u, T )

å8Ô ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW× ÖW×ÕÏZYáÔ×ÜËÓ"×Ü'ÛÑ|7á · Ó"Ñ Ñ­Þ%Ó · ÖÔÛ× ß ÔÒ · Ü4Ï ß Ôlî ïÑÖWÑÜ'ÑÖW× ß Ñø 5CBù?Ú

ψli(u, T )×ψls(u, T )

Ò"ïÑ£ÑÒ ß· Ü · Ó"×Ò · á%æç×Õ · Ñ­Õ:×9ÒÏWÛ×Õ · Ñ­Õ.ÖWÑ · áÓ"×ÕìÔ ß Ñ2ÖW×9ØÑ­áx7ÔáWî ԤѭÞ%Ó · ÖWÑÕ×ÒÛ×ØÓ · ìÔÜ'×áÓ"×Ú+Ù2úÃå'ÑÖW×Òì · ÑÛÔÖWÕ"ïÑ×)û¤å ÔÕ×Ò×ÕìlÔ · á · Ø · Ô ß ãú:ÔÕ"ÔÔØÑ­áWÒÓ"ÕÏWî ïÑÖWÑ­Ò· áÓ"×ÕìÔ ß ÑÒ9ÖW×£ØÑ­áx7ÔáWî Ô%ÚÏ%Ó ·ß·à ÔÜÑ­Ò

α = 0.05ã

BrD

sPº»¼º» ÀOä¿3ÀO¾65wÄ¼È P3÷[äO¾»Á  ¾ ñ O¾»È[ÉZ7+ļÄí ÓÔÞ× ß Ô5Ü'Ñ­ÒÓ"Õ"Ô Ñ­Ò`Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ­Ò2Ñ­Þ%Ó · ÖWÑ­Ò`õÏÔáWÖWÑ8Ô Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ ÖÔlÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò

Xå

è£ÔÜ Ôø¥:@ã=:dD@Ú65­ã=D­ùB×δ = 0.1

ãBú.ÔlÕÔ4×ÒÓ"×£Ø ÔÒÑWÚWÓ"×Ü'Ñ­Ò)õÏW×

E(X) = 1.5ø 5 f c­ù

×

V ar(X) =2.25

(1.5)2= 1.

ø 5 f Tù`2Ò£ÛÔÕAÜ'×Ó"ÕÑ­Ò¤ÖWÑÜ'Ñ@ÖW× ß ÑÖW×'Ö · æçÏWÒ"ïÑ8ÖW×7á · ÖWÑ­Ò£×Ü ø¥:aBù`×ø¥:[D­ù?ÚÑ­Ò£õÏÔ · Ò£Ò×Õ"ïÑÏ%Ó ·ß·à ÔÖWÑ­ÒÛÔÕ"Ô4×áWØÑ­áÓ"Õ"ÔÕ-Ô4ÒÑ ß ÏWî ïÑáÏWÜ'åÕ · Ø Ô4ÖW× ø 4 ñù?ÚWÒ"ïÑ'ÖÔÖWÑÒ)ÛÑ­Õ

β = 1.65− 1.5 = 0.15ø 5[5 f ù

×

σb =√

1 + 2.25 ' 1.8027.ø 5[5[5ù

p:ÔÞ× ß Ô5[æú+ÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×+ÖW×mÕÏZYáÔ9×Ü Ó"×Ü'ÛѲ7á · Ó"Ñ-õÏÔáWÖWÑ2ÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×ÒÓAbÜ Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑè£ÔÜ Ô

(2.25, 1.5)×δ = 0.1

ÚZ7xnWÔáWÖWÑ Î)£ã

hÏWÕÑ­Ò )û p3×Ü'ÛÑψD(u, T ) ψS(u, T ) ψli(u, T ) ψls(u, T )

Î) )×ÛIãÏ|ö 4 p2ö]5 f f ã 4 D[DdT f ã 4 5;D f f ã=:dcw:dc f ã 4 BrE35 f ã f T[T f c fdf

p2öHD f f ã 4 E[: f f ã 4 :dcwE f ã=:dT­ñx5 f ã 4 ñx5 4 f ã65 f :35 c fdfδ = 0.1

Ïö¦D p2ö]5 f f ã65 4 ñwD f ã65CBr:aB f ã65;:dcwE f ã65;Dñ f f ã f TwD[E :[D f[fp2öHD f f ã65;D f[f f ã65CB 4 ñ f ã65;:dT[c f ã65;D[E 4 f ã f T­ñx5 :[D f[f

