PROPOSICIONES MATEMÁTICAS

República Bolivariana de VenezuelaUniversidad “Fermín Toro”

Sistema Interactivo a Distancia “SAIA”Materia: Estructuras Discretas I

Profesora: Espinoza Alba

Elaborado por:

Pedro Luis Rodríguez Cabeza

C.I.: 16.388.340Noviembre, 2014

¿Qué son las Proposiciones?• En el desarrollo de cualquier teoría matemática se hacen afirmaciones en forma de

frases y que tienen un sentido pleno, tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominaremos enunciados o proposiciones.

• Una proposición es una unidad semántica, que solo puede ser verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez

• Ejemplo 1: Preposiciones

▫ Gabriel Garcia Marquez escribío Cien años de soledad.▫ 6 es un número primo.▫ 3+2=6▫ 1 es un número entero, pero 2 no lo es.

Nota: Las proposiciones se notan con letras minúsculas, p, q, r…

• Ejemplo 2: Las siguientes no son proposiciones.

▫ x + y > 5 , es una afirmación pero no es una proposición ya que será verdadera o falsa dependiendo de los valores de x e y

▫ ¿Te vas?, no son afirmaciones, por lo tanto no son proposiciones

Tipos de Proposiciones

• Proposiciones atómicas: son aquellas proposiciones que no figuran ningún operador lógico▫Ejemplo:

Yo voy al cine a: Yo voy al cine

• Proposiciones moleculares: son aquellas que están compuestas por varias proposiciones atómicas unidad por conectores lógicos.• Ejemplo:

(a=>b) ^ (b v a)

Conectivos lógicos de una proposición

Son aquellos símbolos que se usan para unir proposiciones, las cuales van a obtener un valor verdadero o falso. Entre los operadores o conectores mas utilizados tenemos:

• Negación: cambia el valor lógico de una proposición, se le presenta con formas gramaticales como “no”, “ni”, “no es verdad que”, “no es cierto que”.

a: Hoy es martes~a: Hoy no es martes

• Conjunción: relaciona proposiciones para formar una nueva, se le presenta con formas gramaticales como “y”, “pero”, “mas”, y signos de puntuación como el punto, la coma, el punto y coma

a: Hoy es martes b: Faltaré a clases

a ^ b: Hoy es martes y faltaré a clases

• Disyunción: relaciona dos proposiciones para formar una nueva que será falsa solo cuando las dos proposiciones sea falso, se le presenta con el termino gramatical “o”.

a: “voy al cine” b: “como en la casa de mis abuelos”

a v b: Voy al cine o como en la casa de mis abuelos

Conectivos lógicos de una proposición

• Condicional: es una enunciación hipotética que tiene un antecedente y una consecuencia, se le presenta con formas gramaticales como “si a, entonces b”, “a solo si b”, “b siempre que a”, “b debido que a”, “solo si b, a” y cualquier expresión que denote causa y efecto.

a: “hago caso a mis padres” b: “voy al estadio”

a => b: Si hago caso a mis padres entonces voy al estadio

En esta tabla se puede resumir los operadores lógicos pero estos no son los únicos sino que son los mas utilizados :

Formas Proposicionales• Una forma proposicional es lo que se obtiene al reemplazar, una

preposición; la cual va a tener un valor de verdad, y va a estar formada por conectores lógicos y proposicionales.

• Para armar una forma proposicional es muy importante reconocer los conectores lógicos.

• Ejemplo:

▫ a: Voy al cine▫ b: Compro cotufas

“Si voy al cine entonces compro cotufas y si compro cotufas, voy al cine”

(a=>b)^ (b=>a)

• Como se puede observar se ha representado por letras del abecedario las proposiciones y se encuentran unidas por conectores lógicos, por lo cual mediante su operación, van a obtener un valor verdadero.

