PROF. EVERTON MORAES 1

RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES

Considere a equação do 2º grau 2 0ax bx c . Sejam ,x e ,,

x suas raízes. Vamos estabelecer as

relações de Girard entre essas raízes e os coeficientes a, b e c da equação.

Sabemos que:

2

, bx

a

e

2

,, bx

a

1a relação: Soma das raízes.

2

2 2 2 2 2

, ,,b bb b b b b b

S x xa a a a a a

Portanto:

2a relação: Produto das raízes.

222

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 4 4

4 4 4

4 4 4

, ,,bb b b

S x . x .a a a a

b b .a.c b b .a.c ac c

a a a a

Portanto:

3a relação: Diferença das raízes.

2

2 2 2 2 2

, ,,b bb b b b

D x xa a a a a a

Portanto:

Exemplo 1: calcular a soma o produto e a diferença das raízes da equação 2 7 10 0x x .

Temos : a = 1, b = -7 e c = 10

7 77

1 1

, ,, b ( )S x x

a

1010

1

, ,, cS x . x

a

, ,, bS x x

a

, ,, cP x .x

a

, ,,D x x

a

22 7 4 1 104

1 1

49 40 9 3

, ,, ( ) . .b .a.cD x x

a

PROF. EVERTON MORAES 2

1) Calcule a soma e o produto das raízes das seguintes equações:

a) 2 8 15 0x x f) 23 25 0x

b) 22 3 1 0x x g) 2 22 0x ax a

c) 25 21 4 0x x h) 23 5 5 0x ( a)x a

d) 2 7 12 0x x i) 2 1 0x (a )x a

e) 23 6 0x x

2) Determinar o valor de k na equação 2 22 20 0kx x para que a soma das raízes seja 11

3.

3) Determinar o valor de p na equação 2 5 5 0px x (p ) para que o produto das raízes seja 1

6.

4) Determine o valor de m na equação 24 2 3 0x (m )x para que a soma das raízes seja 3

4.

5) Calcule o valor de k na equação 25 10 3 0(k )x x para que o produto das raízes seja 3

8.

6) Calcule o valor de m na equação 210 21 5 0(m )x x para que a soma das raízes seja 7

6.

7) Determine o valor de p na equação 26 11 1 0x x (p ) para que o produto das raízes seja 3

4.

8) Calcular o valor de k na equação 2 12 0x x k para que uma das raízes seja o dobro da outra.

9) Calcule o valor de p na equação 2 8 2 0x x p para que uma das raízes seja o triplo da outra.

10) Determinar m na equação 2 3 7 0x (m )x m , de modo que uma de suas raízes seja o

triplo da outra.

11) Calcule o valor de k na equação 2 36 0x kx para que uma das raízes seja o quádruplo da

outra.

12) Determinar p na equação 2 8 2 3 0x x p , de modo que a diferença de suas raízes seja 4.

13) Determine m, de modo que uma das raízes da equação 21 8 3 0(m )x x seja o inverso da

outra.

14) Calcule o valor de h na equação 23 2 1 10 0(h )x (h )x h , de modo que a soma dos

inversos das raízes seja 1

3.

Exercícios