Ïö 5 f p2ö]5 f f ã f[f BrD f ã f 5 4 : f ã f 5[5"c f ã f 5CBñ f ã65 f ñ f :[D[D f[fp2öHD f f ã f[f ñx5 f ã f 5ñ 4 f ã f 5CBrD f ã f 5"c f f ã65 f Eñ : f[f[f[f

ú3Ñ@ÖW×Ü'Ñ­Ò-Ñ­ÞWÒ×ÕìÔÕ`õÏW×Ô ÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑÛÑ­Õ-Ö · æçÏWÒ"ïÑ åCÜ'× ß ÝWÑ­Õ)õÏÔáWÖWÑu = 5ã-ü-Ñ­Ò-Ø ÔÒÑ­Ò

u = 3×u = 10

ÔÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑáïÑå×7Ø · ×áÓ"×ã`2ÞWÒ×ÕìlÔþZÒ×õÏW×Ñ­ÒìlÔ ß Ñ­Õ×ÒÖW×ψD(u, T )

áïÑ×ÒÓ?ïlÑáW×ÜÒ×õÏW×ÕØÑ­áÓ · ÖWÑ­ÒáWÑ · áÓ"×ÕìÔ ß ÑÖW×ØÑ­áx7ÔáWî Ô ØÑ­áWÒÓ"ÕÏZYÖWÑ ØÑ­ÜØÑ×7Ø · ×áÓ×ÖW×ØÑ­áx7ÔáWî Ô

α = 0.05ãÙ`×ì×Ü'Ñ­ÒÕ×ÒÒ"Ô ß ÓÔÕCÑÞÔ · n%ÑáðWÜ'×ÕÑÖW× Õ×Û ß· Ø Ôî8@×ÒCáW×Ø×ÒÒ"ëÕ · ÔÒÛÔÕ"Ô

ÏWÜ×ÕÕÑÕ× ß ÔlÓ · ì­ÑER ' 0.1

ÛÔÕ"ÔÑ­ÒmØ ÔÒÑ­Òu = 3

×u = 5ãBü-Ñ×áÓÔáÓ"ÑWÚ%ÛÔÕ"ÔCÑØ ÔlÒ"Ñ

u = 10Ñ

áðWÜ'×ÕÑÖW×CÕ×Û ß· Ø Ôî8×Ò)áW×Ø×ÒÒ"ëÕ · ÔÒ-ÛÔÕ"Ô'ÔlÓ · áWÐ · Õ¹ÑER×ÒÛ×Ø · 7Ø ÔÖWÑ å£ÖW×Ü ÔÒ · ÔÖÔÜ'×áÓ"×¤Ô ß Ó"Ñ

×Ü!Õ× ß Ôî ïÑÔÑ­Ò)Ñ­Ï%Ó"ÕÑ­Ò9Ø ÔÒÑ­Òã

Bñ

p:ÔÞ× ß Ô*:3æú+ÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×+ÖW×mÕÏZYáÔ9×Ü Ó"×Ü'ÛѲ7á · Ó"Ñ-õÏÔáWÖWÑ2ÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×ÒÓAbÜ Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑè£ÔÜ Ô

(2.25, 1.5)×δ = 0.1

ã

hÏWÕÑ­Ò )û p3×Ü'ÛÑψD(u, T ) ψS(u, T ) ψli(u, T ) ψls(u, T )

Î) )×ÛIãÏ|ö 4 p2ö]5 f f ã 4 D[DdT f ã=:dT[c[T f ã=:dT 4 E f ã 4[f BZ5 f ã f 5;E 4 4[f[f[f[f

p2öHD f f ã 4 E[: f f ã 4 :[D[: f ã 4 5"T[c f ã 4[4[f D f ã f 5ñ 4 4[f[f[f[fδ = 0.1

Ïö¦D p2ö]5 f f ã65 4 ñwD f ã65 4 cw: f ã65 4 Br: f ã65CBr:35 f ã f :dcw: 4df[f[f[fp2öHD f f ã65;D f[f f ã65;Dñ[T f ã65;D[:dc f ã65ñx5 f f ã f :ñw: 4[f[f[f[f

Ïö 5 f p2ö]5 f f ã f[f BrD f ã f 5 4 D f ã f 5;:[: f ã f 5CBwc f ã f T­ñ­ñ 4[f[f[f[fp2öHD f f ã f[f ñx5 f ã f 5ñ[c f ã f 5;DaB f ã f 5"c 4 f ã f c­ñ 4 4[f[f[f[f