Tipos de formas Proposicional• Tautológicas: es aquella forma proposicional que siempre da como resultado verdadero (1)

▫ p: Voy al cine▫ q: Compro cotufas

p=> (q=>p)“Si voy al cine entonces compro cotufas solo si voy al cine”

• Contradicciones: es aquella forma proposicional que siempre da como resultado falso (0)

▫ a: Voy al cine▫ b: Compro cotufas

(~a^b)^a“No voy al cine y compro cotufas y voy al cine”

• Contingencia: es aquella forma proposicional que siempre es verdadera y falsa a la vez (0 1 )

▫ a: Voy al cine▫ b: Compro cotufas

(a=>b) ^ (b=>a) “Si voy al cine entonces compro cotufas y si compro cotufas, voy al cine”

Leyes de las ProposicionesLas leyes de las proposiciones son equivalencias lógicas que se

pueden demostrar con el desarrollo de las tablas de verdad del bicondicional, estas leyes son las siguientes:

• Equivalencia

p = p

• Idmepotencia

p ^ p = p p v p = p

• Asociativa

p ^ (q ^ r) = (p ^ q) ^ r p v (q v r) = (p v q) v r

• Commutativa

p ^ q = q ^ p p v q = q v p

• Distributiva

p ^ (q v r) = (p ^q) v (p ^ r) p v (q ^ r) = (p v q) ^ (p v r)

• Identidad

p v 0 = p p v 1 = 1 p ^ 1 = p p ^ 0 = 0

Leyes de las Proposiciones• Complemento

p v ~p = 1 ~~p = p p ^ ~p = 0 ~0 = 1 ~1 = 0

• Morgan

~ (p ^ q) = ~p v ~q ~ (p v q) = ~p ^ ~q

• Absorción

p ^ (p v q) = p p v (p ^ q) = p

• Condicional

p -> q = ~p v q p -> q = ~q -> ~p

• Bicondicional

p ↔ q = (p -> q) ^ (q -> p)

• Dominancia

p ^ F = F p v V = V

• Elemento neutro

p ^ V = P p v F = P

Métodos de demostración• Demostración Directa :La forma mas natural de demostración de una proposición que es

condicional es la demostración directa, ya que analizando la tabla de verdad para P => Q, vemos que es suficiente demostrar que q es verdadera siempre que p lo sea (pues P => Q es verdadera cuando p es falsa)

Así, en una demostración directa de P => Q asumimos que la hipótesis p; es verdadera y demostramos usando argumentos lógicos que la tesis q; es verdadera. Una demostración directa sigue el siguiente esquema:

Métodos de demostración• Demostración Indirecta: dentro de este método veremos dos

formas

1. Método del Contrarrecíproco: se usa para demostrar, al igual que la demostración directa, teoremas y proposiciones que tienen la forma condicional P => Q, esta forma de demostración se basa en el hecho de que P => Q es lógicamente equivalente a (~Q) => (~P), como muestra la siguiente tabla.

De esta manera, si queremos demostrar P => Q por contrarrecíproca, basta demostrar (~Q) => (~P), usando una demostración directa, asumimos que ~Q es verdadera y demostramos que ~P es verdadera. Una demostración por contrarrecíproca sigue el siguiente esquema:

Métodos de demostración2. Método del Bicondicionales: sabemos que una

proposición bicondicional es: P si y solo si Q

es lógicamente equivalente a la proposición: (si P; entonces Q) y (si Q; entonces P).

De esta manera, para demostrar una proposición de la forma “P si y solo si Q" debemos demostrar dos proposiciones condicionales: la proposición “si P; entonces Q" y la proposición “si Q; entonces P". Una demostración de una proposición bicondicional tiene el siguiente esquema:

Construcción de una red de circuitos lógicos de una forma proposicional• Circuito en serie, es aquel que está constituido por

interruptores dispuestos uno detrás de otro, se le representa mediante una conjunción y basta que uno de los interruptores esté abierto para que el foco no prenda.