í¿ÓÔÞ× ß Ô: Ü'Ñ­ÒÓ"Õ"ÔÔ Ü'×ÒÜ Ô Ò · Ó"ÏÔî ïÑUÔÛWÕ×Ò×áÓÔÖÔUáÔÓÔÞ× ß Ô5­ÚRÛÑ­ÕåÜoÔÏWÜ'×áÓÔÜ'Ñ­ÒÑ áðWÜ'×ÕÑ ÖW×Õ×Û ß· Ø Ôî8×ÒÛÔÕ"Ô 4[f[f[f[f Ò×Ü áWÑ­ÒÛWÕ×ÑØÏWÛÔÕØÑ­ÜÑ ×ÕÕÑ Õ× ß ÔlÓ · ì­ÑWãú:ÑÖW×?þZÒ×Û×ÕØ×Þ×Õ4õÏW×ÑÜ'×ÒÜ'ÑÛÔÖWÕ"ïÑÔáÓ"×Õ · Ñ­ÕCÒ× Õ×Û×Ó"×Ú+Ñ­Ï Ò×OâÔ%ÚBÔÔÛWÕÑ"n · Ü Ôî ïÑÛÑ­ÕÖ · æçÏWÒ"ïÑå×7Ø · ×áÓ"×8ÔÛ×áÔÒ4áWÑØ ÔÒÑ×ÜõÏW×

u = 5ÚBáïÑÒ×áWÖWÑÒ"ÔlÓ · ÒævÔlÓ"é­Õ · ÔáWÑ­Ò4ÖW×Ü Ô · ÒØ ÔÒÑ­Òã ÷ · Ø Ô

Ø ß ÔÕÑÓÔÜÞåÜ¿õÏW×4Ô ÔÜ'Û ß· Ó"ÏWÖW×£ÖWÑ · áÓ"×ÕìÔ ß Ñ'ÖW×ØÑ­áx7ÔáWî Ô åÜ'×áWÑ­Õ`ÖW×ì · ÖWÑÔÑÔÏWÜ'×áÓ"Ñ ÖWÑáðWÜ'×ÕÑÖW×£Õ×Û ß· Ø Ôî8@×Òãí ÓÔÞ× ß Ô 4 Ü'Ñ­ÒÓ"Õ"Ô Ñ­Ò2Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ­Ò2Ñ­Þ%Ó · ÖWÑ­Ò2õÏÔláWÖWÑÔÖ · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ ÖÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×Ò

Xå

è£ÔÜ Ôø¥:@ã=:dD@Ú65­ã=D­ùB×δ = 0.05

ÚÒ×Ü¿áWÑ­Ò)ÛWÕ×ÑØÏWÛÔÕ-×Ü7xnWÔÕ9ÑERã

p:ÔÞ× ß Ô 4 æú+ÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×+ÖW×mÕÏZYáÔ9×Ü Ó"×Ü'ÛѲ7á · Ó"Ñ-õÏÔáWÖWÑ2ÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×ÒÓAbÜ Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑè£ÔÜ Ô

(2.25, 1.5)×δ = 0.05

ã

hÏWÕÑ­Ò )û p3×Ü'ÛÑψD(u, T ) ψS(u, T ) ψli(u, T ) ψls(u, T )

Î) )×ÛIãÏ|ö 4 p2ö]5 f f ã Br:[EaB f ã 4 ñ[cw: f ã 4 ñw:dc f ã 4 E 4 E f ã f 5CBwc 4[f[f[f[f

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Ïö¦D p2ö]5 f f ã=: f 5"c f ã65"TwE35 f ã65"Tw:ñ f ã=: f 5ñ f ã f :[:dc 4[f[f[f[fp2öHD f f ã=:ñwEdc f ã=:[D[Edc f ã=:[D[:dT f ã=:ñw:dc f ã f 5"Tx5 4[f[f[f[f

Ïö 5 f p2ö]5 f f ã f 5;D[: f ã f[4[f E f ã f :dc f f ã f[4 :ñ f ã f ñ 4 D 4[f[f[f[fp2öHD f f ã f[4 Eñ f ã f D[: 4 f ã f BwT[c f ã f DaBwc f ã f Bwcx5 4[f[f[f[f

ú3Ñ@ÖW×Ü'Ñ­ÒCÛ×ÕØ×Þ×ÕÚBÔlÓ"Õ"Ô ì­åÒÖÔ8ÓÔÞ× ß Ô 4 Ú3õÏW× ÑÛÔÖWÕ"ïÑÔáÓ"×Õ · Ñ­Õ£Ò× Õ×Û×Ó"× áWÑìÔÜ×áÓ"×ÚÑ­ÏÒ×OâÔ%ÚjÔ ÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑæçÏWáWØ · Ñ­áÔÜ'× ß ÝWÑ­Õ)áWÑØÔÒÑ

u = 5ã)ü-Ñ ×áÓÔáÓ"ÑWÚÛÔÕ"Ô'Ñ­Ò-Ø ÔÒÑ­Ò

u = 3

BrE

×u = 10

ÔÔÛWÕÑ"n · Ü Ôî ïÑÛÔÕ×Ø×CÜ'× ß ÝWÑ­Õ¹áWÑØ ÔÒÑδ = 0.05

×Ü!Õ× ß Ôî ïÑ'ÔÑØ ÔÒÑδ = 0.1

ãísÓÔÞ× ß ÔB¤Ô`Ò×Ð­Ï · Õ.ÔÛWÕ×Ò×áÓÔ2Ñ2Ø ÔÒÑ

δ = 0.01ÚáWÑ2õÏÔ ß áWÑìÔÜ'×áÓ"×¹áïÑ`áWÑ­Ò.ÛWÕ×Ñ@ØÏWÛÔÜ'ÑÒ

×Üì7xnWÔÕERã

p:ÔÞ× ß ÔBZæú+ÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×+ÖW×mÕÏZYáÔ9×Ü Ó"×Ü'ÛѲ7á · Ó"Ñ-õÏÔáWÖWÑ2ÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×ÒÓAbÜ Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑè£ÔÜ Ô

(2.25, 1.5)×δ = 0.01

ã

hÏWÕÑ­Ò )û p3×Ü'ÛÑψD(u, T ) ψS(u, T ) ψli(u, T ) ψls(u, T )

Î) )×ÛIãÏ|ö 4 p2ö]5 f f ã BwT­ñx5 f ã Br: 4 D f ã BZ5;EdT f ã Br:dTx5 f ã f 5 4 : 4[f[f[f[f

p2öHD f f ã ñ 4 T­ñ f ã=Ddc­ñwD f ã=Ddc f T f ã=DdTw:35 f ã f[f TwD 4[f[f[f[fδ = 0.01

Ïö¦D p2ö]5 f f ã=:[E[D35 f ã=:aBwT[T f ã=:aBrD f f ã=:[DaBwc f ã f 5"T­ñ 4[f[f[f[fp2öHD f f ã BrDdc[c f ã Br:[D f f ã BZ5"TdB f ã B 4[f D f ã f 5 4 5 4[f[f[f[f

Ïö 5 f p2ö]5 f f ã f[4 TdB f ã f DñdB f ã f D 4 c f ã f DdT f f ã f Bñw: 4[f[f[f[fp2öHD f f ã65;Eñ f f ã65"cdBñ f ã65"c f : f ã65"c[T f f ã f : 4 E 4[f[f[f[f

`2ÞWÒ×ÕìÔáWÖWÑ4Ô£ÓÔÞ× ß Ô,BWÚ@ÛÑ@ÖW×Ü'Ñ­ÒRØÑ­áWØ ß Ï · ÕBõÏW×2áWÑØ ÔÒÑδ = 0.01

Ú%ÔÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑ£ÛÑ­ÕRÖ · þæçÏWÒ"ïÑ)âë£áïÑCå-ÓïÑC×7Ø · ×áÓ"×`õÏÔáWÖWÑ

u = 5ØÑ­Ü'ÑáWÑÒmØ ÔÒÑ­ÒmÔáÓ"×Õ · Ñ­Õ×Òã+ü-ÑÓÔþZÒ×9ÓÔÜ4ÞåÜ õÏW×

ÔCÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïѤÛÑ­ÕBÖ · æçÏWÒ"ïÑCÜ× ß ÝWÑ­Õ"Ô¤õÏÔáWÖWÑu = 10

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u = 3· áWÖW×Û×áWÖW×áÓ"×Ü'×áÓ"×CÖWÑìÔ ß Ñ­Õ9ÖW×

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(2/3)×δ = 0.1

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Wb,t

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(2/3)×δ = 0.1

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BwT

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(2/3)×δ = 0.05

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(2/3)×δ = 0.01

ã

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Xå

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β = 1.65− 1.5 = 0.15ø 5[5"cù

×

σb =√

1/12 + 2.25 = 1.5275.ø 5[5"Tù

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(1, 2)×δ = 0.1

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(1, 2)×δ = 0.1

ã

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×Ü=Õ× ß Ôî ïÑóÒ¤Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î8@×Ò£è£ÔÜ Ô ×În%ÛÑ­áW×áWØ · Ô ß ãú3Ñ@ÖW×Ü'Ñ­Ò2áWÑÓÔÕ2ÓÔÜÞåÜ=õÏW×4ÛÔÕ"ÔÏWÜÜ'×ÒÜ'Ñ4á@ðWÜ'×ÕÑÖW×£Õ×Û ß· Ø Ôî8×ÒÚÑ

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(1, 2)×δ = 0.05

ã

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Ú¹ÛWÕ · áWØ · ÛÔ ß Ü×áÓ"×8ÛÔlÓÔT = 50

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În%ÛIã(σb ' 2.12)

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λ = 1Úp = 1.65

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1.65 + 0.1ru(t)= t+

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0.1

∫

0.1

1.65 + 0.1ru(t)dru(t) = t+

ØÑ­áWÒÓ ã

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⇒ 1.65 + 0.1ru(t) = ke0.1t

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0.1.

ö)Ó ·ß·à ÔáWÖWÑÔ4ØÑ­áWÖ · î ïÑ · á · Ø · Ô ßru(0) = u

ÚWÓ"×Ü'Ñ­Ò9õÏW×

ru(t) = e0.1t

(

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0.1

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− 1.65

0.1.

ø 5;: 4 ù

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· áWÖW×á ·à Ôî8×Ò9ÓAbÜ!Ö · ÒÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑ'è£ÔÜ Ô(2.25, 1.5)

×δ = 0.1

ã`2Ò)Õ×ÒÏ ß ÓÔÖWÑ­Ò)ÔÛWÕ×Ò×áÓÔÖWÑ­Ò-áÔÓ?ÔlÞ× ß Ô+5ñæçÑ­Õ"ÔÜ Ñ­Þ%Ó · ÖWÑ­Ò9Õ× Ô ß·à ÔáWÖWÑlþZÒ×5 f[f[f Õ×Û ß· Ø Ôî8×Ò

ÖW×Mτ(u)

×ÜËø 5 f Bù?ã9ú3Ñ@ÖW×Ü'Ñ­Ò-Û×ÕØ×Þ×Õ2õÏW×Ô ÔÛWÕÑCn · Ü Ôî ïÑÛÑ­Õ-Ö · æçÏWÒ"ïÑ'åC×7Ø · ×áÓ"×õÏÔáWÖWÑDñ

p:ÔÞ× ß Ô5ñxæú+ÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW× ÖW×ÕÏZYáÔ×ÜËÓ"×Ü'ÛÑ · áx7á · Ó"ÑõÏÔáWÖWÑUÔÒ · áWÖW×á ·à Ôî8@×ÒÓAbÜÖ · ÒOþÓ"Õ · ÞWÏ · î ïÑè£ÔÜ Ô

(2.25, 1.5)×δ = 0.1

ã

hÏWÕÑ­Ò )ûψD(u) ψS(u) ψli(u) ψls(u) ξE

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u = 5Ú.áïÑ Ò×áWÖWÑ Ò"ÔlÓ · ÒævÔlÓ"é­Õ · Ô8áWÑ­ÒÑ­Ï%Ó"ÕÑ­ÒØ ÔÒÑ­Òã: · áÓ×Õ"×Ò"Ò"ÔáÓ"×áWÑÓÔÕõÏW×Ñ­ÒCìÔ ß Ñ­Õ×ÒÖÔ

ÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×-ÖW×2ÕÏZYáÔC×ÜÓ"×Ü'ÛÑ7á · Ó"ÑÜ'Ñ­ÒÓ"Õ"ÔÖWÑ­ÒmáÔCÓÔÞ× ß Ô52×`ÓÔÞ× ß Ô:CØÑ­áì×ÕЭ×ÜÛÔÕ"ÔÑ­Ò¹ìÔ ß Ñ­Õ×Ò9ÖÔÛWÕÑ­ÞÔÞ ·ß· ÖÔÖW×2ÖW×£ÕÏZYáÔ4×ÜÓ"×Ü'ÛÑ · áx7á · ÓÑÜ'Ñ­ÒÓ"Õ"ÔÖWÑ­Ò9áÔ4ÓÔÞ× ß Ô5ñ%ãí ÓÔÞ× ß Ô5ñ'ÓÔÜÞåܽÔÛWÕ×Ò×áÓÔÑ­Ò2×ÕÕÑ­Ò2ÖW××ÒÓ · Ü Ôî ïÑ ×Ü

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